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케플러 삼각형

Kepler triangle
케플러 삼각형은 황금비율에 따라 기하급수적으로 면적이 있는 세 개의 정사각형으로 이루어진 직각 삼각형이다.

케플러 삼각형은 모서리의 길이가 기하급수적으로 긴 특수한 직각 삼각형이다.은 {입니다. 서 = (1 + 5 ) /2 （ \ = ( + { \ { } ) /2 ）는 황금 비율이며, 진행률은 과 같습니다 1 : : : : \ 1 : 1 : 1 : { \ { \ rt { \ rt { \ rt } \ rt { \ rt \ { \ rt { \ rt } }}이 삼각형의 가장자리에 있는 정사각형은 또 다른 인1 : : 2 ( \ 1 : \ : \ ^ {} )의 영역을 가진다.같은 삼각형의 대체 정의는 두 개의 숫자의 3개의 피타고라스 평균 또는 이등변 삼각형의 반경을 통해 특징지어진다.

이 삼각형의 이름은 요하네스 케플러의 이름을 따 지어졌지만, 이전의 자료에서 찾을 수 있다.비록 몇몇 자료들이 고대 이집트 피라미드가 케플러 삼각형을 기반으로 한 비율을 가지고 있었다고 주장하지만, 대부분의 학자들은 황금 비율이 이집트 수학과 건축에 알려지지 않았다고 믿는다.

역사

케플러 삼각형의 이름은 1597년 [1]편지에서 이 모양에 대해 쓴 독일의 수학자이자 천문학자 요하네스 케플러의 이름을 따왔다.이 삼각형을 분석하기 위해 사용될 수 있는 두 가지 개념, 피타고라스 정리와 황금 비율은 케플러에게 모두 흥미로웠습니다.

기하학에는 두 가지 큰 보물이 있다. 하나는 피타고라스의 정리이고, 다른 하나는 선을 극단과 평균의 비율로 나눈 것이다.첫 번째는 금덩어리에 비유할 수 있고, 두 번째는 귀한 [2]보석이라고 할 수 있다.

하지만, 케플러가 [3]이 삼각형을 묘사한 첫 번째 사람은 아니다.케플러 자신은 그것을 "마기러스라는 이름의 음악 교수"[1]의 공으로 돌렸다.같은 삼각형이 앞서 아랍 수학의 책, 크레모나의 제라드가 12세기에 [3][4]라틴어로 번역한 것으로 알려진 아베 벡의 자유 사상서와 [3][5]케플러와 비슷한 방식으로 그것을 정의한 피보나찌의 실천 기하학 서적 (1220–1221년에 출판)에도 나타난다.케플러보다 조금 앞선 1567년에 페드로 누네스가 그것에 대해 썼고, 그것은 "중세 후반과 르네상스 시대의 사본 전통에 널리 퍼진 것 같다."[3]또한 [1]케플러보다 늦게 여러 차례 독립적으로 재발견되었다.

정사각형 피라미드의 모서리 중간점, 기준 중심점 및 정점에 의해 형성된 직각 삼각형입니다.몇몇 피라미드학자들은 기자의 피라미드를 위해 이렇게 형성된 삼각형이 케플러 삼각형을 의도한 것이라는 이론을 세웠다.

몇몇 저자들에 따르면, 단면적으로 이중 케플러 삼각형을 가진 황금 피라미드는 기자의 피라미드와 같은 이집트 피라미드의 디자인을 정확하게 묘사한다; 이 이론의 한 원천은 피라미드학자 존 [6][7]테일러가 19세기에 헤로도토스를 잘못 읽은 것이다.케플러 [1][6][8]삼각형과 무관한 동일한 피라미드에 대해 많은 다른 비례 이론들이 제안되어 왔다.이러한 다른 이론들은 그들이 얻는 수치와 측정의 부정확함 때문에 피라미드의 외부 표면의 파괴에 의해 부분적으로 야기되기 때문에, 그러한 이론들은 순전히 물리적인 [6][9]증거에 근거해서 해결되기는 어렵다.케플러 삼각형의 비율에 대한 일치는 숫자의 일치일 수 있다: 이 관계를 조사한 학자들에 따르면 고대 이집트인들은 그들의 수학이나 [1][8][10][11]건축에서 황금 비율에 대해 몰랐거나 사용하지 않았을 것이다.대신 변 11, [1][6]14를 가진 직각삼각형에 기초한 정수비를 이용해 피라미드의 비율을 적절히 설명할 수 있다.

"케플러 삼각형"이라는 [7]이름은 1979년 초에 케플러의 1597년 편지에 기초한 로저 허즈-피슐러에 의해 사용되었다.마틸라 기카가 1946년 황금 비율에 관한 그의 저서인 "예술과 삶의 기하학"에서 사용한 같은 삼각형의 또 다른 이름은 피라미드학자 W. A.[12] 프라이스의 이름을 딴 "가격의 삼각형"이다.

정의들

두 개의 케플러 삼각형으로 이루어진 이등변 삼각형이 긴 변을 가로질러 반사될 때, 그것은 같은 두 변의 길이를 가진 모든 이등변 삼각형 중에서 가능한 최대 반지름을 가진다.

