16 셀

16-cell
일반 헥사데카초론
(16-셀)
(4인칭)
Schlegel wireframe 16-cell.png
슐레겔 도표
(수직 및 가장자리)
유형볼록 정규 4폴리토프
4인조
4데미큐브
슐레플리 기호{3,3,4}
콕시터 다이어그램CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
세포16 {3,3} 3-simplex t0.svg
얼굴32 {3} 2-simplex t0.svg
가장자리24
정점8
정점수16-cell verf.png
팔면체
페트리 폴리곤팔각형의
콕시터군B4, [3,3,4], 주문 384
D4, 주문 192
이중테세락트
특성.볼록, 이등변, 동위원소, 등면체, 정규
균일지수12

기하학에서 16-셀슐레플리 기호가 {3,3,4}인 일반 볼록 4-폴리토프(플라토닉 고체의 4차원 아날로그)이다.19세기 중반 스위스 수학자 루트비히 슐레플리가 처음 설명한 6개의 정규 볼록 4폴리토페 중 하나이다.[1]C16, 헥사데카초론 또는 [2]헥사데카헤드로이드라고도 한다.[3]

교차폴리토프(cross-polytopes) 또는 직교라고 하는 무한 폴리토프 계열의 한 부분으로, 3차원의 팔면체와 유사하다.콕세터의 폴리토프다.[4]콘웨이의 이름은 직교합체직교 콤플렉스야이중 폴리토프큐브(4-큐브)로, 복합 형상을 형성하기 위해 결합할 수 있다.16세포는 16개의 세포를 가지고 있고, 큐빅은 16개의 정점을 가지고 있다.

기하학

16셀은 6개의 볼록 정규 4폴리토프(크기와 복잡성의 순서) 순서 중 두 번째다.[a]

Each of its 4 successor convex regular 4-polytopes can be constructed as the convex hull of a polytope compound of multiple 16-cells: the 16-vertex tesseract as a compound of two 16-cells, the 24-vertex 24-cell as a compound of three 16-cells, the 120-vertex 600-cell as a compound of fifteen 16-cells, and the 600-vertex 120-cell as a compound of se통풍로516번길

정규 볼록 4폴리톱
대칭군 A을4 B4 F4 H4
이름 5세포

초계면체
5점

16 셀

초옥타헤드론
8점

8셀

하이퍼큐브
16점

24셀


24점

600셀

고이코사면체
120점

120 셀

초도면체
600점

슐레플리 기호 {3, 3, 3} {3, 3, 4} {4, 3, 3} {3, 4, 3} {3, 3, 5} {5, 3, 3}
콕시터 미러 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
그래프 4-simplex t0.svg 4-cube t3.svg 4-cube t0.svg 24-cell t0 F4.svg 600-cell graph H4.svg 120-cell graph H4.svg
정점 5 8 16 24 120 600
가장자리 10 24 32 96 720 1200
얼굴 삼각형 10개 삼각형 32개 24제곱 96개의 삼각형 1200 삼각형 펜타곤 720개
세포 5 사면체 사면체 16 8입방체 24옥타헤드라 사면체 600개 도데카헤드라로120번길
토리 5축면체 1개 2 8수면체 2 4시 30분 4 6옥타이드론 30수면체 20 10도면체 12개
새겨진 120 셀에 120 16 셀 1 16-182로 2 3 8시 30분 5 24 x 5 600 x 2의 5 x 2
그레이트 폴리곤 2 𝝅/2squares x 3 직사각형 4개/2개 x 3개 4㎛/3헥사곤 x 4 12㎛/5데카곤 x 6 50 //15 도데카곤 x 4
페트리 폴리곤 1오각형 팔각형 1개 옥타곤 2개 도데카곤 2개 30-gon 4개 30-gon 20
이소크라인 폴리곤 1 {8/2}=2{4} x {8/2}=2{4} 2 {8/2}=2{4} x {8/2}=2{4} 2 {12/2}=2{6} x {12/6}=6{2} 4 {30/2}=2{15} x 30{0} 20 {30/2}=2{15} x 30{0}
긴 반지름 1 1 1 1 1 1
모서리 길이 5/2 ≈ 1.581 2 ≈ 1.414 1 1 1/ϕ ≈ 0.618 1/2ϕ2 ≈ 0.270
단반경 1/4 1/2 1/2 2/2 ≈ 0.707 1 - (2/23φ)2 ≈ 0.936 1 - (1/23φ)2 ≈ 0.968
면적 10•8/3 ≈ 9.428 32•3/4 ≈ 13.856 24 96•3/4 ≈ 41.569 1200•3/2 ≈ 99.238 720•25+105/4 ≈ 621.9
볼륨 5•55/24 ≈ 2.329 16•1/3 ≈ 5.333 8 24•2/3 ≈ 11.314 600•1/38φ3 ≈ 16.693 120•2 + φ/28φ3 ≈ 18.118
4-내용 5/24•(5/2)4 ≈ 0.146 2/3 ≈ 0.667 1 2 쇼트∙볼/4 ≈ 3.907 쇼트∙볼/4 ≈ 4.385

