정이십면체

정이십면체 그래프
정이십면체 그래프
	삼배 대칭
꼭지점	12
가장자리	30
반지름	3
직경	3
둘레	3
자기동형	120 (A5 × Z2)
색수	4
특성.	해밀턴, 정규, 대칭, 거리-정규, 거리-추이, 3-vertex 연결, 평면 그래프
	그래프 및 매개 변수 표

정이십면체
(회전 모델을 보려면 여기를 클릭)
유형	플라톤 고체
쇼트 코드	5 <z>
요소들	F = 20, E = 30 V = 12 (표준 = 2)
측면 나란히	20{3}
콘웨이 표기법	I 세인트
슐레플리 기호	{3,5}
슐레플리 기호	s{3,4} sr {3,3} $s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ s { $s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ $}$ { $displaystyle$ s { \ $begin$ { $Bmatrix$ } $3$ \ \ $3$ \ $end$ { $Bmatrix$ } }
얼굴 구성	V5.5.5
위토프 기호	5 2 3
콕서터 다이어그램
대칭	I_h, H₃, [5,3], (*532)
로테이션 그룹	I, [5,3]⁺, (532)
레퍼런스	U₂₂, C₂₅, W₄
특성.	정다면체
이면각	138.1685° = 아크코스 µ5 5 3 3)
3.3.3.3.3 (버텍스 그림)	정십이면체 (입체 다면체)
그물

정이십면체의 3D 모형

기하학에서 정이십면체(/aaɪkssəhiːdrnn, -k--, -kʊ-/ 또는 /aɒkəsːhiədr/^[1]n/)는 20개의 면, 30개의 모서리 및 12개의 정점을 가진 볼록 다면체이다.그것은 5개의 플라톤 고체 중 하나이며, 가장 많은 면을 가진 고체이다.

그것은 각 정점에서 만나는 5개의 정삼각형 면을 가지고 있다.이는 슐레플리 기호 {3,5} 또는 3.3.3 또는 3과⁵ 같은 정점 도형으로 표현됩니다.각 정점에 세 개의 오각형 면을 가진 {5,3}으로 표현되는 정십이면체의 쌍수입니다.대부분의 문맥에서, "이십면체"라는 단어의 조건 없는 사용은 특히 이 그림을 가리킨다.

정이십면체는 엄밀하게 볼록한 델타면체이며 자이로렌테이션된 오각형 쌍방체이며, 6방향 중 어느 방향에서나 반증강된 오각형 대향체이다.

The name comes from Greek εἴκοσι (eíkosi) 'twenty', and ἕδρα (hédra) 'seat'.복수형은 "icosaheadrons" 또는 "icosaheadra"(/-dr//) 중 하나입니다.

치수

20면체로 접히는 그물

정이십면체의 모서리 길이가\ $displaystyle$ a일 $경우$ , 외접구(모든 정점에서 이십면체와 접촉하는 구)의 반지름은 다음과 같다.

r_{u}=barphi {cdrt {5}}=barphi {cdrt {a} {4}}{\brcrt {10+2brcrt {5}}}=a\sin {5}\약 0.951,056,163\cdot a

그리고 내접된 구체의 반지름(각 20면체의 면에 대한 반지름)은

{displaystyle r_{i}=barphi ^{2}a}{2barphrt {3}}}=barfrac {12}}\left(3+{\barphrt {5}\right)a\약 0.755,761,3141\cdot a

반면, 양쪽 가장자리의 중앙에 닿는 미드 반지름은

r_{m}=black {a\varphi}{2}=black {1}{4}}\left(1+{\blackrt {5}\right)a=cos {5}\약 0.809,016,99\cdot a

여기서

\varphi

(\

displaystyle \varphi)

는

\varphi

황금 비율입니다.

면적 및 볼륨

모서리 $a$ 의 $a$ 정이십면체의 $표면적$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 및 $A$ $부피$ V(\ $displaystyle$ V $)$ 는 $V$ 다음과 같습니다.

({displaystyle A=5{\sqrt {3}}}a^{2}\약 8.120,254,04a^{2}})

V=black {5}{12}\left(3+{\blackrt {5}\오른쪽)a^{3}\약 2.181,694,99a^{3}

후자는

F

=

내접구

중심에 정점이 있는 일반 사면체의 부피의 20배이며, 여기서 사면체의 부피는 기저

{\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}

3

{\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}

{\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}

2의 1/3배({

frac {4}}{4}}a^{

2}}의

{\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}

r_{i}

r_{i}

{{

displaystyle r_{i

이다.

외접 구체의 체적 채우기 계수는 다음과 같습니다.

{{displaystyle f=flac {4}{3}}\pi r_{u}{3}}=flac {20\left(3+{\flashrt {5}\right)}{\left(2440rt {5}}+10\right)^{\flight}{\frac3}{\약 060,538,461,46}.

12면체의 66.49%와 비교됩니다.20면체에 새겨진 구는 부피의 89.635%를 감싸는 반면, 12면체는 75.47%에 불과합니다.

