디헤드랄군

눈송이의 대칭군(大칭군)은 일반 육각형(육각형)과 같은 일면체 대칭인₆ D이다.

수학에서 이면조는 회전과 반사를 포함하는 일반 다각형의 대칭의 그룹이다.^[1]^[2] 다이헤드 그룹은 유한 집단의 가장 단순한 예에 속하며, 집단 이론, 기하학, 화학에서 중요한 역할을 한다.

이음부 그룹의 표기법은 기하학과 추상 대수학에서 다르다. 기하학에서 $D n$ 또는 $Dih$ 는_n 순서 $2n$ 의 그룹인 n-곤의 대칭을 가리킨다. 추상대수학에서 $D$ 는_2n 이 같은 이음계 그룹을 가리킨다.^[3] 이 글에는 기하학적 관례가 사용된다.

정의

요소들

일반 육각형의 반사 6축

$n$ 이 $n$ n $n$ 개인 일반 폴리곤에는 $2n$ ${\displaystyle$ $2n$ $}$ 개의 $2n$ 서로 다른 대칭, 즉 $n$ ${\displaystyle$ n $}$ 회전 $n$ $n$ 과 n $n$ 반사 $n$ 대칭이 있다. 보통 우리는 $n\geq 3$ 서 $n\geq 3$ n $n\geq 3$ ≥ $[\displaystyle n\geq 3}$ 을(를) 가져간다. 연관된 회전과 반사는 이면군 $\mathrm {D} _{n}$ { $\mathrm {D} _{n}$ ${\$ 을 구성하고 $\mathrm {D} _{n}$ $n$ $n$ 이(가) 홀수일 $n$ 경우 대칭의 각 축은 한 쪽의 중간점과 반대 정점을 연결한다. $n$ $n$ 이 $n$ (가) 짝수인 경우, 반대편의 중간점을 연결하는 대칭의 $n/2$ / $n/2$ ${\displaystyle n/2$ } 축과 $n/2$ 반대 정점을 연결하는 대칭의 $n/2$ / $n/2$ $n/2$ 축이 $n/2$ 있다. 두 경우 모두 대칭의 축은 $n$ $n$ $n$ 개이고 대칭 그룹에는 $2n$ $2n$ 개의 요소가 $2n$ 있다.^[4] 대칭의 한 축에 반사된 후 다른 대칭의 축에 반사하면 축 사이의 각도가 두 배로 회전한다.^[5]

다음 그림은 D $\mathrm {D} _{8}$ ${\$ 의 16개 원소가 정지 신호에 미치는 $\mathrm {D} _{8}$ 영향을 보여준다.

첫 번째 행은 8회 회전 효과를 나타내고, 두 번째 행은 8회 반사의 효과를 나타내며, 각각의 경우 왼쪽 상단에 표시된 방향과 함께 정지 기호에 작용한다.

그룹 구조

어떤 기하학적 물체와 마찬가지로 일반 다각형의 두 대칭의 구성은 다시 이 물체의 대칭이다. 다른 대칭을 이항 연산으로서 생성하기 위한 대칭의 구성으로, 이것은 다각형의 대칭을 유한 그룹의 대수적 구조를 제공한다.^[6]

S₀, S₁, S로₂ 표시된 반사선은 공간(페이지)에 고정된 상태로 유지되며, 삼각형에서 대칭 연산(회전 또는 반사)이 수행될 때(대칭 구성을 수행할 때 중요함) 자체는 움직이지 않는다.

이 두 반사의 구성은 회전이다.

다음 Cayley 표는₃ 그룹 D(등변 삼각형의 대칭)에서 구성의 효과를 보여준다. r은₀ 정체성을 나타내며, r과₁₂ r은 각각 120°와 240°의 시계 반대 방향 회전을 나타내며, s₀, s₁ 및 s는₂ 인접 그림에 표시된 세 선에 걸친 반사를 나타낸다.

	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₀	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₁	r₁	r₂	r₀	s₁	s₂	s₀
r₂	r₂	r₀	r₁	s₂	s₀	s₁
s₀	s₀	s₂	s₁	r₀	r₂	r₁
s₁	s₁	s₀	s₂	r₁	r₀	r₂
s₂	s₂	s₁	s₀	r₂	r₁	r₀

예를 들어, ss₂₁ = r₁. 왜냐하면 반사₁ s에 이어 반사₂ s가 120° 회전하기 때문이다. 구성을 나타내는 원소의 순서는 원소가 오른쪽의 표현에 작용한다는 관념을 반영하여 왼쪽이 옳다. 작문 연산은 서로 맞지 않는다.^[6]

일반적으로 그룹_n D는 다음과 같은 공식에 의해 주어진 구성으로₀ r, ..., r_n−1, s₀, 원소를_n−1 가지고 있다.

\mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.

모든 경우에 첨자의 덧셈과 뺄셈은 계량 n을 가진 모듈식 산수를 사용하여 수행해야 한다.

행렬 표현

이 오각형의 대칭은 벡터 공간으로서의 평면의 선형 변환이다.

만약 우리가 일반적인 다각형을 원점에 중심에 둔다면, 이면 그룹의 원소는 평면의 선형 변환으로 작용한다. 이것은 우리가 행렬로서 D의_n 요소들을 나타낼 수 있게 해주며, 구성은 행렬 곱셈이다. 이것은 (2차원) 집단표현의 예다.

예를 들어, 그룹₄ D의 요소는 다음과 같은 8가지 행렬로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle{\begin{행렬}\mathrm{r}_ᆰ=\left({\begin{}smallmatrix 1&, 0\\[0.2em]0&, 1\end{smallmatrix}}\right),&,\mathrm{r}_ᆲ=\left({\begin{}smallmatrix 0&, -1\\[0.2em]1&, 0\end{smallmatrix}}\right),&,\mathrm{r}_ᆴ=\left({\begin{}smallmatrix -1&, 0\\[0.2em]0&, -1\end{smallmatrix}}\right),&,\mathrm{r}_{3}=\left({\b.egin{smallmatrix}0&, 1\\[0.2em]-1&, 0\enD{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm{s}_ᆱ=\left({\begin{}smallmatrix 1&, 0\\[0.2em]0&, -1\end{smallmatrix}}\right),&,\mathrm{s}_ᆳ=\left({\begin{}smallmatrix 0&, 1\\[0.2em]1&, 0\end{smallmatrix}}\right),&,\mathrm{s}_ᆵ=\left({\begin{}smallmatrix -1&, 0\\[0.2em]0&, 1\end{smallmatrix}}\right),&,\mathrm{s}_{3}=\left({\be.gin{smallmatrix}0&, -1\\[0.2em]-1&, 0\end{smallmatrix}\오른쪽).\end{{11}}}

일반적으로_n D 요소의 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathrm{r}_{k}&, ={\begin{pmatrix}\cos}및{\frac{2\pi k}{n}, -\sin{\frac{2\pi k}{n}}\\\sin{\frac{2\pi k}{n}}&\cos{\frac{2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}년){\text{과}}\\\mathrm{s}_{k}&, ={\begin{pmatrix}\cos}및{\frac{2\pi k}{n}, \sin{\frac{2\pi k}{n}}\\\sin{\frac{2\pi k}{n}}&-\cos{\frac{2\pi.k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{정렬}}}

r은_k 회전 행렬로, 2㎛/n의 각도를 통해 시계 반대방향 회전을 표현하며, x축으로_k 2㎛/n의 각도를 만드는 선에 걸친 반사다.

기타 정의

$D$ 의_n 추가 등가 정의는 다음과 같다.

정점(n ≥ 3)이 있는 사이클로만 구성된 그래프의 자동형 그룹.
프리젠테이션이 있는 그룹
${\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle \mathrm {r} ,\mathrm {s} \mid \operatorname {ord} (\mathrm {r} )=n,\operatorname {ord} (\mathrm {s} )=2,\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle \mathrm {r,s} \mid \mathrm {r} ^{n}=\mathrm {s} ^{2}=(\mathrm {sr} )^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}$
두 번째 프레젠테이션부터는 $D$ 가_n Coxeter 그룹의 클래스에 속한다는 것이 뒤따른다.
주기 그룹 $Z$ 와_n $Z$ 의₂ 반직접 생산물로서, $Z$ 가₂ $Z$ 에_n 역행하여 작용한다( $즉 n$ , D는 항상 $그룹 n$ Z에 대해 정상적인 부분군 이형성을 가진다). Z_n ⋊_φ Z는₂ $φ (0)$ 이 $정격$ 이고 $(($ 1)이역행하면 $D$ 와_n 이형이다.