좌표

디스조인트 사각형
xy 평면
( 0, 1, 0, 0) ( 0, 0,-1, 0)
( 0, 0, 1, 0) ( 0,-1, 0, 0)
wz 평면
( 1, 0, 0, 0) ( 0, 0, 0,-1)
( 0, 0, 0, 1) (-1, 0, 0, 0)

16-셀은 4차원 교차 폴리토프로서, 그것의 정점이 a (w, x, y, z) 카르테시안 좌표계의 4축에 반대 쌍으로 놓여 있다는 것을 의미한다.

8개의 꼭지점은 (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, ±1)이다.모든 정점은 반대 쌍을 제외한 가장자리로 연결된다.가장자리 길이는 2이다.

정점 좌표는 6개의 좌표 평면에 놓여 있는 6개의 직교 중심 정사각형을 형성한다.축(예: xy wz 평면)을 공유하지 않는 반대 면의 제곱은 완전히 분리된다(정점에서는 교차하지 않음).[b]

16-셀은 4차원 기준 프레임 선택을 위한 직교 기준을 구성하는데, 그 정점이 4개의 직교 축을 정확히 정의하기 때문이다.

구조

16세포의 슐레플리 기호는 {3,3,4}이며, 이는 세포가 정규 4면체 {3,3}이고 정점 수치정규 8면체 {3,4}임을 나타낸다.모든 꼭지점에서 만나는 8개의 사면체, 12개의 삼각형, 6개의 가장자리가 있다.그것의 가장자리 모양은 사각형이다.각 가장자리마다 4개의 사방면체, 4개의 삼각형이 만난다.

16세포는 16개의 세포로 경계를 이루는데, 이 모든 세포는 정규 4면체다.[c]그것32개의 삼각형 면, 24개의 가장자리, 8개의 꼭지점을 가지고 있다.24개의 가장자리로 묶인 6개의 직교 중심 정사각형은 6개의 좌표면(완전히 직교[d] 대 정사각형 3쌍)의 큰 원 에 놓여 있다.각 꼭지점에서 3개의 큰 정사각형이 수직으로 교차한다.6개의 가장자리는 6개의 가장자리가 정점에서 만나는 방식으로 정점에서 만난다.[e]

회전

16-cell.gif
단순 회전을 수행하는 16-셀의 3D 투영
16-cell-orig.gif
이중 회전을 수행하는 16-셀의 3D 투영

4차원 유클리드 공간의 회전은 완전히 직교면에서 2차원 회전 두 개의 구성으로 볼 수 있다.[6]16셀은 4차원 회전을 관찰하는 단순한 프레임으로, 16셀의 6대 사각형은 각각 또 하나의 완전히 직교 대 사각형(완전히 직교 정사각형 3쌍)이 있기 때문이다.[b]16-셀의 많은 회전은 하나의 큰 사각 평면에서 회전각(: xy 평면)과 완전히 직교하는 큰 사각 평면(wz 평면)에서 다른 회전각으로 특징지어질 수 있다.[f]완전 직교 대제곱에는 이음 정점이 있다: 16 셀의 8 정점 중 4가 한 평면에서 회전하고, 나머지 4개는 완전히 직교면에서 독립적으로 회전한다.[h]

2차원에서 또는 3차원에서 회전은 단일 회전 평면으로 특징지어진다. 4-공간에서 일어나는 이러한 종류의 회전을 단순 회전이라고 하는데, 이때 두 개의 완전한 직교 평면 중 하나만 회전한다(다른 평면의 회전 각도는 0이다).16-셀에서 6개의 직교 평면 중 하나의 단순한 회전은 8개의 정점 중 4개만 이동하고 나머지 4개는 고정된 상태로 유지된다.(위의 단순 회전 애니메이션에서는 회전면이 6개의 직교 기준면 중 하나가 아니기 때문에 8개의 정점 모두가 움직인다.)

