E6(수학)

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오. (2013년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서 E는₆ 몇몇 밀접하게 연관된 리 그룹, 선형 대수 그룹 또는 그들의 리 $알헤브라스{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle e_{\mathrm{}}}$ 6$${\$displaystyle${\$mathfrak{e}_{6}}$의 이름인데$,$ 모두 치수 78을 가지고 있다; 같은 표기법₆ E가 6위를 가진 해당 루트 격자에 사용된다. E라는₆ 명칭은 복합 단순 리알헤브라의 카르탄-킬링 분류에서 유래한다(Elie Cartan § Work 참조). 이것은 리알헤브라를 A_n, B_n7, C_n, D라고_n 표시된 네 가지 무한 시리즈와 E₆, E, F₈₄, G라고₂ 표시된 다섯 가지 예외적인 사례로 분류한다. 따라서₆ E 대수학은 다섯 가지 예외적인 사례 중 하나이다.

복합형태의 기본군, 콤팩트 리얼형태, 또는 E의₆ 어떤 대수적 버전의 그룹은 순환군 Z/3Z이며, 그것의 외부자동화군은 순환군 Z/2Z이다. 그것의 기본 표현은 27차원(복잡)이며, 기본은 입방면의 27개 선에 의해 주어진다. 불평등한 이중대표도 27차원이다.

입자물리학에서 E는₆ 몇 가지 원대한 통일 이론의 역할을 한다.

실제 및 복잡한 형태

E형식의₆ 독특한 복합 리 대수학(complex dimension 78)이 있는데, 이는 복합 치수 78의 복합 그룹에 해당한다. 복합 치수 78의 복합 보조 Lie 그룹 E는₆ 실제 치수 156의 단순한 실제 Lie 그룹으로 간주할 수 있다. 이것은 기본 그룹 Z/3Z를 가지며, E의₆ 컴팩트한 형태(아래 참조)를 가지는 최대 콤팩트 서브그룹을 가지며, 복잡한 결합에 의해 생성되는 순서 4와 이미 복잡한 오토모프리즘으로 존재하는 외부 오토모프리즘의 비순환적 외형 그룹을 가진다.

E형의₆ 복잡한 Lie 그룹뿐만 아니라 Lie 대수학에는 다섯 가지 실제 형태가 있으며, 그에 상응하여 5가지 실제 형태는 사소한 중심을 가지고 있다(모두 대수학적 이중 커버를 가지고 있고, 3개는 더 많은 비알제브라틱 커버를 가지고 있어 더 많은 실제 형태를 부여함) 모두 실제 치수 78이다.

• 기본 그룹 Z/3Z와 외부 자동형성 그룹 Z/2Z를 가진 컴팩트 형태(다른 정보가 제공되지 않을 경우 일반적으로 의미되는 형태)
• 분할 형태 EI(또는 E₆₍₆₎)는 최대 소형 부분군 Sp(4)/(±1)를 가지며, 순서 2의 기본 그룹 및 순서 2의 외부 자동화 그룹을 가진다.
• 준분할 형태 EII(또는 E₆₍₂₎)는 최대 소형 부분군 SU(2) × SU(6)/(중앙), 기본 그룹 순서 6 순환, 외부 자동모형 그룹 순서 2를 가진다.
• EIII(또는 E_6(-14))는 최대 소형 서브그룹 SO(2) × 스핀(10)/(중앙), 기본그룹 Z 및 사소한 외부자동화 그룹을 가지고 있다.
• EIV(또는 E_6(-26))는 최대 소형 부분군 F₄, 사소한 기본 그룹 순환 및 외부 자동 형태 그룹을 순서 2로 가지고 있다.

