등각 다각형

등각 다각형 예제
직접	간접적	스큐
직사각형, <4>는 볼록한 직사각형 다각형으로, 내부 각 4개의 90°를 포함하고 있다.	오목한 간접 등각형 다각형, <6-2>는 이 육각형처럼 시계 반대방향으로, 이 테트로미노처럼 좌회전 5회, 우회전 1회를 가진다.	스큐 폴리곤은 입방체에서 빨간색과 파란색 가장자리가 번갈아 나타나는 이 스큐 팔각형처럼 평면에서 동일한 각도를 가진다.
직접	간접적	카운터-변형
다중 회전 등각 다각형은 이 팔각형 <8/2>처럼 직각일 수 있는데, 8 90° 회전하여 총 720°이다.	오목한 간접 등각형 다각형, <5-2>, 반시계방향으로 좌회전 4회, 우회전 1회. (- 1.2.4.3.2)_60°	좌회전 3회, 우회전 3회, 합계 0°의 간접 등각 육각형 육각 <6-6>_90°이다.

유클리드 기하학에서 등각형 다각형은 정점 각도가 같은 다각형이다. 옆면의 길이도 같다면(즉, 등각형이라면) 일반 다각형이다. 등각 폴리곤은 두 개의 가장자리 길이를 번갈아 갖는 등각형 폴리곤이다.

명확성을 위해 평면 등각형 다각형은 직접 또는 간접이라고 할 수 있다. 직사각형 다각형은 평면에서 동일한 방향으로 회전하는 모든 각도를 가지며 다중 회전을 포함할 수 있다. 볼록한 등각형 다각형은 항상 직접적이다. 간접 등각형 다각형은 어떤 조합에서든 오른쪽 또는 왼쪽으로 회전하는 각도를 포함할 수 있다. 등각형 다각형은 등각형일 수 있지만 평면형이 아니기 때문에 직접이라고 볼 수 없다.

spirolateral n은_θ 시작에 복귀할 때까지 정수 가장자리 길이가 반복되는 일련의 n의 등각형 다각형의 특별한 경우로, 정점 내부 각도가 θ이다.

건설

이 볼록한 직사각형 육각형인 <6>는 60°의 각도를 가진 6개의 선으로 경계를 이룬다. 각 선은 그 방향에 수직으로 이동할 수 있다.	이 오목한 간접 등각 육각형 육각형인 <6-2>도 각각 90° 각도를 가진 6개의 선으로 경계를 이루며, 각 선은 독립적으로 움직이며, 정점을 새로운 교차점으로 이동시킨다.

등각형 다각형은 가장자리가 무한선으로 확장되는 일반 다각형 또는 일반 별 다각형으로 구성할 수 있다. 각 가장자리는 선의 방향에 수직으로 독립적으로 이동할 수 있다. 꼭지점은 인접한 선 쌍 사이의 교차점을 나타낸다. 이동한 각 선은 가장자리 길이와 두 가장자리 길이를 조정한다.^[1] 가장자리가 0 길이로 줄어들면 폴리곤이 퇴화되거나 음 길이로 줄어들면 내각과 외각이 역전된다.

내부 각도가 θ°인 편평한 측면 직각 다각형의 경우, 이동 대체 에지는 모든 정점을 180 θ°의 보조 각도로 반전시킬 수 있다. 홀수 면 직사각형 다각형은 부분적으로만 반전될 수 있으며, 보조 각도가 혼합되어 있다.

모든 등각형 다각형은 이 구조에 의해 비율로 조정될 수 있으며, 여전히 등각형 상태를 유지할 수 있다.

등각 다각형 정리

볼록 등각 p-곤의 경우, 각 내부 각도는 180(2/p)°이다. 이것이 등각형 다각형 정리다.

직사각형 모양의 p/q 별 폴리곤, 밀도 q의 경우, 각 내부 각도는 180(-1-2q/p)°이고, 1<2q<p. w=gcd(p,q)>1의 경우, 이것은 w-wound (p/w)/(q/w)별 다각형을 나타내며, 일반 케이스에 대해 퇴보한다.

