전체 각도의 삼각함수에 대한 각도의 절반 탄젠트 관련
삼각법 에서 접선 반각 공식 은 각도의 절반과 전체 각도의 삼각함수를 연관시킨다. 반각의 접선은 원의 선에 대한 입체 투영 이다. 이 공식들 중에는 다음과 같은 것들이 있다.
햇볕에 그을리다 1 2 ( η ± θ ) = 햇볕에 그을리다 1 2 η ± 햇볕에 그을리다 1 2 θ 1 ∓ 햇볕에 그을리다 1 2 η 햇볕에 그을리다 1 2 θ = 죄를 짓다 η ± 죄를 짓다 θ cas η + cas θ = − cas η − cas θ 죄를 짓다 η ∓ 죄를 짓다 θ , 햇볕에 그을리다 ± 1 2 θ = ± 죄를 짓다 θ 1 + cas θ = ± 햇볕에 그을리다 θ 초 θ + 1 = ± 1 csc θ + 요람을 달다 θ , ( η = 0 ) 햇볕에 그을리다 ± 1 2 θ = 1 − cas θ ± 죄를 짓다 θ = 초 θ − 1 ± 햇볕에 그을리다 θ = ± ( csc θ − 요람을 달다 θ ) , ( η = 0 ) 햇볕에 그을리다 1 2 ( θ ± 1 2 π ) = 1 ± 죄를 짓다 θ cas θ = 초 θ ± 햇볕에 그을리다 θ = csc θ ± 1 요람을 달다 θ , ( η = 1 2 π ) 햇볕에 그을리다 1 2 ( θ ± 1 2 π ) = cas θ 1 ∓ 죄를 짓다 θ = 1 초 θ ∓ 햇볕에 그을리다 θ = 요람을 달다 θ csc θ ∓ 1 , ( η = 1 2 π ) 1 − 햇볕에 그을리다 1 2 θ 1 + 햇볕에 그을리다 1 2 θ = ± 1 − 죄를 짓다 θ 1 + 죄를 짓다 θ 햇볕에 그을리다 1 2 θ = ± 1 − cas θ 1 + cas θ {\displaystyle{\begin{정렬}\tan{\tfrac{1}{2}}(\pm \theta\eta)&, ={\frac{\tan{\tfrac{1}{2}}\eta\pm \tan{\tfrac{1}{2}}\theta}{1\mp \tan{\tfrac{1}{2}}\eta\,\tan{\tfrac{1}{2}}\theta}}={\frac{\sin \eta \pm \sin \theta}{\cos\eta +\cos \theta}}=-{\frac{\cos\eta -\cos \theta}{\sin\eta \mp \sin \theta}},\\[10pt]\tan \pm{\tfr.교류{ 1}{2}}\theta&={\frac{\pm\sin \theta}{1+\cos \theta}}={\frac{\pm\tan \theta}{\sec\theta+1}}={\frac{\pm 1}{\csc\theta +\cot \theta}},&, &,(\eta =0)[10pt]\tan \pm{\tfrac{1}{2}}\theta&={\frac{1-\cos \theta}{\pm\sin \theta}}={\frac{\sec \theta)}{\tan \theta\pm}}=\pm(\csc\theta -\cot \theta),&,&(\eta =0)\.\[10pt]\tan{\tfrac{1}{ 2}}{\big(}\theta \pm{\tfrac{1}{2}}\pi{\big)}&, ={\frac{1\pm \sin \theta}{\cos \theta}}=\sec\theta\pm \tan \theta ={\frac{\csc \theta \pm 1}{\cot \theta}},&, &,{\big(}\eta){\tfrac{1}{2}}\pi{\big)}[10pt]\tan{\tfrac{1}{2}}{\big(}\theta \pm{\tfrac{1}{2}}\pi{\big)}&, ={\frac{\cos \theta}{1\mp \sin \theta}}){\frac{1.}{\sec \theta \m P(\theta}}={\frac{\cot \theta}{\csc \theta \mp 1}},&,&{\big(}\eta){\tfrac{1}{2}}\pi{\big)}[10pt]{\frac{1-\tan{\tfrac{1}{2}}\theta}{1+\tan{\tfrac{1}{2}}\theta}}&=\pm{\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}}\\[10pt]\tan{\tfrac{1}{2}}\theta&=\pm{\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}}\\[10pt]\en.d{정렬}}} 이들로부터 사인, 코사인 및 접선을 반앙글의 접선 함수로 표현하는 정체성을 도출할 수 있다.
