별다각형

Star polygon
별 모양 폴리곤과 혼동하지 마십시오.
두 종류의 별 펜타곤
Alfkors.svg
{5/2}		 Stjärna.svg
5/2
일반 별 오각형 {5/2}은 5개의 모서리 정점과 교차하는 모서리를 가지고 있는 반면, 오목한 십각형 5/2는 10개의 모서리와 5개의 꼭지점 두 세트를 가지고 있습니다.첫 번째 것은 별 다면체와 별 균일한 타일링의 정의에 사용되고, 두 번째 것은 평면 타일링에 사용되기도 합니다.
Small stellated dodecahedron.png
작은 젤리 모양의 12면체 		Kepler decagon pentagon pentagram tiling.png
테셀레이션

기하학에서 별 다각형은 볼록하지 않은 다각형입니다.일반적인 스타 폴리곤은 깊이 있게 연구되어 왔습니다.일반적으로 스타 폴리곤은 공식적으로 정의되지 않은 것처럼 보이지만, 일반적인 단순 폴리곤과 스타 폴리곤에 대한 잘라내기 연산을 통해 특정 주목할 만한 폴리곤이 발생할 수 있습니다.

브랑코 그룬바움은 요하네스 케플러에 의해 사용된 두 개의 주요 정의를 확인했는데, 하나는 새로운 정점을 생성하지 않는 교차하는 모서리를 가진 규칙적인 별 다각형이고, 두 번째는 단순한 등방성 오목 [1]다각형입니다.

첫 번째 용도는 펜타그램과 같은 폴리곤과 육각형과 같은 복합 도형을 포함하는 폴리그램에 포함됩니다.

스타 폴리곤의 정의 중 하나는 회전수(회전수 및 밀도)가 2개 이상인 폴리곤입니다.[2]

어원학

별 폴리곤 이름은 penta-와 같은 숫자 접두사와 그리스 접미사 -그램(이 경우 펜타그램이라는 단어를 생성함)을 결합합니다.접두사는 보통 그리스어 추기경이지만 다른 접두사를 사용하는 동의어가 있습니다.예를 들어, 9점 다각형 또는 에네아그램은 라틴어의 [citation needed]서수 노나를 사용하여 논그램이라고도 합니다.-그램 접미사는 [3]선을 의미하는 αμμμ(그램)에서 유래했다.

정다각형

상세 정보:정다각형 regular 정다각형
Regular star polygon 5-2.svg
{5/2} 		Regular star polygon 7-2.svg
{7/2} 		Regular star polygon 7-3.svg
{7/3}...
Schléfli 기호로 라벨이 지정된 3~12개의 정점이 있는 일반 볼록 및 별 폴리곤

"정규성 다각형"은 스스로 교차하는 등각 다각형입니다.

정다각형은 슐레플리 기호 {p/q}로 표시되며, 여기서 p(정점 수)와 q(밀도)는 비교적 소수(인자를 공유하지 않음)이며 q ≤ 2이다.폴리곤의 밀도는 회전수라고도 불리며, 모든 정점의 회전각을 360°로 나눈 합입니다.

{n/k}의 대칭 그룹은 k와 독립적인 2n 차수의 이면체n 군 D입니다.

규칙적인 별의 다각형은 토마스 브래드워딘, 그리고 나중에는 요하네스 [4]케플러에 의해 체계적으로 연구되었습니다.

정점 연결을 통한 시공

단순하고 규칙적인 p면 폴리곤의 한 정점을 인접하지 않은 다른 정점에 연결하고 원래 정점에 다시 [5]도달할 때까지 프로세스를 계속함으로써 규칙적인 별 폴리곤을 만들 수 있습니다.혹은 정수 p와 q에 대해서는 p점 중 모든 q점을 원형 [6]배치로 정기적으로 간격을 두고 연결함으로써 구성되는 것으로 간주할 수 있다.예를 들어 정오각형에서는 제1정점에서 제3정점으로, 제3정점에서 제5정점으로, 제5정점에서 제2정점으로, 제2정점에서 제4정점으로, 제4정점에서 제1정점으로 선을 긋는 것으로 오점별을 얻을 수 있다.

q가 p의 절반보다 크면 구성 결과 p-q와 동일한 폴리곤이 됩니다. 펜타곤의 세 번째 정점마다 연결하면 두 번째 정점마다 연결하는 것과 동일한 결과가 됩니다.그러나 정점은 반대 방향으로 도달하므로 역행 폴리곤이 고차원 폴리토프에 통합될 때 차이가 발생합니다.예를 들어 순행 펜타그램 {5/2}에서 형성된 반작용은 오행 반작용을 낳고, 역행 펜타그램 {5/3}에서 유사한 구조는 오행 교차 반작용을 일으킨다.또 다른 예는 "교차된 삼각형" {3/2} 큐플로이드로 볼 수 있는 사십육면체입니다.