E의₆ EIV 형식은 8진법 투사 평면 OP의² 콜라인(라인 보존 변환) 그룹이다.^[1] 또한 예외적인 요르단 대수학의 결정자 보존 선형 변환의 그룹이기도 하다. 예외적인 요르단 대수학은 27차원인데, 이 때문에 E의₆ 콤팩트한 실제 형태가 27차원 복합표현을 갖는 이유가 설명된다. E의₆ 콤팩트한 실제 형태는 '바이오크톤이온 투영면'으로 알려진 32차원 리만 다지관의 이등계 그룹이다. E와₇ E에₈ 대한 유사한 구조물은 로젠펠드 투영면으로 알려져 있으며 프로이덴탈 마술광장의 일부분이다.

대수군으로서의₆ E

리 대수학의 체발리 기초를 이용하여, 정수에 대한 선형 대수집단으로 E를₆ 정의할 수 있으며, 결과적으로 모든 조합 고리 및 특히 어떤 분야에 걸쳐서 E를 정의할 수 있다: 이것은 소위 분할("불완전"이라고도 함) 부선 형태의 E를₆ 정의한다. 는 대수적으로 문을 닫분야에 걸쳐, 이러하고 트리플 커버 있는 유일한 형태; 하지만, 다른 밭에, 갈루아 cohomology의 전반적인 체계하에서(완벽한 분야 k에)설정한 H1(k, Aut(E1)), 때문에 E1(아래 참조)의 Dynkin 도표가 자기 동형에 의해서 분류된다 종종 많은 다른 양식 또는 E1의"반전"이 있다. gro업 Z/2Z, 커널¹ H¹(k, Z_6,ad/2Z) = 홈(Gal(k), Z/2Z)에 매핑한다.^[2]

실수를 분야에 걸쳐 세개의 실제 거짓말 그룹에서 기술된 바와 같이 E1을 차지하다 이러한 대수적으로 뒤틀린 형태의 정체성이지만, 섬세함은 근본적인 그룹 관련하여의 실수 구성 요소:E6의 모든 수반 형태 대수 기하학의 의미에서,로 뿌리에 갈루아 행동에 근본적인 그룹 Z/3Z다. 의 통합; 이것은 그들이 정확히 하나의 트리플 커버(실제 지점에서는 사소한 것일 수도 있음)를 인정한다는 것을 의미한다; 따라서 E의₆ 비-컴팩트 리얼 리 그룹 형태는 대수학적이지 않으며 충실한 유한 차원 표현을 인정하지 않는다. E의₆ 콤팩트한 실제 형태와 비 컴팩트 형태 EI=E와₆₍₆₎ EIV=E는_6(-26) 내부 또는 E형이라고₆ 하며, 이는 그들의 등급이 H¹(k, E_6,ad)에 있거나 복잡한 결합이 Dynkin 도표상의 사소한 자동화를 유도한다는 것을 의미하며, 다른 두 실제 형태는 외부 또는 E형이라고₆ 한다.

유한한 분야에 걸쳐, Lang-Steinberg의 정리는 H¹(k, E₆) = 0을 의미하며, 이는₆ E가 정확히 하나의 비틀어진 형태를 가지고 있다는 것을 의미하며, E는 아래를₆ 참조한다.

알버트 대수의 자동형성

대수 그룹 G가₂ 8진법의 자동형 그룹이고 대수 그룹 F가₄ 예외적인 요르단 대수인 알버트 대수의 자동형 그룹인 것과 유사하게, 대수 그룹 E는₆ "결정형"^[3]이라 불리는 특정 입방형 형태를 보존하는 알버트 대수의 선형 자동형 그룹이다.

대수학

딘킨 도표

E에₆ 대한 Dynkin 도표는 에 의해 주어지며, 로도 그려질 수 있다.

E의₆ 뿌리

6차원 공간에 걸쳐 있지만, 9차원 공간의 6차원 아공간에서 벡터로 보는 것이 훨씬 더 대칭적이다. 그러면 그 뿌리가 될 수 있다.