죄를 짓다 α = 2 햇볕에 그을리다 1 2 α 1 + 햇볕에 그을리다 2 1 2 α cas α = 1 − 햇볕에 그을리다 2 1 2 α 1 + 햇볕에 그을리다 2 1 2 α 햇볕에 그을리다 α = 2 햇볕에 그을리다 1 2 α 1 − 햇볕에 그을리다 2 1 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}} 교정쇄 대수적 교정쇄 이중각 공식 과 피타고라스식 ID 1 황갈색 2 α 1 cos 2 α displaystyle 1+\tan ^{2}\alpha =1\ /}cos ^{2 }\alpha }}}
죄를 짓다 α = 2 죄를 짓다 1 2 α cas 1 2 α = 2 죄를 짓다 1 2 α cas 1 2 α / cas 2 1 2 α 1 + 햇볕에 그을리다 2 1 2 α = 2 햇볕에 그을리다 1 2 α 1 + 햇볕에 그을리다 2 1 2 α , 그리고 {\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \cos {\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha {\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}} cas α = cas 2 1 2 α − 죄를 짓다 2 1 2 α = ( cas 2 1 2 α − 죄를 짓다 2 1 2 α ) / cas 2 1 2 α 1 + 햇볕에 그을리다 2 1 2 α = 1 − 햇볕에 그을리다 2 1 2 α 1 + 햇볕에 그을리다 2 1 2 α , 그리고 {\displaystyle \cos \alpha =\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \right){\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}} } 사인 및 코사인 수율에 대한 공식의 몫 취하기
햇볕에 그을리다 α = 2 햇볕에 그을리다 1 2 α 1 − 햇볕에 그을리다 2 1 2 α . {\displaystyle \tan \cHB ={\frac {2\tan {1}{1}{1}\tfrac {1}{1}\tan ^{1}{1}{1}{2}}\cHB }}}. } Combining the Pythagorean identity with the double-angle formula for the cosine, cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1}
재배열, 제곱근 채취
sin α 1 cos α - cos α \sin sqrt {\frac {1-\cos \pos }2}}: cos α cos 2 cos \cos \cos {\1+\cos2}{}2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 분할하면, 그 결과
햇볕에 그을리다 α = 1 − cas 2 α 1 + cas 2 α = 1 − cas 2 α 1 + cas 2 α 1 + cas 2 α = 1 − cas 2 2 α 1 + cas 2 α = 죄를 짓다 2 α 1 + cas 2 α . {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac { \sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}. } 또는,
햇볕에 그을리다 α = 1 − cas 2 α 1 + cas 2 α = 1 − cas 2 α 1 + cas 2 α 1 − cas 2 α = 1 − cas 2 α 1 − cas 2 2 α = 1 − cas 2 α 죄를 짓다 2 α . {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{ \sin 2\alpha }}. } 절대값 기호는 첫 번째 사분면에서만 작업할 때 삭제될 수 있다.