소면체군

육각 이면 대칭의 부분군

$D$ 는₁ 순서 2의 순환 집단인 $Z$ 에₂ 대해 이형성이다.

$D$ 는₂ 클라인 4그룹인 $K$ 와₄ 이형이다.

$D$ 와₁ $D$ 는₂ 다음과 같은 점에서 예외적이다.

$D$ 와₁ $D$ 는₂ 유일한 아벨리안 다이드랄 그룹이다. 그렇지 않으면 $D$ 는_n 비아벨리안이다.
$D$ 는_n $n$ ≥ $3$ 에 대한 대칭군 $S$ 의_n 부분군이다. n = $1$ $또는$ n = $2$ 에대해 $2n$ > $n!$ 이므로, 이러한 값에 대해 $D$ 는_n 너무 커서 하위 그룹이 될 수 없다.
$D$ 의₂ 내적 자동형성 그룹은 사소한 반면, $n$ 의 다른 짝수 값에 대해서는 이것이 D $/Z$ 이다_n₂.

이음매 그룹의 주기 그래프는 n-요소 주기 및 n 2-요소 주기들로 구성된다. 다양한 다이헤드 그룹의 아래 사이클 그래프의 어두운 꼭지점은 ID 요소를 나타내며, 다른 정점은 그룹의 다른 요소들이다. 사이클은 ID 요소에 연결된 두 요소 중 하나의 연속적인 힘으로 구성된다.

그래프 순환
D₁ = Z₂	D₂ = Z₂² = K₄	D₃	D₄	D₅


D₆ = D₃ × Z₂	D₇	D₈	D₉	D₁₀ = D₅ × Z₂

D₃ = S₃	D₄

2차원 대칭군으로서의 이면군, 3차원에서의 회전군

추상 그룹 $D$ 의_n 예와 그것을 시각화하는 일반적인 방법은 기원을 고정시키는 유클리드 평면의 등각류 그룹이다. 이러한 그룹은 2차원의 두 개의 이산형 점 그룹 중 하나를 형성한다. $D$ 는_n 원점에 대한 $360°/ n$ 의 배수 n회전과 원점을 통과하는 n개의 $선$ 에 걸친 반사로 구성되며, $서로$ 180°/ $n$ 의 배수 각도를 이룬다. 이것은 $n면$ 이 있는 일반 다각형의 대칭 그룹이다( $n$ n $3$ 의 경우, 이것은 "1-곤"의 "중앙"과 "2-곤" 또는 선 세그먼트에서 각각 점 간격띄우기가 있는 평면을 갖는 경우 $n$ = $1$ 과 n = $2$ 로 확장된다).

$D$ 는_n 순서 $n$ 의 회전 $r$ 과 순서 2의 반사 $s$ 에 의해 생성된다.

\mathrm {r} =\mathrm {r} ^{-1}\,

기하학적 용어로: 거울에서 회전은 역회전처럼 보인다.

복잡한 숫자의 경우: e $e^{2\pi i \over n}$ $e^{2\pi i \over n}$ $e^{2\pi i \over n}$ 에 의한 곱하기 ${\$ i $\overn$ n $}$ 와 $e^{2\pi i \over n}$ 복잡한 결합.

매트릭스 양식에서 설정

\mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi  \over n}&-\sin {2\pi  \over n}\\[4pt]\sin {2\pi  \over n}&\cos {2\pi  \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

and defining $\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}$ and $\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}$ for $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$ we can write the product rules for D_n as

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathrm{r}_{j}\,\mathrm{r}_{k}&,=\mathrm{r}_{(j+k){\text{모드}}n}\\\mathrm{r}_{j}\,\mathrm{s}_{k}&,=\mathrm{s}_{(j+k){\text{모드}}n}\\\mathrm{s}_{j}\,\mathrm{r}_{k}&,=\mathrm{s}_{(j-k){\text{모드}}n}\\\mathrm{s}_{j}\,\mathrm{s}_{k}&,=\mathrm{r}_{(j-k){\text{모드}}n}\end{정렬}.}}

(좌표 회전 및 반사 비교)

dihedral 그룹 D는₂ 180도의 회전 r에 의해 생성되며, x축에 걸쳐 반사 s가 생성된다. 그러면₂ D의 요소는 {e, r, s, rs}(으)로 나타낼 수 있는데 여기서 e는 정체성 또는 null 변환이고 rs는 y축에 걸친 반사이다.

