칼라일 서클

Carlyle circle

수학에서 칼라일 원(Thomas Carlyle의 이름)은 이차 방정식과 연관된 좌표면의 특정 원이다. 원은 2차 방정식의 해법이 수평축과 원 교차점의 수평좌표라는 특성을 가지고 있다. 칼라일 서클은 일반 다각형의 지배자 및 컴포트 구조를 개발하는데 사용되어 왔다.

정의

2차 방정식의 칼라일2 원 x - sx + p = 0.

2차 방정식 지정

x2 − sx + p = 0

점 A(0, 1)와 B(s, p)를 직경으로 결합하는 선 세그먼트를 좌표면에서 원은 2차 방정식의 칼라일 원이라고 한다.[1][2][3]

속성 정의

칼라일 원의 정의 특성은 다음과 같이 설정될 수 있다: 직경으로 선 세그먼트 AB를 갖는 원의 방정식은

x(x − s) + (y − 1)(y − p) = 0.

원과 X축이 교차하는 점의 부위는 방정식의 뿌리(원 방정식에서 y = 0을 설정하여 관측됨)이다.

x2 − sx + p = 0.

일반 폴리곤의 시공

칼라일 서클을 이용한 일반 펜타곤 시공
칼라일 서클을 이용한 일반 헵타데카곤의 시공
칼라일 서클을 이용한 일반 257곤 시공

정규 오각형

정규 오각형 건설의 문제는 방정식의 뿌리 건설의 문제와 맞먹는다.

z5 − 1 = 0.

이 방정식의 한 루트는 점00 P(1, 0)에 해당하는 z = 1이다. 이 뿌리에 해당하는 인자를 제거하면 다른 뿌리는 방정식의 뿌리로 판명된다.

z4 + z3 + z2 + z + z + 1 = 0.

이러한 루트는 Ω, Ω2, Ω3, Ω4 형식으로 나타낼 수 있으며, 여기서 Ω = exp(2i//5)는 Ω이다. 이 점들이1 P2, P3, P, P4. Leting과 일치하도록 하라.

p1 = Ω + Ω4, p2 = Ω2 + Ω3

우리는 가지고 있다.

p1 + p2 = -1, pp12 = -1. (이러한 것들은 위의 쿼티크로 직접 대체하고6 Ω = Ω, Ω7 = Ω에2 주목하면 빠르게 참임을 나타낼 수 있다.)

그래서1 p와 p는2 2차 방정식의 뿌리다.

x2 + x − 1 = 0.

이 2차 원과 연관된 칼라일 원은 직경이 (0, 1) 및 (-1, -1)이고 중심은 (-1/2, 0)이다. 칼라일 서클은 p와1 p를2 구성하는 데 사용된다. p와1 p의2 정의에서 그것은 또한 다음과 같다.

p1 = 2 cos(2π/5), p2 = 2 cos(4π/5).

이러한1 점들은2 P, P3, P, P를4 구성하는데 사용된다.

일반 펜타곤 건설을 위한 칼라일 서클과 관련된 이 상세한 절차는 다음과 같다.[3]

  1. 오각형을 새길 동그라미를 그리고 중심점 O를 표시한다.
  2. 원의 중앙을 통해 수평선을 그린다. 원과 교차로 하나를 점 B로 표시한다.
  3. 중앙을 통해 수직선을 생성한다. 원과 교차로 하나를 점 A로 표시한다.
  4. 점 M을 O와 B의 중간점으로 구성한다.
  5. 점 A를 통하여 M을 중심으로 원을 그린다. 이것은2 x + x - 1 = 0에 대한 칼라일 원입니다. 수평선과의 교차점(원래 원 내부)을 점 W로 표시하고 원 바깥의 교차점을 점 V로 표시하십시오. 위에서 언급한 p와1 p 지점들이다2.
  6. 반경 OA와 중심 W의 원을 그리시오. 그것은 오각형의 꼭지점 중 두 곳에서 원래의 원을 교차한다.
  7. 반경 OA와 중앙 V의 원을 그리시오. 그것은 오각형의 꼭지점 중 두 곳에서 원래의 원을 교차한다.
  8. 다섯 번째 꼭지점은 가로축과 원래 원의 교차점이다.

일반 헵타데카곤

Carlyle circle과 관련된 유사한 방법이 있어 정기 헵타데카곤을 건설한다.[3] 오른쪽 그림은 절차를 보여준다.

정규로257곤

칼라일 서클을 이용해 257곤을 정기적으로 건설하려면 무려 24개의 칼라일 서클을 건설해야 한다. 그 중 하나가 2차 방정식 x2 + x - 64 = 0을 푸는 원이다.[3]

일반 65537곤

일반 65537곤 건설을 위한 칼라일 서클과 관련된 절차가 있다. 그러나 절차를 이행하기 위한 현실적인 문제가 있다. 예를 들어, 2차 방정식2 x + x14 - 2 = 0의 해법에 대한 칼라일 서클을 구축해야 한다.[3]

역사

레슬리 문제에 대한 칼라일의 해결책. 검은색 선 세그먼트는 두 세그먼트가 주어진 다른 사각형(빨간색)과 동일한 영역의 직사각형(녹색)을 형성하도록 두 세그먼트로 분할된다.