(1,−1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,1,0;0,0,0;0,0,0),

(−1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,−1;0,0,0;0,0,0),

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0), (0,−1,1;0,0,0;0,0,0),

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,1,0;0,0,0),

(0,0,0;−1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,−1;0,0,0),

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0), (0,0,0;0,−1,1;0,0,0),

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,1,0),

(0,0,0;0,0,0;−1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,−1),

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1), (0,0,0;0,0,0;0,−1,1),

plus all 27 combinations of ${\displaystyle (\mathbf {3} ;\mathbf {3} ;\mathbf {3} )}$ where ${\displaystyle \mathbf {3} }$ is one of ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}},-{\frac$${1}{3}},-{\frac {1}{3}}\right),\ \left(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}}\right),\ \left(-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),}$ plus all 27 combinations of ${\displaystyle ({\bar {\mathbf {3} }};{\bar {\mathbf {3} }};{\bar {\mathbf {3} }})}$ where ${\d$$isplaystyle {\bar {\mathbf {3} }}}$ is one of ${\displaystyle \left(-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},$$-{\frac {2}{3}\오른쪽).$$}$

단순뿌리

E6의 간단한 뿌리에 대해 한 가지 가능한 선택은 다음과 같다.

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1)

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0)

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0)

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0)

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0)

${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)}$

E8의 뿌리에서 파생된 E6뿌리

E는₆ 세 개의 좌표의 일관된 집합(예: 처음 또는 마지막)이 동일한 E의₈ 하위 집합이다. 이를 통해 E와₇ E를 다음과₆ 같이 명시적으로 정의할 수 있다.

E₇ = {α ∈ Z⁷ ∪ (Z+)1/2)⁷ : σα _i²+ α₁² = 2, σα + α₁ α ∈ 2Z},

E₆ = {α ∈ Z⁶ ∪ (Z+1/2) ⁶: σα _i²+ 2α₁² = 2, σα + 2α₁ ∈ 2Z}

다음의 72 E6 뿌리는 분할된 실제 짝수 E8 뿌리에서 이러한 방식으로 도출된다. 마지막 3차원이 요구 사항과 동일하다는 점에 유의하십시오.

대체 설명

E₆ × SU(3)를 E의₈ 하위 그룹으로 간주하는 데 유용한 루트 시스템에 대한 대안(6차원) 설명은 다음과 같다.

모든 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle \begin{array}{c}5\mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}2\\ \mathrm{}\end{array}}$) ${\$ 순열$$

${\displaystyle (}$± ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$± 1,${\displaystyle 0,}$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle(\pm 1,\pm$1, 1,$0,0,$0,$0)}$ 마지막 항목에서 0을 보존하고$$,

그리고 다음의 모든 뿌리와 홀수 수의 더하기 기호가 있는 모든 뿌리가

${\displaystyle \left(\pm {1\over 2},\pm {1\over 2},\pm {1\over 2},\pm {1\over 2},\pm {{\sqrt {3}} \ip}\{}\}\reight)}$

따라서 78개의 발전기는 다음과 같은 하위 골격으로 구성된다.

위의 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle \begin{array}{}5\\ \mathrm{}\end{array}}$ 2$)[\$개의$$ 제너레이터와 처음 5개의 항목에 해당하는 Cartan 생성기를 포함한 45차원 SO(10) 하위 게이지.

${\displaystyle \mathrm{스핀}}$ ${\displaystyle }$($){\displaystyle \operatorname {spin} (10)}$의 Weyl 스피너로 변신하는 두 개의 16차원 서브algebras와 그 복잡한 결합. 마지막 엔트리가 0이 아니군

1개의 발전기는 그들의 chirality 발생기이고 6번째 Cartan 발생기다.

E에₆ 대한 간단한 루트의 한 가지 선택은 다음 행렬의 행에 의해 주어지며, 순서에 따라 색인화된다.

