이등변 4각형

유클리드 기하학에서, 2차 4각형은 근친과 원주 둘 다를 가진 볼록한 4각형이다. 이들 원의 반지름과 중심은 각각 인라디우스와 할라디우스, 그리고 장려자와 할례자라고 불린다. 이 정의에서 이차 4차 측정은 접선 4차 측정과 주기 4차 측정의 모든 속성을 가지고 있다. 이 사변측정감시들의 다른 명칭은 화음접합 사변형이며^[1] 사변형 사변형이다. 그것은 또한 거의 이중 원형 사각형과^[2] 이중 사각형이라고 불리지 않았다.^[3]

만약 두 개의 원이 다른 원 안에 하나 있다면, 2등방 4각형의 동선과 원곡선이라면, 원곡선의 모든 점은 동일한 동선과 원을 가진 2등방 4각형의 정점이다.^[4] 이는 프랑스의 수학자 장 빅토르 폰셀레(1788–1867)가 증명했던 폰셀레 다공주의 산물이다.

특례

2차원 사분면측정감시법의 예로는 사각형, 오른쪽 연, 이소셀 접선성 사다리꼴 등이 있다.

특성화

측면 a, b, c, d가 있는 볼록한 사각형 ABCD는, 만약 반대쪽이 접선적 4차측정에 대한 피토의 정리와 반대쪽 각도가 보충적인 주기적 4차측 특성을 만족한다면, 즉, 2차측면이다.

${\displaystyle {\begin}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{case}}$

다른 세 가지 특성화는 접선 사각형의 근골이 측면에 접하는 점에 관한 것이다. 근골이 각각 W, X, Y, Z에서 AB, BC, CD, DA 옆면에 접하는 경우, 접선 사각형 ABCD도 다음 세 가지 조건 중 하나가 유지되는 경우에만 순환한다.^[5]

• WY는 XZ에 수직이다.
• ${\displaystyle {\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

이 세 가지 중 첫 번째는 접점 사각형 WXYZ가 교정치각형 사각형임을 의미한다.

E, F, G, H가 각각 WX, XY, YZ,^[5] ZW의 중간점이라면, 접선 사각형 EFGH가 직사각형인 경우에만 ABCD도 주기적이다.

또 다른 특징에 따르면, 만약 내가 J와 K에서 반대편의 확장이 교차하는 접선 사각형의 유도자라면, 직이 직각인 경우에만 4각 역시 순환한다.^[5]

그러나 또 다른 필요하고도 충분한 조건은 접선 사각형 ABCD의 뉴턴 선이 접촉 사방형 WXYZ의 뉴턴 선에 수직인 경우에만 순환하는 것이다. (4방형의 뉴턴 선은 대각선의 중간점에 의해 정의된 선이다.)^[5]

건설

2등분 사각형을 구성하는 간단한 방법이 있다.

그것은 반경 r로 중심 I 주변의_r 근친 C로 시작해서 근친 C에서_r WY와 XZ를 서로 수직으로 그린다. 화음의 끝점에서 접선 a, b, c, d를 근방으로 끌어당긴다. 이것들은 이등변 4개의 정점인 A, B, C, D에서 교차한다.^[6] 원주를 그리려면 2등분 사각형 a의 측면에 각각 2개의 수직 이등분자 p와₁ p를₂ 그린다. 수직 이등분자 p와₁ p는₂ 원곡선_R C의 중심 O에서 교차하며 원곡선 C의_r 중심 I까지의 거리는 x이다. 원주는 중심 O를 중심으로 그릴 수 있다.

이 구조의 유효성은 접선 사각형 ABCD에서 접점 사각형 WXYZ가 만약 접선 사각형 또한 주기적인 경우에만 수직 대각선을 갖는 특성화에 기인한다.

면적

4개 수량의 공식

2차 사각형의 면적 K는 4차원의 양으로 여러 가지 다른 방법으로 표현할 수 있다. 만약 면이 a, b, c, d라면, 그 면적은 다음에 의해^{[7][8][9][10][11]} 주어진다.

