24셀

24셀
슐레겔 도표 (경사면 및 모서리)
유형	볼록 레귤러 4폴리토프
슐레플리 기호	{3,4,3} r{3,3,4} = {${\displaystyle \begin{array}{}33\\ ,4\}\end{array}}${\$displaystyle \left\{\display{array}{l}3\3,4\end{array}}\right\}$ {3} = {${\displaystyle \begin{array}{}333\\ \}\end{array}}$ ${\displaystyle \left\{\display{array}{l}3\3\3\end{array}}\right\}}$
콕서터 도표	아니면 아니면
셀	24 {3,4}
얼굴들	96 {3}
모서리	96
꼭짓점	24
꼭짓점 도형	큐브
페트리 다각형	데카곤을 하다
콕서터 군	F4, [3,4,3], 주문 1152 B4, [4,3,3], 주문 384 D4, [31,1,1], 주문 192
이중	셀프 듀얼
특성.	볼록형, 등각형, 등각형, 등각형, 등각체
균일지수	22

기하학에서, 24 셀은 슐레플리 기호가 {3,4,3}인 볼록 정다각형^[1](플라톤 고체의 4차원 유사체)입니다.그것은 또한₂₄ C, 또는 정팔면체,^[2] 팔면체 복합체의 줄임말인 정팔면체, 정팔면체,^[3] 정팔면체, 정팔면체, 정팔면체, 정팔면체, 정팔면체, 또는 정팔면체라고도 불리며, 정팔면체 세포로 구성됩니다.

24셀의 경계는 각 꼭지점에서 6개가 만나고 각 모서리에서 3개가 만나는 24개의 팔면체 셀로 구성되어 있습니다.삼각형 면 96개, 모서리 96개, 꼭짓점 24개가 있습니다.꼭짓점 도형은 정육면체입니다.24셀은 셀프 ^[a]듀얼입니다.24 셀과 테세랙트는 가장자리 길이가 ^[b]반지름과 같은 유일한 볼록 정규 4 폴리토프입니다.

24 셀에는 3차원의 일반적인 아날로그가 없습니다.이것은 볼록한 규칙 4-폴리토프 6개 중 유일한 것이며, 5개의 플라톤 고체 중 하나의 4차원 유사체가 아닙니다.이는 어떤 차원에서든 고유한 규칙 폴리토프이며, 아래 또는 ^[4]위의 인접한 차원에서 규칙적인 아날로그가 없습니다.그러나, 이것은 불규칙한 고체 한 쌍의 유사체, 즉 사각팔면체와 그것의 이중 마름모 ^[5]십이면체의 유사체로 볼 수 있습니다.

번역된 24 셀 캔의 복사본은 4차원 공간을 정면으로 타일링하여 24 셀 벌집을 형성합니다.번역에 의해 타일링될 수 있는 폴리토프로서, 24-셀은 또한 조노토프가 ^[6]아닌 가장 간단한 것인 평행한 동위원소의 예입니다.

기하학.

24 셀은 처음 4차원의 모든 볼록 정다각형의 기하학적 구조를 통합합니다. 5 셀, 슐라이플 ^[c]기호에 5가 있는 것, 다각형 {7} 이상의 것을 제외하고.특히 24셀을 탐색하는 데 유용한데, 이는 한 개의 24셀 또는 그 벌집 안에 있는 이 모든 규칙적인 폴리토프들 사이의 기하학적인 관계를 볼 수 있기 때문입니다.

24-셀은 6개의 볼록한 규칙적인 4-폴리토프들의 수열 중 네 번째입니다 (크기와 복잡성 순).^[d]8-셀은 ^[8]16-셀의 2개의 중첩된 인스턴스로 분해될 수 있고, 8-셀은 그것의 이전의 테세랙트(8-셀)의 3개의 중첩된 인스턴스로 분해될 수 있습니다.이전 버전의 인스턴스에서 이들 각각을 구성하는 역순서는 이전 버전의 반지름을 보존하지만 일반적으로 가장자리 ^[e]길이가 더 작은 후속 버전을 생성합니다.

좌표

사각형

24 셀은 정점의 볼록 선체이며, 다음의 24 좌표 순열로 설명할 수 있습니다.

이 좌표는^[9] (±2,0,0,0)의 8개의 정점 순열을 갖는 16-셀을 정류하는 것으로 구성할 수 있습니다.16셀의 꼭짓점 도형은 팔면체입니다. 따라서 16셀의 꼭짓점을 입사 모서리의 중간 지점에서 자르면 8개의 팔면체 셀이 생성됩니다.이 과정은^[10] 또한 16개의 팔면체가 되는 16개의 셀의 사면체 셀을 교정하여 24개의 팔면체 셀을 제공합니다.

이 참조 프레임에서 24 셀은 길이 ≥2의 에지를 가지며 반경 ≥2의 3-구에 내접됩니다.놀랍게도 모서리 길이는 육각형처럼 원반지름과 같습니다. 즉, 정육면체입니다.그러한 다포체는 방사상으로 ^[b]등변형입니다.

반지름 λ2의 규칙적인 볼록 4-다극체
대칭군	A4	나4		바4	ㅇ4
이름.	5셀 정사면체 오점의	16셀 정팔면체 팔점의	8셀 하이퍼큐브 16점의	24셀 24점의	600셀 정이십면체 120포인트	120셀 십이면체 600포인트
슐레플리 기호	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
콕서터 거울
거울다이헤더럴	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
그래프
꼭짓점	5 사면체	팔면체 8개	16 사면체	24큐빅	120 정이십면체	사면체 600개
모서리	삼각형 10개	24평방형	32 삼각형	96 삼각형	720 오각형	1200 삼각형
얼굴들	삼각형 10개	삼각형 32개	사각형 24개	96개의 삼각형	1200개의 삼각형	720 오각형
셀	테트라헤드라 5개	16 테트라헤드라	정육면체 8개	24 팔각형	테트라헤드라 600개	120 도데체라
토리	15면체	28면체	24큐브	46팔면체	2030-직면체	12 10면체
내접	120 인 120 셀	120셀 안에 675개	2 16셀	38셀	25개의 24개의 셀	600셀 10개
대다각형		정사각형 2개 x 3개	직사각형 4개 x 4개	육각형 4 x 4	12 데카곤 x 6	불규칙 육각형 100개 x 4개
페트리폴리곤	오각형 1개	팔각형 1개	팔각형 2개	데카곤 2개	430곤	2030곤
장반지름	${\displaystyle {\sqrt {2}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}$
모서리길이	${\displaystyle {\sqrt {5}}\display2.236}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\n1.414}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\n1.414}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{\phi}}\n208 0.874}$	${\displaystyle 2-\phi \pi 0.382}$
단반지름	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{4}}\n208 0.354}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\nons 0.707}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\nons 0.707}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{4}}\n1.309}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{4}}\n1.309}$
지역	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}{4}\right)\displaystyle 21.651}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt{3}}\right)\n55.425}$	${\displaystyle 48}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}\right)\n83.138}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {2{\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}\right)\displaystyle 396.95}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4\phi ^{4}}\right)\n180.73}$
용량	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}{12}}\right)\displaystyle 6.588}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {2{\sqrt {2}}{3}\right)\displaystyle 15.085}$	${\displaystyle 8{\sqrt {8}}\display22.627}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {4}{3}}\right)=32}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {4}{12\phi^{3}}\right)\displaystyle 47.560}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}{4\phi ^{6}}\right)\n51.246}$
4-내용	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}\left({\sqrt {5}\right)^{4}\right 2.329}$	${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}\n2.666}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\tfrac {\text{짧음}}\회 {\text{Vol}}{4}}\대략 15.451}$	${\displaystyle {\tfrac {\text{짧음}}\회 {\text{Vol}}{4}}\대략 16.770}$

24개의 정점은 18개의 대제곱^[f](6개의^[h] 직교 중심 제곱의 3개 집합)을 형성하며, 그 중 3개는 각 정점에서 교차합니다.각 꼭짓점에서 하나의 정사각형만 보면, 24셀은 ^[l]꼭짓점에서 교차하지 않는 3쌍의^[k] 완전한^[g] 직교 사각형의 꼭짓점으로 볼 수 있습니다.

육각형

24-셀은 셀과 동일한 수의 정점(24) 및 면과 동일한 수의 에지(96)를 갖는 셀프-듀얼입니다.

모서리 길이 θ2의 상기 24셀의 듀얼을 그것의 내접된 구를 중심으로 왕복하여 취하면, 모서리 길이 및 원반지름 1을 갖는 또 다른 24셀이 발견되고, 그 좌표는 더 많은 구조를 나타내는 것.이 참조 프레임에서 24-셀은 정점-업(vertex-up)으로 놓여 있으며, 정점은 다음과 같이 제공될 수 있습니다.

정수 좌표를 순열하여 얻은 8개의 정점:

그리고 16개의 꼭짓점과 반각 좌표를 갖는 형태:

24개 모두 원점에서 1번 거리에 있습니다.

쿼터니언으로 ^[m]봤을 때, 이것들은 후르비츠 쿼터니언입니다.

이 좌표계에서 24 셀은 단위 반경과 단위^[b] 에지 길이를 갖습니다.우리는 ^[n]위에서 사용된 λ2 반지름 좌표와 같이 다른 것들과 구별하기 위해 시스템을 단위 반지름 좌표라고 부릅니다.

반지름 1의 규칙적인 볼록 4-다극체
대칭군	A4	나4		바4	ㅇ4
이름.	5셀 정사면체 오점의	16셀 정팔면체 팔점의	8셀 하이퍼큐브 16점의	24셀 24점의	600셀 정이십면체 120포인트	120셀 십이면체 600포인트
슐레플리 기호	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
콕서터 거울
거울다이헤더럴	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
그래프
꼭짓점	5 사면체	팔면체 8개	16 사면체	24큐빅	120 정이십면체	사면체 600개
모서리	삼각형 10개	24평방형	32 삼각형	96 삼각형	720 오각형	1200 삼각형
얼굴들	삼각형 10개	삼각형 32개	사각형 24개	96개의 삼각형	1200개의 삼각형	720 오각형
셀	테트라헤드라 5개	16 테트라헤드라	정육면체 8개	24 팔각형	테트라헤드라 600개	120 도데체라
토리	15면체	28면체	24큐브	46팔면체	2030-직면체	12 10면체
내접	120 인 120 셀	120셀 안에 675개	2 16셀	38셀	25개의 24개의 셀	600셀 10개
대다각형		정사각형 2개 x 3개	직사각형 4개 x 4개	육각형 4 x 4	12 데카곤 x 6	불규칙 육각형 100개 x 4개
페트리폴리곤	오각형 1개	팔각형 1개	팔각형 2개	데카곤 2개	430곤	2030곤
장반지름	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
모서리길이	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}\n1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\n1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi}}\n0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\displaystyle 0.270}$
단반지름	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}\tfrac 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}\tfrac 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}\tfrac 0.926}$
지역	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}{8}}\right)\displaystyle 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}\right)\display27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}\right)\displaystyle 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}\right)\displaystyle 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi^{4}}\right)\right) 90.366}$
용량	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}{24}\right)\displaystyle 2.329}$	${\displaystyle 16\left}\tfrac {1}{3}\right)\n5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}\right)\displaystyle 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}\right)\displaystyle 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}\right)\n18.118}$
4-내용	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\tfrac 0.560}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\n0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {\text{짧음}}\회 {\text{Vol}}{4}}\대략 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {\text{짧음}}\time {\text{Vol}}{4}\times 4.193}$

24개의 꼭짓점과 96개의 모서리는 16개의 비직교 ^[q]대육각형을 이루며, 그 중^[k] 4개는 각 ^[s]꼭짓점에서 교차합니다.각 꼭짓점에서 하나의 육각형만 보면, 24셀은 ^[t]서로 평행한 4개의 교차하지 않는 육각형 대원의 24개 꼭짓점으로 볼 수 있습니다.