이십면체의 중심부는 이십면체의 부피의 1.01664배에 달하는 부피를 가질 것이며, 이 부피는 이십면체의 중심부와 플라톤계 고체의 부피에서 가장 가까운 유사성을 보입니다.이것은 거의 틀림없이 20면체를 플라톤 고체 중 "가장 둥근" 것으로 만든다.

데카르트 좌표

이십면체 정점은 세 개의 직교 황금 직사각형을 형성한다

모서리 길이가 2이고 원점에서 중심인 20면체의 정점은 δ² + 1 1 1.902이다^[2].

(0, ±1, ±Ω)

(±1, ±Ω, 0)

(±Ω, 0, ±1)

어디 Φ).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-.Parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1+√5/2 황금 비율.이러한 좌표의 모든 순열을 취하면(단순히 순환 순열이 아니라) 두 개의 이코사면 화합물이 생성됩니다.

20면체의 꼭지점은 세 개의 동심원, 서로 직교하는 황금 직사각형으로 이루어진 다섯 세트를 형성하며, 그 가장자리는 보롬 고리를 형성합니다.

원래 20면체의 모서리 길이가 1이면, 그것의 이중 12면체의 모서리 길이는 1/Ω = δ - 1 = δ5 - 1/2이다.

금속구 및 자기커넥터로 만든 20면체 모형

정팔면체의 12개의 모서리는 황금비율로 세분되어 결과적으로 정이십면체를 정의할 수 있습니다.이것은 먼저 각 면이 주기에 의해 경계가 되도록 8면체의 모서리를 따라 벡터를 배치한 다음, 마찬가지로 각 모서리를 벡터 방향을 따라 황금 평균으로 세분함으로써 이루어집니다.주어진 20면체를 정의하는 5개의 8면체는 정다면체 화합물을 형성하는 반면, 주어진 8면체에서 이러한 방식으로 정의될 수 있는 2개의 20면체는 정다면체 화합물을 형성한다.

정이십면체와 그 외접구.정이십면체의 꼭지점은 4개의 평행평면에 놓여 있고, 그 안에서 4개의 정삼각형으로 형성되어 있다; 이것은 알렉산드리아의 파푸스에 의해 증명되었다.

구면 좌표

정이십면체의 꼭지점 위치는 예를 들어 위도와 경도와 같은 구면 좌표를 사용하여 설명할 수 있습니다.두 개의 정점이 북극과 남극에 있는 경우(정점 ±90°), 나머지 10개의 정점은 위도 ± 아크탄 1/2 = ±26.57°이다.이 10개의 꼭지점은 남북위도를 번갈아 가면서 경도(36° 간격)가 균등하다.

이 계획은 정이십면체가 D 이면체 대칭을 가진_5d 오각형 자이로 이루어진 이면체라는 사실을 이용한다. 즉, 오각형 반작용에 의해 결합된 두 개의 합동 오각형 피라미드로 형성된다.

직교 투영

20면체에는 면, 모서리 및 정점을 중심으로 하는 세 가지 특수 직교 투영법이 있습니다.

직교 투영
중심	얼굴	엣지	꼭지점
콕서터 평면	A₂.	A₃.	H₃
그래프
투사적 대칭	[6]	[2]	[10]
그래프	페이스 노멀	엣지 법선	정점 법선

구성으로서

이 구성 행렬은 20면체를 나타냅니다.행과 열은 정점, 모서리 및 면에 해당합니다.대각선 숫자는 전체 20면체에서 각 요소가 얼마나 많이 발생하는지 나타냅니다.비대각 숫자는 행 요소 내에서 또는 행 ^[3]^[4]요소에서 발생하는 열 요소의 수를 나타냅니다.

${bmatrix} {\displaystyle} 12&5\\2&30&2\3&20\end{bmatrix}\end{bmatrix}$

다음은 k-face 요소와 k-figure로 확장된 설정입니다.대각 요소 계수는 전체 콕서터₃ 그룹 H, 순서 120의 비율로, 미러 제거가 있는 하위 그룹의 순서로 나눈 값이다.

H₃	K면	에프_k	에프₀	에프₁	에프₂	k-그림	메모들
A₂.	( )	에프₀	12	5	5	{5}	H₃/H₂ = 120/10 = 12
A₁A₁	{ }	에프₁	2	30	2	{ }	H₃/AA₁₁ = 120/4 = 30
H₂	{3}	에프₂	3	3	20	( )	H₃/A₂ = 120/6 = 20

구면 타일링

또한 이십면체는 구면 타일링으로 표현될 수 있으며 입체 투영을 통해 평면에 투영될 수 있습니다.이 투영법은 적합하며 각도는 보존되지만 면적이나 길이는 보존되지 않습니다.구면의 직선은 평면에 원형 호로 투영됩니다.