오목한 간접 등각형(p_r+p_l)-곤은 우측_r 방향 정점과 좌측_l 방향 정점이 있으며, 순서에 관계없이 내부 각도가 180(-1-2/p_r_l)°이다. p_r 우회전 정점과 p_l 좌회전 정점과 q 총 회전을 갖는 간접 항성 등각형(p_r+p_l)-곤은 순서에 관계없이 180(-2q/p-p_r_l )°의 내부 각도를 갖는다. 좌우 턴 수가 같은 등각형 다각형은 총 턴이 0이며, 각도에 제약이 없다.

표기법

모든 직각 p-곤에는 p 정점을 포함하는 일반 폴리곤 {p} 및 일반 별 폴리곤 {p/q}과 같은 표기법 <p> 또는 <p/q>가 주어질 수 있다.

볼록 등각 p-곤 <p>는 내부 각도가 180(1-2/p)°이고, 직각 항성 등각 폴리곤은 내부 각도가 180(1-2q/p)°이다.

오목한 간접 등각 p-곤은 c 역회전 정점과 함께 표기법 <p-2c>를 부여할 수 있다. 예를 들어, <6-2>는 차이의 내부 각도가 90°인 육각, <4>, 1개의 카운터 변환 정점이다. 다항 간접 등변형 p-곤은 c 카운터 턴 정점과 q 총 턴을 갖는 표기법 </>^p-2c_q를 부여할 수 있다. 등각형 다각형 <p-p>는 내부 각도가 정의되지 않은 p-곤이지만, 명시적으로 <p-p>_θ로 표현할 수 있다.

기타 속성

Viviani의 정리는 등각형 다각형에 대한 것이다.^[2]

내부 지점에서 등각 다각형의 측면까지의 거리의 합은 점의 위치에 따라 달라지지 않으며, 그 다각형의 불변성이다.

주기적인 다각형은 만약 다른 면이 같다면 등각형이고 (즉, 면 1, 3, 5, ...가 같고 면 2, 4, ...가 같을 경우에만 등각형이다. 따라서 n이 홀수인 경우에는 주기적인 다각형이 정규적인 경우에만 등각형이다.^[3]

prime p의 경우, 모든 정수측 등각 p-곤은 규칙적이다. 더욱이 모든 정수측 등각형 p-곤은^k p-폴드 회전 대칭을 가진다.^[4]

An ordered set of side lengths $(a_{1},\dots ,a_{n})$ gives rise to an equiangular n-gon if and only if either of two equivalent conditions holds for the polynomial ${\displaystyle a_{1}+a_{2$ $}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-2}+a_{n}x^{n-1}:}$ it equals zero at the complex value $e^{2\pi i/n};$ it is divisible by ${\displaystyle x^{2}-2x\cos(2\pi /n)+1.$ $}$ ^[5]

측면으로 직각형 다각형

직등각형 다각형은 정규, 등각형 또는 하부 대칭일 수 있다. <p/q>의 예시는 p별로, 밀도 q별로 세분화되어 있다.

등각 삼각형

등각 삼각형은 볼록하고 내부 각도가 60°여야 한다. 정삼각형이며 정삼각형인 <3>={3}이다. 자유의 유일한 정도는 가장자리 길이다.

정규₆, {3}, r

등각형 사방측정감시

2×3 정사각형 배열로^[6] 절개된 직사각형

직사각형 4각형 측정기들은 내부 각도가 90°이다. 유일한 등각형 사변측정감시로는 직사각형, <4>, 정사각형, {4}이(가) 있다.

정수의 측면 길이가 있는 등각형 사각형은 단위 정사각형으로 타일링할 수 있다.^[6]

정규₈, {4}, r
측방향₄ 2_90°, p

등각 펜타곤

직각 펜타곤, <5>와 <5/2>는 각각 108°와 36°의 내부 각도를 가지고 있다.

등각 오각형 오각형에서 108° 내부 각도, <5

등각형 펜타곤은 규칙적일 수도 있고, 양쪽 대칭이 있을 수도 있고, 대칭이 없을 수도 있다.

