이중 다각형

Dual polygon

기하학에서 다각형은 이중이라고 불리는 쌍으로 연결되는데, 이중의 정점이 다른 한 개의 가장자리에 해당한다.

특성.

도르만 루크 구조로, 사각형 버텍스 모양에 이중으로 된 광택 면모를 보여주고 있다.

일반 폴리곤은 자가이중이다.

이소곤(Vertex-transitive) 폴리곤의 이중은 동위원소(Edge-transitive) 폴리곤이다. 예를 들어, (이항) 사각형과 (이항) 광맥버스는 이중형이다.

주기적인 다각형에서, 긴 변은 이중의 더 큰 외부 각(접선 다각형)에 대응하며, 더 작은 각도로 짧은 변에 대응한다.[citation needed] 또한 원래의 폴리곤의 응축된 면은 이중에서 응축된 각도를 생성하며, 반대로도 일치한다. 예를 들어, 매우 급성 이등변 삼각형의 이중은 둔부 이등변 삼각형이다.

도만 루크 구조에서 이중 다면체의 각 면은 해당 정점 형상의 이중 다각형이다.

사변측정감시에서의 이중성

다각형의 측면 각도 이중성의 예로서 주기적 및 접선적 4차측정의 특성을 비교한다.[1]

주기 4각형 접선 사각형
원곡선 내접원
측면의 수직 이등분선은 원곡선에서 동시에 이루어진다. 인센티브에서 각도 이등분자가 동시에 발생함
두 쌍의 반대 각도의 합이 같다. 두 쌍의 반대편의 합이 같다.


이 이중성은 아마도 이소체 사다리꼴을 연과 비교할 때 훨씬 더 명확할 것이다.

이소셀 사다리꼴 연
동일한 인접 각도의 두 쌍 동일한 인접 면의 두 쌍
한 쌍의 동일한 반대쪽 동일한 반대 각도의 한 쌍
한 쌍의 반대편을 통한 대칭 축 한 쌍의 반대 각도를 통한 대칭의 축
원곡선 내접원

이중성의 종류

정류

이중 폴리곤의 가장 간단한 정성적 구조는 정류 작업으로, 폴리곤의 가장자리는 각 원래 가장자리의 중심에 있는 꼭지점까지 잘린다. 이 새로운 꼭지점들 사이에 새로운 가장자리가 형성된다.

이 공사는 되돌릴 수 없다. 즉, 두 번 적용하여 생성된 다각형은 일반적으로 원래의 다각형과 비슷하지 않다.

극상호작용

참고 항목: 극 상호주의

이중 다면체와 마찬가지로 원(글씨 원, 원, 또는 둘 다 존재할 경우 중간 원)을 취하고 그 안에서 극적 상호 작용을 할 수 있다.

투영 이중성

참고 항목: 이중 곡선

투영적 이중성 아래에서 점의 이중은 선이며, 선의 이중은 점이다. 따라서 폴리곤의 이중은 이중의 정점에 해당하는 원형의 가장자리를 가진 폴리곤이다.

이중 곡선의 관점에서, 곡선상의 각 점들이 이중 점들을 그 점의 접선 선에 연관시키는 경우, 투영적 이중은 다음과 같이 해석될 수 있다.

  • 폴리곤의 측면에 있는 모든 점들은 동일한 접선선을 가지고 있으며, 이는 측면 자체에 동의한다 – 따라서 그들은 모두 듀얼 폴리곤에서 동일한 정점에 매핑된다.
  • 꼭지점에서, 그 꼭지점에 대한 "접선"은 두 가장자리 사이의 각도와 함께 그 점을 통과하는 모든 선입니다 – 이 선들에 대한 이중 점들은 이중 다각형의 가장자리가 된다.

콤비네이터리로

결합적으로, 폴리곤을 정점 집합, 가장자리 집합 및 발생 관계(정점과 가장자리의 접촉)로 정의할 수 있다. 인접한 정점 두 개가 가장자리를 결정하고, 달마다 인접한 두 가장자리가 정점을 결정한다. 그런 다음 정점과 가장자리를 간단히 전환하여 이중 다각형을 얻는다.

따라서 정점이 {A, B, C}이고 가장자리가 {AB, BC, CA}인 삼각형의 경우 이중 삼각형은 정점이 {AB, BC, CA}이고 가장자리 {B, C, A}이(가) 있으며 여기서 B는 AB와 BC를 연결하는 등등이 있다.

이것은 결합적으로 볼 때 특별히 유익한 길은 아니다. 폴리곤의 기하학적 이중성은 결합형 이중 다면체처럼 더욱 다양하다.

참고 항목

참조

  1. ^ 마이클 드 빌리에스, 유클리드 기하학의 모험들 ISBN978-0-557-10295-2, 2009년, 페이지 55.

외부 링크