데카곤

정십각형
정십각형
	정십각형
유형	정다각형
모서리 및 꼭짓점	10
슐레플리 기호	{10}, t{5}
콕서터-딩킨 도표	;
대칭군	이면체 (D10), 주문 2x10
내각(도)	144°
특성.	볼록, 순환, 등변, 등변, 등변
이중다각형	자신

십각형(十角形, )은 기하학에서 십각형(十角形) 또는 십각형(十角形)인 δέκα 데카와 γωνία 고니아에서 따온 것입니다.단순한 십각형의 내각의 합은 1440°입니다.

정십각형

일반적인 십각형은 모든 변의 길이가 같고 각 내각은 항상 144°^[1]입니다.슐레플리 기호는 {10}이며 두 가지 유형의 가장자리를 번갈아 사용하는 준정형 십각형인 잘린 오각형 t{5}로도 구성할 수 있습니다.

변길이

그림은 측면 $a$ 가 $a$ 이고 $a$ 외접원의 $R$ 반지름이 $R$ $R$ 인 일반 십각형을 보여줍니다.

삼각형 $E_{10}E_{1}M$ $E_{10}E_{1}M$ $E_{10}E_{1}M$ $E_{10}E_{1}M$ $E_{10}E_{1}M$ $E_{10}E_{1}M$ 에는 $R$ 가 R $R$ 인 $R$ 두 개의 똑같이 긴 다리와 $a$ 가 $a$ 인 밑면이 있습니다 $E_{10}E_{1}M$ .
$a$ 이 $a$ 인 $E_{1}$ $E_{1}$ $E_{1}$ ${\$ 주위의 원이 $P$ $]M\,E_{10}[$ $displaystyle$ a} 점 $($ 그림에서 $a$ 지정되지 않음) $P$ 에서 $]M\,E_{10}[$ $]M\,E_{10}[$ $]M\,E_{10}[$ $[{\$ $displaystyle ]M\,E_{10}[}$
이제 삼각형 ${E_{10}E_{1}P}\;$ ${E_{10}E_{1}P}\;$ ${E_{10}E_{1}P}\;$ ${E_{10}E_{1}P}\;$ P $displaystyle {E_{10}E_{1}P}\;}$ 는 꼭짓점 E $E_{1}$ 이 $E_{1}$ 이고 밑각이 m인 이등변 삼각형입니다. ∠ $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$ 1 $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$ P = m ∠ $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$ $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$ $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$ $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$ = $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$ ∘ $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$ {\ $displaystyle m\angle E_{1}E_{10}P$ = $m\angle E_{10}$ $PE_{1}=72^{\circ}\;}$ 입니다 $m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;$
따라서 $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ ∠ $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ = $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ ∘ - $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ ⋅ $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ ∘ = $m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;$ ∘ $displaystyle m\angle PE_{1}E_{10$ } = $180^{\circ}-2\cdot 72^{\circ$ }= 36 $^{\circ}\;.$ $\;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;$ ∠ $\;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;$ 1 P $\;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;$ = $\;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;$ ∘ - $\;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;$ ∘ $displaystyle \;m$ $P$ $angle ME_{1$ }P= $72$ ^{\ $circ }-36^{\circ }\;}$ 이므로 $\;E_{1}MP\;$ 1 $\;E_{1}MP\;$ $\;E_{1}MP\;$ 도 꼭짓점 $P$ 가 $P$ 인 이등변 삼각형입니다.다리 길이가 $a$ 이므로 $[P\,E_{10}]$ $a$ $[P\,E_{10}]$ $[P\,E_{10}]$ $[P\,E_{10}]$ 의 $R-a$ 는 R - $R-a$ a $R-a$ 입니다 $[P\,E_{10}]$ $R-a$
이등변삼각형 E $E_{10}E_{1}M\;$ $E_{10}E_{1}M\;$ $E_{10}E_{1}M\;$ $E_{10}E_{1}M\;$ $E_{10}E_{1}M\;$ 과 $PE_{10}E_{1}\;$ $PE_{10}E_{1}\;$ $PE_{10}E_{1}\;$ $PE_{10}E_{1}\;$ $displaystyle PE_{10}E_{1}\;}$ 은(는) 꼭지점에서 36°의 각도가 같으므로 유사합니다. a = $\;{\frac {a}{R}}={\frac {R-a}{a}}$ - $\;{\frac {a}{R}}={\frac {R-a}{a}}$ ${\displaystyle \;{\frac {a}{R$ }}={\ $frac {R-a}{a}}}$
분모 $R,a>0$ $R,a>0$ > $R,a>0$ $R,a>0$ 과의 곱셈은 2차 방정식으로 이어집니다: $\;a^{2}=R^{2}-aR\;$ $\;a^{2}=R^{2}-aR\;$ = $\;a^{2}=R^{2}-aR\;$ $\;a^{2}=R^{2}-aR\;$ - $\;a^{2}=R^{2}-aR\;$ $\;a^{2}=R^{2}-aR\;$ ${\displaystyle \;a^{2$ }= $R^{2}-aR\;}$
$a\,$ 의 길이 ${\displaystyle$ a $\,}$ 에 대한 이 방정식에는 a $\;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})$ = $\;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})$ ( - $\;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})$ + $\;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})$ 5 ) $\;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})$ {\ $displaystyle \;a$ = {\ $frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5})}$ 이(가) 있습니다.