변질된 일반 별 폴리곤

p와 q가 동일 시간이 아닌 경우 축퇴 폴리곤은 정점과 모서리가 일치합니다.예를 들어 {6/2}은(는) 삼각형으로 나타나지만 두 개의 꼭지점 집합 1-6으로 레이블을 지정할 수 있습니다.이것은 두 개의 겹치는 삼각형이 아니라 단일 유니커설 육각형의 [7][8]이중 권선으로 간주해야 합니다.

Doubly wound hexagon.png

계단식 시공

또, 볼록한 정핵 폴리곤의 연속인 정핵 폴리곤도 얻을 수 있다.스테이지레이션에 근거한 시공에서는 정점의 밀도와 양이 동일하지 않은 경우에도 규칙적인 다각형 화합물을 얻을 수 있다.그러나 계단식으로 별 폴리곤을 구성할 때 q가 p/2보다 크면 선이 무한히 분산되고 q가 p/2와 같으면 선이 평행하며, 둘 다 유클리드 공간에서 더 이상의 교차가 발생하지 않습니다.그러나 모노곤이나 디곤과 마찬가지로 구면 공간에 그러한 폴리곤을 구성하는 것이 가능할 수 있다. 그러한 폴리곤은 아직 자세히 연구되지 않은 것으로 보인다.

단순 등각성 다각형

교차하는 선이 제거되면, 별 폴리곤은 더 이상 규칙적이지 않지만, 두 개의 다른 반지름에서 정점을 번갈아 가며 단순한 오목한 등각선 2n-gon으로 볼 수 있으며, 이는 반드시 규칙적인 별 폴리곤 각도와 일치할 필요는 없습니다.타일링과 패턴의 브랑코그룬바움은 이러한 별들을 폴리그램 {n/d}의 기하학적 형태와α 더 일반적으로 {n} 표기법과 일치하는 n/d로 나타내며, 각 내부 각도가 180°(1-2/n)도 미만인 n [1]변별을 나타냅니다.n/d의 경우, 내측 정점은 360°(d-1)/n의 외각 β를 가진다.

단순 아이소톡살 별의 예
n/d
{nα}
{330°}
{630°}		 5/2
{536°}
{445°}		 8/3
{845°}		 6/2
{660°}
{572°}
α 30° 36° 45° 60° 72°
β 150° 90° 72° 135° 90° 120° 144°
아이소톡살
별		 Isotoxal star triangle 12-5.svg Isotoxal star hexagon 12-5.png Stjärna.svg Isotoxal square star 8-3.svg Octagonal star.png Roundel of Israel – Low Visibility – Type 2.svg Wide pentagram.png
관련된
폴리그램

{n/d}
 Regular star polygon 12-5.svg
{12/5}		 Alfkors.svg
{5/2}		 Regular star polygon 8-3.svg
{8/3}		 Hexagram.svg
2{3}
스타 피규어 		Decagram 10 3.png
{10/3}

타일링의 예

상세 정보:균일한 타일링 uniform별 폴리곤을 사용한 균일한 타일링

이러한 폴리곤은 타일링 패턴에서 자주 볼 수 있습니다.파라메트릭 각도α(도 또는 라디안)는 테셀레이션 패턴에서 인접 폴리곤의 내부 각도와 일치하도록 선택할 수 있습니다.요하네스 케플러는 다른 주기 타일링, 세 개의 정오각형과 같은 비주기 타일링, 그리고 정오각형 (5.5.5.5/2)을 포함한 그의 1619년 작품 하모니테스 먼디에서 현대 [9]펜로즈 타일링과 관련이 있습니다.