맞춤법 투영법	입체 투영

기타 사실

20면체는 43,380개의 그물을 ^[5]가지고 있다.
인접한 두 면이 같은 색을 가지지 않도록 20면체에 색을 입히려면 적어도 3가지 ^[a]색상이 필요합니다.
고대 그리스로 거슬러 올라가는 문제는 구에 새겨진 20면체와 같은 구에 새겨진 12면체 중 어느 것이 더 큰 부피를 가지고 있는지를 결정하는 것이다.그 문제는 ^[6]특히 Hero, Pappus, 그리고 Fibonacci에 의해 해결되었다.페르가의 아폴로니우스는 이 두 형상의 부피 비율이 표면적의 ^[7]비율과 같다는 신기한 결과를 발견했다.두 권 모두 황금 비율과 관련된 공식들을 가지고 있지만,^[8] 다른 힘을 가지고 있다.밝혀진 바와 같이, 20면체는 12면체(66.49%)^[9]보다 구의 부피(60.54%)를 적게 차지한다.

등각선 시스템에 의한 시공

이십면체 H₃ 콕서터 비행기	6직교 D₆ 콕서터 평면
이 구조는 기하학적으로 3차원에 투영된 6정직선의 12정점이라고 볼 수 있습니다.이것은 D에서₆ HCoxeter₃ 그룹의 기하학적 접힘을 나타낸다. 이러한 2D Coxeter 평면 직교 투영을 통해 볼 수 있는 두 겹치는 중앙 정점은 이 매핑에서 세 번째 축을 정의합니다.

다음의 20면체 구성은 더 기본적인 접근법에 필요한 숫자 $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ Q [ $]$ \ $displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}}$ 의 $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ 지루한 계산을 회피한다.

이십면체의 $\mathbb {R} ^{3}$ 는 R $3에 6개$ 의 등각선이 존재하는 것과 $같다$ 실제로, 이러한 등각선 계통과 공통의 교차점을 중심으로 한 유클리드 구를 교차시키면 쉽게 확인할 수 있는 정이십면체의 12개의 정점을 얻을 수 있다.반대로, 정이십면체의 존재를 가정하면, 6쌍의 대척점에 의해 정의된 선은 등각계를 형성한다.

이와 같은 등각계를 구축하기 위해, 우리는 다음과 같은 6 × 6 정사각형 행렬은 다음과 같습니다.

{displaystyle A=\left({\begin{array}{crrr}0&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1.}

간단한 계산을 통해 A $A^{2}=5I$ $=$ $A^{2}=5I$ I {\ $displaystyle$ A $^{2$ }= $5$ 를 $A^{2}=5I$ 수 있습니다. $I}($ $I$ 서 $I는$ 6×6 아이덴티티 매트릭스입니다).즉 $,$ $A의$ 고유값 $({$ $displaystyle$ $-{\sqrt$ {5}})은 5({ $displaystyle$ $-{\sqrt$ {5 ${\sqrt {5}}$ 이며 $-{\sqrt {5}}$ $,$ $A$ 의 $A$ 고유값은 대칭이며 트레이스 0이기 때문에 $배수$ 3입니다.

$A+{\sqrt {5}}I$ A + $A+{\sqrt {5}}I$ I( $스타일$ A $+{\sqrt {5})$ $따라서$ I $}$ 는 $A+{\sqrt {5}}I$ 몫 $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ ( $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ A + $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ ){ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $6}/\operatorname {ker}$ (A $+{\sqrt$ { $5}$ I $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ 에 $\mathbb{R} ^{3}$ 유클리드 구조를 유도하며, 이는 $\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ R3 ( $\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $이후$ $\mathbb {R} ^{3}$ (\ $displaystyle \mathbbb {R})$ 과 동형상입니다. $A+{\sqrt {5}}I$ + 5 $A+{\sqrt {5}}I$ (\ $displaystyle$ A $+{\sqrt {5})$ 의 $I}$ 에는 $A+{\sqrt {5}}I$ 3차원이 있습니다. $display$ : $\pi :\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ 6 $\pi :\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $\pi :\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ / $\pi :\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $\pi :\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ ( $\pi :\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ + $\pi :\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $){$ $displaystyle$ $\pi$ : \ $mathbb {R} ^{6}$ / \ $operatorname {ker}$ ( $A+{\sqrt {5}I$ } 。 ${R}$ $\arccos 1/{\sqrt {5}}$ $3}}$ $\arccos 1/{\sqrt {5}}$ 1 $({$ displaystyle \ $arccos$ 1 $/{\sqrt {5$ 의 공통 예각에서 쌍방향으로 교차하는 $\mathbb {R} ^{3}$ {R} ^{3}}. $(\$ ^{ $6})$ 의 $\mathbb {R} ^{6}$ 양 및 음의 기저 벡터의 직교 투영(\ $displaystyle$ \style ${qrt$ { $5})$ -igensispace ${\sqrt {5}}$ $A$ 의 5 $)$ 에 대하여우리에게 20면체의 12개의 꼭지점을 알려준다.

이십면체의 두 번째 간단한 구성에서는 이십면체의 직접 등각체에 의해 작용하는 $A_{5}$ $({$ 의 $A_{5}$ 표현 이론을 사용한다.