24셀의 12개의 축과 16개의 육각형은 Reye 형상을 구성하는데, 형상 언어에서는 각 축이 4개의 육각형에 속하고, 각 육각형은₄₃ 3개의 ^[11]축을 포함하고 있음을 나타내기 위해 1216으로 표기합니다.

트라이앵글

24개의 꼭짓점은 32개의 정삼각형을 이루며, 16개의 큰 ^[x]육각형에 새겨진 단위 반경 ^[w]24셀에서 모서리 길이가 ≥3입니다.각각의 거대한 삼각형은 서로 완전히^[y] 분리된 세 개의 거대한 ^[ab]사각형을 연결하는 고리입니다.

고입방 화음

24-셀의 24개의 정점들은 서로 다른 4개의 코드 길이들, 즉 λ1, λ2, λ3 및 λ4로 분포됩니다^[12].

각 꼭짓점은 길이 1의 모서리로 8개의 다른 꼭짓점과 연결되며, 60° = π/3의 호에 걸쳐 있습니다.그 다음으로 가까운 곳에는 길이 λ2의 내부 코드를 따라 90° = λ/2 떨어진 곳에 위치한 6개의 정점이 있습니다.또 다른 8개의 정점은 길이 λ3의 내부 코드를 따라 120° = 2π/3 떨어져 있습니다.반대쪽 꼭짓점은 길이 2의 지름을 따라 180° = π 떨어져 있습니다.마지막으로, 24 셀은 방사상으로 등변형이므로, 그 중심은 다른 모든 셀들로부터 1개의 가장자리 길이가 떨어진 25번째 표준 ^[ag]정점 정점으로 취급될^[af] 수 있습니다.

24 셀의 내부 폴리토페가 어떻게 함께 들어맞는지 시각화하려면 (아래에 설명된 바와 같이) 4개의 코드 길이(θ1, θ2, θ3, θ4)가 1~4차원의 하이퍼큐브의 긴 직경임을 명심하십시오. 사각형의 긴 직경은 θ2, 큐브의 긴 직경은 θ3, 테세랙트의 긴 직경은 ^[ah]θ4입니다.게다가, 팔면체의 긴 직경은 정사각형처럼 ≥2이고, 24셀 자체의 긴 직경은 테섹트처럼 ≥4입니다.24셀에서 ≥2 코드는 중앙 사각형의 가장자리이고 ≥4 코드는 중앙 사각형의 대각선입니다.

측지학

24셀의 꼭짓점 화음은 지오데식 대원 ^[aj]다각형으로 배열됩니다.2개의 24 셀 정점 사이의 측지 거리는 항상 1, 2, 3이며, 서로 반대되는 ^[ak]정점에 대해서만 3입니다.

θ1 모서리는 16개의 육각형 대원(서로 60도 기울어진 평면)에서 발생하며, 그 중^[s] 4개는 각 ^[r]꼭지점에서 교차합니다.96개의 구별된 θ1 모서리는 96개의 삼각형 면과 24개의 팔면체 셀로 표면을 나눕니다: 24개의 셀.16개의 육각대원은 교차하지 않는 4개의 클리포드 평행 측지선으로 4개의 집합으로 나눌 수 있는데, 각 집합에서 1개의 육각대원만이 각 꼭지점을 통과하고, 각 집합에서 4개의 육각대는 모두 24개의 ^[t]꼭지점에 도달합니다.

24 셀의 직교 투영법

콕서터 평면	바4
그래프
이면체 대칭	[12]
콕서터 평면	B3 / A2 (a)	B3 / A2 (b)
그래프
이면체 대칭	[6]	[6]
콕서터 평면	나4	B2 / A3
그래프
이면체 대칭	[8]	[4]

θ2 코드는 18개의 정사각형의 대원(6개의 직교면으로^[j] 이루어진 3개의 집합)에서 발생하며, 그 중 3개는 각 ^[an]꼭짓점에서 발생합니다.72개의 구별되는 ≥2의 화음은 육각형의 거대한 원들과 같은 평면으로 진행되지 않습니다; 그것들은 24개의 세포의 가장자리를 따르지 않고, 그것들의 팔각형의 세포 ^[ao]중심을 통과합니다.72 ≥2 코드는 24개의 팔면체 셀의 3개의 직교 축이며, 2 ≥1 에지가 떨어져 있는 정점을 결합합니다.18개의 정사각형 대원은 교차하지 않는 6개의 클리포드 평행 ^[ai]측지선으로 3개의 집합으로 나눌 수 있는데, 각 집합에서 1개의 정사각형 대원만이 각 정점을 통과하고 각 집합에서 6개의 정사각형은 모든 24개의 ^[l]정점에 도달합니다.

π3 코드는 16개의 평면에서 32개의 삼각형의 거대 원에서 발생하며, 그 중 4개는 각 ^[ae]꼭짓점에서 교차합니다.96개의 구별되는 ≥3의^[w] 화음들은 육각형의 ^[x]거대 원들과 같은 평면들에서 정점 대 다른 정점들로 진행됩니다.그것들은 16개의 대육각형에 새겨진 32개의 대삼각형의 3개의 모서리이며, 대원 위에 2 √ 1개의 모서리가 떨어져 있는 꼭짓점들을 연결합니다.

≥4 코드는 정점 대 정점 직경 12개(4개의 직교 축으로 구성된 3개의 세트)로 발생하며,^[ag] 25번째 중심 정점을 중심으로 24개의 반경을 갖습니다.

24셀의 이 모든 구별된 화음들의 제곱 길이의 합은 576 = 24입니다.이것들은 모두 꼭짓점을 통과하는 중심 다각형이지만, 4-공간에는 중심면에 전혀 놓여 있지 않은 3-구에 측지선이 있습니다.단순한 원형이 아닌 나선형인 두 개의 24셀 정점 사이에는 지오데식 최단 경로가 있습니다. 단순 ^[au]회전보다는 대각선 등각 회전에 해당합니다.

≥1개의 모서리는 48개의 평행한 쌍으로 ≥3개 떨어져 있습니다.≥2의 화음은 ≥2의 간격으로 36개의 평행한 쌍으로 이루어집니다.≥3 개의 코드는 48 개의 평행한 쌍으로, ≥1 개의 코드가 있습니다.^[av]

24 셀의 중심면은 각각 직육면체를 이루는 4개의 직교 중심 초평면(3개의 공간)으로 나눌 수 있습니다.대육각형은 60도, 대사각형은 90도 또는 60도, 대사각형과 대육각형은 90도 ^[ax]및 60도입니다.유사한 중심 다각형(사각형 또는 육각형)의 각 집합은 교차하지 않는 클리포드 평행 다각형(사각형 또는 육각형 ^[ay]4개)의 4개 집합으로 나눌 수 있습니다.클리포드 평행대원의 각 집합은 24개의 꼭짓점을 한 번만 방문하는 평행섬유 다발입니다.

각각의 거대 원은 24 ^[az]셀의 1/4 직경에서 클리포드와 평행하지 않은 다른 거대 원과 교차합니다^[k].완전한^[g] 직교 또는 그렇지 않은 경우 클리포드^[ai] 평행인 대원은 전혀 교차하지 않습니다. 이들은 서로소인 ^[ba]정점 집합을 통과합니다.

시공

삼각형과 사각형은 24 ^[bb]셀에서 고유하게 결합되어 처음 ^[af]4차원(5 셀과 600 셀에 대한 주의 사항 포함)의 삼각형 면과 사각형 면의 모든 규칙적인 볼록 폴리토프를 내부 특징으로 생성합니다.따라서, 24-셀을 구성하거나 해체하는 방법은 다양합니다.

8셀과 16셀의 역방향 구조

8개의 정수 정점(±1, 0, 0)은 정16셀의 정점이고, 16개의 반정수 정점(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)은 이중의 정점인 테세랙트(8셀)^[21]의 정점입니다.테서랙트는 고셋의 24셀 구조를^[22] 제공하는데, 이는 테서랙트를 8개의 입방정계 피라미드로 잘라 그것들을 두 번째 테서랙트의 면에 붙이는 것과 같습니다.3-공간에서의 유사한 구조는 마름모 십이면체를 제공하지만 ^[bc]규칙적이지 않습니다.16 셀은 24 셀의 역방향 구성, 즉 Cesaro의 ^[23]구성을 제공하며, 16 셀을 정류하는 것과 동일합니다(위에서 설명한 것처럼 가운데 모서리에서 모서리를 잘라냄).3-공간에서의 유사한 구조는 정육면체(마름모 십이면체의 이중)를 제공하지만 규칙적이지 않습니다.테세랙트와 16-셀은 ^[24]24-셀에서 유일하게 규칙적인 4-폴리토프입니다.

우리는 16개의 반 정수 정점을 짝수 개의 마이너스(-) 부호를 포함하는 좌표와 홀수 개의 그룹으로 나눌 수 있습니다.8개의 정점으로 이루어진 이러한 그룹은 또한 정규 16 셀을 정의합니다.이것은 24 셀의 꼭짓점이 8개의 서로소인 3개의 집합으로 그룹화될 수 있음을 보여주며, 각 집합은 정규 16 셀을 정의하고, 보어는 이중 ^[25]테서랙을 정의합니다.이것은 또한 16 셀의 대칭이 24 ^[aa]셀의 대칭 그룹의 인덱스 3의 하위 그룹을 형성한다는 것을 보여줍니다.

감쇄

우리는 정점 코드로 경계를 이루는 내부 셀을 잘라 정점을 제거함으로써 24 셀에 새겨진 내부 4-폴리토프의 면을 노출시킴으로써 24^[bd] 셀을 마주할 수 있습니다.6개의 꼭짓점으로 이루어진 평면 육각형, 4개의 꼭짓점으로 이루어진 평면 직사각형, 또는 3개의 꼭짓점으로 이루어진 삼각형을 통해 24셀을 자를 수 있습니다.그레이트 서클 중앙 평면(위)은 해당 평면 중 일부에 불과합니다.여기서 우리는 다른 것들 중 일부를 폭로할 것입니다: 내부 폴리토페의 ^[bf]면면입니다^[be].

8셀

완전한 24셀로 시작하여, θ1 모서리로 경계를 지은 8개의 입방형 셀을 잘라내어 8개의 직교 꼭짓점(4개의 수직축 상에서 4개의 반대 쌍)과 각각에서 방사되는 8개의 모서리를 제거합니다. 꼭짓점이 제거될 꼭짓점인 8개의 입방형 피라미드를 제거하기 위해 θ1 모서리로 경계를 지은 8개의 입방형 피라미드를 제거합니다.이렇게 하면 각 육각대원에서 4개의 모서리가 제거되므로(한 쌍의 반대 모서리만 유지), 연속적인 육각대원이 남지 않습니다.이제 3개의 수직 모서리가 만나 나머지 16개의 ^[bg]꼭짓점에서 정육면체의 모서리를 형성하고, 나머지 32개의 모서리는 표면을 24개의 정사각형 면과 8개의 세제곱 셀로 나눈다: 테세랙트.이렇게 할 수 있는 방법은 세 가지가 있습니다(24개 중에서 8개의 직교 정점 집합을 선택). 따라서 24개 ^[v]셀에 세 개의 테세랙이 새겨져 있습니다.두 요소는 서로 겹치지만 요소 집합의 대부분은 서로 연결되어 있지 않습니다. 일부 꼭지점 수는 공유하지만 모서리 길이, 면 면적 또는 셀 ^[bh]볼륨은 공유하지 않습니다.그들은 공통의 ^[bi]핵심인 4-콘텐츠를 공유합니다.