이중 회전에서는 4개의 꼭지점 세트가 모두 움직이지만 독립적으로: 회전 각도는 2개의 완전히 직교면에서 다를 수 있다.두 각도가 같을 경우 최대 대칭 이등변위 회전이 일어난다.[i]16-셀에서 한 쌍의 완전 직교 사각 평면에 90도씩 이등각 회전이 모든 직교 사각 평면을 완전히 직교 사각 평면으로 가져간다.[j]

시공

팔면체 쌍극체

옥타헤드론 3 16-셀 4
3-cube t2.svg 4-demicube t0 D4.svg
육각형 하이퍼플레인 기울기를 위한 직교 투영

16셀의 가장 간단한 구조는 3차원 교차 폴리토프, 즉 팔면체 위에 있다.팔면체는 3개의 수직축과 6개의 정점들을 3개의 반대 쌍으로 가지고 있다. (그들의 Petrie polygon은 육각형이다.다른 3개의 축에 수직인 네 번째 축에 다른 정점 쌍을 추가한다.각각의 새로운 정점을 12개의 새로운 가장자리를 추가하여 원래 정점 6개에 모두 연결하십시오.이것은 16-셀의 중심 하이퍼플레인 안에 있는 공유된 팔면 기반 위에 두 개의 팔면 피라미드를 기른다.[10]

16-셀의 6개의 직교 중심 정사각형을 원형 위에 입체 투영.각 원은 3개의 원이 수직으로 교차하는 교차로에서 4개의 원형으로 나뉜다.각 원에는 교차하지 않는 하나의 Clifford 평행 원이 있다는 점에 유의하십시오.그 두 원은 사슬의 인접한 고리처럼 서로를 통과한다.

공사가 시작되는 팔면체에는 세 개의 수직 교차 사각형(육각형 돌출부에서 직사각형으로 나타남)이 있다.각 정사각형은 두 개의 정점에서 다른 정사각형과 교차하며, 각 정점에서 두 의 정사각형이 교차한다.그런 다음 4차원(3차원 하이퍼플레인 위와 아래)에 두 점을 더한다.이러한 새로운 정점은 모든 옥타헤드론의 정점에 연결되어 12개의 새로운 가장자리와 3개의 더 많은 정사각형(투영에서 6각형의 3개의 직경으로 에지온으로 표시)을 만든다.

전례가 없는 일도 생겨났다.각 사각형은 더 이상 다른 모든 사각형과 교차하지 않는다. 즉, 4개의 사각형과 교차하지만(현재 각 꼭지점에서 교차하는 3개의 사각형과), 각 사각형은 정점이 없는 다른 사각형을 가지고 있다. 즉, 정점이 없는 사각형과 전혀 직접 연결되지 않는다.이 두 개의 분리된 수직 사각형(그 중 세 쌍이 있다)은 4면체의 반대쪽 가장자리인 수직이지만 교차하지 않는다.서로 마주보고 누워 있다(어떤 의미에서는 평행) 손대지 않지만, 체인에 있는 두 개의 수직 고리처럼 서로를 통과하기도 한다(그러나 체인의 링크와는 달리 그들은 공통의 중심을 가지고 있다).그것들은 클리포드 평행 폴리곤의 한 예로서, 16세포는 그것들이 발생하는 가장 단순한 일반 폴리토프다.[g]클리포드 평행주의는 여기서 나타나며 이후 모든 4차원 볼록형 일반 폴리토프에서 발생하는데, 여기서 분리형 정규 4폴리토프와 이들의 공동 중심부 사이의 결정적인 관계라고 볼 수 있다.2차원 이상의 혼합(비슷한) 폴리토피 사이에서 발생할 수 있다.[11]예를 들어, 모든 후속 볼록형 정규 4폴리탑은 여러 16셀의 화합물이며, 그 16셀은 Clifford 병렬 폴리탑이다.

사면구축

16-cell net.png 16-cell nets.png

16셀에는 정규 형태와 교대 형태인 일반 사면체에서 나온 2개의 와이토프 구조물이 있는데, 여기에 그물로 나타나 있으며, 두 번째는 두 가지 색상의 사면체 세포로 대표된다.교대형태는 소멸작용이라 불리는 16셀의 낮은 대칭 구조다.

Wythoff의 구조는 16셀의 특징적인 4정맥을 거울의 케일리디스코프에 복제한다.정형외과치랄 불규칙한 심플렉스로서, 폴리토프는 자신의 면(거울벽)에 그 자신의 반사된 모습을 정확히 채울 것이기 때문에 어떤 폴리토프의 특징이다.모든 일반 폴리토프는 그것의 특징적인 정형화된 예들로 해부될 수 있다.