대칭

완전한 이십면체 대칭은 15개의 거울 평면(이 구면에서는 시안 대원으로 표시됨)이

\pi /5,\pi /3,\pi /2

/

\pi /5,\pi /3,\pi /2

5 ,

\pi /5,\pi /3,\pi /2

/

\pi /5,\pi /3,\pi /2

\

displaystyle \pi / 5

,

\pi

/ 3,

\pi

/2

}

각도로

\pi /5,\pi /3,\pi /2

만나 구면을 120개의 삼각형 기본 도메인으로 분할합니다.5배축은 6개(파란색), 3배축은 10개(빨간색), 2배축은 15개(자홍색)입니다.정이십면체의 꼭지점은 5배 회전 축점에 존재합니다.

정이십면체의 회전대칭군은 다섯 글자의 교대군과 동형이다.이 비벨 단순 그룹은 다섯 글자의 대칭 그룹 중 유일하게 사소하지 않은 정규 부분군이다.일반 5차 방정식의 갈루아군은 5자 대칭군과 동형이며, 이 정규 부분군은 단순하고 비벨적이므로, 일반 5차 방정식은 라디칼에 대한 해를 갖지 않는다.아벨-루피니 정리의 증명은 이 단순한 사실을 사용하고, 펠릭스 클라인은 일반 5차 방정식에 대한 분석적 해법을 도출하기 위해 20면체 대칭의 이론을 이용한 책을 썼다.자세한 역사를 보려면 20면체 대칭: 관련 기하학 및 7자 및 11자의 관련 대칭을 참조하십시오.

반사를 포함한 20면체의 전체 대칭군은 완전 20면체군이라고 하며, 회전 대칭군과 크기 2의 $C_{2}$ $({$ 의 $C_{2}$ 곱과 동형이다.

스텔레이션

이십면체는 많은 층수를 가지고 있다.59개의 ^[10]이코사면체라는 책에 정의된 특정한 규칙에 따르면, 59개의 층이 정십이면체에 대해 확인되었다.첫 번째 형태는 20면체 그 자체입니다.하나는 규칙적인 케플러-포인소트 다면체이다.3개는 일반 복합 다면체이다.

59개 중 21개
평면들이 교차할 때 바깥쪽으로 뻗은 20면체의 면은 단일 평면에서의 교차점의 이 계단식 다이어그램에서 보여지는 것처럼 공간의 영역을 정의합니다.

패싯

작은 계단 모양의 12면체, 큰 12면체, 큰 20면체는 정이십면체의 세 가지 면이다.이들은 동일한 정점 배열을 공유합니다.그것들은 모두 30개의 모서리를 가지고 있다.정이십면체와 대이십이면체는 모서리 배열은 같지만 면(삼각형 대 오각형)이 다르며, 작은 계단 모양의 십이면체와 대이십면체(펜타그램 대 삼각형)도 마찬가지입니다.

볼록하다	규칙적인 별
20면체	대십이면체	작은 젤리 모양의 12면체	대이십면체

기하 관계

다른 플라톤계 고체에 내접

정이십면체는 정이십이면체의 이면체이다.20면체는 꼭지점을 12면체의 면 중앙에 배치함으로써 12면체에 내접할 수 있으며, 그 반대도 마찬가지입니다.

정십면체는 각 모서리를 두 개의 황금 단면으로 나누도록 팔면체의 12개의 꼭지점을 배치함으로써 팔면체에 새겨질 수 있다.황금 단면이 균일하지 않기 때문에, 이것을 일관되게 하기 위한 다섯 가지 다른 방법이 있습니다. 그래서 각 ^[11]팔면체에 다섯 개의 분리된 이십면체를 새길 수 있습니다.

모서리 길이 1/Ω 0 0.618의 20면체는 면 중심을 중심으로 정사각형 ^[12]모서리와 평행 또는 직각인 정사각형 면에 모서리 길이 중 6개(3개의 직교 대향 쌍)를 배치함으로써 단위 모서리 길이 큐브에 내접할 수 있다.입방체 면보다 5배 많은 20면체 모서리가 있기 때문에 이를 일관되게 하는 방법은 5가지가 있습니다. 따라서 각 입방체에 5개의 분리된 이십면체를 새길 수 있습니다.입방체의 모서리 길이와 내접된 20면체는 황금비율이다.^[b]

600 셀 및 기타 4-폴리토프와의 관계

이십면체는 4차원 정다각형인 600셀의 치수 유사체이다.600셀은 두 가지 크기의 20면체 단면을 가지고 있으며, 120개의 정점은 각각 20면체 피라미드이다; 20면체는 600셀의 정점 도형이다.