16셀

완전한 24셀로 시작하여, 테세랙트의 16개 꼭짓점을 제거하고(위에서 제거한 8개 꼭짓점을 유지), λ2 코드로 경계를 이룬 16개의 사면체 셀을 잘라내어 꼭짓점이 제거될 꼭짓점인 16개의 사면체 피라미드를 제거합니다.이것은 12개의 큰 정사각형(단 하나의 직교 집합만 유지)과 모든 π1 에지를 제거하여 π2 코드를 새로운 에지로 노출시킵니다.이제 나머지 6개의 큰 정사각형은 수직으로 교차하고, ^[bj]8개의 나머지 꼭짓점에서 각각 3개씩 교차하고, 24개의 모서리는 표면을 32개의 삼각형 면과 16개의 사면체 셀로 나눕니다. 16개의 셀.이렇게 할 수 있는 세 가지 방법이 있습니다(세 개의 테서랙 정점 집합 중 1개를 제거). 따라서 24 ^[z]셀에는 세 개의 16 셀이 새겨져 있습니다.두 요소는 서로 겹치지만 요소 집합은 모두 서로 ^[y]연결되어 있습니다. 꼭지점 수, 모서리 ^[bk]길이 또는 면 면적은 공유하지 않지만 셀 볼륨은 공유합니다.이들은 공통 ^[bi]핵심인 4-콘텐츠도 공유합니다.

사면체 구조

24-셀은 폴리토프의 중심에서 만나는 가장자리 길이 θ1의 96개의 정삼각형으로부터 방사상으로 구성될 수 있으며, 각각은 2개의 반경과 ^[b]가장자리를 기여합니다.이들은 96 ≥ 1 테트라헤드라(각각 하나의 24 셀 면을 기여함)를 형성하며, 모두 25번째 중앙 정점 정점을 공유합니다.이것들은 꼭지점을 중심에 두고 24개의 팔면체 피라미드 (반16개의 세포)를 형성합니다.

24 셀은 모서리 길이 θ2의 96개의 정삼각형으로 구성할 수 있으며, 각 삼각형의 세 꼭지점은 3-구에서 서로 90° = θ/2만큼 떨어져 있습니다.그들은 24 ^[bk]세포의 24 중간 가장자리 반경을 중심으로 하는 48 ≥2 테트라헤드라(세 개의 16 세포의 세포)를 형성합니다.

24 셀은 대칭 그룹 F의₄ 기본 영역인 불규칙한 5 셀인 특징적인 단순함으로부터 직접 구성될 수 있으며, 이는 3개의 직교 ^[bl]체계인 자신의 셀에서 4개의 직교 체계를 반영하는 것입니다.

실내 폴리토페간의 관계

24개의 세포, 3개의 테세르크, 그리고 3개의 16개의 세포는 그들의 공통된 중심 주위에 깊게 얽혀 있고, 공통된 ^[bi]중심에서 교차합니다.테세랙과 16개의 셀이 서로에 대해 등사선적으로^[o] 60° 회전합니다.이것은 두 테서크 또는 두 개의 16-셀의 대응하는 꼭짓점이 ^[v]≥3(120°) 떨어져 있음을 의미합니다.

테셀은 꼭짓점과 모서리가^[bm] 24셀의 외부 요소이지만 정사각형 면과 정육면체 셀은 24셀의 내부에 있습니다(24셀의 요소가 아닙니다).16개의 세포는 24개의^[bn] 세포 안에 새겨져 있어서 꼭짓점만이 24개의 세포의 외부 요소입니다. 가장자리, 삼각형 면, 그리고 사면체 세포는 24개의 세포 안에 있습니다.내부^[bo] 16셀 가장자리는 길이가 ^[ab]≥2입니다.

16개의 셀은 또한 테서크에 새겨져 있습니다: 그들의 θ2 모서리는 테서크의 면 대각선이고, 그들의 8개의 꼭짓점은 테서크의 모든 다른 꼭짓점을 차지합니다.각 테서랙에는 두 개의 16 셀이 새겨져 있습니다(대향 꼭짓점과 대각선을 차지함). 따라서 각 16 셀은 세 개의 8 ^[29][aa]셀 중 두 개의 셀에 새겨져 있습니다.이것은 ^[28]케플러가 발견한 것처럼, 3차원으로 두 개의 대립하는 정사면체를 정육면체에 새겨 넣을 수 있는 방법을 연상시킵니다.사실 이것은 정확한 차원의 비유이며, 48개의 사면체 세포는 바로 그런 ^[30][bk]방식으로 24개의 정육면체 세포에 새겨져 있습니다.

24 셀은 3개의 테세랙을 팔면체 면으로 된 봉투 안에 감싸며, 각 테세랙의 봉투와 정육면체 봉투 사이의 일부 장소에 4차원 공간을 남깁니다.각각의 테서랙트는 3개의 16개의 셀 중 2개의 셀을 감싸며, 그것의 포락선과 각 16개의 셀의 포락선 사이의 일부 장소에 4차원 공간을 남깁니다.따라서 24 셀, 8 셀 및 16 셀 봉투 사이에는 측정^[7] 가능한 4차원 인터페이스가^[bp] 존재합니다.이 틈을 메우고 있는 모양은 4-피라미드이며,^[bq] 위에서 암시하고 있습니다.

경계셀

24-셀, 8-셀, 16-셀 봉투 사이의 4차원적인 간격에도 불구하고, 그들의 3차원 부피는 겹칩니다.다른 봉투는 어떤 곳에서는 분리되어 있고, 다른 곳에서는 접촉되어 있습니다(그 사이에 4-피라미드가 놓여 있지 않음).그들이 접촉하는 곳에서, 그들은 세포 부피를 합치고 공유합니다: 그들은 두 개의 분리된 3차원 ^[bs]층이 아니라, 그 장소들에서 같은 3차원 막입니다.봉투가 총 7개이기 때문에 여러 개의 봉투가 모여 부피를 합치는 곳도 있고, 봉투가 (서로 안에서 밖으로 교차) 침투하는 곳도 있습니다.

일부 내부 특징은 24 셀 자체의 (외부) 경계 포락선의 3-공간 안에 있습니다. 각 팔면체 셀은 3개의 수직 사각형(각 테섹트에서 하나씩)으로 2등분되며, 각 사각형의 대각선은 16 셀 가장자리(각 16 셀에서 하나씩 수직으로 교차)입니다.각각의 정사각형은 팔면체를 두 개의 정사각형 피라미드로 분할하고, 또한 인접한 두 개의 입체 테셀을 그들의 ^[br]공통된 면으로 함께 결합합니다.

위에서 본 것과 같이, 16셀 ≥2 사면체 셀은 테섹트 ≥1 입방체 셀에 새겨져 있고, 같은 부피를 공유합니다. 24셀 ≥1 팔면체 셀은 그 부피가 ≥1 입방체 셀과 겹칩니다. 그들은 정사각형 면에 의해 ^[32]두 개의 정사각형 피라미드로 이등분되고, 그 꼭지점 또한 ^[bt]정육면체의 꼭지점에 놓여있습니다.팔각형은 정육면체뿐만 아니라 그 안에 새겨진 사면체와 부피를 공유합니다. 따라서 24셀, 테세랙, 16셀 모두 경계 ^[bs]부피를 공유합니다.

구성으로

이 구성^[33] 행렬은 24 셀을 나타냅니다.행과 열은 꼭짓점, 모서리, 면 및 셀에 해당합니다.대각선 숫자는 24셀 전체에서 각 원소가 얼마나 많이 발생하는지를 나타냅니다.대각선이 아닌 숫자는 열의 원소가 행의 원소 안에서 또는 행의 원소 안에서 얼마나 많이 발생하는지를 나타냅니다.

24셀은 자체 듀얼이기 때문에 매트릭스는 180도 회전과 동일합니다.

대칭, 루트 시스템 및 테셀레이션

단순 Lie 그룹 SO(8)의 D 루트 시스템의₄ 24 루트 벡터는 24 셀의 정점을 형성합니다.꼭짓점들은 3개의 ^[aw]초평면에서 볼 수 있는데, 각 외부 초평면에서 팔면체 셀의 6개 꼭짓점과 중앙 초평면에서 팔면체의 12개 꼭짓점이 있습니다.이 꼭짓점들은 16셀의 8개 꼭짓점과 결합하여 B와₄ C 단순₄ 리 군의 32개 루트 벡터를 나타냅니다.

24 셀의 결합의 48개의 정점들(또는 정확히 말해서 그들의 반지름 벡터들)과 그것의 이중성은 유형₄ ^[35]F의 근계를 형성합니다.원래 24 셀의 24개 정점은 D형의₄ 루트 시스템을 형성합니다; 그것의 크기는 ≥2:1의 비율을 갖습니다.이는 이중의 24개 꼭짓점에서도 마찬가지입니다.24 셀의 완전한 대칭 그룹은 F의 Weyl₄ 그룹이며, F 근에₄ 직교하는 초평면을 통한 반사에 의해 생성됩니다.이것은 1152 주문의 해결 가능한 그룹입니다.24 셀의 회전 대칭 그룹은 순서 576입니다.

사분위수 해석

쿼터니언으로 ^[m]해석할 때, F 루트 격자(24 셀의 꼭짓점의 적분 범위)는₄ 곱셈 하에서 닫혀 있으므로 고리입니다.이것은 후르비츠의 정수 쿼터니언의 고리입니다.24 셀의 꼭짓점은 후르비츠 4차 이온 고리(이 그룹은 이진 사면체 그룹으로도 알려져 있음)의 단위 그룹(즉, 가역 원소 그룹)을 형성합니다.24 셀의 꼭짓점은 정확하게 노름 제곱 1인 24개의 후르비츠 쿼터니언이고, 이중 24 셀의 꼭짓점은 노름 제곱 2인 것입니다.D₄ 루트 격자는 F의₄ 이중성이며, 짝수 표준 ^[37]제곱을 갖는 후르비츠 4등분선의 서브링에 의해 주어집니다.

24개의 단위 후르비츠 쿼터니언으로 볼 때, 24개의 셀의 단위 반지름 좌표는 정사면체의 ^[38]12개 회전을 나타냅니다.

다른 볼록한 정4다극체의 꼭짓점들도 4중주의 곱셈군을 형성하지만, 근격자를 생성하는 것은 거의 없습니다.

보로노이 세포

D근₄ 격자의 보로노이 세포는 규칙적인 24개의 세포입니다.상응하는 보로노이 테셀레이션은 규칙적인 24 셀 벌집인 24 셀에 의해 4차원 유클리드 공간의 테셀레이션을 제공합니다.24개 셀은 D 격자점₄(짝수 노름 제곱을 가진 휴르비츠 쿼터니언)에 중심을 두고 정점은 홀수 노름 제곱을 가진 F 격자점에₄ 있습니다.이 테셀레이션의 각 24개 셀에는 24개의 이웃이 있습니다.이들 각각과 함께 팔면체를 공유합니다.또한 하나의 꼭짓점만 공유하는 24개의 다른 이웃을 가지고 있습니다.이 테셀레이션의 임의의 주어진 정점에서 8개의 24-셀이 만납니다.이 테셀레이션의 Schläfli 기호는 {3,4,3,3}입니다.이것은 R의⁴ 단 3개의 정기 테셀레이션 중 하나입니다.