D의₂ 네 가지 요소(x축은 여기서 수직)

D는₂ 클라인 4개 그룹에 이형이다.

n > 2의 경우, 일반적으로 회전과 반사의 작동은 통근하지 않으며_n D는 아벨리안(abelian)이 아니다. 예를 들어, D에서₄ 90도 회전과 반사가 뒤따르는 반사와 다른 결과를 산출한다.

D는₄ 비아벨리안(x축은 여기서 수직이다.

그러므로, 그들의 명백한 응용을 넘어 평면의 대칭성 문제에 이르기까지, 이들 집단은 비아벨리아 집단의 가장 단순한 예들 중 하나이며, 이와 같이 아벨리아 집단에 한정된 이론에 쉽게 나타나는 경우가 빈번하다.

$D$ 의_n $2n$ 요소는 $e$ , $r$ , $r 2$ , ..., $r n -1$ , $s$ , $rs$ , $rs$ 로²ⁿ⁻¹ 쓸 수 있다. 첫 번째 $n개$ 열거 원소는 회전이고 나머지 $n개$ 원소는 축-반향이다(모두 순서 2가 있다). 2회전 또는 2반사의 산물은 회전이다; 회전과 반사의 산물은 반사다.

지금까지 우리는 $D$ 를_n O $(2$ ),즉 비행기의 회전 그룹(원점에 관한 것)과 반사(원점을 통과하는 축을 가로지르는 것)의 한 부분군으로 간주해 왔다. 그러나 $표기법 n$ D는 또한 추상 그룹 $타입 n$ D: 3차원 공간에 내장된 일반 폴리곤의 적절한 대칭군(n ≥ 3)인 SO(3)의 부분군에도 사용된다. 그러한 모습은 얼굴이 두 번 세어 퇴보하는 일반 고체로 볼 수도 있다. 따라서 다이헤드론(그리스어: 두 얼굴을 가진 고체)이라고도 부르는데, 이것은 이헤드론 그룹(각면체, 팔면체, 이코사면체 그룹과 유사하게, 각각 정규 사면체, 팔면체, 이코사면체의 적절한 대칭 그룹을 가리킴)이라는 명칭을 설명한다.

2D 분면 대칭의 예

2D D₁₆ 대칭 – 일본 제국 국새, 16개의 꽃잎으로 8배 국화를 나타낸다.
2D₆ D 대칭 – David의 붉은 별
2D D₁₂ 대칭 — 중화민국의 해군 잭(화이트 선)
2D D₂₄ 대칭 – 인도 국기에 묘사된 아소카 차크라.

특성.

$n$ ≥ $3$ 을 갖는 dihedral 그룹 $D$ 의_n 특성은 $n$ 이 짝수인지 홀수인지에 따라 달라진다. 예를 들어, $D$ 의_n 중심은 n이 홀수인 경우에만 정체성으로 구성되지만, n이 짝수인 경우, 즉 정체성과 원소 r^n/2(D를_n O(2)의 부분군으로 하는 경우, 이는 역행이다. 이는 -1에 의한 스칼라 곱하기 때문에 어떤 선형 변환과도 통통한다는 것은 분명하다.

2D 등각도의 경우 이는 기존 등각 사이에 회전과 거울을 부여하면서 역전을 더하는 것에 해당한다.

n 두 배의 홀수인 경우, 추상 $그룹 n$ $D$ 는_{n / 2} $D$ 와₂ Z의 직접 산물과 이형성이다. Generally, if m divides n, then $D n$ has n/m subgroups of type $D m$ , and one subgroup $\mathbb {Z}$ _m. Therefore, the total number of subgroups of $D n$ (n ≥ 1), is equal to d(n) + σ(n), where d(n) is the number of positive divisors of n and σ(n) is the sum of the positive divisors of n. 사례 n ≤ 8에 대한 소그룹 리스트를 참조하십시오.

순서 8(D₄)의 치골 그룹은 T 그룹이 아닌 그룹의 가장 작은 예다. 두 개의₄ 클라인 4개 그룹 하위 그룹(D에서 정상) 중 어느 하나라도 D의₄ 반사(플립)에 의해 생성된 정상 하위 그룹 순서-2 하위 그룹을 가지고 있지만, 이러한 하위 그룹은 D에서₄ 정상적이지 않다.