단위 반지름 600 셀은 모서리 길이 1/Ω 0 0.618의 사면체 셀을 가지며, 각 정점에서 20개가 만나 이십면체 피라미드(이십면체를 베이스로 하는 4-피라미드)를 형성한다.따라서 600셀에는 가장자리 길이 1/Ω 0 0.618인 120개의 이코사면이 포함되어 있습니다.600 셀에는 유닛 엣지 길이의 큐브와 유닛 엣지 길이의 8면체도 포함되어 있습니다.단위 반지름 120셀(600셀과 5600셀의 화합물인 또 다른 정4폴리토프)에서 우리는 세 종류의 내접된 이코사면체(십이면체, 팔면체, 큐브)를 모두 발견한다.

반규칙형 4-폴리토프, 스너브 24셀은 20면체 세포를 가진다.

다른 균일한 폴리토프와의 관계

이십면체는 120° 이상의 이면각을 가진 플라톤계 고체 중에서 독특하다.이면각은 약 138.19°이다.따라서 육각형은 120° 이상의 각도를 가지며 볼록한 정다면체의 면으로 사용할 수 없는 것처럼, 이러한 구조는 정점에서 적어도 세 면이 만나고 3차원으로 접히는 양의 결함을 남기기 때문에 이코사체는 볼록한 정다면체의 셀로 사용될 수 없다.마찬가지로 적어도 3개의 셀이 가장자리에서 만나 4차원 접힘에 양의 결함을 남긴다(일반적으로 n차원 볼록 폴리토프의 경우 최소 3개의 패싯이 피크에서 만나 n-공간 접힘에 양의 결함을 남긴다).단, 이면각이 작은 적절한 셀과 조합하면 반정규 다면체(예를 들어 잘린 이십면체)의 면으로서 육각체를 사용할 수 있는 것과 마찬가지로 이십면체를 반정규 다면체(예를 들어 스너브 24셀)의 셀로서 사용할 수 있다.마지막으로, 비볼록 폴리톱은 볼록 폴리톱과 같은 엄격한 요건을 가지지 않으며, 이코사체는 실제로 10개의 비볼록 정규 폴리코라 중 하나인 20면체 120셀의 세포이다.

더 이상 규칙적이지는 않지만 꼭지점-균일한 20면체의 왜곡이 있다.이것들은 사면체와 같은 회전하에서 불변하며, 카이랄 형태와 T-대칭_h 형태를 포함한 스너브 큐브 및 스너브 12면체와 어느 정도 유사하다. 즉, 사면체와 대칭면이 다르다.

이십면체는 또한 자이로엘론테이트 오각형 2면체라고도 불린다.그것은 자이로모양의 오각형 피라미드와 오각형 피라미드로 분해될 수도 있고, 오각형 반체제주의와 두 개의 동등한 오각형 피라미드로 분해될 수도 있다.

6입방체 및 마름모꼴 3면체와의 관계

6큐브에서 마름모꼴 3면체의 선체를 형성하는 것과 동일한 기저 벡터를 사용하여 6D 6-데미큐브에서 20면체를 3D로 투영할 수 있습니다.여기에는 6D 표준 길이 ${\sqrt {2}}$ 의 30개의 외부 선체 가장자리로 연결되지 않은 내부 20개의 정점이 포함됩니다({ $displaystyle {{sqrt$ { $2$ 안쪽 꼭지점은 12면체를 이룬다.

사용되는 3D 투영 기준 벡터 [u,v,w]는 다음과 같습니다.

{displaystyle}u&=(1,\varphi,0,-1,\varphi,0,-1)\v&=(0,1,\varphi,0,-1)\endaligned}\v&=(0,1,\varphi,0,-1,\varphi)\endaligned

대칭

이십면체 대칭 부분군

20면체에는 3가지 균일한 색채가 있다.이러한 색상은 11213, 11212, 11111로 나타낼 수 있으며, 각 정점 주변의 5개의 삼각형 면을 색상으로 명명할 수 있습니다.

정사면체의 스누브화는 키랄 사면체 대칭을 가진 정사면체를 제공하기 때문에 정사면체로 간주될 수 있다.그것은 또한 열면체 대칭을 가진 교대로 잘린 팔면체로 구성될 수 있다.열면체 대칭 버전은 때때로 의사이십면체라고 불리며 열면체와 쌍대칭이다.

	규칙적인.	통일		2개소켓			3소켓
이름.	규칙적인. 20면체	스너브 팔면체	스너브 사면체	자이로롱게이트 오각형의 이원체	삼각형의 자이로산티쿠폴라	삼각형의 돌기 안티프리즘^[13]	스눕 스퀘어 이원체
이미지
얼굴 색칠	(11111)	(11212)	(11213)	(11122) (22222)	(12332) (23333)	(11213) (11212)	(11424) (22434) (33414)
콕서터 도표
슐레플리 기호.	{3,5}	s{3,4}	sr{3,3}	( ) {n} r{n} ( )		ss{2,6}	sdt {2,4}
콘웨이	I	HtO	세인트	k5A5		sY3 = HtA3	HtdP4
대칭	나_h [5,3] (*532)	T_h. [3⁺,4] (3*2)	T [3,3]⁺ (332)	D_5d. [2⁺,10] (2*5)	D_3d. [2⁺,6] (2*3)	D₃. [3,2]⁺ (322)	D_2h. [2,2] (*222)
대칭 주문	120	24	12	20	12	6	8

용도 및 자연형

투과 전자 현미경으로 본 금 나노 입자.