이 테셀레이션의 24개 셀에 새겨진 단위 공은 4차원에서 초구의 가장 밀도가 높은 격자 패킹을 생성합니다.24-셀의 꼭짓점 구성은 또한 4차원에서 가능한 가장 높은 키스 수를 제공하는 것으로 나타났습니다.

방사상 등변 벌집

24 셀 벌집 {3,4,3,3}의 이중 테셀레이션은 16 셀 벌집 {3,3,4,3}입니다.4차원 공간의 세 번째 규칙 테셀레이션은 4-정수 데카르트 ^[m]좌표로 정점을 설명할 수 있는 테세랙틱 벌집 {4,3,3,4}입니다.이 세 테셀레이션 사이의 합동 관계는 24 셀, 특히 ^[b]테셀랙과 공유하는 방사상 등각 대칭을 시각화하는 데 도움이 될 수 있습니다.

단위 에지 길이 24 셀의 벌집은 단위 에지 길이 테서랙트의 모든 꼭짓점이 24 셀의 꼭짓점이 되도록(그리고 테서랙트 에지도 24 셀 에지임) 단위 에지 길이 테서랙트 벌집 ^[39]위에 겹쳐질 수 있습니다.24 셀은 4차원 콘텐츠(초볼륨)에 의해 테세랙보다 2배 더 크기 때문에 전체적으로 24 셀 당 2개의 테세랙이 있으며, 그 중 절반만이 24 셀에 새겨져 있습니다.테서랙이 검은색으로 표시되고 인접한 테서랙(입방체 면을 공유하는)이 빨간색으로 표시되면 4차원 바둑판 ^[40]결과가 나타납니다.각 24 셀의 중심에서 수직으로 반지름^[bu] 24개 중 16개는 또한 24 셀에 새겨진 검은색 테세랙트의 반지름입니다.나머지 8개의 반지름은 검은색 테세랙트 바깥(입방체 면의 중심을 통해) 8개의 인접한 빨간색 테세랙트의 중심으로 뻗어 있습니다.따라서 24 셀 벌집과 테세랙틱 벌집은 특별한 방식으로 일치합니다. 각 24 셀의 24개 정점 중 8개는 테세랙트의 정점에서 발생하지 않습니다(대신 테세랙트의 중심에서 발생합니다).각각의 검은 테서랙트는 24개의 셀로부터 잘라내어 8개의 입방정 피라미드를 잘라냅니다. (고셋의 ^[22]건축을 반대로 하는 것처럼, 피라미드는 제거되지 않고 단순히 빨간색으로 색칠되어 제자리에 남겨집니다.)8개의 24개의 세포는 각각의 빨간 테서랙트의 중심에서 만납니다: 각각의 세포는 그 공유된 꼭지점에서 반대로 만납니다. 그리고 다른 6개의 세포는 공유된 팔면체 세포에서 만납니다.

빨간색 테서랙은 채워진 셀(중앙 꼭지점과 반지름을 포함함)이고, 검은색 테서랙은 빈 셀입니다.두 개의 벌집으로 이루어진 이 결합의 꼭짓점 집합은 모든 24개의 세포와 테세랙의 꼭짓점과 빨간 테세랙의 중심을 포함합니다.이 벌집에 24세포 중심(검은 테서랙 중심이기도 함)을 더하면 16세포 벌집이 되는데, 꼭짓점 집합에는 모든 24세포와 테서랙의 꼭짓점과 중심이 포함됩니다.인접한 24개 셀의 이전 빈 중심은 단위 가장자리 길이 16개 셀의 반대 정점이 됩니다. 24개의 반16개 셀(팔면체 피라미드)은 이전의 빈 중심에서 만나 각각의 24개 셀을 채우고, 그들의 팔면체 기저는 24개 셀(인접한 24개 ^[bv]셀과 공유)의 6개의 꼭짓점 팔면체 파셋입니다.

3개의 벌집으로 이루어진 이 연합 어디에도 오각형이 전혀 없다는 것을 주목하세요.24셀과 마찬가지로 4차원 유클리드 공간 자체는 정삼각형과 정사각형(5셀 제외)으로 만들 수 있는 모든 다면체의 복합체에 의해 완전히 채워지지만, 그 복합체는 오각형 ^[c]다면체를 필요로 하지 않습니다.

로테이션

4차원 유클리드 ^[by]공간에서 고정된 점에 대한 회전 그룹인^[41] SO(4)로 알려진 기본 대칭의 표현입니다.

24세포의 3개의 데카르트 베이스

테세랙틱 벌집은 3개의 테세랙틱이 있는 것처럼 24셀의 8개의 직교 꼭짓점으로 이루어진 3개의 서로소 집합(4개의 수직축으로 이루어진 집합 또는 이와 동등하게 아래에 새겨진 기저 ^[p]16셀로 이루어진 집합) 중 어느 것이 그것을 정렬하기 위해 선택되었는지에 따라 3개의 다른 방향이 있습니다.서로에 ^[v]대해 회전하는 24셀에 낙서되어 있습니다.이 방향들 중 하나에서 다른 방향으로의 거리는 60도(각 직교 불변 평면 쌍에서 60도의 두 배 회전, 단일 ^[bz]고정점을 중심으로)를 통한 등각 회전입니다.이 회전은 육각형 중심면에서 가장 명확하게 볼 수 있는데, 육각형은 세 개의 지름 중 어느 것이 좌표계 ^[q]축과 정렬되어 있는지를 바꾸기 위해 회전합니다.

회전면

4차원 유클리드 공간에서의 회전은 완전히 직교하는 ^[43]평면에서 두 개의 2차원 회전의 구성으로 볼 수 있습니다.따라서 4-공간에서의 일반적인 회전은 이중 ^[44]회전입니다.두 가지 중요한 특수한 경우가 있는데, 이는 단순 회전과 등각 ^[cd]회전입니다.

단순회전

3차원에서 회전하는 다면체는 하나의 불변 중심 회전면을 갖습니다.평면의 각 점이 원을 그리며 움직이지만 평면 내에 있기 때문에 평면은 불변이라고 불립니다.다면체의 중심면 중 하나만 특정 회전 동안 불변할 수 있습니다. 불변 중심면의 선택과 회전하는 각도 거리와 방향은 회전을 완전히 지정합니다.불변 평면 밖의 점들도 (불변 평면에 수직인 고정된 회전축에 있지 않는 한) 원 안에서 움직이지만, 원들은 중심 평면 안에 있지 않습니다.

4-폴리토프가 1개의 불변 중심면만을 가지고 회전할 때, 3차원에서 발생하는 동일한 종류의 단순 회전이 발생합니다.한 가지 차이점은 고정된 회전축 대신 점이 움직이지 않는 고정된 중앙 평면이 있다는 것입니다.고정 평면은 불변 회전 평면과 완전히^[g] 직교하는 하나의 중심 평면입니다.24 셀에는 임의의 정점을 다른 정점으로 직접 이동하는 단순한 회전이 있으며, 다른 정점의 대부분은 이동하지만 최소 2개, 최대 6개의 다른 정점(고정 중심면이 교차하는 정점)은 고정된 상태로 남깁니다.꼭짓점은 대육각형, 대사각형 또는 대이각형의 인접 꼭짓점 사이의 불변 회전면에서 대원을 따라 이동하며, 완전한 직교 고정면은 각각 다이곤, 사각형 또는 육각형입니다.

쌍회전

완전히 직교하는 중앙 평면의 점들은 고정되도록 제한되지 않습니다.두 번째 불변면으로서 원을 그리며 회전하는 것도 가능합니다. 즉,^[cc] 두 개의 수직 비교차면에서^[i] 동시에 두 번 회전하는 것입니다.이중 회전에서는 고정 평면이나 축이 없습니다. 중심점을 제외한 모든 점이 움직입니다.회전된 각도 거리는 두 개의 완전한 직교 중심면에서 다를 수 있지만, 둘 다 항상 불변합니다. 전체 평면이 완전한 직교 회전에서 옆으로 기울어짐에 따라 원형으로 움직이는 점이 평면 내에 남아 있습니다.4-공간의 회전은 항상 두 개의 완전한 직교 불변 회전 평면을 갖지만, 그 중 하나의 회전 각도는 0입니다.

이중 회전은 두 개의 카이랄 형태로 나타납니다: 왼쪽 회전과 오른쪽 회전.^[ce]두 번의 회전에서 각 정점은 완전히 직교하는 두 개의 그레이트 원을 ^[ca]따라 나선형으로 이동합니다.경로는 대부분의 나사 및 볼트와 마찬가지로 오른쪽 나사산이거나, 원을 따라 "동일한" 방향으로 이동하거나, 왼쪽 나사산(역 나사산 볼트와 마찬가지로)입니다.우리가 통상적으로 말하는 "위" 방향으로 원을 따라 이동하는 것. (우리가 통상적으로 어느 방향이 4개의 좌표축 ^[46]각각에서 "위"라고 말하는 오른손 규칙에 따라)

꼭짓점을 꼭짓점으로 이동하는 24셀의 이중 회전에서 하나의 불변 회전면은 대육각형, 대사각형 또는 축(두 꼭짓점, 대이각형)만을 포함합니다.완전히 직교하는 불변 회전면은 반드시 대이각, 대제곱, 또는 대육각을 각각 포함할 것입니다.회전 변위의 성질은 불변의 회전 평면, 회전 방향 및 각도, 회전 방향 및 각도의 선택에 의해 결정되며, 회전 평면의 완전한 직교 평면을 회전시킬 수 있는 회전 방향 및 각도.24-셀에는 이러한 ^[47]매개 변수에 의해 허용되는 몇 가지 주목할 만한 종류의 이중 회전이 있습니다.

등소클리닉

두 불변 평면의 회전 각도가 정확히 같을 때, 현저하게 대칭적인 변환이 일어납니다:^[48] 불변 평면에 평행한 모든 거대 원 평면 클리퍼드는^[ai] 그 자체로 같은 각도를 통해 불변 회전 평면이 되고, 4-폴리토프는 한 ^[49]번에 여러 방향으로 등방적으로 회전합니다.각 정점은 네 개의 직교 방향으로 동일한 거리를 ^[o]동시에 이동합니다.24셀에서는 육각형 평면에서 60도까지 등각형 회전은 각 꼭지점을 두 모서리 길이만큼 떨어진 꼭지점으로 가져가고, 16개의 육각형을 모두 60도씩 회전시키며, 모든 대원 다각형(사각형,^[ap] 육각형 또는 삼각형)을 120도 떨어진 같은 종류의 클리포드 평행 대원 다각형으로 가져갑니다.등각 회전은 ^[bz]발견자의 이름을 따서 클리포드 변위라고도 불립니다.