케플러 삼각형은 직각삼각형이라는 특성과 기하급수적으로 변의 길이를 가지거나 등가적으로 변의 정사각형을 갖는 특성으로 정의됩니다.측면 길이의 진행률은 {\{\ 입니다. 여기서 ( +) / 2（ \ \= ( 1 + { \ ) /는 황금 비율이며, 은1 : : {\ : : φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ이 삼각형의 가장자리에 있는 정사각형에는 다른 기하급수인 1:2 { 1 : \ : \ ^ {}{ in in in in in1 : 。이러한 비율을 가진 삼각형이 직각 삼각형이라는 사실은 이러한 비율을 가진 제곱 모서리 길이의 경우 황금 비율의 정의 다항식이 직각 삼각형의 제곱 모서리 길이에 대해 피타고라스 정리에 의해 주어진 공식과 동일하다는 사실에서 비롯된다.

이 방정식은 황금 비율에 대해 참이기 때문에, 이 세 길이는 피타고라스 정리에 따르고 직각 삼각형을 형성합니다.반대로, 정사각형의 모서리 길이가 {\인 직각 삼각형에서, 피타고라스 정리는 이 비율이 항등식 2 + {\displaystyle } = \ +에 따른다는 것을 암시한다.따라서 이 비율은 이 방정식에 대한 유일한 양의 해, 황금 비율, 그리고 삼각형은 케플러 [1]삼각형이어야 합니다.

3개의 가장자리 12개의 ±({\pm[13][14])의 조화 평균 기하 평균및 산술 평균입니다.두 숫자를 조합하는 이 세 가지 방법은 모두 고대 그리스 수학에서 연구되었고, 피타고라스 [15]평균이라고 불립니다.반대로, 이것은 케플러 삼각형의 다른 정의로 받아들여질 수 있다: 이것은 모서리의 길이가 어떤 두 숫자의 세 개의 피타고라스 평균인 직각 삼각형이다.이것이 맞는 유일한 삼각형은 케플러 [13][14]삼각형이다.

이 삼각형을 정의하는 세 번째 동등한 방법은 이등변 삼각형의 내반경을 최대화하는 문제에서 비롯됩니다.두 변의 길이가 같은 이등변 삼각형 중에서 가장 큰 반지름의 삼각형은 케플러 삼각형의 두 복사본에서 형성되며, 서로 긴 변을 가로질러 반사됩니다.따라서, 케플러 삼각형은 같은 빗변을 가진 모든 직각 삼각형 중에서, 반사가 최대 인라디우스의 [16]이등변 삼각형을 이루는 직각 삼각형으로 정의될 수 있다.또한 동일한 반사는 주어진 둘레에 대해 가능한 가장 큰 [17]반원을 포함하는 이등변 삼각형을 형성합니다.

특성.

탄젠트 원에 대한 콕서터의 로크로믹 시퀀스에서, 세 개의 연속된 원의 중심은 케플러 삼각형으로부터 각도를 형성합니다.

케플러 삼각형의 짧은 변의 길이가 s인 경우 다른 변의 는 s와 s s입니다.면적은 직각 삼각형의 면적(두 변의 절반 곱)에 대한 표준 공식으로 할 수 있습니다. { {\직각이 아닌 2개의 각도 중 큰 쪽의 코사인(양쪽의 짧은 쪽)은 빗변 \})에 대한 인접 변의 비율입니다. 여기서부터 두 개의 직각이 아닌 각도는[1] 다음과 같습니다.

그리고.

Jerzy Kocik는 이 두 각도 중 더 큰 각도가 콕서터의 [18]접선원록소드로믹 시퀀스에서 연속된 원의 세 배 중심에 의해 형성되는 각도라는 것을 관찰했다.

「 」를 참조해 주세요.

  • 자동 삼각형, 변 가 1 1인 직각 삼각형을 포함한 변 길이가 산술 급수를 이루는 삼각형입니다.
  • 황금 삼각형, 밑면과 옆면 길이의 비율이 황금 비율인 이등변 삼각형입니다.

레퍼런스

  1. ^ a b c d e f g h Herz-Fischler, Roger (2000). The Shape of the Great Pyramid. Waterloo, Ontario: Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5. MR 1788996. 이 책 전체는 이 피라미드의 모양에 대한 많은 대체 이론을 조사한다.케플러 삼각형에 특정한 재료는 11장 "케플러 삼각형 이론", 80–91페이지를 참조하고, 케플러 삼각형 이론은 "고대 이집트인들이 알고 있던 것과 일치하는 수학 수준에 대응해야 한다"는 원리에 의해 제거될 수 있다는 결론은 166페이지를 참조한다.케플러의 이 삼각형에 대한 연구의 역사는 3페이지 229를 참조하세요.
  2. ^ Fink, Karl (1903). A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink's Geschichte der Elementar-Mathematik. Translated by Beman, Wooster Woodruff; Smith, David Eugene (2nd ed.). Chicago: Open Court Publishing Company. p. 223.
  3. ^ a b c d Høyrup, Jens (2002). "Review of The shape of the Great Pyramid by Roger Herz-Fischler" (PDF). Mathematical Reviews. MR 1788996. Archived (PDF) from the original on 2022-02-23. Retrieved 2022-02-23.
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