헵타곤

정규 헵타곤
규칙적인 헵타곤
유형	정규 다각형
모서리 및 정점	7
슐레플리 기호	{7}
콕시터 다이어그램
대칭군	디헤드랄(D7), 2×7 주문
내부 각도(도)	≈128.571°
이중 다각형	셀프
특성.	볼록, 주기, 등변, 이등변, 동위원소

기하학에서 헵타곤 또는 셉타곤은 7면 다각형 또는 7곤이다.

헵타곤은 각도를 의미하는 그리스 접미사 "-곤"과 함께 "9-"(그리스에서 유래한 숫자 접두사 헵타-가 아닌 라틴에서 유래한 숫자 접두사 셉투아-의 생략; 둘 다 동일함)를 사용하여 때때로 헵타곤을 셉타곤이라고 부른다.

정규 헵타곤

모든 면과 각도가 동일한 일반 헵타곤은 내부 각도가 5㎛/7라디안(128)이다. 4⁄7 degrees). 그것의 슐래플리 기호는 {7}이다.

면적

측면 길이 a의 정규 헵타의 면적(A)은 다음과 같다.

${\displaystyle A={\frac {7}{4}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}.}$

이는 단위측 헵타곤을 중심과 헵타곤의 정점이 있는 7개의 삼각형 "파이 슬라이스"로 세분화한 다음, 아포템을 공통측면으로 사용하여 각 삼각형을 절반으로 줄이면 알 수 있다. 아포템은 $\pi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 7\mathrm{}}$, ${\displaystyle \pi /7,}$의 반쪽이며, 14개의$$ 작은 삼각형 각각의 면적은 아포템의 4분의 1이다.

정확한 대수식은 다음과 같이 복잡한 숫자로 주어진다.

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}\left(35+2{\sqrt[{3}]{196}}\left({\sqrt[{3}]{13-3i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{13+3i{\sqrt {3}}}}\right)\right)}},}$

가상의 부분들이 서로 상쇄되어 실제 가치의 표현을 남긴다. ${\displaystyle {\mathrm{요람}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ir ${\displaystyle \frac{7}{}}$){\$displaystyle \cot ^{2}\좌측({\frac {}}{7}}\오른쪽)$의 최소 다항식 역할을 하는 입방 함수가 casus irreducibilis이기 때문에 이 표현은 복잡한 구성요소 없이 대수적으로 다시 쓸 수 없다.

The area of a regular heptagon inscribed in a circle of radius R is ${\displaystyle {\tfrac {7R^{2}}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{7}},}$ while the area of the circle itself is ${\displaystyle \pi R^{2};}$ thus the regular heptagon fills approximately 0.8710 of its circumscribed circle.

건설

7은 피에르폰트 전성기는 아니지만 페르마 전성기는 아니기 때문에, 정규 헵타곤은 나침반과 직선으로 구성되지 않지만, 자와 나침반이 표시된 형태로 구성된다. 이 성질을 가진 가장 작은 일반 다각형이다. 이런 형태의 건축을 네우스식 건축이라고 한다. 그것은 또한 나침반, 직선자, 각도 삼지각으로 구성 가능하다. 직선 및 나침반 구조의 불가능성은 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cos 2}$ 2${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ 7${\displaystyle 7}$ 1.247 ${\$2$\cos {\tfrac {2\pi$}{$7}}}\ 약$1.247$}}}$이(가) 불분명한 입방³ x + x² - 2x - 1의 영이라는$$ 관측에서 비롯된다. 결과적으로, 이 다항식은 2cos(2π7 ½ poly)의 최소 다항식인 반면, 구성 가능한 숫자에 대한 최소 다항식의 정도는 2의 검정력이어야 한다.

규칙적인 헵타곤에서 내부 각도의 네우스식 구조.