하워드 에브스(1911–2004)에 따르면, 수학자 존 레슬리(1766–1832)는 그의 저서 기하학의 원소(Delement of Geometry)에서 원과 함께 2차 방정식의 기하학적 구조를 묘사했고, 이 생각은 그의 전 제자인 토마스 칼리엘(1795–1881)에 의해 제공되었다고 언급했다.[4] 그러나 레슬리의 책에 나오는 서술은 유사한 원 구성을 포함하고 있지만, 그것은 데카르트 좌표계나 이차 함수 및 그 뿌리의 개념 없이 오로지 기본적인 기하학적 용어로만 제시되었다.[5]

직선을 내부 또는 외부에 관계없이 분할하여 그 세그먼트 아래의 직사각형이 주어진 직사각형과 동일해야 한다.

— John Leslie, Elements of Geometry, prop. XVII, p. 176[5]

1867년 오스트리아의 엔지니어 에두아르 릴은 다항식(Lill의 방법)의 뿌리를 결정하기 위한 그래픽 방법을 발표했다. 2차 함수에 적용하면 칼릴의 해결책에서 레슬리의 문제(그래픽 참조)에 이르는 사다리꼴 형상을 산출하고, 옆면 중 하나가 칼릴 원의 지름이다. 1925년 G. A. Miller는 규범화된 2차 함수에 적용된 릴의 방법을 약간 수정하면 그 함수의 뿌리의 기하학적 구조를 가능하게 하는 원을 산출하고 나중에 칼라일 서클이라고 불리게 된 것에 대한 명시적인 현대적 정의를 내렸다고 지적했다.[6]

에베스는 자신이 쓴 <수학의 역사 소개>(1953)의 연습 중 하나에서 현대적 의미에서의 원을 사용하며 레슬리와 칼라일과의 연관성을 지적했다.[4] 이후 출판물은 칼라일 서클, 칼라일 메소드 또는 칼라일 알고리즘이라는 명칭을 채택하기 시작했지만, 독일어권에서는 릴 서클(Lill-Kreis)이라는 용어도 사용된다.[7] DeTemple은 1989년과 1991년에 Carlyle 원을 사용하여 일반 폴리곤, 특히 펜타곤, 헵타데카곤, 257곤, 65537곤의 나침반과 직선 구조를 고안했다. Ladislav Beran은 1999년에 Carlyle 원이 어떻게 규범화된 이차 함수의 복잡한 뿌리를 형성하는 데 사용될 수 있는지를 설명했다.[8]

참조

  1. ^ E. John Hornsby, Jr.: 2차 방정식의 기하학적 및 그래픽 솔루션 The College Mathical Journal, Vol. 21, No. 5 (1990년 11월), 페이지 362–369 (JSTOR)
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Carlyle Circle". From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Retrieved 21 May 2013.
  3. ^ a b c d e DeTemple, Duane W. (Feb 1991). "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions" (PDF). The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97–208. doi:10.2307/2323939. JSTOR 2323939. Archived from the original (PDF) on 2015-12-21. Retrieved 6 November 2011. (JSTOR)
  4. ^ a b Hornsby, DeTemple 또는 Howard Eves를 참조하십시오. 수학의 역사에 대한 소개. 홀트, 리네하트, 윈스턴, 제3판, 1969년, 페이지 73
  5. ^ a b 존 레슬리: 지오메트리 및 평면 삼각형: 부록과 많은 메모와 삽화들을 가지고 있다. 아치발트 컨스터블앤코, 3. 아우스가베, 1817, 페이지 176, 340 (온라인 카피(구글)) 칼라일에 대한 코멘트는 이 책의 이전 판(1809, 1811)에는 포함되어 있지 않다는 점에 유의하십시오.
  6. ^ G. A. 밀러: 2차 방정식의 기하학적 해법 The Mathemical Gazette, vol. 12, 179 (1925년 12월, 페이지 500–501 (JSTOR)
  7. ^ 라이너 카인더스(ed.), 라인하르트 슈미트(ed.): Mit GeoGebra mehr Methraik Versteen. 스프링거 스펙트럼, 2014년 2판, ISBN 978-3-658-04222-6, 페이지 68-71(독일)
  8. ^ 라디슬라프 베란: 원으로부터 나온 2중근의 복잡한 뿌리. The Mathemical Gazette, Vol. 83, No. 497 (Jul, 1999), 페이지 287–291 (JSTOR)