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

이것은 브라마굽타의 공식의 특별한 경우다. 그것은 또한 접선 사각형의 면적에 대한 삼각 공식에서 직접 파생될 수 있다. 역행은 유지되지 않는다는 점에 유의하십시오. 이등변수가 아닌 일부 사분변측정감시계에도 $영역{\displaystyle {\displaystyle }}$ K${\displaystyle {\displaystyle }}$= ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{b}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{c}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{d}}}$. ${\$이^[12](가) 있다.

넓이는 또한^{[8]: p.128} 접선 길이 e, f, g, h로 표현될 수 있다.

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efg}}}(e+f+g+h).}$

인센티브 I가 있는^[9] 2중방 사각형 ABCD 영역의 공식

$(\displaystyle K=)AI\cdot CI+BI\cdot DI.}$

2등방정맥이 k, l, 대각선 p, q의 접선 화음을 갖는 경우, 면적이^{[8]: p.129} 있다.

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}.}$

k, l가 접선 현, m, n이 사각형의 바이메디언이라면, 그 면적을^[9] 공식으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle K=\왼쪽 {\frac {m^{2}-n^{2}}:{k^{2}-l^{2}}:\오른쪽 cl}$

이 공식은 사면이 우측 연이면 사용할 수 없는데, 그 경우 분모가 0이기 때문이다.

만약 M과 N이 대각선의 중간점이고 E와 F가 반대편의 확장의 교차점이라면, 2등방 4각형의 면적은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle K={\frac {2}MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}$

내가 근친상간 중심인 ^[9]곳

세 가지 수량에 대한 공식

이등변 사각형의 넓이는 대각선 사이의 각도와 대각선 사이의 각도로 표현될 수 있다^[9].

${\displaystyle K=ac\tan {\fracta }{2}}=bd\cot {\fracta }{2}.}$

두 개의 인접한 각도와 근방의 반지름 r의 관점에서, 면적은 다음과 같이^[9] 주어진다.

${\displaystyle K=2r^{2}\왼쪽({\frac {1}{\sin{A}}+{\frac {1}{\sin{B}}\오른쪽).}$

영역은 다음과 같이 회음부 R과 인라디우스 r의 관점에서 주어진다.

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\sin \theta }$

여기서 θ은 대각선 사이의 각도 중 하나이다.^[13]

M과 N이 대각선의 중간점이고, E와 F가 반대쪽 확장의 교차점이라면, 면적도 다음과 같이 표현할 수 있다.

$(\displaystyle K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}$

여기서 Q는 근방의 중심을 통과하는 선 EF에 수직인 발이다.^[9]

불평등

R과 R이 각각 인라디우스와 회음부라면 K 영역은 불평등을^[14] 만족시킨다.

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}}$

사면이 정사각형일 때만 양쪽에는 평등이 있다.

그 지역의 또 다른 불평등은 다음과 같다^{[15]: p.39, #1203} .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}r{\sqrt{4R^{2}+r^{2}}}}}$

여기서 R과 R은 각각 인라디우스와 회음부다.

비슷한^[13] 불평등이 이전보다 그 지역에 더 날카로운 상한을 준다.

${\displaystyle K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}$

4각형이 올바른 연일 경우에만 평등하게 유지될 수 있다.

또한 측면 a, b, c, d 및 반퍼미터 s:

${\displaystyle 2{\sqrt{K}}\leq s\leq r+{\sqrt{r^{2}+4R^{2}};}$^{[15]: 페이지 39, #1203}

${\displaystyle 6K\leq ab+ac+ad+bd+cd\leq\leq{2}+4R^{2}+4r^{2}+4r}{2}\sqrt{r^{2}+4R^{2}};};}$^{[15]: 페이지 39, #1203}

${\displaystyle 4Kr^{2}\leq abcd\leq {9}{9}{9}r^{2}(r^{2}+4R^{2})).}$^{[15]: 페이지 39, #1203}

각도 공식

a, b, c, d가 2차 4각형 ABCD에서 각각 면 AB, BC, CD, DA의 길이인 경우, 그것의 정점 각도는 탄젠트 함수를 사용하여 계산할 수 있다.^[9]

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.}$

사인 및 코사인 함수의 경우 동일한 공식을 사용하여 다음 공식을 유지하십시오.^[16]

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \cos{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\cd}{ab+cd}}=\cos {\frac {D}{2}},}$

${\displaystyle \cos{\frac {B}{2}}={\sqrt {\bab}{ab+cd}}=\sin {\frac {D}{2}}.}$

대각선 사이의 각도 θ은 다음에서^[10] 계산할 수 있다.