앤드류 M. 글리슨에[1] 따르면 토마호크를 이용한 각도 추적에 기초한 원주 $O{\displaystyle \stackrel{}{}}$.${\displaystyle \mathrm{A}.}$ = 6 ${\displaystyle {\overline{OA}=6}$의 반지름을 가진 네우스 건축물의 애니메이션$.$ 이 건설은 라는 사실에 의존한다. ${\displaystyle 6\cos \left\frac {2\pi }{7}\right)=2{\sqrt {7}cos \left\frac {1}{3}\arctan \left(3{\sqrt {3}\right)-1.}$

Gerard't Hooft는 바 사이즈 8과 11의 메카노 15조각만으로 만들어진 규칙적인 헵타곤을 보여준다.^[3]

그 구조는 나머지 막대들을 고정시키는 두 개의 등각 삼각형을 포함한다. 일반 헵타곤의 옆면 a, 짧은 이등변 삼각측 e, 긴 이등변 삼각측 d가 만족한다.

${\displaystyle 7a^{2}+e^{2}=4d^{2}}$

$#####################0}$

이 공식은 다음과 같은 Heptangle 삼각형 공식에서 도출된다.

${\displaystyle \sin B-\sin C=-{\frac {\sqrt{7}{2}}:}$

가능한 작은 헵타곤 구조:

헵타곤	a	d	e
1	3	4	1
2	8	11	6
3	33	46	29
4	40	53	6
5	55	74	27

가장 작은 메카노 헵타곤 1:

근사치

약 0.2%의 오차를 가진 실제 사용에 대한 근사치가 도면에 나타나 있다. 알브레히트 뒤러 덕분이라고 한다.^[4] A를 원주의 둘레에 눕힌다. 호 BOC를 그리십시오. 그런 $다음{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$D = ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle B}$ C$${\$displaystyle \scriptstyle {BD={1 \over 2BC}}})$ 헵타곤 가장자리에 대한 근사치를 제공한다$$.

이 근사치는 $단위{\displaystyle \mathrm{}}$ 원 안에 새겨진 ${\displaystyle 헵타}$의 면에$$ $3{\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \approx }$ 0${\displaystyle \mathrm{.}}$${\displaystyle \frac{86603}{}}$ ${\$ 2$}\$$displaystyle \$ 0.${\displaystyle 86777}$ ${\$ 약 0$.8677}$을 사용한다$.$

오류를 나타내는 예제:
원 반경 r = 1m에서 제1면의 절대 오차는 약 -1.7mm가 될 것이다.

메카노 근사 구조는 20, 36, 45 크기의 11개의 막대로 만들 수 있다. 이 값들은 약 0.1%의 오차를 남긴다.

대칭

정규 헵타곤은 D 포인트_7h 그룹(Cheneparies 표기법), 순서 28에 속한다. 대칭 요소는 헵타곤 평면에 7배 적절한 회전 축₇ C, 7배 부적절한 회전 축 S₇, 7개의 수직 미러 평면 ,, 7개의_v 2배 회전 축 C₂, 그리고 헵타곤 평면에 수평 미러 평면 σ도 있다_h.^[6]

대각선과 헵탄 삼각형

일반 헵타곤의 옆면 a, 짧은 대각선 b, 긴 대각선 c가 만족한다^{[7]: Lemma 1} .

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ c ${\$frac ${1}{a}={\frac {1}{b}+{\frac$ {$1}{c}}($광체 방정식)

그래서

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

그리고^{[7]: Coro. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

따라서 –b/c, c/a, a/b 모두 입방정식 $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}t}$+ 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0$을 만족한다$.$$}}}$ 그러나$$ 이 방정식의 해법에는 순수하게 실제 용어를 사용한 대수적 표현은 존재하지 않는데, 이는 카수스 이레두시빌리스의 예시이기 때문이다.

대각선의 대략적인 길이는 정규 헵타의 측면에 의해 주어진다.

$(displaystyle b\ 약 1.80193\cdot a,\qquad c\ 약 2.24698\cdot a.})$

우리는 또한 가지고^[8] 있다.