사면세포가 있는 일반 4폴리탑은 5세포, 16세포, 600세포 등 3개가 있다.비록 모든 것이 일반 사면체 세포에 의해 경계되지만, 그들의 특징적인 4정맥은 각기 다른 특징적불규칙 사면체를 바탕으로 한 서로 다른 사면체 피라미드들이다.예를 들어, 5세포는 4면체와 치수적으로 유사하므로 5면체특성 심플렉스(simplex)는 일반 4면체특징적인 4면체(theadron)에 기초한 4면체(pyramid)이다.16셀은 8면체와 치수적으로 유사하므로 16셀의 특성 심플렉스(simplex)는 일반 8면체특성 4면체(the 4면체)를 바탕으로 한 4면체(pyramid)이다.

차원적으로 유사한 다면체로부터 16개의 셀을 구성하기 위해, 우리는 8면체에서 4피라미드 두 개를 키웠다: 8면체 dipyramid.3정맥기초(불규칙 4면체)에 16세포(불규칙 5면체)의 특성 4정맥을 구성하기 위해 일반 8면체의 특성 4면체 위에 4피리드를 올린다.어떤 사면 피라미드와 마찬가지로, 이것은 4면체의 정점인 5번째 꼭지점, 즉 4면체의 정점에 4개의 새로운 가장자리를 추가하게 된다.베이스는 불규칙(가장자리의 길이가 4가지인 3정형)이고, 4-피라미드의 "사이드"로 생성될 4개의 새로운 세포는 합치된 3정형이어야 한다( 16-셀은 일반 4-폴리토프이기 때문에), 4개의 새로운 가장자리는 4개의 길이가 같아야 한다.만약 그렇다면, 결과적인 4-피라미드는 일반 16-셀의 4-피라미드 두 개를 각각 맞추고 채울 것으로 기대할 수 있는 특징적인 4-정통이 될 것이다.

단위-반경 8각형의 특징적인 직교체길이의 가장자리 12, 2/2, 3/2 (외부 직각 삼각형 면), 1, 22/2 (팔각형의 반지름인 에지)를 더한다.3개의 직교 가장자리를 따라가는 경로는 2/2, 2/2, 1이다(우선 중간점까지 팔면 가장자리를 따라간 다음 팔면 중심에서 90° 회전한 다음 다시 다른 팔면 정점으로 90° 회전한다).

4개의 직관을 구성하려면 네 개의 새 가장자리(각 길이 중 하나)와 하나의 새 꼭지점(모든 새 가장자리가 만나는 꼭지점)을 추가하십시오.길이 2의 새(16-셀) 가장자리를 경로의 첫 번째 꼭지점에 부착한다.길이 3/2의 새 가장자리를 경로의 두 번째 꼭지점(옥타헤드론 중간 가장자리)에 부착한다.길이 1의 새 가장자리(16셀 길이 반지름)를 경로의 세 번째 꼭지점(팔면체 중심도 되는 정점)에 부착한다.(가장 짧은) 길이의 새 가장자리 2/2를 경로의 네 번째 꼭지점(이미 그러한 가장자리가 부착되어 있지 않은 유일한 꼭지점)에 부착한다.경로는 직교 가장자리 3개에서 4개로 확장되었으며, 현재 2/2, 2/2, 1, 2/2가 되며, 경로의 다섯 번째 꼭지점으로 새로운 꼭지점이 있다.제5경로 꼭지점은 제2경로 꼭지점과 마찬가지로 16경로 꼭지점이라기보다는 16경로 중간점이다.

이 4개의 직교 중 32개는 16개의 셀에 맞을 것이며, 16개는 팔면 기지의 하이퍼플레인 위, 그리고 16개는 그 아래에 들어갈 것이다.[k]32명 모두가 16셀의 한 축을 둘러싸고 그 중심에서 만난다.16세포는 직교 도끼가 4개 있기 때문에 4개 직교로 채우는 방법은 4가지다.

헬리컬 구조

순 및 직교 투영

16-셀은 8개의 사슬로 묶인 사트라헤드라의 두 개의 보어디크-콕시터 나선으로 구성될 수 있으며 각각 4차원에서 링으로 구부러진다.두 개의 원형 나선은 서로 소용돌이치며 서로 둥지를 틀고 호프 링크를 형성하며 서로를 통과한다.16개의 삼각형 면은 삼각형 타일링 내의 2D 그물에서 볼 수 있으며, 모든 꼭지점 주위에 6개의 삼각형이 있다.보라색 가장자리는 16-셀의 페트리 폴리곤을 나타낸다.

따라서 16-셀은 네 개의 가장자리 길이에 각각 8개의 사면체를 가진 두 개의 유사한 세포분열 원형 체인으로 분해될 수 있다.이러한 분해는 16-셀의 4-4 듀오antiprism 구성에서 볼 수 있다: 또는 , Schléfli 기호 {2}⨂{2} 또는 s{2}s{2}s{2}, 대칭 4,2+,4, 순서 64.