γ-boron 구조

생물학

헤르페스 바이러스와 같은 많은 바이러스들은 20면체 ^[14]껍질을 가지고 있다.바이러스 구조는 캡소미어로 알려진 반복적인 동일한 단백질 서브유닛으로 만들어지며, 이 서브유닛을 사용하여 조립하기 가장 쉬운 모양이다.규칙적인 다면체는 하나의 기본 단위 단백질로 계속해서 사용될 수 있기 때문에 사용된다; 이것은 바이러스 게놈의 공간을 절약한다.

정십면체 형태의 다양한 세균성 소기관도 발견되었다.^[15]20면체 쉘 캡슐화 효소와 유연한 중간체는 BMC 도메인을 가진 다른 유형의 단백질로 구성됩니다.

1904년, 에른스트 해켈은 골격이 보통 20면체처럼 생긴 Circogonia icosaheedra를 포함한 많은 종류의 Radiolaria에 대해 설명했습니다.이 방사성 물질에 대한 Haeckel의 삽화 사본은 일반 다면체 기사에 나와 있다.

화학

클로소-카보란은 20면체에 매우 가까운 형태를 가진 화합물이다.이십면체 쌍성은 결정, 특히 나노 입자에서도 발생합니다.

붕소의 많은 붕소화물과 동소체는 붕소₁₂ B 이십면체를 기본 구조 단위로 포함하고 있다.

완구 및 게임

프톨레마이오스 이집트의 20면 다이

20면 다이스

20개의 면이 있는 20면체 주사위는 ^[16]고대부터 사용되어 왔습니다.

던전앤드래곤과 같은 몇몇 롤플레잉 게임에서 20면 다이(d20 줄임말)는 액션의 성공 여부를 결정하는 데 일반적으로 사용됩니다.이 다이는 정이십면체의 형태이다."0"에서 "9"까지 두 번 번호가 매겨질 수 있지만(일반적으로 10면 금형 또는 d10으로 사용됨), 대부분의 현대 버전은 "1"에서 "20"까지 라벨이 붙어 있습니다.

20면체는 Ico Crystal Game으로 알려진 Ico Crystal Game의 3차원 게임판이다.

보드게임 산란고리에서 알파벳 문자를 선택하기 위해 20면체를 사용한다.6글자(Q, U, V, X, Y, Z)는 생략됩니다.

닌텐도 64 게임 Kirby 64: 크리스탈 파편, 두목인 미라클 매터는 정십면체이다.

Magic 8-Ball 내부에는 "예"라는 질문에 대한 다양한 답변이 일반 20면체에 새겨져 있습니다.

"skwish" 아기 장난감은 제센의 20면체 형태의 텐세그리티 물체로, 제센의 20면체는 일반 20면체와 같은 정점 좌표와 같은 수의 면을 가지고 있지만, 다른 정점과 연결하기 위해 6개의 모서리가 90° 회전합니다.

다른이들

R. 벅민스터 풀러와 일본의 지도 제작자 쇼지 사다오는^[17] 풀러 투영법이라고 불리는 펼쳐지는 20면체 형태의 세계 지도를 디자인했는데, 그 최대 왜곡은 2%에 불과하다.

미국 일렉트로닉 음악 듀오 ODESZA는 그들의 로고로 일반 20면체를 사용한다.

이십면체 그래프

20면체의 골격(정점과 모서리)이 그래프를 형성합니다.5개의 플라톤 그래프 중 하나이며, 각 그래프는 플라톤 고체의 골격입니다.

폴리곤의 높은 대칭도는 거리 추이 및 대칭인 이 그래프의 속성으로 복제됩니다.자기동형 그룹은 차수가 120입니다.정점은 4가지 색상으로 색칠할 수 있으며 가장자리는 5가지 색상으로 색칠할 수 있으며 직경은 ^[18]3입니다.

이십면체 그래프는 해밀턴이다: 모든 정점을 포함하는 순환이 있다.평면 그래프이기도 합니다.

직교 투영

감소된 정이십면체

관련된 Johnson 솔리드는 12개의 꼭지점 중 일부가 있는 오각형 면을 포함하여 4개입니다.유사한 해부된 정이십면체는 2개의 인접한 정점이 감소하여 2개의 사다리꼴 면이 남고, 2개의 상반된 정점은 제거되고 4개의 사다리꼴 면이 있다.오각 반비례는 두 개의 상반된 꼭지점을 제거함으로써 형성된다.

형태	J2	비파스티기움	J63	J62	s{2,10}	J11
꼭지점	12개 중 6개	12개 중 8개	12개 중 9개	12개 중 10개		12개 중 11개
대칭	C_5v, [5], (*55) 주문 10	D_2h, [2,2], *222 오더 8	C_3v, [3], (*33) 오더 6	C_2v, [2], (*22) 오더 4	D_5d, [2⁺,10], (2*5) 주문 20	C_5v, [5], (*55) 주문 10
이미지

「」를 참조해 주세요.