이중회전 애니메이션에 나오는 24셀은 몸을 ^[ch]뒤집는 것처럼 보입니다.욕실 거울이 180도 반사되어 이미지의 키랄리티를 반전시키는 것처럼 실제로 그렇게 되기 때문에 4개의 다면체 전체의 키랄리티를 반전시키는 것처럼 보입니다.360도 등각 회전은 마치 24개의 세포 표면이 장갑처럼 벗겨져서 안쪽으로 뒤집힌 것처럼, 오른손 장갑을 왼쪽 장갑으로 만듭니다(또는 그 ^[50]반대입니다.

육각형 평면에서 24 셀을 단순하게 회전하는 경우, 평면의 각 정점은 60도 떨어진 인접한 정점의 가장자리를 따라 먼저 회전합니다.그러나 두 개의 완전한 직교 평면 중 하나가 위대한 ^[ba]육각형인 등각형 회전에서는 각 꼭지점이 두 개의 모서리 길이(θ3 및 120° 거리) 떨어진 꼭지점으로 먼저 회전합니다.이중 60도 회전의 나선 측지선은 모든 다른 꼭지점을 지나며 그 ^[u]사이의 꼭지점을 놓칩니다.나선측지선의^[cn] 각각의 π3 코드는 두 개의 클리포드 평행 육각 중심면 사이를 가로지르며, 그들 ^[cs]둘을 교차하는 또 다른 육각 중심면에 놓여 있습니다.θ3 코드는 60°각도로 만나지만, 서로 다른 평면에 놓여 있기 때문에 삼각형이 아닌 나선형을 형성합니다.세 개의 θ3 코드와 360° 회전은 정점을 그 자신으로 돌아가지 않고 인접한 정점으로 가져갑니다.π3 코드의 나선은 6개의 π3 코드 후에만 루프로 닫힙니다: π3 가장자리가 있는 ^[cr]스큐 헥사그램에서 24 셀 주위를^[cb] 두 번 도는 720° 회전입니다.모든 24개의 꼭짓점과 모든 육각형이 동시에 회전하더라도 360도 등각형 회전은 24셀의 ^[cm]꼭짓점의 절반에 불과합니다.360도 후에 각 나선은 3개의 꼭지점에서 출발하여 원래 꼭지점에 인접한 네 번째 꼭지점에 도달했지만, 출발한 꼭지점에는 정확하게 도달하지 못했습니다.(24 셀의 모든 육각형이나 사각형) 각각의 중심면은 360도 회전하고 원래 위치로 360도 정도 되돌아오는 동안 (마치 동전이 두 번 뒤집히는 것처럼) 옆으로 기울어졌지만, 이제는 24 셀이 내장된 4개의 공간에서 방향이 다릅니다.이제 24셀이 바깥쪽으로 빠졌기 때문에, 만약 등각 회전이 다른 360도를 통해 같은 방향으로 계속된다면, 24개의 움직이는 정점들은 첫 번째 회전에서 놓쳤던 정점들의 나머지 반을 통과할 것이고, 각 등각 측지선은나는 그것이 출발한 꼭지점에 다시 도착하여 닫힌 6개의 나선형 고리를 형성합니다.각각의₂ 육각형 지오데딕이 24셀 주위를 두 번 감아 24셀을 원래의 카이랄 ^[cx]방향으로 되돌림으로써 6개 정점의 모든 두 번째 정점을 통과하는 회로를 완성하려면 720도의 등각 회전이 필요합니다.

각 꼭짓점이 24셀 주위를 두 번 돌면서 가는 육각형 권선 경로는 뫼비우스 고리로 구부러진 이중나선을 형성하여 이중나선의 두 가닥이 닫힌 ^[cu]고리에서 연속적인 단일 가닥을 형성합니다.첫 번째 회전에서는 꼭짓점이 이중나선의 3코드 가닥 하나를 가로지르고, 두 번째 회전에서는 두 번째 3코드 가닥을 가로지르며, 전체적으로 동일한 손놀림(왼쪽 또는 오른쪽으로 구부러짐)으로 같은 회전 방향으로 움직입니다.이 등각 뫼비우스 고리는 2차원 원이 아닌 닫힌 나선형이지만, 거대 원과 마찬가지로 꼭지점에서 ^[au]꼭지점으로 가는 가장 짧은 경로이기 때문에 측지선입니다.

클리포드 평행다포체

만약 등각 회전이 그것들을 ^[ax]하나로 모을 수 있다면, 두 평면은 또한 등각이라고 불립니다.등각 평면은 정확히 클리포드 평행 측지대원을 ^[52]가진 중심 평면입니다.클리포드 평행 대원은 ^[ai]교차하지 않으므로 등각대원 다각형은 서로소 꼭짓점을 갖습니다.24 셀에서 모든 육각형의 중심면은 다른 세 면에 대해 등사선이고, 모든 정사각형의 중심면은 다른 다섯 면에 대해 등사선입니다.우리는 24셀의 모든 24개 꼭짓점을 포함하는 4개의 상호 등사성 (클리퍼드 평행) 대 육각형 (4개의 다른 방식)을 한 번만 선택할 수 있습니다 (육각형 진동).^[t]우리는 24셀의 모든 24개 꼭짓점을 포함하는 6개의 상호 등각(클리퍼드 평행) 대제곱^[cj](세 가지 다른 방법)을 한 번만 선택할 수 있습니다(정사각형 진동).^[l]정점을 정점으로 이동하는 모든 등각 회전은 이산 진동에 ^[dc]해당합니다.

2차원 대원 다각형은 24셀에서 ^[54]클리포드 의미로 평행한 유일한 다면체가 아닙니다.2, 3, 4차원의 합동 다포체는 대응하는 꼭짓점들이 모두 같은 거리만큼 떨어져 있다면 4차원에서 클리포드 평행하다고 할 수 있습니다.24셀에 새겨진 세 개의 16셀은 클리포드 평행선입니다.클리포드 평행 다지형은 완전히 서로 분리된 ^[y]다지형입니다.육각형 평면에서 60도 등각형 회전은 각각의 16개의 세포를 분리된 16개의 세포로 이동시킵니다.모든 이중 회전과 마찬가지로, 등각 회전은 두 개의 카이랄 형태로 나타납니다: 각각의 16개의 세포의 왼쪽에는 분리된 16개의 세포가 있고,^[z] 오른쪽에는 다른 세포가 있습니다.

모든 클리포드 평행 4-폴리토페는 등각 ^[bz]회전에 의해 관련되어 있지만, 모든 등각 폴리토페가 클리포드 평행(완전히 서로소)^[dd]인 것은 아닙니다.24개의 셀에 있는 세 개의 8개의 셀은 등사성이지만 클리포드 평행하지는 않습니다.16개의 셀처럼, 그것들은 서로에 대해 등방적으로 60도 회전되지만, 그것들의 꼭짓점들이 모두 서로소인 것은 아닙니다(따라서 모든 등거리는 아닙니다).각 정점은 3개의 8셀 중 2개에서 발생합니다(각 16셀은 3개의 8셀 ^[v]중 2개에서 발생합니다).

등각 회전은 볼록한 규칙적인 4개의 다포체들을 서로 연관시킵니다.16개의 세포를 등사시 회전시키면^[de] 24개의 세포가 생성됩니다.단 하나의 16셀의 단순한 회전은 그렇지 않을 것입니다. 왜냐하면 회전 과정에서 정점이 다른 두 16셀의 정점에 도달하지 않기 때문입니다.24셀의 등사선 회전은 600셀을 생성하고 600셀의 등사선 회전은 120셀을 생성합니다. (또는 16셀의 등사선 회전에 의해 직접 생성될 수 있으며, 그 자체의 등사선 복사를 생성합니다.)볼록한 규칙적인 4-다극체는 서로 안에 둥지를 틀고, 3-구를 ^[55]구성하는 Clifford 평행 공간에서 서로 옆에 숨습니다.1차원 이상의 객체의 경우, 이러한 평행한 부분 공간에 직접 도달할 수 있는 유일한 방법은 등각 회전입니다.^[df]

반지.

24-셀에는 6가지 종류의 링 세트가 있으며, 이 문서의 다른 섹션에서 별도로 상세히 설명되어 있습니다.이 섹션에서는 다양한 종류의 고리들이 어떻게 얽혀 있는지 설명합니다.

24셀은 네 가지 종류의 지오데식 섬유(꼭짓점을 통과하는 다각형 고리)를 포함하고 있습니다: 대원 사각형과 등각나선 팔각형,^[l] 대원 육각형과 등각나선 육각형.^[t]그것은 또한 두 종류의 세포 고리(네 번째 차원에서 고리로 구부러진 팔각형의 사슬)를 포함하고 있습니다: 네 개의 팔각형은 꼭짓점에서 꼭짓점으로 연결되어 있고 정사각형으로 구부러져 있고, 여섯 개의 팔각형은 정면으로 연결되어 있고 육각형으로 구부러져 있습니다.

4셀링

4개의 단위 모서리 길이 옥타헤드라는 길이 4≥2의 공통 축을 따라 꼭짓점과 꼭짓점을 연결할 수 있습니다.그런 다음 축을 모서리 길이 θ2의 정사각형으로 구부릴 수 있습니다.단 3차원의 공간에서 이를 수행하는 것은 가능하지만, 24-셀에서는 그렇게 발생하지 않습니다.4개의 팔면체의 θ2 축들이 동일한 평면을 차지함에도 불구하고, 24-셀의 18 θ2 큰 정사각형들 중 하나를 형성하고, 각각의 팔면체는 상이한 3차원 초평면을 ^[dg]차지하고, 4개의 모든 차원들이 사용됩니다.24-셀은 6개의 그러한 4-셀 링으로 분할될 수 있으며(세 가지 다른 방식), 체인의 인접 링크처럼 상호 연결됩니다(그러나 이 링크들은 모두 공통 중심을 갖습니다).대평면에서 90°의 배수만큼 등각 회전하면 링의 각 팔면체가 링의 팔면체로 이동합니다.

6셀링

6개의 정팔면체는 부피 중심을 통과하는 공통 축을 따라 정면으로 연결되어 삼각형 면으로만 스택 또는 열을 형성할 수 있습니다.4차원의 공간에서 축은 6개의 팔면체 중심에서 각각 4차원으로 60°씩 휘어질 수 있으며, 각 팔면체의 3개의 직교 중심면에 모두 직교하는 평면으로 휘어질 수 있습니다. 그러면 기둥의 위와 아래 삼각형 면이 일치하게 됩니다.열은 육각형 축을 중심으로 한 고리가 됩니다.24-셀은 4개의 그러한 링(4가지 다른 방식)으로 분할될 수 있으며, 상호 연결됩니다.육각형 축은 (꼭짓점이 아닌) 셀 중심을 결합하기 때문에 24 ^[dj]셀의 큰 육각형이 아닙니다.그러나, 6개의 거대한 육각형은 6개의 팔각형의 고리에서 발견될 수 있고, 팔각형의 가장자리를 따라 달립니다.6개의 팔각형의 열(고리로 구부러지기 전에)에는 그 열을 따라 올라가는 6개의 나선형 경로가 있습니다: 시계 방향으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선형으로 나선각 시계 방향 나선은 각 반시계 방향 나선을 3개의 모서리 길이만큼 떨어져 있는 두 꼭짓점에서 교차합니다.기둥을 구부려 고리 모양으로 만들면 이 헬리케가 원 모양의 육각형 ^[dh]모양으로 바뀝니다.이 고리에는 세 개의 거대 육각형이 두 세트씩 있고, 각각은 세 개의 클리포드 평행 거대 ^[dl]원 위에 있습니다.세 개의 평행 집합에 있는 대육각은 교차하지 않지만, 각각의 대육각은 다른 세 개의 대육각(클리포드 평행이 아닌)과 두 개의 반모달 정점에서 교차합니다.