${\displaystyle \left는 경우에는{\begin{smallmatrix}1&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, -1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, -1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 1&, 0\\-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\0&, 0&, 0&, 1&, -1&, 0\\\end{smallmatrix.}}\right]}$

웨일 그룹

E의₆ Weyl 그룹은 순서 51840: 순서 25920의 고유한 단순 그룹₄(PSU₆⁻(2), PSΩ₄(2), PSP₅(3) 또는 PSΩ(3) 중 하나로 설명할 수 있다.^[4]

카르탄 행렬

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

중요한 하위 게브라 및 표현

Lie 대수₆ E는 외부 자동형성의 고정형 하위형상인₄ F 하위형상(F subalgebra)과 SU(3) × SU(3) 하위형상(SU)이 있다. 물리학에서 중요성이 있고(아래 참조), Dynkin 도표에서 읽을 수 있는 다른 최대하위형 아발게브라는 SO(10) × U(1)와 SU(6) × SU(2)의 알헤브라스다.

78차원 부선 표현 외에도 두 개의 이중 27차원 "벡터" 표현이 있다.

실제적이고 복잡한 리알헤브라와 리 그룹의 유한 치수 표현 문자는 모두 웨일 문자 공식에 의해 주어진다. 최소 불분명한 표현들의 치수는 다음과 같다(OEIS에서 순서 A121737).

1, 27 (twice), 78, 351 (four times), 650, 1728 (twice), 2430, 2925, 3003 (twice), 5824 (twice), 7371 (twice), 7722 (twice), 17550 (twice), 19305 (four times), 34398 (twice), 34749, 43758, 46332 (twice), 51975 (twice), 54054 (twice), 61425 (twice), 70070, 78975 (twice), 85293, 100386 (twice), 105600, 112320 (twice), 146432 (twice), 252252 (twice), 314496(재위), 359424(4회), 371800(재위), 386100(재위), 393822(재위), 412776(재위), 442442(재위)...

위의 순서에서 밑줄 친 용어는 E의₆ 조정된 형태(동일하게₆, E의 뿌리 격자에 속하는 가중치를 가진 것)로 소유하는 수정 불가능한 표현들의 치수인 반면, 전체 순서는 단순하게 연결된 형태의₆ 수정 불가능한 표현들의 치수를 제공한다.

E의₆ Dynkin 다이어그램의 대칭은 많은 차원이 두 번 발생하는 이유를 설명하며, 그에 상응하는 표현은 비삼각적 외부 자동화에 의해 관련된다. 그러나 때때로 치수 351의 4개 차원이 기본이고 2개 차원이 아닌 2개 차원이 그것보다 훨씬 더 많은 표현들이 있다.

기본 표현에는 치수가 27, 351, 2925, 351, 27 및 78(위의 카르탄 행렬에 대해 선택한 순서에 따라 Dynkin 다이어그램의 6개 노드에 대응함, 즉, 노드는 5개 노드 체인에 먼저 읽히고 마지막 노드는 중간 노드에 연결된다).

E6 폴리토프

E₆ 폴리토프는 E의₆ 뿌리의 볼록한 선체다. 따라서 그것은 6차원으로 존재한다. 대칭 그룹은 지수 2 하위그룹으로서 E에₆ 대한 Coxeter 그룹을 포함한다.

E형과₆ E형의₆ 체발리와 스타인버그 그룹

임의의 분야(특히 유한한 분야)에 대한 E형₆ 집단은 딕슨(1901, 1908)에 의해 소개되었다.

(분할) 대수군 E₆(위 참조)의 q 원소가 있는 유한장 위에 있는 점들은 부선(중심점 없음) 또는 단순하게 연결된 형태(그 대수적 범용 커버)에 의해 유한한 체발리 군을 부여한다. 이것은₆ E(q)라고 쓰여진 그룹과 밀접하게 연결되어 있지만, 이 표기법에는 다음과 같은 몇 가지를 나타낼 수 있는 모호성이 있다.