결합성 반사의 등급

모든 반사는 n이 홀수일 경우 서로 결합되지만, n이 짝수일 경우 두 개의 결합 등급에 속한다. 만약 우리가 규칙적인 n-곤의 등각도를 생각해보면, 홀수 n의 경우 모든 쌍의 거울들 사이에 그룹 내에서 회전하는 반면, 이러한 회전으로 거울의 절반만 하나에서 도달할 수 있다. 기하학적으로, 홀수 다각형에서는 대칭의 모든 축이 꼭지점과 측면을 통과하는 반면, 짝수 다각형에서는 각각 두 개의 정점을 통과하는 축과 두 면을 통과하는 축의 세트가 있다.

그 켤레 Sylow 정리(nodd에)의 Algebraically, 이게:이상한 nn에 심지어, 이 주문 2개 서브 그룹이 아니Sylow 여러 종파 4개(2강력한 힘)사망, 각 반사, 함께 정체성과, 주문 2들의 Sylow 2-subgroup(2의 2=21일은 최대 전력=2[2k+1]2n을 나누고)하위 그룹을 형성하기i집단의 질서를 어지럽히다

n의 경우에도 대신 두 가지 유형의 반사를 바꾸는 외부 자동형이 있다(적당하게, 모두 내적 자동화에 의해 결합되는 외부 자동화의 한 종류).

자동형성군

데카넴의 자기 동형 그룹 Z{\displaystyle \mathbb{Z}의 완전 생활환}/n Z{\displaystyle \mathbb{Z}}, 즉, Hol(Z{\displaystyle \mathbb{Z}}/n Z{\displaystyle \mathbb{Z}})){도끼+b(, n)=1}에 있는 곳에 ϕ은 오일러 피 함수 주문 nϕ(n), k의 1의 수치가 동일 구조의 있다.., n - 1 coprime to n.

그것은 반사 및 초기 회전(k(2㎛/n, k coprime to n)의 경우 회전)의 측면에서 이해할 수 있다. 어떤 자동화가 내측과 외측인지는 n의 동등성에 따라 결정된다.

n 홀수의 경우, dihedral 그룹은 중심이 없으므로 어떤 원소라도 비견상 내적 자동형을 정의하고, n의 경우 180° 회전(원점을 통한 반성)은 중심부의 비견상 원소다.
따라서 n 홀수의 경우 내부 자동형 집단은 2n 순서를 가지며, n의 경우(n = 2 제외) 내부 자동형 집단은 n 순서를 가진다.
n 홀수의 경우 모든 반사는 공극이다. n의 경우, 그들은 두 개의 정점을 통한 반사와 두 개의 얼굴을 통한 반사로 표현될 수 있는 외부 자동화에 의해 관련되는 두 개의 등급(두 개의 정점을 π/n(최소 회전 반)으로 나타낼 수 있다.
회전은 정상적인 부분군이다. 반사에 의한 결합은 회전의 기호(방향)를 변화시키지만, 그렇지 않으면 변하지 않는다. 따라서 k = ±1이 아닌 한 각도에 k(coprime to n)를 곱하는 자동형은 바깥쪽이다.

자동형성 그룹의 예

$D$ 는₉ 18개의 내적 자동화를 가지고 있다. 2D 등각계 그룹 D로서₉, 이 그룹은 20° 간격으로 거울을 가지고 있다. 18개의 내부 자동형은 20°의 배수로 거울의 회전과 반사를 제공한다. 이등분계 그룹으로서 이것들은 모두 자동화다. 추상적인 그룹으로서 이들 외에도 36개의 외부 자동화(예: 회전 각도를 2로 곱함)가 있다.

$D$ 는₁₀ 10개의 내적 자동화를 가지고 있다. 2D 등각계 그룹 D로서₁₀, 이 그룹은 18° 간격으로 거울을 가지고 있다. 10개의 내부 자동형은 36°의 배수로 거울의 회전과 반사를 제공한다. 등축계 그룹으로서 10개의 자동형이 더 있다; 그것들은 내부 자동화와 관련하여 거울을 18° 회전시키는 그룹 외부의 등축에 의한 결합이다. 추상적인 그룹으로서, 이 10개의 내적 자동화와 10개의 외적 자동화에 더하여 20개의 외적 자동화가 있다. 예를 들어, 회전수를 3배로 곱하는 것이다.