거대 육각 평면 중 하나에서 60°의 배수만큼 단순한 회전은 그 육각만을 변함없이 회전시키고, 그 육각의 각 꼭짓점을 같은 육각의 꼭짓점으로 가져갑니다.6개의 대육각 평면 중 하나에서 60°만큼 등사회전하면 3개의 클리포드 평행 대육각이 모두 일정하게 회전하고 링의 각 팔면체를 ^[dn]링의 인접하지 않은 팔면체로 가져갑니다.

각각의 등사변팔면체는 또한 회전 자체가 됩니다.360° 등각 회전 후 각 팔면체는 같은 위치에 있지만 다른 방향에 있습니다.720° 등각 회전에서는 정점이 원래 방향으로 돌아갑니다.

4개의 거대 육각형은 홉피브레이션에서 24개의 꼭짓점을 모두 포함하는 이산 섬유 다발로 구성됩니다.4개의 6셀 링은 동일한 이산 진동으로 구성됩니다.24-셀은 4개의 그러한 이산 육각형 섬유를 가지고 있고, 각각은 독특한 좌-우 회전 쌍(좌-우 Hopf 섬유 다발)의 도메인(용기)입니다.각각의 거대한 육각형은 단지 하나의 ^[57]진동에 속하지만, 각각의 6개의 세포 고리는 세 개의 진동에 속합니다.24셀은 4개의 섬유로 나누어진 16개의 훌륭한 육각형을 포함하고 있는데, 각각은 4개의 6셀 고리의 집합이지만, 24셀은 4개의 다른 6셀 고리만을 가지고 있습니다.각 6-셀 링은 3개의 피브 각각에 3개의 위대한 육각형을 포함합니다. 3개의 피브 각각에 대한 4개의 클리퍼드 평행 육각형 중 3개만 포함하고 24개의 ^[dc]꼭짓점 중 18개만 포함합니다.

나선형 육각형과 그 등각선

또 다른 종류의 측지 섬유인 나선 육각형 등각선은 옥타헤드라의 6셀 고리 안에서 발견될 수 있습니다.이러한 측지선들 각각은 스큐 헥사그램의₂ 모든 두 번째 정점을 통과하며, 단위 반경, 단위 에지 길이의 24 셀은 6개의 ≥3 에지를 갖습니다.육각형은 하나의 중앙 평면에 놓여 있지 않고, 6셀 링에 있는 6개의 다른 육각형의 거대 원들로부터 6개의 연결된 3개의 코드로 구성됩니다.아이소클라인 측지선 섬유는 아이소클라인 ^[au]회전의 경로이며, 단순히 원형이 아닌 나선형 경로이며, 이 경로는 두 개의 가장자리 길이가 떨어져 정점을 연결하므로 결과적으로 6개의 정점 ^[cg]루프를 완성하기 전에 24 셀을 두 번 감아야 합니다.평평한 육각형이 아닌 두 개의 3면 360도 반고리로 꼬인 육각형을 형성합니다. 즉, 열린 삼각형은 6면 ^[cu]뫼비우스 고리에서 끝에서 끝까지 서로 결합합니다.

각각의 6셀 고리는 짝수 꼭짓점과 홀수 꼭짓점을 ^[dk]각각 연결하는 6개의 육각형 등각선을 포함합니다.세 쌍의 흑백 아이소클라인은 각각 6 세포 고리가 발생하는 세 가지 섬유 중 하나에 속합니다.각 진동의 오른쪽(또는 왼쪽) 회전은 두 개의 검은색 등각선과 두 개의 흰색 등각선을 평행하게 가로지르며 24개의 ^[u]꼭짓점을 모두 회전시킵니다.

6개의 팔면체 열의 한 끝에 있는 어떤 꼭짓점에서 시작하여, 우리는 팔면체에서 팔면체로 가는 등각선의 λ3 화음의 등각선 경로를 따를 수 있습니다.24셀에서 θ1 모서리는 큰 육각 모서리(그리고 팔면체 모서리)입니다. 6개의 팔면체의 열에서 우리는 6개의 큰 육각이 팔면체의 모서리를 따라 달리는 것을 볼 수 있습니다.≥3의 화음은 위대한 육각형 대각선으로, 위대한 육각형 꼭짓점을 두 ≥1의 가장자리로 결합합니다.한 팔면체의 꼭짓점에서 다음 팔면체의 꼭짓점까지 이어지는 6개의 팔면체의 고리에서 두 팔면체가 공유하는 면을 통과합니다(그러나 면의 3개 꼭짓점 중 어느 것도 건드리지 않음).각각의 √3 코드는 단지 하나의 위대한 육각형(위대한 육각형에 새겨진 위대한 삼각형의 가장자리)의 코드이지만, 연속적인 √3 코드는 다른 위대한 육각형에 속합니다.각 꼭짓점에서 3화음의 등각선 경로는 한 번에 두 개의 완전히 직교하는 중앙^[do] 평면에서 60도로 구부러집니다. 꼭짓점 앞의 화음이 속한 대육각선을 중심으로 60도, 꼭짓점 뒤의 화음이 ^[dr]속한 전체적으로 다른 대육각선의 평면으로 60도입니다.따라서 경로는 각 팔면체에서 다음 팔면체로 하나의 위대한 육각형을 따르지만, 육각형₂ 경로의 다음 링크에 있는 여섯 개의 위대한 육각형 중 다른 육각형으로 전환됩니다.6개의 팔면체의 열(그리고 열이 고리로 구부러진 "끝 주변")을 따라가면 경로는 처음에는 인접한 3개의 평행 육각형 중심면(페트리 다각형처럼) 사이에서 지그재그처럼 보일 수 있지만 그렇지 않습니다. 우리가 인접한 3개의 평행 육각형의 두 집합 사이에서 항상 지그재그를 선택할 수 있는 등각형 경로는 없습니다.모든 짝수(또는 홀수) 꼭짓점만 교차하고 고유의 짝수/홀수 패리티는 절대 변경하지 않는 nal 중심 평면은 6셀 고리의 모든 위대한 육각형을 ^[cf]회전으로 방문합니다.6개의 큰 육각형에서 각각 하나의 코드를 가로지르면 (왼쪽 또는 오른쪽) 등사선 회전 720도 후에, 그것은 꼬인 육각형을 닫고 검은 (또는 흰색) 꼭짓점과 세포를 다시 돌면서 반복하기 시작합니다.

각 꼭짓점에는 ^[du]꼭짓점에서 교차하는 4개의 위대한^[dt] 육각형과 4개의 육각형 등각선(모두 검은색 또는 모두 흰색)이 있습니다.4개의 육각형 등각선(흑색 2개 및 백색 2개)은 각각의 고유한(좌측 또는 우측) 등각 회전에서 24개의 정점을 모두 포함하는 고유한(좌측 또는 우측) 등각선 섬유 다발로 구성됩니다.각 진동에는 고유한 왼쪽 및 오른쪽 등각 회전과 해당하는 고유한 왼쪽 및 오른쪽 섬유 다발의 ^[dv]등각선이 있습니다.24셀에는 16개의 다른 헥사그램 아이소클라인이 있습니다 (8개의 검은색과 8개의 ^[dw]흰색).각 등각선은 고유한 키랄리티가 없는 비스듬한 Clifford 다각형이지만 ^[cg]서로 다른 섬유에서 왼쪽(또는 오른쪽) 회전으로 횡단할 때 왼쪽(또는 오른쪽) 등각선으로 작용합니다.

나선팔각도와 그 등각선

24셀에는 나선팔각형 아이소클라인 18개, 왼손잡이 9개, 오른손잡이 9개가 들어있습니다.세 개의 내접된 16개의 셀에서 세 개의 좌-우 방향 에지 헬리컬 쌍이 발견되며, 다른 곳에서는 16개의 셀의 나선 구조로 설명됩니다.요약하면, 각각의 16개의 세포는 (세 가지 다른 방식으로) π2-날 4면체 세포의 8개의 세포 고리의 좌-우 쌍으로 분해될 수 있습니다.각각의 8개의 세포 고리는 8개의 코드로 이루어진 축 방향의 옥타그램 나선을 중심으로 왼쪽 또는 오른쪽으로 꼬입니다.각각의 16개의 셀에는 각각 8개의 꼭짓점을 통해 원을 그리는 동일한 8개의 다른 나선이 정확히 6개 있습니다.각각은 6개의 서로 다른 등각 회전(좌측 3회전 및 우측 3회전)에서 왼쪽 나선 또는 오른쪽 나선 또는 페트리 다각형으로 작용하며, 특정 회전을 제외하고는 고유한 키랄리티가 없습니다.이들 이소클라인의 화음은 면 결합된 사면체 세포의 서로 반대되는 꼭짓점들을 연결하고, 이들은 또한 16-셀의 서로 반대되는 꼭짓점들(반모달 꼭짓점들)이므로, 그들은 ≥4 개의 화음들입니다.

24-셀에서, 이 18개의 나선팔각형 아이소클라인은 옥타헤드라의 6개의 직교 4-셀 고리 안에서 발견될 수 있습니다.각각의 4셀 고리는 큰 정사각형 축을 중심으로 꼭짓점 대 꼭짓점으로 결합된 셀을 가지고 있으며, 우리는 큰 정사각형의 반대 꼭짓점에서 반모달 꼭짓점을 찾습니다.√4 코드(대각형의 대각선)가 그것들을 연결합니다; 이것은 각각의 뚜렷한 사각형 등각 회전의 코드입니다.경계 셀은 24 셀의 팔면체 셀의 θ2 축이 16 셀의 사면체 셀의 가장자리이고, 각 사면체는 (테세랙트) 큐브에, 각 팔면체는 (서로 다른 테세랙트에서) 큐브 쌍에 새겨져 ^[br]연결되는 방법을 설명합니다.4셀 링의 꼭짓점 결합 옥타헤드라는 또한 다른 ^[bh]테세랙에 놓여 있습니다.24-셀에서, 16-셀의 등각선의 화음은 하나의 정육면체와 팔면체와 사면체의 꼭지점에서, 다른 정육면체와 팔면체와 사면체의 꼭지점으로 이어지는, 12개의 4축 중 하나에서 24-셀의 중심을 직선으로 통과하는, θ4 모서리를 가진 팔그램을_4{2} 묘사합니다.

4셀 고리의 옥타헤드라는 3개의 4셀 고리(그리고 서로 다른 16셀에 속하는 3개의 축대각형)가 각각의 결합 꼭짓점에서 90°로 교차하기 때문에 2개 이상의 다른 옥타헤드라에 꼭짓점 결합됩니다.그 꼭짓점에서 옥타그램은 두 번의 직각 회전을 한 번에 합니다: 대사각 주위를 90° 돌고, 완전히 수직으로 90°는 완전히 다른 4셀 고리가 됩니다.옥타그램의 각 θ4 코드의 180° 호는 두 개의 면 결합 θ2 테트라헤드라(동일한 16셀 내)의 볼륨과 반대 정점을 관통하며, 이는 또한 서로 다른 4셀 고리(및 서로 다른 테세랙트)에서 두 개의 꼭짓점 결합 옥타헤드라의 반대 정점이기도 합니다.호는 코드 끝점을 제외한 두 팔각형의 꼭짓점을 치지 않습니다. 특히 두 팔각형이 꼭짓점 결합된 코드 중간점 근처에서 꼭짓점을 놓칩니다.720° 팔각형 아이소클라인은 6개의 서로 다른 4개의 세포 고리(24개의 세포에 있는 18개의 4개의 세포 고리 중)에서 1개의 팔면체의 한 꼭지점을 통과하고 16개의 테트라헤드라의 부피를 통과합니다.각 꼭짓점에는 ^[cj]꼭짓점에서 교차하는 세 개의 큰 정사각형과 여섯 개의 옥타그램 등각선(좌우 쌍 세 개)이 있습니다.