정규₁₀, r
양자₂ 대칭, i
대칭 없음, a₁

등각 펜타그램에서 36° 내부 각도, <5/2>

정규₁₀ 펜타그램, r
불규칙₂, d

등각형 육각형

가장자리 길이 비율이 1:2인 정삼각형이고 정삼각형이 있는 정삼각형입니다.^[6] 여긴 측두엽 2번이야_120°

직각 육각형 육각형인 <6>와 <6/2>는 각각 120°와 60°의 내부 각도를 가진다.

등각 육각형 육각의 120° 내부 각도, <6>

정수의 측면 길이가 있는 등각형 육각형은 단위 등각 삼각형으로 타일링할 수 있다.^[6]

정규₁₂, {6}, r
측방향₆(1,2),_120° p
측방향₂(1…3),_120° g
측방향(1,2,2),_120° i₄
측방향₂(1,2,2,2,1,3)_120°

등각형 이중 삼각형의 60° 내부 각도, <6/2>

정규₆, 퇴보, r
측방향₆(1.3), _60°p
측방향₆(1,2),_60° p
측방향₆(2,_60°3)
측방향₂(1,2,3,4,3,2),_60° p

등각 헵타곤

직각 헵타곤, <7>, <7/2>, <7/3>은 각각 128 4/7°, 77 1/7°, 25 5/7°의 내부 각도를 가진다.

등각 헵타곤의 128.57° 내부 각도, <7>

정규₁₄, {7}, r
불규칙₂, i

77.14° 등각 헵타그램의 내부 각도, <7/2>

정규₁₄, r
불규칙₂, i

등각 헵타그램의 25.71° 내부 각도, <7/3>

정규₁₄, r
불규칙₂, i

등각형 옥타곤

직각형 옥타곤, <8>, <8/2>, <8/3>은 각각 내부 각도가 135도, 90도, 45도이다.

등각 8각형에서 135° 내부 각도, <8>

정규₁₆, r
측방향₈(1,2),_135° p
측방향(1…4),_135° g₂
균일하지 않은 잘림 사각형, p₂

등각형 이중 사각형에서 90° 내부 각도, <8/2>

규칙적으로₈ 퇴화, r
측방향₂(1,2,2,3,3,2,2,1,), _90°d
측방향₂(2,1,3,2,2,3,1,2,2) _90°d

등각형 옥타그램에서 45° 내부 각도, <8/3>

정규₁₆, r
등각₈, p
등각₈, p
측방향₈(Spirolateral), (1,2),_45° p
등각₈, p
측방향(1…4),_45° g₂

등각형 엔네아곤

직등각형 enneagons, <9>, <9/2>, <9/3>, <9/4>는 각각 140°, 100°, 60°, 20°의 내부 각도를 가진다.

등각형 에네아곤 <9>에서 140° 내부 각도

정규₁₈, r
측방향₆(_140°1,1,3)

등각형 에네그램에서 100° 내부 각도, <9/2>

정규₉ {9/2}, p
측방향(1,1,5),_100° i₆
측방향_100°₃ 3, g

등각 3각 삼각형에서 60° 내부 각도, <9/3>

정규₆, 퇴보, r
불규칙₁, a
불규칙₁, a
불규칙₁, a

등각형 에네그램에서 20° 내부 각도, <9/4>

정규₁₈ {9/4}, r
측방향_20°₃ 3, g
불규칙₂, i

등각형 데카곤

직각형 디카곤, <10>, <10/2>, <10/3>, <10/4>는 각각 144°, 108°, 72°, 36°의 내부 각도를 가진다.

등각형 데카곤 <10>에서 144° 내부 각도

정규₂₀, r
측방향₁₀(1,2),_144° p
측방향₂(1…5) _144°g

등각형 이중 사각 펜타곤 <10/2>에서 108° 내부 각도

규칙적이고 퇴보적인
측방향₁₀(1,2),_108° p
불규칙₂, p

등각 디카그램 <10/3>에서 72° 내부 각도

정규₂₀ {10/3}, r
등각₁₀, p
측방향₁₀(1,2),_72° p
불규칙₄, i
측방향₂(1…5) _72°g

등각형 이중 사각 펜타그램 <10/4>에서 36° 내부 각도

정규₁₀, 퇴보, r
측방향₁₀(1,2),_36° p
등각₁₀, p
등각₁₀, p
불규칙₂, p
불규칙₂, p
불규칙₂, p

등각형 헨데카곤스

직각 헨데카곤, <11>, <11/2>, <11/3>, <11/4>, <11/5>는 각각 3/117°, 114 6/11°, 81 9/11°, 49 1/11°, 16 4/11°의 내부 각도를 가지고 있다.