그래서 규칙적인 십각형은 자와 나침반으로 만들 수 있습니다.

추가결론

$\;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;$ $=$ 2 $\;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;$ $\;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;$ - $\;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;$ = $\;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;$ $\;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;$ ( $\;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;$ + 1 $\;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;$ ) ${\displaystyl$ ={\ $frac {2a}{{\sqrt {5}$ }}={\ $frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\$ $\Delta \,E_{10}E_{1}M\,$ $\Delta \,E_{10}E_{1}M\,$ $\Delta \,E_{10}E_{1}M\,$ $\Delta \,E_{10}E_{1}M\,$ 1 $\Delta \,E_{10}E_{1}M\,$ ${\displaystyle \,E_{10}E_{1}M\,}($ 즉 $[M\,D]$ [ $[M\,D]$ D $[M\,D]$ ${\displaystyle [M\,$ $D]$ 은 $h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;$ $=$ R $h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;$ - $h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;$ / $h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;$ ) 2 $=$ $h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;$ $h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;$ $h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;$ $h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;$ $displaystyle$ h $=$ {\ $sqrt {R^{2}-(a/2)^{2$ }} $=$ {\ $frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}\;}$ 이며 삼각형의 넓이는 다음과 같습니다. $A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ $A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ $A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ $A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ $A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ = a $A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ $A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ + $A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ ${\displaystyle A_{\De$ } = {\ $frac {a}{2}}\c$ = {\ $frac {a^{2}}{4}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}.$

지역

변의 길이 a인 정십각형의 넓이는 다음과 같습니다.^[3]

A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left ({\frac {\pi}{10}}\right)={\frac {5}{2}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}\n\simeq 7.694208843\,a^{2}

아포테머(내접 그림 참조)의 관점에서 면적은 다음과 같습니다.

A=10\tan \left ({\frac {\pi}{10}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}\right)}}\simeq 3.24919962\,r^{2

원반지름 R로 환산하면 넓이는 다음과 같습니다.

A=5\sin \left ({\frac {\pi}{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}{2}}\ simeq 2.9389261\,R^{2}

대안적인 $A=2.5da$ 은 $A=2.5da$ A = $A=2.5da$ . $A=2.5da$ da $A=2.5da$ {\ $displaystyle$ A = $A=2.5da$ 2 $.5da}$ 이며, d는 평행변 사이의 거리 또는 데카곤이 한 면에 베이스로 서 있을 때의 높이 또는 데카곤의 내접원의 직경입니다.단순 삼각법으로

d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi}{10}}+\cos {\tfrac {\pi}{10}\right),

대수적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}

사이드스

일반적인 십각형은 10개의 면을 가지고 있고 등변형입니다.35개의 대각선을 가지고 있습니다.

시공

페르마 소수점의 2배의 힘인 10 = 2 × 5와 같이, 정십각형은 나침반과 직선을 이용하거나 정십각형의 가장자리 이등분으로 구성할 수 있습니다.

십각형 구조

오각형 건축

대안적인(비슷한) 방법은 다음과 같습니다.

오각형을 만드는 방법 중 하나로 원 안에 오각형을 만듭니다.
오각형의 각 꼭짓점에서 원의 중심을 지나 같은 원의 반대쪽으로 선을 연장합니다.각 선이 원을 자르는 곳은 십각형의 꼭짓점입니다.다시 말해, 한 점의 반사 아래에 있는 정오각형의 상은 동심 합동 오각형이고, 두 오각형은 모두 동심 정오각형의 꼭짓점을 가지고 있습니다.
오각형의 다섯 모서리는 십각형의 교대 모서리를 구성합니다.이 점들을 인접한 새 점에 결합하여 데카곤을 형성합니다.