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}}.}$

인라디우스와 콘라디우스

2차 4각형의 인라디우스 r은 다음에^[7] 따라 옆면 a, b, c, d에 의해 결정된다.

${\displaystyle \d}{\frac {\sqrt}{a+c}={\frac {\sqrt}{b+d}}}.}$

할레라디우스 R은 파라메쉬바라 공식의 특별한 사례로 주어진다. 그렇다^[7]

${\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{4}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.}$

인라디우스는 또한 다음과^{[17]: p. 41} 같이 연속적인 접선 길이 e, f, g, h로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {eg}={\sqrt {fh}.}$

이 두 공식은 사실 인라디우스 r을 가진 접선 사각형이 주기적인 것이 되려면 필요하며 충분한 조건이다.

2차방정식의 4면 a, b, c, d는 4차방정식의 4개 해법이다.

${\displaystyle y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2})+2r{2}+2r{4R^{2}+r^{2}}}y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{4R^{2}+r^{2}}}){2}y^{2}}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0}$

여기서 s는 반퍼미터, r과 R은 각각 인라디우스와 콘트라디우스다.^{[18]: p. 754}

만약 탄젠트 길이가 e, f, g, h인 인라디우스 r의 2등변형 사각형이 있다면, 탄젠트 길이가^v e^v, f^v, g^v, h인^v 2등변형 사각형이 존재하며, 여기서 v는 실제 숫자일 수 있다.^{[19]: pp.9–10}

이등분 4각형은 동일한 길이의 접선 4각형보다 더 큰 인반경을 가지고 있다.^{[20]: pp.392–393}

불평등

회음부 R과 인라디우스 r은 불평등을 만족시킨다.

${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$

그것은 L에 의해 증명되었다. 1948년 Fejes Toth.^[19] 그것은 두 원들이 동심일 때에만 평등하게 유지되고, 그 다음 사각형이 된다. 불평등은 위 지역에 대한 이중 불평등을 이용하여 여러 가지 다른 방법으로 증명될 수 있다.

이전 불평등의 확장은 다음과^{[2][21]: p. 141} 같다.

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1}$

4각형이 정사각형일 경우에만 양쪽에 평등이 있다.^{[16]: p. 81}

2차 4각형의 반퍼미터 s는 만족한다^{[19]: p.13} .

${\displaystyle {\sqrt {8r\왼쪽({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}-r\r\오른쪽)}\leq s\leq {\sqrt{4R^{2}+r^{2}}}}}}}}\leq s\leq s\leqrt {\reqrqrqrt {4R^{2}}}}+r}$

여기서 R과 R은 각각 인라디우스와 할레라디우스다.

게다가^{[15]: p.39, #1203}

${\displaystyle 2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt{2}+4R^{2}}}}^{2}})^{2}}:$

그리고

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt{K}}(K+2R^{2}).}$ ^{[15]: p.62, #1599}

인센티브와 할로우센터 간 거리

호들갑 정리

Coulder'의 정리는 모든 2차 4각형에 대해 inradius r, couldradius R, 그리고 장려자 I와 couldorcenter O 사이의 거리 x 사이의 관계를 제공한다. 관계는^[1][11][22]

${\displaystyle {\frac {1}{{(R-x)^{2}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac{1}{r^{2}},}$

또는 동등하게

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}$

1792년 니콜라우스 호세 (1755–1826)에 의해 파생되었다. x 수익률에 대한 해결

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}}.}$

이차 4차측정에 대한 오일러의 삼각형 정리의 아날로그인 호들스의 정리에는 사차측면이 이차측면일 경우, 위의 방정식에 따라 그 두 개의 관련 원이 연관되어 있다고 되어 있다. 사실 그 반대의 경우도 있다: Radii R과 r 그리고 거리 x가 있는 두 개의 원(다른 원 안에 하나)을 루저스의 정리에 있는 조건을 만족시키는 중심 사이에 주어지면, 그 중 하나에 새겨진^[23] 볼록한 4각형이 존재한다(그리고 폰셀렛의 폐쇄 정리에 의해, 그 중 무한히 많은 원들이 존재한다.

r과 R의 관점에서 x에 대한 호들스의 정리 표현에$$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{2}\geq 0}$을 적용하는 것도 위에서 언급한 불평등 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle r}$. ${\displaystyle R\geq{\sqrt{2}}r}$일반화는$$ 또 다른^{[19]: p.5} 방법이다.