등각형 hendecagon에서 147° 내부 각도, <11>

정규₂₂, {11}, r

등각형 헨데카그램에서 114° 내부 각도, <11/2>

정규₂₂ {11/2}, r

등각형 헨데카그램에서 81° 내부 각도, <11/3>

정규₂₂ {11/3}, r

등각형 헨데카그램에서 49° 내부 각도, <11/4>

정규₂₂ {11/4}, r

등각형 헨데카그램에서 16° 내부 각도, <11/5>

정규₂₂ {11/5}, r

등각형 도데카곤

직각 도데카곤, <12>, <12/2>, <12/3>, <12/4>, <12/5>는 각각 150°, 120°, 90°, 60°, 30°의 내부 각도를 가지고 있다.

등각 도데카곤으로부터 150° 내부 각도, <12>

가장자리 길이가 정수인 볼록 용액은 패턴 블록, 정사각형, 정삼각형 및 30°옴비로 타일링할 수 있다.^[6]

정규₂₄, {12}, r
등각₁₂, p
측방향₁₂(1,2),_150° p
측방향₄(1…3),_150° g
측방향(1…4),_150° g₃
측방향₂(1…6) _150°g

등각형 2중 6각형에서 120° 내부 각도, <12/2>

규칙적으로₁₂ 퇴화, r
측방향₃, (1…4),_120° g
불규칙₂, d
불규칙₂, d

등각 3각 정사각형으로부터 90° 내부 각도, <12/3>

정규₈, 퇴보, r
측방향₂(1…3),_90° g
측방향₄(2…4) _90°g
측방향₈(_90°1,1,3)
측방향(1,2,2),_90° i₈
측방향₂(1…6) _90°g
불규칙₁, a

등각 4중 삼각형에서 60° 내부 각도, <12/4>

정규₆, 퇴보, r
측방향₆(1,3,5,1)_60°
측방향(1…4),_60° g₃
불규칙₁, a

등각 도데카그램에서 30° 내부 각도, <12/5>

정규₂₄ {12/5}, r
등각₁₂, p
측방향₁₂(1,2),_30° p
측방향₄(1…3),_30° g
측방향(1…4),_30° g₃
측방향₂(1…6) _30°g

등각 테트라데카곤스

직사각형 테트라데카곤, <14>, <14/2>, <14/3>, <14/4>, <14/6>, <14/5>는 각각 154 2/7°, 128 4/7°, 102 6/7°, 77 1/7°, 51/7°, 25/7°의 내부 각도를 가진다.

154.28° 등각 테트라데카곤으로부터 내부 각도, <14>

정규₂₈ {14}, r
등각₁₄, t{7}, p

등각형 이중 헵타곤으로부터 128.57° 내부 각도, <14/2>

규칙적으로₁₄ 퇴화, r
등각₁₄, t{7/2}, p
스피롤론트_128.57° 2

102.85° 등각형 테트라데카그램에서 내부 각도 <14/3>

정규₂₈ {14/3}, r
등각₁₄ t{7/3}, p

77.14° 등각형 이중 헵타그램 <14/4>에서 내부 각도

규칙적으로₁₄ 퇴화, r
등각₁₄, p
등각₁₄, p
스피롤론트_77.14° 2

등각형 테트라데카그램에서 51.43° 내부 각도, <14/5>

정규₂₈ {14/5}, r
등각₁₄, p
등각₁₄, p

등각형 이중 헵타그램에서 25.71° 내부 각도, <14/6>

규칙적으로₁₄ 퇴화, r
등각₁₄, p
등각₁₄, p
등각₁₄, p
불규칙₂, d

등각 펜타데카곤

직각 펜타데카곤, <15>, <15/2>, <15/3>, <15/4>, <15/5>, <15/6>, <15/7>은 각각 156°, 132°, 108°, 84°, 60°, 12°의 내부 각도를 가지고 있다.