구성으로

구성 매트릭스는 16-셀을 나타낸다.행과 열은 꼭지점, 가장자리, 면 및 셀에 해당한다.대각선 숫자는 16 셀 전체에서 각 원소가 얼마나 많이 발생하는지 말해준다.비대각 숫자는 열의 요소 중 몇 개가 행의 요소 안에서 또는 열 요소에서 발생하는지 알려준다.

테셀레이션스

일반 16세포로 4차원 유클리드 공간테셀레이트 할 수 있다.이것을 16세포 벌집이라고 하며 슐래플리 기호 {3,3,4,3}을(를) 가지고 있다.따라서 16세포의 이면각은 120°[12]이다.각 16개 셀에는 4면체를 공유하는 16개의 이웃, 단점만을 공유하는 24개의 이웃, 단점만을 공유하는 72개의 이웃이 있다.이 테셀레이션에서는 24개의 16세포가 주어진 꼭지점에서 만난다.

이중 테셀레이션, 24셀 벌집, {3,4,3,3}은 일반 24셀로 만들어진다.테서틱 벌집 {4,3,3,4}과(와) 함께 R의 유일정규4 테셀레이션이다.

투영

맞춤법 투사
콕시터 평면 B4 B3 / D4 / A2 B2 / D3
그래프 4-cube t3.svg 4-cube t3 B3.svg 4-cube t3 B2.svg
치측 대칭 [8] [6] [4]
콕시터 평면 F4 A을3
그래프 4-cube t3 F4.svg 4-cube t3 A3.svg
치측 대칭 [12/3] [4]
16-셀의 투영 봉투. (각 셀은 다른 색면으로 그려지고 반전된 셀은 미사용)

16-셀을 3-공간으로 병렬로 투영한 셀은 칸막이로 된 봉투를 가지고 있다.가장 가깝고 가장 먼 세포는 큐브 안에 새겨진 4면체에 투영되며, 이는 큐브에 일반 4면체를 내접하는 두 가지 가능한 방법과 일치한다.이들 각 사면체 주위에는 4개의 다른 4개의 (비정규) 사면체 볼륨이 있는데, 이는 4면체 주변의 4면체 이미지로서, 새겨진 사면체와 정육면체 사이의 공간을 채운다.나머지 6개의 셀은 큐브의 정사각형 면에 투영된다.16셀의 이 투영에서는 모든 가장자리가 입체 봉투의 면에 놓여 있다.

16-셀을 3-공간으로 투영하는 세포 첫 번째 원근 투영법에는 삼면체 4면체 봉투가 있다.이 봉투 안의 셀의 레이아웃은 셀 첫 번째 병렬 투영과 유사하다.

16-셀을 3-공간으로 향한 정점 첫 번째 평행선 투영에는 8각형 봉투가 있다.이 팔면체는 좌표면을 따라 절단하여 8개의 사면체 볼륨으로 나눌 수 있다.이 책들 각각은 16세포의 한 쌍의 세포의 이미지다.시청자에게 가장 가까운 16셀의 정점은 팔면체의 중심에 투영된다.

마지막으로 가장자리 첫 번째 평행 투영에는 짧은 팔면체 봉투가 있고, 얼굴 첫 번째 평행 투영에는 육각형 두피라미드 봉투가 있다.

4구 벤 다이어그램

16세포와 4개의 교차구(Venn diagram)의 3차원 투영(4세트의 Venn diagram)은 위상학적으로 동등하다.

교차 구체의 수(0부터 4까지)로 정렬된 16개의 셀(모든 k-faces 참조)
동일한 방향으로 4구 벤 다이어그램과 16 셀 투영

대칭 구조

16-셀의 대칭 그룹4 B로 표시된다.

16세포의 낮은 대칭 형태가 있는데, 데미테서락트(demitesseract) 또는 4데미큐브(demicube)라고 불리며, 데미하이퍼큐브 계열의 일원으로서 h{4,3,3}로 대표되며, 콕시터 도표나. 사면체 세포와 양면체를 그릴 수 있다.

그것은 또한 낮은 대칭 형태로도 볼 수 있는데, 이중 구성으로 2개의 평행 사면체 대칭에 의해 구성되고, 8(아마도 길어진) 사면체 대칭으로 연결된다.s{2,4,3}과(와) Coxeter 다이어그램으로 표시된다.

또한 s{21,1,1}, Coxeter 다이어그램으로 표현되는 snub 4-정통경으로 볼 수 있다. 또는 .

4-4 듀오프라임으로 구성된 큐빅으로 16셀은 듀얼인 4-4 듀오프라임으로 볼 수 있다.