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

칼리츠의 정체성

근친 중심과 원곡선 사이의 거리 x에 대한 또 다른 공식은 미국의 수학자 레오나드 칼리츠(1907–1999) 때문이다. 라고^[24] 되어 있다.

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

여기서 R과 R은 각각 인라디우스와 회음부이며,

${\displaystyle \mu ={\sqrt {(ab+cd)(ad+bc)}{{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$

여기서 a, b, c, d는 2등방 사각형의 면이다.

접선 길이와 옆면의 불평등

접선 길이의 경우 e, f, g, h는 다음과 같은 불평등이 유지된다.^{[19]: p.3}

${\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\r^{2}+x^{2}}}{R^{2}-x^{2}}:$

그리고

${\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+f^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

여기서 r은 inradius이고, R은 calreadius이며, x는 장려자와 calrecenter 사이의 거리이다. 양쪽은^{[19]: p.5} 불평등을 만족시킨다.

${\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}}{R^{2}-x^{2}}:$

그리고

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+d^{2}}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}$

인센티브 제공자의 기타 속성

이등변 사각형의 대각선, 유도자, 그리고 대각선의 교차점은 일직선이다.^[25]

인센티브 I과 2차 사각형 ABCD의 정점 사이의 네 가지 거리에는 다음과 같은 동일성이 있다.^[26]

${\displaystyle {\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\frac {1}{DI^{2}}:}={\frac {1}{r^{2}}$

여기서 r은 인라디우스다.

P가 2차 정사각형 ABCD의 대각선 교차점이고 인센티브제 I이 있다면^[27],

${\displaystyle {\frac {AP}{CP}={\frac {AI^{2}}:}{{\fracCI^{2}}.}$

2차 4각형 ABCD에서 inradius r과 curradius R에 관한 불평등은 다음과^[28] 같다.

${\displaystyle 4r^{2}\leq AI\cdot CI+BI\cdot DI\leq 2R^{2}}$

내가 인센티브를 주는 곳이지

대각선의 특성

대각선의 길이는 2차 4각형 또는 접선 길이로 표현할 수 있으며, 이는 각각 주기 4각형과 접선 4각형으로 유지되는 공식이다.

대각선 p와 q가 있는 이등변 4각형에서는 다음과 같은 정체성이 유지된다.^[11]

${\displaystyle \frac {pq}{4r^{2}}-{\frac {4R^{2}}:{pq}=1}$

여기서 R과 R은 각각 인라디우스와 회음부다. 이 평등은 다음과^[13] 같이 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle r={\frac {pq}{2}{\\sqrt{pq+4R^{2}}:}}}}}$

또는 대각선 생성에 대한 2차 방정식으로 문제를 푸는 것,

${\displaystyle pq=2r\left(r+{\sqrt{4R^{2}+r^{2)}}}\오른쪽).}$

대각선 p, q의 생산에 대한 2차 4각형의 불평등은^[14]

${\displaystyle \displaystyle 8pq\leq(a+b+c+d)^{2}}$

여기서 a, b, c, d는 옆면이다. 이것은 1967년 Murray S. Klamkin에 의해 증명되었다.

네 명의 인센티브가 동그라미 위에 놓여 있다.

ABCD를 2중 4각형이 되게 하고 O를 그 원곡선의 중심에 두어라. 그리고 나서 4개의 삼각형 OAB, OBC, OCD, ODA의 인센티브는 원 위에 놓여 있다.^[29]

참고 항목

위키미디어 커먼즈에는 바이센트릭 사방체와 관련된 미디어가 있다.

• 2차 다각형
• 탕전위 4각형

참조