비볼록 정십각형

황금 삼각형의 두 등변의 길이 비율은 황금 비율이며, φ $\Phi$ 또는 $\Phi$ 그 곱셈 역으로 표시됩니다.

\Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ}={\frac {1}{,2\,\cos 36\,^{\circ}}={\frac {\,{\sqrt {5}-1\,}{2}{\text{.}

그래서 우리는 이 별 다각형을 채우는 황금 삼각형 타일링을 통해 보통의 십각형 별의 성질을 얻을 수 있습니다.

데카곤의 황금 비율

지정된 원형뿐만^[5] 아니라 지정된 측면 길이를 갖는 건축물 모두에서 선분을 외부 분할로 나누는 황금 비율이 결정적인 건축 요소입니다.

주어진 외둘레를 가진 구조에서 반지름 GE를₃ 가진 G 주위의 원호는 황금 비율에 해당하는 세그먼트 AH를 생성합니다.

{\overline {AM}}{\overline {MH}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}={\frac {1+{\sqrt {5}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}

변의 길이가^[6] 주어진 구조에서 반지름이 DA인 D 주위의 원호는 황금 비율에 해당하는 세그먼트 EF를₁₀ 생성합니다.

{\frac {\overline {E_{1}E_{10}}{\overline {E_{1}}{\overline {E_{1}}}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}

주어진 원이 있는 데카곤,^[5] 애니메이션

측면 길이가 지정된 데카곤,^[6] 애니메이션

대칭성

정십각형은 Dih₁₀ 대칭이고 순서는 20입니다.부분군 이면체 대칭은 세 가지입니다.Dih₅, Dih₂, Dih₁ 및 4개의 순환군₅ 대칭: Z₁₀, Z, Z₂ 및 Z₁.

이 8개의 대칭은 십각형에서 10개의 서로 다른 대칭으로 볼 수 있는데, 반사선이 꼭짓점이나 모서리를 통과할 수 있기 때문에 더 큰 숫자입니다.존 콘웨이는 이것들을 편지와 그룹 순서로 분류합니다.^[7]정칙형의 완전한 대칭은 r20이고 어떤 대칭도 a1로 표시되지 않습니다.다면체 대칭은 꼭짓점(대각선의 경우 d) 또는 모서리(직각선의 경우 p)를 통과하는지, 반사선이 양쪽 모서리와 꼭짓점을 통과할 때 i에 따라 나뉩니다.가운데 열의 순환 대칭은 중심 회전 순서에 대해 g로 표시됩니다.

각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용합니다.g10 부분군만 자유도가 없지만 방향이 지정된 가장자리로 볼 수 있습니다.

가장 높은 대칭 불규칙 데카곤은 긴 가장자리와 짧은 가장자리를 번갈아 사용할 수 있는 5개의 거울로 구성된 등각 데카곤인 d10과 등각 데카곤인 p10입니다.이 두 형태는 서로의 쌍대칭이며 정십각형의 대칭 순서의 절반을 갖습니다.

해부학

10큐브 프로젝션	마름모꼴 40개

콕서터는 모든 조노곤(대변이 평행하고 길이가 같은 2m-곤)을 m(m-1)/2 평행도그램으로 분해할 수 있다고 말합니다.^[8]특히 변이 균등하게 많은 일반 다각형의 경우에 해당되며, 이 경우 평행도형은 모두 마름모꼴입니다.정십각형의 경우 m=5이며, 아래의 예를 들어 10개의 홈으로 나눌 수 있습니다.이 분해는 5-큐브의 페트리 다각형 투영 평면에서 80개의 면 중 10개로 볼 수 있습니다.해부는 마름모꼴 삼각뿔의 30개 면 중 10개를 기준으로 합니다.목록 OEIS: A006245는 첫 번째 대칭 형태에 대해 2개의 방향이 있고 나머지 6개에 대해 10개의 방향이 있는 62개의 해로 정의합니다.

보통 십각형은 마름모꼴 10개로 해부됩니다.
5큐브

꼬챙이 십각형

일반 스큐 지그재그 데카곤 3개
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

일반적인 스큐 데카곤은 오각형 반프리즘, 오각형 반프리즘, 오각형 교차 안티프리즘의 지그재그 가장자리로 보여집니다.