또한 사인 및 코사인 모두에 대해 각도 덧셈과 뺄셈 공식을 사용하여 다음을 얻는다.
cas ( a + b ) = cas a cas b − 죄를 짓다 a 죄를 짓다 b \displaystyle \cos(a+b)=\cos a-\sin a-\sin b} cas ( a − b ) = cas a cas b + 죄를 짓다 a 죄를 짓다 b \displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b} 죄를 짓다 ( a + b ) = 죄를 짓다 a cas b + cas a 죄를 짓다 b \displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b} 죄를 짓다 ( a − b ) = 죄를 짓다 a cas b − cas a 죄를 짓다 b \displaystyle \sin(a-b)=\sin a-cos b-\cos a-\sin b} 위의 공식 4개를 쌍으로 추가하는 방법:
죄를 짓다 ( a + b ) + 죄를 짓다 ( a − b ) = 죄를 짓다 a cas b + cas a 죄를 짓다 b + 죄를 짓다 a cas b − cas a 죄를 짓다 b = 2 죄를 짓다 a cas b cas ( a + b ) + cas ( a − b ) = cas a cas b − 죄를 짓다 a 죄를 짓다 b + cas a cas b + 죄를 짓다 a 죄를 짓다 b = 2 cas a cas b {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(a-b)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(a-b)\\[5mu]&\quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}} a 2 p q {\displaystyle ={\tfrac{ }{{\ p +q)} b 2 p q ){\displaystystyle ={\tfrac{1}{ p-q)
죄를 짓다 p + 죄를 짓다 q = 죄를 짓다 ( 1 2 ( p + q ) + 1 2 ( p − q ) ) + 죄를 짓다 ( 1 2 ( p + q ) − 1 2 ( p − q ) ) = 2 죄를 짓다 1 2 ( p + q ) cas 1 2 ( p − q ) cas p + cas q = cas ( 1 2 ( p + q ) + 1 2 ( p − q ) ) + cas ( 1 2 ( p + q ) − 1 2 ( p − q ) ) = 2 cas 1 2 ( p + q ) cas 1 2 ( p − q ) {\displaystyle{\begin{정렬}&,\sin p+\sin q\\[5mu]&,\quad =\sin \left({\tfrac{1}{2}}(p+q)+{\tfrac{1}{2}}(p-q)\right)+\sin \left({\tfrac{1}{2}}(p+q)-{\tfrac{1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&,\quad =2\sin{\tfrac{1}{2}}(p+q)\,\cos{\tfrac{1}{2}}(p-q)[15mu]&,\cos p+\cos q\\[5mu]&,\quad =\cos \left({\tfrac{1}{2}}(p+q)+{\tfrac{1}{2}.}(p-q)\right)+\cos) 좌편향\tfrac{1}{2}}(p+q)-{\tfrac{1}{1}{1}{2}}(p-q)\\\[5mu]&\cs=2\cos {\tfrac {1}{1}{2}}(p+q)\cos {\tfrac{1}{1}(p-q)\ed}}}}}}}}} 씨네 합을 코사인 합으로 나눈 값:
죄를 짓다 p + 죄를 짓다 q cas p + cas q = 2 죄를 짓다 1 2 ( p + q ) cas 1 2 ( p − q ) 2 cas 1 2 ( p + q ) cas 1 2 ( p − q ) = 햇볕에 그을리다 1 2 ( p + q ) {\displaystyle {\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}{2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}}=\tan {\tfrac {1}{2}}(p+q)} 기하학적 교정쇄 위에서 도출한 공식을 오른쪽의 마름모꼴에 적용하면 쉽게 알 수 있다.