이름 콕시터 다이어그램 슐레플리 기호 콕시터 표기법 주문 정점수
정규 16 셀 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {3,3,4} [3,3,4] 384 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
데미테세락트
퀘이레겔러 16세포
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png
h{4,3,3}
{3,31,1}
[31,1,1] = [1+,4,3,3] 192 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
교번 4-4 듀오프리즘 CDel label2.pngCDel branch hh.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png 2s{4,2,4} [[4,2+,4]] 64
사면 항정신병 CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png s{2,4,3} [2+,4,3] 48
교번 사각 프리즘 CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png sr{2,2,4} [(2,2)+,4] 16
스너브 4정형 CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png = CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel split1-22.pngCDel nodes hh.png s{21,1,1} [2,2,2]+ = [21,1,1]+ 8 CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
4포길
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3,3,4} [3,3,4] 384 CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png {4}+{4} 또는 2{4} [[4,2,4]] = [8,2+,8] 128 CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png {3,4}+{ } [4,3,2] 96 CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png {4}+2{ } [4,2,2] 32 CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png { }+{ }+{ }+{ }+{ } 또는 4{ }} [2,2,2] 16 CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png

관련 복합 폴리곤

Möbius-Kantor 폴리곤은 C }에서 16-셀과 같은 정점을 공유하는 일반 복합 폴리곤 {3}3이다.그것은 8개의 정점과 8개의 3개의 정점을 가지고 있다.[13][14]

{\의 일반 복합 폴리곤 {4}4은(는) 16셀의 가장자리 절반에 불과한 8정점, 16정도의 4차원 공간에서의 16셀의 실제 표현이다.그것의 대칭은 [4],2 순서 32이다.[15]

{4}4 폴리곤의 직교 투영
Complex polygon 2-4-4.png
BCoxeter4 평면에서 {4}4은(는) 8개의 꼭지점과 16개의 2-edge를 가지며, 여기에 4개의 색 세트로 표시되어 있다.
Complex polygon 2-4-4 bipartite graph.png
8개의 정점은 2세트(빨간색 및 파란색으로 표시)로 그룹화되며, 각각 다른 세트의 정점에 가장자리만 연결되어 이 폴리곤은 완전한 초당적 그래프4,4 K가 된다.[16]

관련 균일한 폴리탑 및 허니컴

정규 16 셀과 큐빅은 동일한 B4 대칭을 가진 15개의 균일한 4 폴리탑 세트의 정규 멤버다.16세포는 또한4 D대칭의 균일한 폴리토피 중 하나이다.

이 4 폴리토프는 또한 입방형 벌집, 순서 4 도면체 벌집, 순서 4 6각형 타일링 벌집과 관련이 있는데, 모두 팔면 정점 형상을 가지고 있다.

그것은 3개의 규칙적인 4-폴리탑 즉, 유클리드 4-공간 5-셀 {3,3,3}, 600-셀 {3,3,5}, 그리고 쌍곡선 공간 6-4면 벌집 {3,3,6}의 순서로 되어 있다.이 모든 것들은 사면세포를 가지고 있다.

정규 형태 {p,3,4}에 대해서는 quasiregular polytopes와 honeycombs h{4,p,q}, 그리고 반 대칭 시퀀스의 순서로 우선이다.

참고 항목

가족 An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
정규 다각형 삼각형 사각형 p-곤 육각형 펜타곤
균일다면체 사면체 옥타헤드론큐브 데미큐브 도데카헤드론이코사헤드론
균일 폴리초론 펜타코론 16-셀테세락트 데미테세락트 24셀 120 셀 • 600
제복5폴리토프 5와섹스 5정형5정형 5데미큐브
제복6폴리토프 6-630x 6-정통6-118 6데미큐브 122221
제복7폴리토프 7시 15분 7정맥7정맥 7데미큐브 132231321
제복8폴리토프 8시 15분 8정형8정형 8데미큐브 142241421
제복9폴리토프 9시 15분 9-정통9-11 9데미큐브
균일 10폴리토프 10센트짜리 10정형10정형 10데미큐브
균일 n폴리토프 n-제곱스 n-직관n-직관 n-데미큐브 1k22k1k21 n-자갈 폴리토프
주제: 폴리토페 패밀리일반 폴리토페일반 폴리토페화합물 목록