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

그리고

${\displaystyle {{\frac{b^{2}}+{\frac{c^{2}}}{b^{2}}}+{\frac{a^{2}}}{c^{2}}}}=5.}$

헵타곤 삼각형은 (임의의 시작 정점에서) 정규 헵타의 첫 번째, 두 번째, 네 번째 정점과 일치하는 정점을 가지고 있으며 $각도$는 ${\displaystyle /}$/ ${\displaystyle 7\mathrm{}}$, $2$ ${\displaystyle /}$ /$,${\$displaystyle \pi /7$$,$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \mathrm{/}}$ / $.$ 따라서$$ 옆면은 정규의 한쪽 $면$과 두 개의 특정한 대각선과 일치한다. 헵타곤^[7]

별 헵타곤

두 종류의 별 헵타곤(헵타그램)은 일반 헵타곤으로 구성될 수 있으며, 헵플리 기호 {7/2} 및 {7/3}(으)로 라벨이 표시되어 있으며, 구분자는 연결 간격이 된다.

빨간색 헵타곤 안에 파란색, {7/2} 및 녹색 {7/3}개의 별 헵타곤이 있다.

경험적 예

영국은 현재 2021년 현재 헵타의 동전 두 헵타의 동전 50p와 20p를 보유하고 있으며 바베이도스 달러도 헵타의 동전이다. 20유로짜리 동전은 충치가 비슷하게 놓여 있다. 엄밀히 말하면 동전의 모양은 일정한 폭의 곡선을 가진 곡선 헵타곤인 헵타곤으로, 동전을 자동판매기에 넣으면 부드럽게 굴릴 수 있도록 옆면이 바깥쪽으로 휘어져 있다. 2Pula, 1Pula, 50Tebe, 5Tebe의 액면 그대로의 보츠와나 풀라 동전은 또한 등각 커브 헵타곤의 모양을 하고 있다. Coins in the shape of Reuleaux heptagons are also in circulation in Mauritius, U.A.E., Tanzania, Samoa, Papua New Guinea, São Tomé and Príncipe, Haiti, Jamaica, Liberia, Ghana, the Gambia, Jordan, Jersey, Guernsey, Isle of Man, Gibraltar, Guyana, Solomon Islands, Falkland Islands and Saint Helena. 잠비아의 1000 콰차 동전은 진정한 헵타곤이다.

브라질산 25센트 동전에는 동전 원반에 헵타곤이 새겨져 있다. 소비에트 시절을 포함한 그루지야의 몇몇 오래된 무기 코트는 요소로 {7/2} 헵타그램을 사용했다.

건축에서 헵타의 평면도는 매우 드물다. 주목할 만한 예가 독일 스타드타겐에 있는 에른스트 왕자의 묘소다.

미국의 많은 경찰 배지에는 헵타그램 윤곽이 {7/2}개 있다.

헵타곤 프리즘과 헵타곤 항정신병증 외에 일반 폴리곤으로 완전히 만들어진 볼록한 다면체는 얼굴로서 헵타곤을 함유하지 않는다.

이 Poincaré 디스크 모델 투영에서와 같이 일반 헵타는 쌍곡면 타일을 만들 수 있다.

헵타곤 타일링

그래프

K₇ 완전 그래프는 종종 21개의 가장자리가 모두 연결된 정규 헵타곤으로 그려진다. 이 그래프는 또한 6-단순의 7 정점과 21개의 가장자리의 직교 투영을 나타낸다. 둘레 둘레에 있는 규칙적인 꼬치 다각형을 페트리 폴리곤이라고 한다.

6-단순(6D)

자연의 헵타곤

• 

  선인장

참고 항목

• 헵타그램
• 폴리곤

참조

외부 링크

무료 사전인 위키티오나리에서 헵타곤을 찾아봐.

• 대화형 애니메이션을 사용한 헵타곤의 정의 및 속성
• 존슨에 따르면 헵타곤
• 또 다른 대략적인 시공법
• 폴리곤 – 헵타곤
• 최근 발견되었으며 정규 헵타의 구성에 대한 매우 정확한 근사치.
• 헵타곤, 애니메이션으로서의 근사치 구조
• 애니메이션으로서 주어진 면이 있는 헵타곤, 근사치 구조