이 고무줄의 옆면은 길이가 1이다. 수평선과 표시된 대각선 사이의 각도는 1 2 a {\displaystyle {\tfrac {1}{1 }}(a+b)} . 이것은 태닝 2 b 죄 a 죄 b cos . textstyle \tfrac 1}{ 1}{1 dfrac {\sin a+\sin b}}{cos +\cos b}}} sin 2 b {\displaystyle \sin {\tfrac {1}{ 1}(a+b)} cos 1 b {\displaystyle \cos{1}{1 }}(a+b)은 대각선 햇볕에 그을리다 1 2 ( a + b ) = 죄를 짓다 1 2 ( a + b ) cas 1 2 ( a + b ) = 죄를 짓다 a + 죄를 짓다 b cas a + cas b . {\displaystyle \tan {1}{1}{1}{1}(a+b)={\frac {\sin{1}{1}{1}{1}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{1}{2}}(a+b)}={\frac {\sin a+\cos b}}. } 단위 원에서는 t 황갈색 1 2 φ {\displaystyle t=\tan {1}{1 }}\varphi }}}. 삼각형 의 유사성에 의해
t sin φ = 1 1 + cos φ {\displaystyle {\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}} t = sin φ 1 + cos φ = sin φ ( 1 − cos φ ) ( 1 + cos φ ) ( 1 − cos φ ) = 1 − cos φ sin φ . {\displaystyle t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{{(1+\cos \varphi )}(1-\cos \varphi )}}}={\frac {1-\cos \varphi }}}. }
적분 미적분에서의 접선 반각 대체 삼각법 의 다양한 적용에서, 새로운 변수 {\displaystyle t} 합리적 함수 측면에서 삼각함수 (사인 , 코사인 등)를 다시 쓰는 것이 유용하다. 이러한 {\displaystyle t} 전체적 으로 접선 반각 공식으로 알려져 있다. 이러한 정체성은 그들 의 해독제 를 찾기 위해 사인 및 코사인에서의 합리적인 기능을 t
기술적으로 접선 반각형 공식의 존재 는 원이 0속 의 대수 곡선 이라는 사실에서 비롯된다. 그런 다음 원형 함수 를 합리적인 함수로 축소할 수 있어야 한다고 예상한다.
기하학적으로, 구조는 다음 과 같이 진행된다: 단위 원 위의 어느 점(코스 φ, sin φ)에 대해서도, 그것을 통과하는 선과 점(-1 , 0)을 그린다. 이 점은 어느 지점 t t 황갈색(φ tan/2 )인 간단한 기하학을 사용하여 보여줄 수 있다. 그려진 선의 방정식은 y =(1 + x )t 선과 원의 교차점에 대한 방정식은 t 2차 방정식 이 된다. 이 방정식의 두 해법은 (-1, 0) 과 (cos φ , sinφ . 이를 통해 후자를 t
매개변수 t (-1, 0)으로 Y축에(cos φ , sinφ )입체 투영 을 나타낸다. 따라서 접선 반각 공식은 단위 원의 입체 좌표 t 사이
그러면 우리는
죄를 짓다 φ = 2 t 1 + t 2 , cas φ = 1 − t 2 1 + t 2 , 햇볕에 그을리다 φ = 2 t 1 − t 2 요람을 달다 φ = 1 − t 2 2 t , 초 φ = 1 + t 2 1 − t 2 , csc φ = 1 + t 2 2 t , {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2 2}}:{2t},\end{aigned}} 그리고
e i φ = 1 + i t 1 − i t , e − i φ = 1 − i t 1 + i t . {\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}}. } 위의 항목 displaystyle t 자연 로그 측면에서 아크탄젠트 를 위한 다음과 같은 유용한 관계에 도달한다.
2 아크탄의 t = − i ln 1 + i t 1 − i t . {\displaystyle 2\arctan t=-i\ln {\frac {1+it}{1-it}. } 미적분학 에서 위어스트라스 치환법은 죄악 φ 코스 of 이성적 기능의 해독제를 찾는 데 사용된다. 설정 후
t = 햇볕에 그을리다 1 2 φ . {\displaystyle t=\tan {1}{1}{2}}\varphi .} 라는 뜻을 내포하고 있다.
