어피로곤

일반적인 원숭이는
일반적인 원숭이는
간선 및 정점	∞
슐레플리 기호	{∞}
콕서터-딘킨 도표
내각(도)	180°
이중다각형	셀프듀얼

기하학에서 아페리오곤(Apeirogon) 또는 무한 다각형(infinite polygon)은 무한히 많은 변을 가진 다각형으로, 고대 그리스 ἄπειρος 아페리오스의 '무한한, 무한한', γωνί α 고니아의 '각'에서 유래합니다. 에페리오곤은 무한한 폴리토프의 2위 경우입니다. 일부 문헌에서 "apeirogon"이라는 용어는 무한히 많은 이면체 대칭군을 가진 일반적인 apeirogon만을 지칭할 수 있습니다.^[1]

정의들

기하학적 에페리오곤

유클리드 공간의 점 A와 번역 S가 주어졌을 때, 점 A를 번역 S를 A에 대한 i개의 적용으로부터 얻은 점으로 정의하고, 따라서 A = S(A)입니다. i개의 정수를 갖는 정점 A의_i 집합은 인접한 정점들을 연결하는 간선들과 함께 선의 동일한 길이의 세그먼트들의 시퀀스이며, H. S. M. Coxeter에 의해 정의된 정규 에피오곤이라고 불립니다.^[1]

정다각형은 유클리드 선 E를¹ 무한히 많은 동일한 길이의 세그먼트로 분할하는 것으로 정의할 수 있습니다. 이것은 원 S의¹ 분할로 정의될 수 있는 규칙적인 n-곤을 무한히 많은 동일한 길이의 세그먼트로 일반화합니다.^[2]

쌍곡 의사곤

정규 유사입자는 쌍곡선 H를 (유클리드 선 대신) 길이 2 λ의 세그먼트로 분할한 것으로, 정규 유사입자의 유사체입니다.

추상공룡

추상 폴리토프는 볼록 폴리토프의 면들의 포함들의 속성들을 모델링하는 속성들을 갖는 부분적으로 정렬된 집합 P(그 요소들의 이름은 면이라고 함)입니다. 추상적 폴리토프의 순위(또는 차원)는 그 면의 최대 순서 사슬의 길이에 의해 결정되며, 순위 n의 추상적 폴리토프를 추상적 n-폴리토프라고 합니다.^[3]^{: 22–25}

순위 2의 추상적인 폴리토프의 경우, 다음을 의미합니다. A) 부분 순서 집합의 요소는 0의 정점(빈 집합), 1의 정점, 2의 정점(가장자리) 또는 전체 정점 집합(2차원 면)을 갖는 정점 집합입니다. 집합 포함순서: B) 각 꼭짓점은 정확히 두 개의 꼭짓점에 속하며, C) 꼭짓점과 꼭짓점에 의해 형성된 무향 그래프는 연결되어 있습니다.^[3]^{: 22–25}^[4]^{: 224}

추상적인 폴리토프는 무한히 많은 원소를 가지고 있다면 추상적인 아페로토프라고 불리고, 추상적인 2-아페로토프는 추상적인 아페리오곤이라고 불립니다.^[3]^{: 25}

추상적 폴리토프의 실현은 기하학적 공간(일반적으로 유클리드 공간)을 가리키기 위해 그 정점을 매핑하는 것입니다.^[3]^{: 121} 충실한 실현은 정점 매핑이 주입식이 되도록 실현하는 것입니다.^[3]^{: 122}^{[note 1]} 모든 기하학적인 유인원은 추상적인 유인원을 실현한 것입니다.

대칭

규칙적인 기하학적 에피오곤의 대칭의 무한 이면체 그룹 G는 두 번의 반사에 의해 생성되며, 그 곱은 P의 각 꼭짓점을 다음으로 변환합니다.^[3]^{: 140–141}^[4]^{: 231} 두 반사의 곱은 0이 아닌 변환, 유한하게 많은 회전, 그리고 아마도 사소한 반사의 곱으로 분해될 수 있습니다.^[3]^{: 141}^[4]^{: 231}

추상적인 폴리토프에서, 플래그는 각 차원의 하나의 면의 집합이며, 모든 면이 서로에게(즉, 부분적인 순서로 비교 가능), 추상적인 폴리토프가 다른 플래그에 대해 대칭(구조 보존 요소의 순열)을 갖는 경우 정규라고 합니다. 2차원 추상 폴리토프의 경우, 이것은 자동적으로 사실입니다. 아페리오곤의 대칭은 무한한 이면체 군을 형성합니다.^[3]^{: 31}

추상 아페리오곤의 대칭 실현은 추상 아페리오곤의 모든 대칭이 매핑 이미지의 등각화에 해당하도록 정점에서 유한 차원 기하학적 공간(일반적으로 유클리드 공간)으로 매핑하는 것으로 정의됩니다.^[3]^{: 121}^[4]^{: 225}