대이십면체
지오데식 그리드는 반복적으로 이등분된 20면체를 사용하여 구에 그리드를 생성합니다.
이십면체 쌍둥이
무한 스큐 다면체
제센의 20면체
정다면체
깎은 20면체

메모들

^ 이것은 브룩스의 정리를 다면체의 이중 그래프에 적용함으로써 사면체를 제외한 삼각형 면을 가진 모든 볼록 다면체에 적용된다.
^ 왕복으로, 12면체에 새겨진 입방체의 모서리 길이는 12면체의 모서리 길이에 대한 황금 비율이다.정육면체의 모서리는 정오각형 대각선으로 12면체의 오각형 면 평면에 있으며, 정오각형 모서리에 대해 항상 황금 비율입니다.그래서 정육면체가 12면체에 새겨지고 정육면체에 20면체가 새겨질 때, 정육면체와 20면체는 모서리의 길이가 같다.

인용문

^ Jones, Daniel (2003) [1917], Peter Roach; James Hartmann; Jane Setter (eds.), English Pronouncing Dictionary, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 3-12-539683-2
^ Weisstein, Eric W. "Icosahedral group". MathWorld.
^ Coxeter, 일반 폴리토프, sec 1.8 구성
^ Coxeter, 복합 일반 폴리토피스, 페이지 117
^ Weisstein, Eric W. "Regular Icosahedron". MathWorld.
^ 를 클릭합니다Herz-Fischler, Roger (2013), A Mathematical History of the Golden Number, Courier Dover Publications, pp. 138–140, ISBN 9780486152325.
^ 를 클릭합니다Simmons, George F. (2007), Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, Mathematical Association of America, p. 50, ISBN 9780883855614.
^ 를 클릭합니다Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids, Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865.
^ 내접된 Platonic 솔리드의 볼륨 수치는 에서 확인할 수 있습니다.
^ 콕서터 외 1938년
^ Coxeter et al. 1938, 페이지 4; "입방체에 사면체를 새길 수 있는 것처럼, 입방체를 12면체에 새길 수 있다.왕복운동에 의해, 이것은 20면체에 대해 둘러싸인 8면체로 이어진다.사실, 20면체의 12개의 꼭지점 각각은 "황금 단면"에 따라 팔면체의 가장자리를 나눈다.이십면체가 주어졌을 때, 외접 팔면체는 5가지 방법으로 선택될 수 있으며, 이는 5개의 팔면체의 화합물을 제공한다. (정점이 12면체에 속하는 5개의 정육면체의 역화합물은 3면체이다.)각 팔면체를 스텔라 팔각형으로 몰아서 10개의 사면체로 이루어진 화합물을 형성함으로써 다른 사면체를 한 번에 추론할 수 있다.또한 각 스텔라 팔각형에서 1개의 사면체를 선택하여 5개의 사면체 화합물을 도출할 수 있으며, 이는 반사를 잃었지만 여전히 이십면체(즉, 이십면체군)의 모든 회전 대칭을 가지고 있다.이 그림을 20면체의 대칭면에 반영함으로써 우리는 5개의 사면체의 상보적인 집합을 얻는다.5개의 사면체 중 이 두 세트는 에난티오모형이며, 즉 직접적으로 일치하지는 않지만 신발 한 켤레와 같은 관련이 있다.대칭면을 가지지 않는 도형(따라서 거울상과 반동형이다.
^ 보로빅 2006, 페이지 8-9, 5파운드.칠판에 20면체 그리는 법
^ 반프리즘 스눕
^ C. 마이클 호건, 2010년바이러스. 지구 백과사전. 국립과학환경위원회(National Council for Science and Environment) eds.S. 드래건과 C.클리블랜드
^ Bobik, T.A. (2007), "Bacterial Microcompartments", Microbe, Am. Soc. Microbiol., 2: 25–31, archived from the original on 2013-07-29
^ Cromwell, Peter R. "Polyhedra" (1997년) 327페이지.
^ "Fuller and Sadao: Partners in Design". September 19, 2006. Archived from the original on August 16, 2010. Retrieved 2010-01-26.
^ Weisstein, Eric W. "Icosahedral Graph". MathWorld.

레퍼런스

Klein, Felix (1888), Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree, ISBN 978-0-486-49528-6, Dover edition{{citation}}: CS1 maint: 포스트스크립트(링크), 번역원
Coxeter, H.S.M.; du Val, Patrick; Flather, H.T.; Petrie, J.F. (1938). The Fifty-Nine Icosahedra. Vol. 6. University of Toronto Studies (Mathematical Series).
Borovik, Alexandre (2006). "Coxeter Theory: The Cognitive Aspects". In Davis, Chandler; Ellers, Erich (eds.). The Coxeter Legacy. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 17–43. ISBN 978-0821837221.