등각형 펜타데카곤으로부터 156° 내부 각도, <15>

정규₃₀, {15}, r

등각 펜타드카그램에서 132° 내부 각도, <15/2>

정규₃₀, {15/2}, r

등각삼각형 오각형에서 108° 내부 각도, <15/3>

정규₁₀, 퇴보, r
spirolateral₅(1…3),_108° g

등각형 펜타데카그램에서 84° 내부 각도, <15/4>

정규₃₀, {15/4}, r

등각 5각 삼각형에서 60° 내부 각도, <15/5>

정규₆, 퇴보, r
불규칙₁, a

등각 3각 펜타그램에서 36° 내부 각도, <15/6>

정규₁₀, 퇴보, r
불규칙₁, a
측방향(1…4),_36° g₅

등각 펜타드카그램에서 12° 내부 각도, <15/7>

정규₃₀, {15/7}, r

등각형 육각형

직사각형 육각형 육각각형, <16/2>, <16/3>, <16/4>, <16/5>, <16/6>, <16/7>은 각각 157.5도, 135도, 112.5도, 90도, 67.5도 45도, 22.5도 내부 각도를 가진다.

157.5° 등각 육각형 육각형으로부터 내부 각도, <16>

정규₃₂, {16}, r
등각₁₆, t{8}, p
측방향(1…4),_157.5° g₄

등각 2각 8각형에서 135° 내부 각도, <16/2>

정규₁₆, 퇴보, r
불규칙₁₆, p

등각 육각형 육각형에서 112.5° 내부 각도, <16/3>

정규₃₂, {16/3}, r

등각 4칸 정사각형으로부터 90° 내부 각도, <16/4>

정규₈, 퇴보, r
불규칙₁, a

등각 육각형 육각형에서 67.5° 내부 각도, <16/5>

정규₃₂, {16/5}, r

등각형 이중 삼각형 정규 옥타그램에서 45° 내부 각도, <16/6>

정규₁₆, 퇴보, r
spirolateral₈(1…3),_45° g

22.5° 등각 육각형 육각형에서 내부 각도, <16/7>

정규₃₂, {16/7}, r
등각₁₆, p

등각형 옥타데카곤

직각형 옥타데카곤, <18}, <18/3>, <18/4>, <18/5>, <18/6>, <18/6>, <18/7>, <18/8>은 각각 160도, 140도, 120도, 100도, 80도, 60도, 40도, 20도 내부 각도를 가진다.

등각형 옥타데카곤으로부터 160° 내부 각도, <18>

정규₃₆, {18}, r
등각₁₈, t{9}, p

등각형 이중음향 에네아곤으로부터 140° 내부 각도, <18/2>

규칙적이고 퇴보적인
측방향₁₈ 2_140°, p

등각 3각 육각 <18/3>의 120° 내부 각도

정규₁₈, 퇴보, r
불규칙적인₁

등각형 2중주 에네아그램 <18/4>의 내부 각도 100°

정규₁₈, 퇴보, r
측방향_100°₃ 2, g

등각형 옥타이드카그램 {18/5}의 내부 각도 80°

정규₃₆, {18/5}, r

등각 6각 삼각형의 60° 내부 각도 <18/6>

정규₆, 퇴보, r
불규칙적인₁

등각형 옥타이드카그램 <18/7>의 40° 내부 각도

정규₃₆, {18/7}, r
등각₁₈, p
등각₁₈, p
등각₁₈, p

등각형 이중선형 에너그램 <18/8>의 20° 내부 각도

정규₁₈, 퇴보, r
등각₁₈, p
등각₁₈, p
등각₁₈, p
등각₁₈, p
측방향₁₈ 2_20°, p
측방향₃ 6_20°, g

등각형 이코사곤

직각 이코사곤, <20>, <20/3>, <20/4>, <20/6>, <20/6>, <20/7>, <20/9>는 각각 162도, 126도, <20/6도>, <20/7도>, <20/9도, 90도, 72도, 54도, 18도 내부 각도를 가진다.