φ = 2 아크탄의 ( t ) + 2 π n , {\displaystyle \varphi =2\arctan(t)+2\pi n,} 일부 정수 n
d φ = 2 d t 1 + t 2 . {\displaystyle d\barphi ={{2\,dt}{1+t^{2}}. } 쌍곡자 정체성 쌍곡선 기능 으로는 완전히 유사한 게임을 할 수 있다. 하이퍼볼라 의 오른쪽 가지에 있는 점은 (코시 θ , θ . 중심(-1, 0) 에서 y축에
t = 태닝을 하다 1 2 θ = 징징거리다 θ 코쉬 θ + 1 = 코쉬 θ − 1 징징거리다 θ {\displaystyle t=\tfrac {1}{1}{1}:{2}}:\frac {\sinh \sinh }{\cosh \cosh \theta +1}={\frac }{\cosh \theta -1}{\sinheta }}}}}}} 신분과 함께
징징거리다 θ = 2 t 1 − t 2 , 코쉬 θ = 1 + t 2 1 − t 2 , 태닝을 하다 θ = 2 t 1 + t 2 , 나무늘보 θ = 1 + t 2 2 t , 바느질하다 θ = 1 − t 2 1 + t 2 , csch θ = 1 − t 2 2 t , {\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \theta ={\frac {1+t^{2 2}}:{{2t},\\[8pt]&\componentname {sech} \,\tech}{1-t^{2}}:{1+t^{2}},&\cschname {csch} \,\ta ={1-t^{2t},\ed}}}}}}} 그리고
e θ = 1 + t 1 − t , e − θ = 1 − t 1 + t . {\displaystyle e^{\ta }={\frac {1+t}{1-t}},\qquad e^{-\ta }={\frac {1-t}{1+t}}}}. } t θ
2 아르탄 t = ln 1 + t 1 − t . {\displaystyle 2\buffername {artanh} t=\ln {\frac {1+t}{1-t}. } ("ar-")는 호 길이에 관한 것이고 "ar"는 "면적"을 줄여주기 때문에 "ar-"가 아니라 "ar-"가 사용된다. 원의 호를 따라 측정한 두 개의 광선 사이의 호 길이가 아니라 두 개의 광선과 하이퍼볼라 사이의 영역이다.)
구더만 함수 쌍곡선 정체성과 원형 정체성을 비교해보면, 한 사람은 그것들이 단지 순열된 t 만약 우리가 두 경우에서 매개변수 즉, 만약
t = 햇볕에 그을리다 1 2 φ = 태닝을 하다 1 2 θ {\displaystyle t=\tan {1}{1}{2}}\varphi =\tanh {1}{1}{1}}\tfracta } , 그러면.
φ = 2 햇볕에 그을리다 − 1 태닝을 하다 1 2 θ ≡ gd θ . {\displaystyle \varphi =2\tan ^{-1}\tanh {\tfrac {1}{1}}}\theta \equiv \equiv \gd}\teta .} 여기서 gd(gd ) 는 구더만 함수 다. 구데르만 함수는 복잡한 숫자를 수반하지 않는 원형 함수와 쌍곡선 함수 사이에 직접적인 관계를 제공한다. 접선 반각 공식(단위 원과 표준 하이퍼볼라를 y축에
피타고라스 삼배 옆면이 피타고라스 세 쌍인 직각 삼각형 의 급각의 반쪽 탄젠트는 그 간격(0, 1)에서 반드시 합리적인 숫자 가 될 것이다. 반대로 반각 탄젠트가 간격(0, 1)에 합리적인 숫자일 때, 완전한 각도를 가지며 측면 길이가 피타고라스 3중인 직각 삼각형이 있다.
참고 항목 외부 링크 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1}{2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan \pm {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan \pm {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }}=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]{\frac {1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[10pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5797290b7c9e6971871ff72a7265df93482352)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f899c4e77dce03f2aef730fab0a3bf17cf5fd6a)
사용하면 알 수 있다. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(a-b)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(a-b)\\[5mu]&\quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96547c167b37c9daed3cd0c99ec6574f91420075)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin p+\sin q\\[5mu]&\quad =\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\\[15mu]&\cos p+\cos q\\[5mu]&\quad =\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a074e9eeed47f234615d29f565feef1f7cdf77f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3146d534fd7e56bc5bb613e5e1ec8b6262ab05)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cd422d7583ffc227847a2806237d74bdbb50d6)