특징정형법

24셀의[61] 특성
	가장자리[62]	호를		이면체의[63]
𝒍	${\displaystyle 1}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{3}}$	120°	${\displaystyle {\tfrac {2\pi}{3}}$
𝟀	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}\tfrac 0.577}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{4}}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{4}}$
𝝓	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}=0.5}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{6}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{3}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}\tfrac 0.289}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{6}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{3}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}\tfrac 0.707}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{4}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{2}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}=0.5}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{6}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{2}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}\tfrac 0.408}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{6}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{2}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}\tfrac 0.866}$
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}\tfrac 0.816}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}\tfrac 0.707}$

모든 규칙적인 4-폴리토프는 불규칙적인 ^[bl]5-셀인 특징적인 4-오쏘스킴을 가지고 있습니다.일반적인 24 셀의 특징적인 5 셀은 Coxeter-Dynkin 다이어그램으로 표시되며, 이는 거울 ^[dx]면 사이의 이면각의 목록으로 읽을 수 있습니다.정팔면체의 특징적인 사면체를 바탕으로 한 불규칙한 사면체 피라미드입니다.일반적인 24-셀은 대칭 초평면에 의해 그것의 ^[65]중심에서 만나는 특징적인 5-셀의 1152개의 인스턴스로 세분됩니다.

특징적인 5-셀(4-orthoscheme)은 기본 특징적인 사면체(3-orthoscheme)보다 4개의 가장자리를 더 가지고 있으며, 기본의 4개의 정점을 정점(정규 ^[dy]24-셀의^[ag] 중심에 있는 4-orthoscheme의 5번째 정점)에 연결합니다.일반 24셀의 반지름과 모서리 길이가 θ= 1이면 특징적인 5셀의 10개 모서리는 ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{길이}}{}}}$ 1 3 ${\sqrt${\$tfrac {1}{$3$\}\},$$14$ {\$sqrt {\tfrac {1}{$4$\}\}\},$ $12$ {\sqrt {\tfrac {1$}{$}}, ${\displaystyle \sqrt{\frac{12}{}}}$ ${\$sqrt${\tfrac {1}{12$}}(외부 우삼각형 면, 특징적인 삼각형 θ, θ, θ), ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{1개}}{}}}$ {\sqr$},$ 2개 ${\sqr$.$t {\tfrac {1}{$2$\}\},$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{14}{}}}$ ${\$4$\}\},$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{16}{}}}${\$displaystyle${\$sqrt${\$tfrac {1}{$6}}},$$ (외장 3정형의 나머지 세 모서리는 팔면체의 특징적인 반지름인 특징적인 사면체를 포함함$),$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ 1$\},$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{3}{}}}$ ${\tfrac {3$ $2{\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}}${\$displaystyle$ ${\$${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{displaystyle}}{}}}$${\sqrt${\$tfrac {2}{$3$\}\}\},$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{12}{}}}$ ${\${\$sqrt${\$tfrac {1}{2}}}}($24셀의 특징적인 반경인 렌즈).직교 도형의 직교 모서리를 따른 4-에지 $경로$는 ${\displaystyle \sqrt{\frac{14}{}}}$ ${\${\$sqrt${\$tfrac {1}{4$ $112{\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\${\$sqrt${\$tfrac {1}{$$12$$\}\}\},$$$ {\$displaystyle${\$sqrt {\tfrac$ {1$}{$6$\}\},$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{12}{}}}${\$displaystyle${\$sqrt {\tfrac {1}{$2$\}\}\},$ 먼저 24셀 꼭지점에서 24셀 모서리 중심으로 90° 회전한 후 24셀 면 중심으로 회전합니다.24셀 팔면체 세포 중심으로 90° 회전한 다음, 24셀 중심으로 90° 회전한 것입니다.

리플렉션

24 셀은 고유의 면(사면체 거울 벽)^[dz]에서 특징적인 5 셀의 반사에 의해 구성될 수 있습니다.반사와 회전은 관련이 있습니다: 짝수 개의 교차하는 거울에서의 반사는 ^[66]회전입니다.결과적으로, 규칙적인 폴리토프는 반사에 의해 또는 회전에 의해 생성될 수 있습니다.예를 들어, 육각 불변 평면에서 24 셀의 720° 등각 회전은 24개의 정점 각각을 5개의 다른 정점으로 통과시키고 다시 자신으로 돌아가게 하는데, 이는 육각형의 모든 두 번째 정점에서 3-구 주위를 두 번 감는 꼬인₂ 육각형 지오데식 등각선 상에서 발생합니다.그러한 궤도의 절반을 수행하는 4개의 반절 정점(내접된 3개의 16개의 셀 중 하나의 8개의 정점)의 직교 쌍은 3 * 8 = 24개의 서로 다른 정점을 방문하고 단일 360° 등각 회전의 3단계로 24개의 셀을 순차적으로 생성합니다.자신의 거울 벽에 반사되는 어떤 하나의 특성 5-셀이 반사에 의해 동시에 24개의 꼭짓점을 생성하는 것처럼.

360° 등각 회전 중에 그러한 16셀 꼭지점 하나의 궤도를 추적하면 생성 동작으로서 ^[ea]반사와 회전 사이의 관계에 대해 더 많이 알 수 있습니다.꼭짓점은 회전의 각 √3 코드에 걸쳐 큰 원 세그먼트인 단일 곡선 측지선이 아닌 등각선(이중 곡선 측지선)을 따릅니다.아이소클라인은 두 개의 모서리 길이 사이에 있는 정점을 연결하지만, 두 개의 모서리 사이에 있는 그레이트 서클 경로에서 벗어나 곡선을 그리며 그 사이에 ^[cn]꼭지점이 누락됩니다.아이소클라인은 하나의 거대한 원을 따라가지 않지만, 다른 종류의 고리 안에 포함됩니다: 24개의 셀에서 그것은 구형 팔면체 셀의 6개의^[68] 셀 고리 안에 머물며, 각 셀에서 하나의 꼭지점과 교차하고, 놓친 꼭지점 근처의 인접한 두 셀의 부피를 통과합니다.

시각화

셀링

24개의 셀은 24개의 팔면체 셀에 의해 경계지어집니다.시각화를 위해, 팔면체가 서로 반대되는 평행한 면들(테세랙트와 120-셀의 세포들과 공유하는 특성)을 갖는 것이 편리합니다.네 번째 방향으로 꺾인 직선 모양의 팔면체를 마주보고 쌓으면 둘레가 ^[69][70]6개인 원 모양이 됩니다.세포의 위치는 초구형 기술을 제공합니다.임의의 셀을 선택하고 "북극"이라고 레이블을 지정합니다.8개의 거대 원경선(2개의 세포 길이)은 3차원으로 방사되며, 3번째 "남극" 세포에 모입니다.이 골격은 24개의 세포 중 18개(2 + 8×2)를 차지합니다.아래 표 참조.

위에 있는 것의 이중인 24 셀에는 또 다른 관련된 거대 원이 있습니다.가장자리를 따라 6개의 꼭짓점을 통과하는 경로는 이 폴리토프의 이중에 존재하며, 이는 자체 이중이기 때문입니다.이것들은 ^[t]위에서 설명한 육각 측지선입니다.적도 직육면체 단면을 렌더링하면 쉽게 이 경로를 따라갈 수 있습니다.

북극에서 시작해서, 우리는 5개의 위도로 된 층으로 24개의 셀을 쌓을 수 있습니다.극을 제외하고 각 층은 별도의 2구를 나타내며 적도는 거대한 ^[ar]2구입니다.다음 표에서 적도라고 표시된 세포는 자오선 대권 세포와 간질성입니다.간질성 "적도" 세포들은 얼굴의 경락 세포에 닿습니다.그들은 서로 맞닿아 있고, 그들의 꼭짓점에 있는 극세포들.이 8개의 비지선 및 극 세포의 후자의 부분 집합은 얼굴 대신 꼭짓점에 닿지만 테서랙트(8-cell)의 세포와 서로에 대한 상대적인 위치가 같습니다.

레이어#	셀 수	묘사	컬래티튜드	지역
1	1셀	북극	0°	북반구
2	8셀	자오선 세포의 첫 번째 층	60°
3	6셀	자오선/간질이 아닌	90°	적도
4	8셀	자오선 세포의 제2층	120°	남반구
5	1셀	남극	180°
총	24셀

24 셀은 이 6 셀 그레이트 서클 링 중 4 개의 셀 분리 세트로 분할될 수 있으며, 4 개의 ^[dc]인터로킹 링의 이산 홉프릭션을 형성합니다.하나의 고리는 "수직적"이며, 극세포와 네 개의 자오선 세포를 포함합니다.나머지 세 개의 고리는 각각 두 개의 적도 세포와 네 개의 자오선 세포를 포함하는데, 두 개는 북반구에서, ^[71]두 개는 남반구에서 온 것입니다.

이 육각 대원 경로는 인접 셀 사이의 내부/이면체 각도가 180 - 360/6 = 120도임을 의미합니다.이는 앞서 설명한 것처럼 평면에 정확히 3개의 24-셀을 인접하게 쌓고 24-셀의 4-D 벌집을 형성할 수 있음을 의미합니다.

또한 4개의 셀 길이인 팔각뿔의 서로 반대되는 꼭짓점을 통과하는 거대한 원 경로를 따라갈 수 있습니다.이것들은 위에 설명된 4개의 ≥2 코드에 따른 사각 측지선입니다.이 경로는 정팔면체 단면의 사각형을 대각선으로 횡단하는 것에 해당합니다.24-셀은 2차원 이상에서 각 셀의 서로 반대되는 꼭짓점(및 내부)을 순수하게 통과하여 거대한 원을 횡단할 수 있는 유일한 규칙 폴리토프입니다.이 거대한 원은 자기 이중적입니다.이 경로는 위에서 8개의 비 자오선(적도) 및 극세포 세트에 대해 언급되었습니다.

24-셀은 3개의 8-셀 서브세트로 등분할 수 있으며, 각 서브세트는 테세랙트의 조직을 갖습니다.이러한 각 하위 집합은 4개의 셀 길이로 연결된 2개의 거대 원 체인으로 추가로 분할될 수 있습니다.이 세 부분 집합은 이제 또 다른 6개의 고리, 이산 홉피브레이션을 생성합니다.

평행투영

3차원 공간으로의 24-셀의 정점 첫 번째 평행 투영은 마름모꼴 십이면체 외피를 가지고 있습니다.24개의 팔면체 세포들 중 12개는 마름모꼴 십이면체의 중심에서 만나는 6개의 정사각형 쌍뿔에 쌍으로 돌출됩니다.나머지 12개의 팔면체 세포는 마름모십면체의 12개의 마름모 면에 돌출되어 있습니다.