메모들

  1. ^ 볼록 정규 4폴리탑은 동일한 반지름에 대해 4차원 함량(초대량)의 척도로 크기별로 주문할 수 있다.순서에서 각각의 큰 폴리토프는 동일한 반경 내에 더 많은 내용을[5] 포함하면서 이전보다 더 둥글다.4심플렉스(5셀)는 한계 최소 케이스, 120셀은 최대 케이스다.복잡성(구성 행렬 또는 정점 수를 비교하여 측정)은 동일한 순서를 따른다.이것은 16 셀이 8 포인트 4 폴리토프인 일반 폴리토페에 대한 대체 수치 명칭 체계를 제공한다: 5 포인트 4 폴리토프에서 600 포인트 4 폴리토프로 이어지는 오름차순에서 두 번째.
  2. ^ a b c d 4차원 공간에서 우리는 한 지점을 통과하는 4개의 수직축과 6개의 수직면을 만들 수 있다.일반성의 상실 없이, 우리는 이것들을 a (w, x, y, z) 데카르트 좌표계의 축과 직교 중심 평면으로 받아들일 수 있다.4차원에서 우리는 3차원으로 된 직교면 3개(xy, xz, yz)와 다른 3개(wx, wy, wz)를 가지고 있다.6개의 직교 평면은 각각 다른 4개와 축을 공유하며, 다른 평면들 중 하나와 반대 또는 완전히 직교한다. 즉, 축을 공유하지 않는 유일한 평면이다.따라서 완전한 직교면의 세 쌍이 있다. xy와 wz는 원점에서만 교차하고 xz와 wy는 원점에서만 교차하며 yz와 wx는 원점에서만 교차한다.
  3. ^ 16셀의 경계면은 16개의 테트라헤드라를 마주보고 배열한 16개의 4차원 공간(1 둘레 4개)으로 구성된 유한한 3차원 공간이다.그것은 닫히고 단단하게 구부러진 (비유클리드) 3공간으로, 그 안에서 우리는 어떤 방향으로든 4개의 사면체를 통해 직진할 수 있고 우리가 시작한 사면체에 다시 도착할 수 있다.우리는 이 사면 정글 체육관 안을 돌아다니며, 24개의 계단 위에 있는 사면체에서 다른 사면체로 기어오르는 것을 상상할 수 있으며, 우리가 어떤 방향으로 가든지 16개의 사면체 중 절대 밖으로 나가거나 밖으로 나갈 수 없다.우리는 항상 16셀의 표면에 있다. 결코 16셀 그 자체 안에 있지 않다.우리는 각 정점 주위의 6개의 가장자리가 3차원에서 대칭적으로 방사되고 8면체의 반지름처럼 직교 3축 교차점을 형성하는 것을 볼 수 있다(그래서 우리는 16면체의 꼭지점이 8면체라고 말한다).
  4. ^ 4차원의 유클리드 공간의 평면 A와 B 2개는 A의 모든 선이 B의 모든 선에 직교하는 경우에만 완전히 직교라고 한다.이 경우 평면 A와 B는 단일 점 O에서 교차하므로, A의 선이 B의 선과 교차하면 O에서 교차한다.[b]
  5. ^ 16-세포의 각 꼭지점은 팔면 피라미드의 정점이며, 그 밑부분은 정점이 가장자리로 연결되는 6개의 다른 정점에 의해 형성된 팔면체다.16개의 셀은 4개의 팔면 중심 하이퍼플레인 중 하나를 통해 절반으로 절단함으로써 두 개의 팔면 피라미드로 분해될 수 있다(4개의 다른 방법).16개의 면 본드 테트라헤드라의 경계 표면의 곡선 3차원 부피 안에서 바라본 정점 수치는 팔면체다.4차원에서 팔면체는 실제로 팔면 피라미드다.팔면 피라미드(가장자리 6개가 만나는 정점)의 꼭지점은 실제로 팔면체의 중심에 있지 않다. 팔면 피라미드는 팔면체의 6개 정점에 의해 정의된 초면 밖으로, 네 번째 차원에서는 방사상으로 바깥쪽으로 이동한다.정점 주위의 6개의 가장자리는 3차원(3-피라미드의 3차원 투영)으로 직교 3축 교차하지만, 3선은 실제로 정점에서 만나는 4차원에서 90도 구부러진다.
  6. ^ a b 각각의 큰 정사각형 정점은 정사각형의 다른 정점 두 개에서 √2 거리, 4 정점 반대 정점으로부터 √4 거리이다.16-셀의 다른 4개의 꼭지점(역시 22 거리)은 정사각형의 완전히 직교 사각형의 꼭지점이다.
  7. ^ a b c 클리포드 평행선은 서로 수직(가장 짧은) 거리가 각 지점에서 같다는 점에서 평행한 비 교차형 곡선이다.[7]이중나선은 일반적인 3차원 유클리드 공간에서 클리포드 평행성을 보여주는 예다.4-공간에서 클리포드 평행은 3-sphere에서 지오데틱 대 원으로 발생한다.[8]16 셀에서 완전히 직교하는 원 사각형의 해당 정점은 모두 apart2 떨어져 있으므로, 이 정사각형은 클리포드 평행 다각형이다.[f]대제곱(대제원의 점)의 꼭지점만 apart2 떨어져 있고, 대제곱의 가장자리에 있는 점(원의 화음)은 서로 더 가깝다는 점에 유의한다.
  8. ^ 완전히 직교하는 대정사각형은 정점이 놓여 있는 대정원이 클리포드 평행이기 때문에 독립적으로 교차되지 않고 회전한다.[g]두 사각형은 16-셀의 중심이라는 한 지점에서만 교차하는 평면에 놓여 있기 때문에 전혀 교차할 수 없다.[b]그들은 수직이고 공통의 중심을 공유하기 때문에, 두 정사각형은 분명히 평행하지 않고 3차원의 평행 정사각형의 일반적인 방법으로 분리되어 있다; 오히려 그들은 체인의 인접한 정사각형 링크처럼 연결되어 있고, 각각은 어떤 지점에서 교차하지 않고 서로를 통과하여 호프 링크를 형성한다.
  9. ^ 등각 회전에서는 6개의 직교 평면이 한 번에 4개의 직교 방향으로 이동한다. 직교 평면은 동일한 각도로 회전하고, 동시에 동일한 각도로 으로 기울어진다.이등변위(Clifford 변위라고도 함)는 4차원 대각선이다.점들은 한 번에 두 직교 방향으로 같은 거리를 이동시키고, 두 배의 거리의 제곱근에 해당하는 총 피타고라스 거리를 이동시킨다(단위-반경 16셀에서 가장자리 길이는 2이다).
  10. ^ 완전히 직교하는 두 평면의 90도 회전은 그것들을 서로 가져간다.6개의 직교 평면이 모두 90도 회전하며, 또한 클리포드 평행[g] 평면으로 90도 옆으로 기울어진다.[9]
  11. ^ 각 팔각피라미드의 16개 4개 직교 중 8개는 왼손 직교, 나머지 8개는 오른손 직교여야 하기 때문에 각 4개 직교체는 반대 치례(교대 패턴)의 5개의 주변 4개 직교로 셀 직교할 수 있다.그러나 실제로 4차원 공간에서는 어떤 식으로든 접거나 펴거나 변형하지 않고 단순히 회전하는 것만으로 필요한 치례성을 주기 위해 필요하다면 4차원 공간에서는 4차원 공간에서는 각각을 바깥쪽으로 돌릴 수 있기 때문에, 당신이 왼손 4단계를 구성하든 상관없다!뫼비우스는 회전된 강체 물체를 "돌아서" 뿐만 아니라 안으로 회전시키는 4차원 공간에서 이중 회전 가능성을 가장 먼저 실현한 것으로 보인다.