등각형 이코사곤으로부터 162° 내부 각도, <20>

정규₄₀, {20}, r
측방향₂₀(1.3), _162°p

등각형 이중 삼각형 데카곤으로부터 144° 내부 각도, <20/2>

정규₂₀, 퇴보, r
측방향(1…4),_144° g₅

등각형 아이코사그램에서 126° 내부 각도, <20/3>

정규₄₀ {20/3}, p
측방향₂₀(1.3), _126°p

등각 4각 오각형 오각형에서 108° 내부 각도, <20/4>

규칙적으로₁₀ 퇴화, r
측방향(1…4),_108° g₅
불규칙₁, a

등각 5각 정사각형으로부터 90° 내부 각도, <20/5>

규칙적으로₈ 퇴화, r
측방향₄(1…5) _90°g
측방향₈(1,2,3,2,1),_90° i

등각형 이중 삼각형 데카그램에서 72° 내부 각도, <20/6>

규칙적으로₂₀ 퇴화, r
측방향₁₀(1,2),_72° p
측방향(1…4),_72° g₅

등각형 아이코사그램에서 54° 내부 각도, <20/7>

정규₄₀ {20/7}, r
등각₂₀, p
등각₂₀, p
등각₂₀, p

등각형 4중주 펜타그램에서 36° 내부 각도, <20/8>

규칙적으로₁₀ 퇴화, r
측방향(1…4),_36° g₅
불규칙적인₁

등각형 아이코사그램에서 18° 내부 각도, <20/9>

정규₄₀ {20/9}, r
등각₂₀, p
등각₂₀, p
등각₂₀, p
등각₂₀, p

참고 항목

스피롤론탈

참조

^ 마리우스 문테아누, 로라 문테아누, Rational Equiangular Polygons Applied Mathical, Vol.4 No.10, 2013년 10월
^ Elias Abboud "On Viviani's Organization and the Extensions" 페이지 2, 11
^ De Villiers, Michael, "Eqiangangular cyclic and quietronarycurrent polygons," Mathematical Gazette 95, 2011년 3월, 102-107년.
^ 맥클린, K. 로빈. "등각형 다각형을 위한 강력한 대수 도구," 2004년 11월, Mathematical Gazette 88, 513-514.
^ M. Bras-Amoros, M. Pujol: "Equiangular Polygons의 측면 길이"(코딩 이론가에게 보여짐), The American Mathematical Monthly, vol. 122, n. 5, 페이지 476–478, 2015년 5월. ISSN 0002-9890.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Ball, Derek (2002), "Equiangular polygons", The Mathematical Gazette, 86 (507): 396–407, doi:10.2307/3621131, JSTOR 3621131, S2CID 233358516.

윌리엄스, R. 자연 구조의 기하학적 기초: 디자인 소스 북. 뉴욕: 도버 출판사, 1979. 페이지 32

외부 링크

등각 폴리곤의 특성: 그것은 무엇에 관한 것인가? 비비아니의 정리 Cut-the-knot에 대한 논의.
Weisstein, Eric W. "Equiangular Polygon". MathWorld.

[1] 마리우스 문테아누, 로라 문테아누, Rational Equiangular Polygons Applied Mathical, Vol.4 No.10, 2013년 10월

[ref1-2] Elias Abboud "On Viviani's Organization and the Extensions" 페이지 2, 11

[3] De Villiers, Michael, "Eqiangangular cyclic and quietronarycurrent polygons," Mathematical Gazette 95, 2011년 3월, 102-107년.

[4] 맥클린, K. 로빈. "등각형 다각형을 위한 강력한 대수 도구," 2004년 11월, Mathematical Gazette 88, 513-514.

[5] M. Bras-Amoros, M. Pujol: "Equiangular Polygons의 측면 길이"(코딩 이론가에게 보여짐), The American Mathematical Monthly, vol. 122, n. 5, 페이지 476–478, 2015년 5월. ISSN 0002-9890.

[ball-6] Ball, Derek (2002), "Equiangular polygons", The Mathematical Gazette, 86 (507): 396–407, doi:10.2307/3621131, JSTOR 3621131, S2CID 233358516.

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