• E의 단순하게 연결된₆ 형태의 F_q(명확하게_6,sc 하기 위해 E(q) 또는 $보다{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 드물게 E${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle 6_{\mathrm{}}q}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\tilde{E}_{6}(q)}}$에 대한 점으로 구성된 유한 그룹이며$$, F에_q 대한 E형식의₆ "범용" Chevalley 그룹"으로 알려져 있다.
• (경직) E의₆ 부선형식의 F에_q 대한 점으로 구성된 유한집단(명료성을 위해 E_6,ad(q)로 표기할 수 있으며, E에₆ 대한_q E형식의 "성인" 체발리 그룹으로 알려져 있다) 또는
• 전자에서 후자에 이르는 자연지도의 이미지인 유한집단: 이것은 유한집단을 다루는 텍스트에서 가장 흔하게 볼 수 있듯이, 다음에서 E₆(q)로 나타낼 것이다.

로:E6(q)어떤 q, E6,sc(q)은 슈어 커버, E6,ad(q)의 자기 동형 그룹에서 거짓말을 단순한 것의 한정된 그룹 관점에서, 그 SL(n,q), PGL(n,q)과 PSL(n,q)사이에 유사하다 이 세 집단, 사이의 관계, 나아갈 때 q−1 3으로 나누어 떨어지지 않다 세 사람 모두 일치하고, o. 요약할 수 있therwise (q가 1모드 3에 합치될 때), E₆(q)의 슈르 승수는 3이고₆ E(q)는_6,ad E(q)의 지수 3이므로 E_6,sc(q)와 E_6,ad(q)가 3·E₆(q)와 E₆(q)·3으로 표기되는 경우가 많다. 대수군 관점에서 E(q)는 E(q_6,sc6,ad)와 E(q)와는 달리 F에_q 대한 대수군의 점 집합이 자연적인 방법이 아니기 때문에 유한₆ 단순군을 가리키는 것이 덜 일반적이다.

E의₆ 이 "분할"(또는 "분할되지 않은") 형태 외에도 E의₆ Dynkin 다이어그램의 비종속적 자동화에 의해 꼬여 얻어지는₆ E로 알려진 유한장_q F 위에 또₆ 하나의 E 형태가 있다. 구체적으로는 스타인베르크 그룹으로 알려진₆ E(q)는 비종교도 자동형과_q² F의 비종교적 자기장 자동화의 구성으로 고정된 E₆(q²)의 부분군으로 볼 수 있다. 비틀기란 E의_6,ad 대수학적 기본 집단이 Z/3Z라는 사실을 바꾸지 않지만_6,sc, F_q 포인트에서_6,ad E에 의한 커버가 비교가 되지 않는 q를 변화시킨다. 2E6(q)의 정확하게:2E6,sc(q)은 덮개, 그리고 2E6,ad(q)의 자기 동형 그룹에 있고;q+1 3으로 나누어 떨어지지 않다 세 사람 모두 일치하다, 2E6(q)에 2E6,sc(q)의 정도(때 q동일한 것이다 2모드 3)은 3과 2E6(q)2E6,ad(q)에는 왜 2E6,sc(q)과 2E6,ad(q)자주 3·2E6(q)과 2로 쓰여졌는지 설명한다 지수 3이다.E6(q)·3.

그룹 E₆(q)와 관련하여 두 가지 공칭 문제가 제기되어야 한다. 하나는 이것이 때때로 E₆(q²)라고 쓰여 있는데, 이는 스즈키와 리 그룹에게 더 쉽게 전치할 수 있는 장점이 있지만 대수 그룹의 F 포인트에_q 대한 표기법에서 벗어나는 단점이 있다. 또 하나는 E_6,sc(q)와 E_6,ad(q)가 대수집단의 F점인_q 반면, 해당 집단은 q에 의존한다(예: 같은 집단의 F를_q² 넘는 점들은 미지속 E_6,sc(q²)와 E_6,ad(q²)이다).

E₆(q)와 E₆(q) 그룹은 q에 대해 단순하며 유한 단순 그룹의 분류에서 무한 계열 중 두 개를 구성한다.^[5][6] 이들의 순서는 다음 공식(OEIS의 순서 A008872)에 의해 주어진다.