3차원 공간으로의 24-셀의 셀-일차 평행 투영에는 직육면체 외피가 있습니다.w축을 따라 보는 사람으로부터 가장 가깝고 먼 두 개의 팔면체 셀은 꼭짓점이 정사각형 면의 중심에 있는 팔면체에 투영됩니다.이 중심 팔면체를 둘러싸고 있는 16개의 다른 세포들의 돌출부들이 있는데, 8개의 쌍이 각각 중심 팔면체의 삼각형 면과 직육면체의 가장 가까운 삼각형 면 사이에 놓여 있는 8개의 부피들 중 하나로 돌출되어 있습니다.나머지 6개의 세포는 정방팔면체의 정사각형 면에 투영됩니다.이것은 정육면체를 정팔면체와 8개의 불규칙하지만 동일한 팔면체로 분해하는 것과 일치하며, 각각은 두 개의 반대되는 꼭짓점이 제거된 정육면체의 볼록한 선체 모양입니다.

에지-제1 평행 돌출부는 길쭉한 육각형 이중뿔 포락선을 가지고 있고, 면-제1 평행 돌출부는 불균일한 육각형 이중뿔 포락선을 가지고 있습니다.

원근법

3차원 공간으로의 24-셀의 정점 첫 번째 원근법 투영은 테트라키스 육면체 외피를 가지고 있습니다.이 영상의 셀 레이아웃은 평행 투영의 영상과 유사합니다.

다음 이미지 시퀀스는 24-셀의 셀 우선 투시 투영 구조를 3차원으로 보여줍니다.4D 시점은 24 셀의 정점-중심 반경의 5배 거리에 배치됩니다.

세포 우선 투시 투영법
이 이미지에서 가장 가까운 셀은 빨간색으로 렌더링되고 나머지 셀은 에지 아웃라인으로 렌더링됩니다.명확하게 하기 위해, 4D 시점에서 멀리 있는 세포는 도태되었습니다.	이 이미지에서 가장 가까운 셀을 둘러싸고 있는 8개의 셀 중 4개가 녹색으로 표시됩니다.이 관점에서 네 번째 셀은 중앙 셀 뒤에 있습니다(붉은 셀은 반투명이므로 약간 식별 가능).	마지막으로, 가장 가까운 셀을 둘러싼 8개의 셀이 모두 보여지고, 마지막 4개는 마젠타로 렌더링됩니다.
이러한 영상에는 4D 시점에서 멀리 떨어진 셀이 포함되어 있지 않습니다.따라서 여기에는 9개의 셀만 표시됩니다.24 셀의 뒷면에는 동일한 배열의 다른 9 셀이 있습니다.나머지 6개의 세포는 24개의 세포의 "에쿼터" 위에 놓여 있고, 두 세트의 세포를 연결합니다.

24셀의 애니메이션 단면

아이코사이트 트라코론(24-cell)의 입체 3D 투영

등각 직교 투영법: 8 셀(테세랙트) + 16 셀 = 24 셀

관련 폴리토페스

3개의 콕서터 군 구조물

수정된 16개의 셀로 유도된 24개의 셀에는 두 개의 하부 대칭 형태가 있으며, B₄ 또는 [3,3,4] 대칭은 8개의 팔면체 셀과 16개의 팔면체 셀로 두 가지 색상으로 그려집니다.마지막으로 D 또는 [3^1,1,1] 대칭으로₄ 구성할 수 있으며 각각 8개의 팔각형으로 3색으로 그립니다.

D, B4, F4 대칭에 의해4 색을 띠는 세포가 있는 24-셀의 세 그물
수정된 demites seract	정류된 16셀	일반 24셀
D4, [31,1,1], 주문 192	B4, [3,3,4], 주문 384	F4, [3,4,3], 주문 1152
정류된 사면체 셀 8개 세트 3개	정류된 16개의 사면체 세포들의 한 세트와 8개의 팔면체 세포들의 한 세트.	24개의 팔면체 셀들의 한 세트
꼭짓점 도형 (각 모서리는 대칭 배열로 색칠된 하나의 삼각형 면에 해당)

관련복소다각형

정다각형 {3}₄ 또는 24셀의 24개의 꼭짓점과 48개의 팔면체 셀 중 24개의 중심 사각형에 해당하는 24개의 4개의 모서리를 포함합니다.대칭성은 [^[72]3],₄ 순서 96입니다.

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}에서 정칙 복소 다포체 {4},₃ 또는 ,는 4차원 공간에서 24셀로 실제 표현됩니다.₃{4}₃에는 24개의 정점과 24개의 3-벡터가 있습니다.대칭은 순서 72의 [4]₃입니다.

직교 투영에서의 관련 그림

이름.	{3,4,3},	4{3}4,	3{4}3,
대칭성	[3,4,3], , 주문 1152	4[34,4 주문 96	3[43,3 주문 72
꼭짓점	24	24	24
모서리	962-6000	24 4 모서리	24 3기통
이미지	F4 Coxeter 평면에 있는 24셀로, 12개의 고리와 96개의 모서리로 된 24개의 꼭짓점이 있습니다.	{3}4은(는) 24개의 꼭짓점과 32개의 4개의 꼭짓점을 가지며, 여기에는 빨간색, 녹색, 파란색 및 노란색 사각형 4개의 꼭짓점이 8개 있습니다4.	{4}3 또는 24개의 꼭짓점과 24개의 3각형을 가지며, 여기에는 빨간색, 녹색, 파란색 사각형 3각형 8개가 표시되고 파란색 모서리가 채워집니다3.

관련된 4-폴리토프

절단을 통해 몇 가지 균일한 4-폴리토프를 24-셀에서 유도할 수 있습니다.

• 가장자리 길이의 1/3에서 절단하면 절단된 24 셀이 생성됩니다.
• 가장자리 길이의 1/2에서 잘라내면 수정된 24 셀이 생성됩니다.
• 그리고 듀얼 24 셀의 절반 깊이에서 잘라내면 비트런케이티드 24 셀이 생성됩니다. 이는 셀-트랜시티브(cell-transitive)입니다.

24 셀의 96개의 가장자리는 황금 비율로 분할되어 스너브 24 셀의 96개의 꼭짓점을 생성할 수 있습니다.이것은 먼저 각각의 2차원 면이 사이클에 의해 경계지어지도록 24 셀의 가장자리를 따라 벡터를 배치한 다음 벡터의 방향을 따라 각 가장자리를 황금 비율로 유사하게 분할함으로써 수행됩니다.팔면체에 대한 유사한 수정은 정이십면체, 즉 "스누브 팔면체"를 만듭니다.

24셀은 다각형도 단순형도 아닌 독특한 볼록 자기 이중 정칙 유클리드 폴리토프입니다.볼록한 상태를 완화하는 것은 두 개의 추가적인 수치를 인정합니다: 거대한 120 세포와 거대한 별 모양의 120 세포.그 자체로, 그것은 폴리토프 화합물을 형성할 수 있습니다: 두 개의 24-셀의 화합물.

관련 균일다포체

D균일4 폴리초라
{3,31,1} h{4,3,3}	2r{3,31,1} h3{4,3,3}	t{3,31,1} h2{4,3,3}	2t{3,31,1} h2,3{4,3,3}	r{3,31,1} {31,1,1}={3,4,3}	rr{3,31,1} r{3}=r{3,4,3}	tr{3,31,1} t{3}=t{3,4,3}	sr{3,31,1} s{3}=s{3,4,3}

24셀 제품군 폴리토페스
이름.	24셀	잘린 24셀	스너브 24셀	정류된 24셀	캔틸레이티드 24셀	비트런처드 24셀	cantitrunctated 24셀	런치 처리된 24셀	런커티드 24셀	전지형 24셀
슐레플리 기호.	{3,4,3}	t0,1{3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t1{3,4,3} r{3,4,3}	t0,2{3,4,3} rr{3,4,3}	t1,2{3,4,3} 2t{3,4,3}	t0,1,2{3,4,3} tr{3,4,3}	t0,3{3,4,3}	t0,1,3{3,4,3}	t0,1,2,3{3,4,3}
콕서터 도식화하다
슐레겔 도식화하다
바4
나4
B3(a)
B3(b)
나2

24-셀은 또한 정류된 16-셀로서 유도될 수 있습니다.

B4 대칭 다포체
이름.	테세랙트	정정된 테세랙트	잘린 테세랙트	속이 훤한 테세랙트	녹초가 된 테세랙트	빗살이 있는 테세랙트	캔트런티드 테세랙트	칼로 베다 테세랙트	만방의 테세랙트
콕서터 도식화하다		=				=
슐레플리 기호.	{4,3,3}	t1{4,3,3} r{4,3,3}	t0,1{4,3,3} t{4,3,3}	t0,2{4,3,3} rr{4,3,3}	t0,3{4,3,3}	t1,2{4,3,3} 2t{4,3,3}	t0,1,2{4,3,3} tr{4,3,3}	t0,1,3{4,3,3}	t0,1,2,3{4,3,3}
슐레겔 도식화하다
나4
이름.	16셀	정정된 16셀	잘린 16셀	속이 훤한 16셀	녹초가 된 16셀	빗살이 있는 16셀	캔트런티드 16셀	칼로 베다 16셀	만방의 16셀
콕서터 도식화하다	=	=	=	=		=	=
슐레플리 기호.	{3,3,4}	t1{3,3,4} r{3,3,4}	t0,1{3,3,4} t{3,3,4}	t0,2{3,3,4} rr{3,3,4}	t0,3{3,3,4}	t1,2{3,3,4} 2t{3,3,4}	t0,1,2{3,3,4} tr{3,3,4}	t0,1,3{3,3,4}	t0,1,2,3{3,3,4}
슐레겔 도식화하다
나4

폴리토페 {3,p,3}개
공간	ㅅ3		ㅇ3
형태	유한		작은	파라콤팩트	비콤팩트
{3,p,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
이미지
셀	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
꼭짓점 형체를	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

참고 항목

• 옥타큐브 (조각)
• 균일한 4-폴리토프 § F4 패밀리

메모들

인용문

참고문헌

외부 링크

• 24셀 애니메이션
• 입체 사영으로 된 24 셀
• 24 셀 설명 및 다이어그램 Wayback Machine에서 2007-07-15 보관
• 24셀의 페트리 도데카곤: 수학과 애니메이션 소프트웨어

v t 기본 볼록 규칙적이고 균일한 폴리토페 2-10 차원
가족	An	Bn	I2(p) / Dn	E6/E7/E8/F4/G2	ㅇn
정다각형	삼각형	광장	피곤	육각형	펜타곤
균일 다면체	사면체	팔면체 • 정육면체	데미큐브		십이면체 • 정이면체
균일 폴리코론	펜타코론	16셀 • 테서랙트	디미테스액트	24셀	120셀 • 600셀
균일한 5폴리토프	5-580x	5-오쏘펙스 • 5-큐브	5-디미큐브
균일한 6폴리토프	6-680x	6-오쏘펙스 • 6-큐브	6-디미큐브	122 • 221
균일한 7폴리토프	7-680x	7-orthophlex • 7-cube	7디미큐브	132 • 231 • 321
균일한 8폴리토프	8-560x	8-orthophlex • 8-cube	8 데시큐브	142 • 241 • 421
균일한 9-폴리토프	9-680x	9-orthophlex • 9-cube	9-디미큐브
균일한 10폴리토프	10-1080x	10-orthophlex • 10-cube	10 데시큐브
균일한 n-폴리토프	n-nxx	n-orthophlex • n-cube	n-디미큐브	1k2 • 2k1 • k21	n-오각 폴리톱
항목: 폴리토프 계열 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록