인용구

  1. ^ Coxeter 1973, 페이지 141, §7-x. 역사적 발언.
  2. ^ N.W. Johnson: 지오메트리 및 변환, (2018) ISBN978-1-107-10340-5장: 유한대칭군, 11.5 구형 콕시터군, 페이지 249
  3. ^ 마틸라 기카, 예술과 삶의 기하학 (1977), 페이지 68
  4. ^ Coxeter 1973, 페이지 120=121, §7.2. 그림 7.2B를 참조하십시오.
  5. ^ Coxeter 1973, 페이지 292–293, 표 I(ii):4차원의 16개의 일반 폴리토페 {p,q,r}; 각 4-폴리토프의 20개 메트릭스를 에지 길이 단위로 제공하는 귀중한 표.그것들은 단위 반지름의 폴리토페스를 비교하기 위해 대수적으로 변환되어야 한다.
  6. ^ & 로트 2016, 페이지 6 §5.4차원 회전.
  7. ^ Tyrrell & Semple 1971, 페이지 5–6, §3.클리포드의 원래 병렬에 대한 정의.
  8. ^ Kim & Rote 2016, 페이지 7–10, §6.4-공간에서 두 평면 사이의 각도.
  9. ^ Kim & Rote 2016, 페이지 8–10, Clipord Parallelism과의 관계.
  10. ^ Coxeter 1973, 페이지 121, 제7.21조.그림 7.2B: " 4 을 기반으로 하는 4차원 dipyramid이다(4차원을 따라 반대 방향으로 두 개의 유인).
  11. ^ 티렐 & 셈플 1971.
  12. ^ Coxeter 1973, 페이지 293.
  13. ^ Coxeter 1991, 페이지 30, 47.
  14. ^ 콕시터 & 셰퍼드 1992.
  15. ^ Coxeter 1991, 페이지 108.
  16. ^ Coxeter 1991, 페이지 114.

참조

외부 링크