모듈리 공간

일반적으로 추상적 폴리토프의 충실한 구현의 모듈리 공간은 무한 차원의 볼록 원뿔입니다.^[3]^{: 127}^[4]^{: 229–230} 추상적인 에이페리오곤의 실현 원뿔은 셀 수 없이 무한한 대수적 차원을 가지며 유클리드 토폴로지에서는 닫힐 수 없습니다.^[3]^{: 141}^[4]^{: 232}

유클리드 외이도류 분류

2차원보다 큰 유클리드 공간에서 임의의 정다각형의 대칭 실현은 축소 가능하며, 이는 두 개의 저차원 다각형의 혼합으로 만들어질 수 있음을 의미합니다.^[3] 규칙적인 다각형의 이러한 특성은 자연스럽게 규칙적인 다각형도 특성화합니다. 이산형 에피오곤은 1차원 에피오곤을 다른 다각형과 혼합한 결과입니다.^[4]^{: 231} 모든 다각형은 유인원의 몫이므로, 임의의 다각형과 유인원의 혼합은 또 다른 유인원을 생성합니다.^[3]

2차원에서 이산 정규 에피오곤은 무한 지그재그 다각형이며, 이는 1차원 에피오곤과 디곤이 혼합된 결과이며, $슐레플리$ 기호 $\left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}$ ∞ $\left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}$ {∞}#{} $\left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}$ { $20$ , 1} ${\displaystyle \left\{\dfrac$ {2 $\left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}$ 0, 1}}\right\}로 표시됩니다.

3차원에서 불연속적인 정다각형은 나선을 따라 균일하게 간격을 두고 ^[5]있는 무한 나선 다각형입니다. 이는 1차원 다각형과 $2차원$ 다각형{∞}#{p $\left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}$ } $\left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}$ { $\left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}$ 0 $,q}{\displaystyle \left\{\dfrac {$ p}{0, $q}}\$ right $\left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}$ 를 혼합한 결과입니다.

일반화

상위직위

아피로헤드라는 아피로게론의 3위 유사체이며, 다면체의 무한 유사체입니다.^[6] 보다 일반적으로, n-아페이로톱스 또는 무한 n-폴리톱스는 에피오곤의 n-차원 유사체이며, n-폴리톱스의 무한 유사체입니다.^[3]^{: 22–25}

참고 항목

외이도 타일링
외각 프리즘
외이도 항프리즘
무한히 많은 면을 가진 프랙탈 일반화 다각형인 테라곤

메모들

^ McMullen & Schulte(2002)는 더 엄격한 정의를 제공하여 더 높은 순위 면에 대한 유도된 지도도 주입해야 합니다. 그러나 정규 폴리토프는 이 경우 충실한 구현이 없거나 모든 정점 충실한 구현이 충실합니다. 원시 상태는 퇴화되지 않으므로 이 조건은 충실한 실현을 보여주기에 충분합니다.

참고문헌

^ ^a ^b Coxeter, H. S. M. (1948). Regular polytopes. London: Methuen & Co. Ltd. p. 45.
^ ^a ^b Johnson, Norman W. (2018). "11: Finite Symmetry Groups". Geometries and transformations. Cambridge University Press. p. 226. ISBN 9781107103405.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002). Abstract Regular Polytopes (1st ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-81496-0.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g McMullen, Peter (1994), "Realizations of regular apeirotopes", Aequationes Mathematicae, 47 (2–3): 223–239, doi:10.1007/BF01832961, MR 1268033, S2CID 121616949
^ ^a ^b Grünbaum, B. (1977). "Regular polyhedra – old and new". Aequationes Mathematicae. 16: 1–20. doi:10.1007/BF01836414. S2CID 125049930.
^ Coxeter, H. S. M. (1937). "Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions". Proc. London Math. Soc. 43: 33–62.

외부 링크

Russell, Robert A.. "Apeirogon". MathWorld.
Olshevsky, George. "Apeirogon". Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.

[5] McMullen & Schulte(2002)는 더 엄격한 정의를 제공하여 더 높은 순위 면에 대한 유도된 지도도 주입해야 합니다. 그러나 정규 폴리토프는 이 경우 충실한 구현이 없거나 모든 정점 충실한 구현이 충실합니다. 원시 상태는 퇴화되지 않으므로 이 조건은 충실한 실현을 보여주기에 충분합니다.

[Coxeter-1] Coxeter, H. S. M. (1948). Regular polytopes. London: Methuen & Co. Ltd. p. 45.

[Johnson-2] Johnson, Norman W. (2018). "11: Finite Symmetry Groups". Geometries and transformations. Cambridge University Press. p. 226. ISBN 9781107103405.

[McMullen-Schulte-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002). Abstract Regular Polytopes (1st ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-81496-0.

[McMullen-4] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g McMullen, Peter (1994), "Realizations of regular apeirotopes", Aequationes Mathematicae, 47 (2–3): 223–239, doi:10.1007/BF01832961, MR 1268033, S2CID 121616949

[Grünbaum-6] Grünbaum, B. (1977). "Regular polyhedra – old and new". Aequationes Mathematicae. 16: 1–20. doi:10.1007/BF01836414. S2CID 125049930.

[7] Coxeter, H. S. M. (1937). "Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions". Proc. London Math. Soc. 43: 33–62.

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[2]

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[4]

[note 1]

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