오일러의 토털함수에 대한 값 6과 4를 각각 비교하고, n = 9와 10에 대한 정수 modulo n의 곱셈 그룹을 비교한다. 이는 등각형(회전 순서를 동일하게 유지하거나 순서를 거꾸로 하는 것)으로서의 두 자동형과 비교한 자동형성의 수를 3배, 2배로 늘린다.

φ(n) = 2가 되는 n의 유일한 값은 3, 4, 6이며, $결과적$ 으로₃ D(주문 6), $D 4$ (주문 8), $D 6$ (주문 12) 등 자신의 자동모형 그룹에 이형화된 이형 집단은 3개뿐이다.^[7]^[8]^[9]

내적 자동형성군

$D$ 의_n 내부 자동형성 그룹은 다음과 같은 이형성이다.^[10]

D_n n이 홀수인 경우;
$n$ 이 짝수인 경우 $D n$ / $Z 2$ ( $n$ = $22$ , $D 2$ / $Z$ = 1 )

일반화

이음매 그룹에 대한 몇 가지 중요한 일반화가 있다.

무한 이면조는 유한 이면집단과 유사한 대수 구조를 가진 무한집단을 말한다. 정수의 대칭 집합으로 볼 수 있다.
직교 그룹 O(2), 즉 원의 대칭 그룹도 이음매 그룹과 유사한 성질을 가지고 있다.
일반화된 이음매 집단의 집단은 위의 두 가지 예뿐만 아니라 다른 많은 집단을 포함한다.
퀘이디하이드랄 집단은 이디하이드 그룹과 비슷한 성질을 가진 유한집단의 가족이다.

참고 항목

참조

^ Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld.
^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
^ "Dihedral Groups: Notation". Math Images Project. Archived from the original on 2016-03-20. Retrieved 2016-06-11.
^ Cameron, Peter Jephson (1998), Introduction to Algebra, Oxford University Press, p. 95, ISBN 9780198501954
^ Toth, Gabor (2006), Glimpses of Algebra and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, p. 98, ISBN 9780387224558
^ ^a ^b Lovett, Stephen (2015), Abstract Algebra: Structures and Applications, CRC Press, p. 71, ISBN 9781482248913
^ Humphreys, John F. (1996). A Course in Group Theory. Oxford University Press. p. 195. ISBN 9780198534594.
^ Pedersen, John. "Groups of small order". Dept of Mathematics, University of South Florida.
^ Sommer-Simpson, Jasha (2 November 2013). "Automorphism groups for semidirect products of cyclic groups" (PDF). p. 13. Corollary 7.3. Aut(D_n) = D_n if and only if φ(n) = 2
^ Miller, GA (September 1942). "Automorphisms of the Dihedral Groups". Proc Natl Acad Sci U S A. 28 (9): 368–71. doi:10.1073/pnas.28.9.368. PMC 1078492. PMID 16588559.

외부 링크

Wolfram 데모 프로젝트인 Shawn Dudzik의 Diedral Group of Order 2n.
그루롭스의 디헤드랄 그룹
Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D3". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D4". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D5". MathWorld.
Davis, Declan. "Dihedral Group D6". MathWorld.
GroupNames의 디헤드 그룹

[1] Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld.

[2] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[mathimages-3] "Dihedral Groups: Notation". Math Images Project. Archived from the original on 2016-03-20. Retrieved 2016-06-11.

[4] Cameron, Peter Jephson (1998), Introduction to Algebra, Oxford University Press, p. 95, ISBN 9780198501954

[5] Toth, Gabor (2006), Glimpses of Algebra and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, p. 98, ISBN 9780387224558

[lovett-6] Lovett, Stephen (2015), Abstract Algebra: Structures and Applications, CRC Press, p. 71, ISBN 9781482248913

[7] Humphreys, John F. (1996). A Course in Group Theory. Oxford University Press. p. 195. ISBN 9780198534594.

[8] Pedersen, John. "Groups of small order". Dept of Mathematics, University of South Florida.

[9] Sommer-Simpson, Jasha (2 November 2013). "Automorphism groups for semidirect products of cyclic groups" (PDF). p. 13. Corollary 7.3. Aut(D_n) = D_n if and only if φ(n) = 2

[10] Miller, GA (September 1942). "Automorphisms of the Dihedral Groups". Proc Natl Acad Sci U S A. 28 (9): 368–71. doi:10.1073/pnas.28.9.368. PMC 1078492. PMID 16588559.

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