${\displaystyle E_{6}(q) ={\frac {1}{{1}{\mathrm {gcd}(3,q-1)}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}-1)(q^{1}-1}-1}-1)}-1}$

${\displaystyle {}^{2}\!E_{6}(q) ={\frac {1}{{1}{\mathrm {gcd}(3,q+1)}{36}(q^{12}-1)(q^{9}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}+1)(q^{2}-1)}$

(OEIS에서 시퀀스 A008916). The order of E_6,sc(q) or E_6,ad(q) (both are equal) can be obtained by removing the dividing factor gcd(3,q−1) from the first formula (sequence A008871 in the OEIS), and the order of ²E_6,sc(q) or ²E_6,ad(q) (both are equal) can be obtained by removing the dividing factor gcd(3,q+1) from the second (sequence A008915 in the OEIS).

E₆(q)의 슈르 승수는 항상 gcd(3,q-1)이다(즉_6,sc, E(q)는 슈르 커버). E₆(q)의 슈르 승수는 예외적인² 경우 q=2(즉_6,sc, 2/3)의 예외적인 경우² q=2(즉, 2-폴드 커버가 추가됨)를 벗어나 gcd(3,q+1)이다. E₆(q)의 외부 자동모형 집단은 대각선 자동모형 집단의 Z/gcd(3,q-1)Z (E_6,ad(q)의 작용으로 주어짐), 다이어그램 자동모형 집단의 Z/2Z, 필드 자동모형 집단의 산물이다(즉, q=p가^f prime인 경우 순서 f의 순환). E₆(q)의 외부 자동형 집단은 대각선 자동형 집단의 Z/gcd(3,q+1)Z(E_6,ad(q)의 작용으로 주어짐)와 자기장 자동화 집단(즉, q=p가^f prime인 경우 순서 f의 순환)의 산물이다.

물리학의 중요성

N = 11차원 초중력에서 치수 축소한 5차원 8초중력은 E보소닉₆ 지구 대칭과 Sp(8)보소닉 국부 대칭을 인정한다. 페르미온은 Sp(8), 게이지장은 E₆, 스칼라는 둘 다 표현한다(그래비톤은 둘 다에 관한 싱글트임). 물리적 상태는 코셋 E₆/Sp(8)를 나타낸다.

대통일 이론에서 E는₆ 그 파손 후에 표준 모델의 SU(3) × SU(2) × U(1) 게이지 그룹을 발생시키는 가능한 게이지 그룹으로 나타난다. 이를 달성하는 한 가지 방법은 SO(10) × U(1)로 끊는 것이다. 보조 78 표현은 위에서 설명한 대로 보조 45, 회전 16, 16과 SO(10) 하위 골격의 단어로 구분된다. 우리가 가지고 있는 U(1) 요금을 포함해서

${\displaystyle 78\rightarrow 45_{0}\oplus 16_{-3}\oplus {\overline{16}}{3}+1_{0}.}$

첨자가 U(1) 충전을 나타내는 경우.

마찬가지로, 기본 표현 27과 그 결합 27은 스칼라 1, 벡터 10 및 스피너 16으로 나뉜다.

${\displaystyle 27\rightarrow 1_{4}\oplus 10_{-2}\oplus 16_{1},}$

${\displaystyle {\bar{27}\오른쪽 화살표 1_{-4}\oplus 10_{2}\oplus {\overline{16}_{-1}.}$

그래서 스탠더드 모델의 초급 페르미온과 힉스 보슨을 얻을 수 있다.

참고 항목

• En (Lie 대수)
• ADE 분류
• 프로이덴탈 마법 광장

참조

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• Dickson, Leonard Eugene (1908), "A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface (second paper)", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 39: 205–209, ISBN 9780828403061, reprinted in volume VI of his collected works
• Ichiro, Yokota (2009). "Exceptional Lie groups". arXiv:0902.0431 [math.DG].