라인하르트 폴리곤

기하학에서 라인하르트 폴리곤은 뢰레오프 폴리곤에 새겨진 등변 다각형이다. 일반 다각형에서와 같이, 라인하르트 폴리곤의 각 꼭지점은 폴리곤 직경의 정의 쌍 하나 이상에 참여한다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변을$$ 가진 라인하르트 폴리곤이 존재하며, $n{\displaystyle }${\$displaystyle n$}이(가) 2의 전력이 아닐 때마다 종종 복수의 형태를 띤다. $면$은 n {\$displaystyle n}$개인$$ 모든 폴리곤 중에서 라인하르트 폴리곤은 지름에 대해 가능한 가장 큰 둘레, 지름에 대해 가능한 가장 큰 너비, 둘레에 대한 가장 큰 너비를 가지고 있다$.$ 그들은 1922년에 그들을 연구한 칼 라인하르트의 이름을 따서 지어졌다.^[1][2]

건설

뢰레오 폴리곤은 원형 아크 면이 있는 볼록한 형상으로 각각 형상의 꼭지점에 중심을 두고 모두 반경이 같다. 예를 들어 뢰레오 삼각형이 있다. 이 모양들은 일정한 폭의 곡선이다. 일부 뢰레오 폴리곤은 서로 비합리적인 배수인 측면 길이를 가지지만, 뢰레오 폴리곤이 길이가 같은 호들의 계통으로 분할할 수 있는 측면을 가지고 있다면, 이들 호들의 끝부분의 볼록 선체로 형성된 폴리곤은 라인하르트 폴리곤이다. 필연적으로 기초적인 뢰레오 폴리곤의 정점 또한 뢰레오 폴리곤의 호와 정점의 끝점이지만, 라인하르트 폴리곤은 뢰레오 폴리곤의 측면에 내부인 추가 정점을 가질 수도 있다.^[3]

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 2의 검정력인 경우, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변을$$ 가진 라인하르트 다각형을 구성할 수 없다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수인 경우, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$면이$$ 있는 일반 폴리곤은 라인하르트 폴리곤이다. 다른 자연수는 반드시 홀수 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $d$$}$을(를) 가져야 하며$,$ $일반$ $d{\displaystyle }$$${\$displaystyle$$$d$}$ -side$$ Reuleaux polygon의 각 호를 $n{\displaystyle }$/ ${\displaystyle d}$ ${\d}$ 더 작은$$ 호로 세분화하여 $linhardt$ 다각형을 구성할 수 $있다.$ 그러므로 라인하르트 폴리곤의 가능한 측면의 수는 공손한 숫자, 즉 두 개의 힘이 아닌 숫자들이다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수 프라임 숫자의 2배인 $경우{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n$} -측면$$ Rinhardt 폴리곤의 모양만 $하나뿐$이지만,$$n {\$displaystyn}$의 다른 모든 값에는 여러 모양의 Rinhardt 폴리곤이 있다$$.^[1]

치수 및 최적성

라인하르트 폴리곤의 직경 쌍은 삼각형의 측면과 함께 많은 이소셀 삼각형을 형성하며, 이 삼각형의 치수를 계산할 수 있는 꼭지각 $angle{\displaystyle }$ /${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi /n}$을$($를) 가지고 있다. 라인하르트 다각형의 측면 길이가 1이면 둘레는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 불과하다$.$ 폴리곤의 직경(점 두 개 사이의 가장 긴 거리)은 $이등변{\displaystyle \mathrm{}}$ 삼각형의 측면 길이, 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \sin }$(${\displaystyle \pi }$/ 2 $){\displaystyle$1/$2\sin(\pi /2n)}}$과 같다$.$ 폴리곤의 일정한 폭의 곡선(두 평행 지지선 사이의 최단 거리)은 이 삼각형의 높이인${\displaystyle }$1/${\displaystyle \mathrm{2탄}(\pi }$/ $){\displaystyle 1/2\tan(\pi /2n)}}$과 같다$.$ 이러한 다각형은 다음 세 가지 방법으로 최적이다.

• 그들은 지름의 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 면 폴리곤$$ 중에서 가장 큰 둘레를 가지고 있으며, 둘레가 있는 $모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 면$$ 폴리곤 중에서 가장 작은 직경을 가지고 있다.^[1]
• 이들은 직경을 가진 $모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$면$$ 폴리곤 중에서 가능한 폭이 가장 크며, 너비를 가진 $모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$면$$ 폴리곤 중에서 가능한 가장 작은 직경을 가진다.^[1]
• 둘레가 있는 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$면$$ 폴리곤 중에서 가능한 폭이 가장 크고, 너비가 있는 $모든{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n$}면$$ 폴리곤 중에서 가능한 가장 작은 둘레를 가지고 있다.^[1]

이러한 폴리곤에 대한 둘레와 지름의 관계는 라인하르트에 의해 증명되었고,^[4] 독립적으로 여러 번 재발견되었다.^[5][6] 지름과 폭의 관계는 2000년 베즈덱과 포도르에 의해 증명되었다. 그들의 연구는 면의 수가 2의 힘일 때(즉, 라인하르트 폴리곤이 존재하지 않을 때) 이 문제에 대한 최적의 다각형을 조사하기도 한다.^[7]

대칭 및 열거

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ -side$$ 정규 Reuleaux polygons로 형성된 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $n$$}$ -side$$ Rinhardt 폴리곤은 대칭이며, $동일$한 폴리곤을 얻기 위해$$ $㎛/d$의 각도로 회전할 수 있다$.$ 이런 종류의 회전 대칭이 있는 라인하르트 폴리곤을 주기라고 하며, 회전 대칭이 없는 라인하르트 폴리곤을 산발적인 것으로 부른다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 반감기 또는 홀수 프라임 파워를 가진 두 개의 파워의 산물인 경우, 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -측면$$ Rinhardt 폴리곤은 주기적이다. 나머지 경우, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 두 개의 뚜렷한 주요 요인을 가지고$$ 있고 이 두 요인의 산물이 아닌 경우 산발적인 라인하르트 폴리곤도 존재한다.^[2]

각 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$에 대해 뚜렷하게 구별되는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$ -측면$$ Rinhardt 다각형만 있다.^[3] $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$의 가장 작은 주 요인인 경우, 구별 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -측면$$ 주기적 라인하르트 다각형의 수는

여기서 $o{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle o(1)}$ 용어는$$ O 표기법을 거의 사용하지 않는다. 그러나 산발적인 라인하르트 폴리곤의 수는 잘 이해되지 않으며, $대부분$의 n ${\displaystyle n}$ 값에서 산발적인 라인하르트 폴리곤의 총 수는$$ 산발적인 폴리곤이 지배하고 있다.^[2]

$n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$의 작은 값에 대한 이러한 폴리곤의 ^[1]수는 다음과 같다($$둘 다곤을 회전하거나 플립하여 서로 형성할 수 있을 때 동일한 값으로 계산).

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\}:$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
#:	1	0	1	1	1	0	2	1	1	2	1	1	5	0	1	5	1	2	10	1	1	12

참고 항목

• 가장 큰 작은 폴리곤, 폴리곤의 직경 면적 극대화

참조