퇴보(수학)

수학에서 타락한 경우는 질적으로 (일반적으로) 나머지 계급과 (보통보다) 다른 것으로 보이는 사물의 계급의 제한적인 경우로,^[1]^[2] 퇴행이라는 용어는 퇴행된 경우가 되는 조건이다.^[3]

복합적 또는 구조화된 객체의 많은 계층의 정의는 종종 은연중에 불평등을 포함한다. 예를 들어, 삼각형의 각도와 측면 길이는 양수여야 한다. 이러한 불평등 중 하나 또는 여러 개가 평등해지는 제한적 사례는 퇴보적인 것이다. 삼각형의 경우 한 쪽 길이나 각도가 0(등각, '라인 세그먼트'^[4]가 됨)이면 퇴행 삼각형이 있다.

흔히 퇴보하는 경우는 통상적인 차원이나 물체(또는 그 일부)의 카디널리티에 변화가 일어나는 예외적인 경우다. 예를 들어 삼각형은 차원 2의 물체인데, 퇴행 삼각형이 선 안에 들어 있어 ^[4]차원이 1이 된다. 이는 한 점으로 변하면서 치수가 2에서 0으로 줄어드는 원의 경우와 유사하다.^[2] 또 다른 예로, 매개변수에 의존하는 방정식 시스템의 솔루션 집합은 일반적으로 고정된 카디널리티와 치수를 가지지만 카디널리티 및/또는 치수는 퇴행된 경우라 불리는 일부 예외적인 값에 대해 다를 수 있다. 이렇게 퇴보한 경우에는 솔루션 세트가 퇴보한다고 한다.

복합물체의 일부 등급의 경우, 퇴보하는 경우는 구체적으로 연구되는 특성에 따라 달라진다. 특히, 물체의 등급은 종종 방정식의 시스템으로 정의되거나 특징지어질 수 있다. 대부분의 시나리오에서, 주어진 등급의 물체는 여러 다른 방정식 시스템에 의해 정의될 수 있으며, 이와 같이 다른 등급의 방정식 시스템은 동일한 비감소 사례의 특성을 나타내면서 서로 다른 퇴행 사례로 이어질 수 있다. 그 개념이 각 특정 상황에서 널리 사용되고 (필요하다면) 정의되고 있음에도 불구하고 퇴행성에 대한 일반적인 정의가 없는 이유일 수 있다.

따라서 퇴보한 경우는 비유전적인 특징을 가지고 있다. 그러나 모든 비일반적인 사례가 퇴보하는 것은 아니다. 예를 들어, 직삼각형, 이등변 삼각형, 정삼각형은 비일반적이고 비발생적이다. 사실 퇴보하는 경우는 종종 객체나 어떤 구성 공간에서 특이점에 해당된다. 예를 들어, 원뿔 단면은 단수점(예: 점, 선, 교차선^[5])이 있는 경우에만 변질된다.

기하학에서

원뿔단면

퇴행 원뿔은 원뿔형 단면(도 2의 다항식 방정식으로 정의되는 2도 평면 곡선)으로, 수정 불가능한 곡선이 되지 못한다.

점은 퇴보된 원, 즉 반지름이 0인 원이다.^[2]
이 선은 포물선이 접선 평면에 있는 경우 포물선의 퇴행이다. 반전 기하학에서 선은 원의 퇴행된 경우로 반경이 무한하다.
두 개의 평행선이 퇴행 포물선을 이루기도 한다.
선 세그먼트는 반소축이 0으로 가고, 초점이 엔드포인트로 가고, 편심률이 1로 가는 타원의 퇴행적인 경우로 볼 수 있다.
원은 편심성이 0에 가까워지고 초점들이 합쳐지기 때문에 퇴행 타원이라고 생각할 수 있다.^[2]
타원은 또한 한 점으로 퇴보할 수 있다.
하이퍼볼라는 한 지점에서 교차하는 두 개의 선으로 변질될 수 있으며,^[1] 그러한 선들을 흔하게 점증하지 않는 선으로 가지는 하이퍼볼래 가족을 통해서도 변질될 수 있다.

삼각형

퇴행 삼각형의 세 가지 타입으로, 모두 0의 영역을 포함하고 있다.

퇴행 삼각형은 시준 정점과^[4] 0 영역을 가지므로 두 번 적용되는 세그먼트와 일치한다(정점 세 개가 모두 같지 않으면 삼각형이 단일 점으로 변한다). 3개의 꼭지점이 쌍으로 구별되는 경우, 2개의 0° 각도와 1개의 180° 각도를 가진다. 두 꼭지점이 같을 경우 0° 각 1개와 정의되지 않은 각 2개를 가진다.