등산화성 다각형[10] 타일링 예제
별 삼각형 별자리 별 육각형 별 팔각형
Triangle and triangular star tiling.png
(3*
α.3.3**
α)		 Octagon star square tiling.png
(8.4*
π/4.8.4*
π/4)		 Hexagon hexagram tiling.png
(6.6*
π/3.6.6*
π/3)		 Gyrated truncated hexagonal tiling2.png
(3.6*
π/3.6**
π/3)		 Trihexagonal tiling stars.png
(3.6*
π/3.6)		 Hexagon hexagram tiling2.png
엣지 투 엣지 없음

인테리어

스타 폴리곤의 내부는 다른 방식으로 처리될 수 있습니다.펜타그램에 대한 세 가지 치료법이 예시되어 있다.브랑코 그룬바움과 제프리 셰퍼드는 그들 중 두 개를 정다각형과 오목한 등각 2n-gon으로 [9]간주한다.

Pentagram interpretations.svg

여기에는 다음이 포함됩니다.

  • 한쪽이 발생하면 한쪽은 외부로, 다른 한쪽은 내부로 처리됩니다.이는 왼쪽 그림에 나타나 있으며 일반적으로 컴퓨터 벡터 그래픽 렌더링에서 발생합니다.
  • 폴리곤 곡선이 특정 영역을 감기는 횟수에 따라 밀도가 결정됩니다.외부에는 0의 밀도가 부여되어 있으며 0을 초과하는 모든 밀도 영역은 내부로 취급됩니다.이는 중앙 그림에 나타나며 다면체의 수학적 처리에서 흔히 발생한다(단, 방향성이 없는 다면체 밀도는 모듈로 2로만 간주될 수 있으므로 일관성을 위해 첫 번째 처리를 대신 사용하는 경우도 있다).
  • 두 변 사이에 선을 그릴 수 있는 경우 선이 놓여 있는 영역은 그림 내부로 처리됩니다.이는 오른쪽 그림에 나타나 있으며 일반적으로 물리적 모델을 만들 때 발생합니다.

폴리곤의 면적이 계산되면 각 접근법에 따라 다른 답이 생성됩니다.

예술과 문화에서

주요 기사:예술과 문화의 스타 폴리곤

스타 폴리곤은 예술과 문화에서 두드러지게 나타납니다.이러한 폴리곤은 규칙적일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있지만 항상 매우 대칭적입니다.예를 들어 다음과 같습니다.

Octagram.svg
정규 8각형으로 구성된 {8/3} 8진수 		Seal of Solomon (Simple Version).svg
원과 점이 있는 솔로몬의 국장(별 모양)

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ a b Grünbaum & Shephard 1987, 섹션 2.5 :
  2. ^ Abelson, Harold, diSessa, Andera, 1980, Turtle Geometry, MIT Press, 페이지 24
  3. ^ 【αμ】헨리 조지 리델, 로버트 스콧, 페르세우스에 관한 그리스 영어 어휘집
  4. ^ Coxeter, 기하학개론, 제2판, 2.8성 다각형 페이지 36-38
  5. ^ Coxeter, Harold Scott Macdonald (1973). Regular polytopes. Courier Dover Publications. p. 93. ISBN 978-0-486-61480-9.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Star Polygon". MathWorld.
  7. ^ 당신의 다면체는 나의 다면체와 같습니까?브란코 그룬바움
  8. ^ Coxeter, The Density of the Regular polytopes I, p.43: d가 홀수일 경우 폴리곤 {p/q}의 절단은 자연스럽게 {2n/d}입니다.그러나 그렇지 않으면 두 개의 일치하는 {n/(d/2)}으로 구성됩니다. 각 변이 원래 변에서 발생하고 원래 꼭지점에서 하나씩 발생하기 때문입니다.따라서 폴리곤의 밀도는 절단에 의해 변경되지 않습니다.
  9. ^ a b 브란코 그룬바움과 제프리 C. 셰퍼드, 정규 폴리곤별 타일링, 수학 매거진 50(1977), 227~247 및 51(1978), 205~206]
  10. ^ 일반 별 폴리곤 타일링, 조셉 마이어스
  • Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5. 페이지 175
  • Grünbaum, B.와 G.C.셰퍼드; 틸링스 앤 패턴스, 뉴욕: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
  • Grünbaum, B.; 얼굴이 홀로우한 폴리헤드라, 폴리토페스에 관한 NATO-ASI 회의의 대리 등 (Toronto 1993), ED T.Bisztriczky et al., Kluwer Academic(1994) 페이지 43-70.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (제26장: 일반 별-폴리토피스 치수 2)
  • Branko Grünbaum, 다각형의 변형, 수학의 가벼운 면에 게재: 외젠 스트롱스 레크리에이션 수학과 그 역사 연구회(1994년)