직사각형

선 세그먼트는 길이가 0인 직사각형의 퇴행된 경우다.
비어 있지 않은 부분 집합 $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ , $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ , $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ … $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ , $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ ${\displaystyle$ S $\subseteq \{1,2,\ldots ,n$ 의 경우, 경계가 지정되고 축 정렬된 퇴행 직사각형이 있다.
$R\triangleq \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:x_{i}=c_{i}\ ({\text{for }}i\in S){\text{ and }}a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\ ({\text{for }}i\notin S)\right\}$
$\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ 서 $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ [ 1 $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ , $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ 2 $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ , $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ … , $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ x $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ ${\$ 및 $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ $a i$ , $b i$ , $c$ 는_i (모든 $i$ 에 $대해 i$ ≤ b) $상수$ 이다_i. $R$ 의 퇴행 변의 수는 부분 집합 $S$ 의 원소의 수입니다. 따라서 1개만큼 퇴보하는 "측면"이나 $n개$ 만큼(이 경우 $R$ 이 싱글톤 포인트로 감소하는 경우)가 있을 수 있다.

볼록 폴리곤

볼록한 다각형은 연속된 두 변이 최소한 부분적으로 일치하거나, 적어도 한 변의 길이가 0이거나, 또는 적어도 한 각도가 180°인 경우 퇴화된다. 따라서 n면의 퇴행성 볼록한 다각형은 변이 적은 다각형처럼 보인다. 삼각형의 경우, 이 정의는 위에서 주어진 정의와 일치한다.

볼록 다면체

볼록한 다면체는 인접한 두 면 중 하나가 일직선으로 되어 있거나 두 가장자리가 일직선으로 정렬되어 있으면 퇴화된다. 사면체의 경우, 이것은 모든 정점이 같은 평면에 놓여 있어 0의 부피를 준다고 말하는 것과 같다.

스탠더드 토러스

자기간섭이 허용되는 맥락에서 구체는 혁명의 축이 그 바깥이 아닌 생성 원의 중심을 통과하는 퇴행성 표준 토러스다.
토러스(torus)는 그 작은 반경이 0이 되면 원으로 변한다.

구

구의 반경이 0으로 가면 결과적으로 퇴보하는 0권의 구는 하나의 점이다.

기타

다른 예는 일반 위치를 참조하십시오.

다른 곳

한 점을 포함하는 세트는 퇴행 연속체다.
digon이나 monogon과 같은 물체는 폴리곤의 퇴행적인 사례로 볼 수 있다: 일반적인 추상적인 수학적 의미에서 유효하지만 폴리곤의 원래 유클리드 개념의 일부는 아니다.
한 값만 취할 수 있는 랜덤 변수는 변질된 분포를 가지고 있다. 만약 그 값이 실제 숫자 0이라면, 그것의 확률 밀도는 디락 델타 함수다.
다항식의 뿌리는 일반적으로 n도 다항식의 뿌리가 모두 구별되기 때문에 서로 일치하면 퇴화한다고 한다.^[2] 이 용도는 고유문제로 이어지게 된다: 퇴보된 고유값(즉, 특성 다항식의 다중 일치 루트)은 둘 이상의 선형 독립 고유 벡터를 가진 것이다.
양자역학에서 해밀턴 연산자의 고유값에서 그러한 다중성은 에너지 수준을 퇴보시킨다. 일반적으로 그러한 어떤 퇴행성은 시스템의 어떤 근본적인 대칭성을 나타낸다.

참고 항목

참조

^ Jump up to: ^a ^b "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Degenerate Case". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-29.
^ Jump up to: ^a ^b ^c ^d ^e Weisstein, Eric W. "Degenerate". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.
^ "Definition of DEGENERACY". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-29.
^ Jump up to: ^a ^b ^c "Mathwords: Degenerate". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.
^ "Mathwords: Degenerate Conic Sections". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

[:0-1] Jump up to: ^a ^b "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Degenerate Case". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-29.

[:1-2] Jump up to: ^a ^b ^c ^d ^e Weisstein, Eric W. "Degenerate". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.

[3] "Definition of DEGENERACY". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-29.

[:2-4] Jump up to: ^a ^b ^c "Mathwords: Degenerate". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

[5] "Mathwords: Degenerate Conic Sections". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Search