외부 링크

Klitzing, Richard. "3D convex uniform polyhedra x3o5o – ike".
Hartley, Michael. "Dr Mike's Math Games for Kids".
K.J.M. 맥린, 5개의 플라톤 고체와 기타 반정규 다면체의 기하학적 해석
가상현실 폴리헤드라 폴리헤드라 백과사전
Tulane.edu 바이러스 구조와 이십면체에 대한 논의
종이접기 다면체 – 모듈러 종이접기로 만든 모델
20면체 거울 조각 영상
[1] 바이러스 아키텍처의 원리

v t 치수 2-10의 기본 볼록 정규 및 균일한 폴리토프
가족	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆/E₇/E₈/F₄/G₂	H_n
정다각형	삼각형	광장	p곤	육각형	펜타곤
균일한 다면체	사면체	8면체 • 큐브	데미큐브		12면체 • 이십면체
균일한 폴리코론	펜타코론	16 셀 • 테서랙트	데모테서랙트	24 셀	120 셀 • 600 셀
균일한 5 폴리토프	51200x	5 - ORTOPLEX • 5 - 큐브	5 데미큐브
균일한 6 폴리토프	61200x	6-정류 • 6-큐브	6-데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
균일한 7 폴리토프	71200x	7-정류 • 7-큐브	7 데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
균일한 8 폴리토프	8180x	8-정류 • 8-큐브	8개의 데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
균일한 9-폴리토프	9169x	9-정류 • 9-입방체	9데미큐브
균일한 10 폴리토프	10-1996x	10 - ORTOPLEX • 10 - 큐브	10 데미큐브
균일한 n-폴리토프	n-1996x	n-ortoplex • n-입방체	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-오각형 폴리토프
주제: 폴리토프 패밀리 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록

(볼록) 20면체	작은 삼암면체 20면체	오팔면체 화합물	대이십면체	출토된 12면체
이십면체의 주목할 만한 특징
규칙적인.	균일한 이중화	규칙 화합물	정규성	다른이들


20면체에서의 계단화 과정은 다수의 관련된 다면체와 20면체 대칭을 가진 화합물을 생성한다.

[6] 이것은 브룩스의 정리를 다면체의 이중 그래프에 적용함으로써 사면체를 제외한 삼각형 면을 가진 모든 볼록 다면체에 적용된다.

[14] 왕복으로, 12면체에 새겨진 입방체의 모서리 길이는 12면체의 모서리 길이에 대한 황금 비율이다.정육면체의 모서리는 정오각형 대각선으로 12면체의 오각형 면 평면에 있으며, 정오각형 모서리에 대해 항상 황금 비율입니다.그래서 정육면체가 12면체에 새겨지고 정육면체에 20면체가 새겨질 때, 정육면체와 20면체는 모서리의 길이가 같다.

[1] Jones, Daniel (2003) [1917], Peter Roach; James Hartmann; Jane Setter (eds.), English Pronouncing Dictionary, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 3-12-539683-2

[2] Weisstein, Eric W. "Icosahedral group". MathWorld.

[3] Coxeter, 일반 폴리토프, sec 1.8 구성

[4] Coxeter, 복합 일반 폴리토피스, 페이지 117

[5] Weisstein, Eric W. "Regular Icosahedron". MathWorld.

[7] 를 클릭합니다Herz-Fischler, Roger (2013), A Mathematical History of the Golden Number, Courier Dover Publications, pp. 138–140, ISBN 9780486152325.

[8] 를 클릭합니다Simmons, George F. (2007), Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, Mathematical Association of America, p. 50, ISBN 9780883855614.

[9] 를 클릭합니다Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids, Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865.

[10] 내접된 Platonic 솔리드의 볼륨 수치는 에서 확인할 수 있습니다.

[FOOTNOTECoxeterdu_ValFlatherPetrie1938-11] 콕서터 외 1938년

[FOOTNOTECoxeterdu_ValFlatherPetrie19384-12] Coxeter et al. 1938, 페이지 4; "입방체에 사면체를 새길 수 있는 것처럼, 입방체를 12면체에 새길 수 있다.왕복운동에 의해, 이것은 20면체에 대해 둘러싸인 8면체로 이어진다.사실, 20면체의 12개의 꼭지점 각각은 "황금 단면"에 따라 팔면체의 가장자리를 나눈다.이십면체가 주어졌을 때, 외접 팔면체는 5가지 방법으로 선택될 수 있으며, 이는 5개의 팔면체의 화합물을 제공한다. (정점이 12면체에 속하는 5개의 정육면체의 역화합물은 3면체이다.)각 팔면체를 스텔라 팔각형으로 몰아서 10개의 사면체로 이루어진 화합물을 형성함으로써 다른 사면체를 한 번에 추론할 수 있다.또한 각 스텔라 팔각형에서 1개의 사면체를 선택하여 5개의 사면체 화합물을 도출할 수 있으며, 이는 반사를 잃었지만 여전히 이십면체(즉, 이십면체군)의 모든 회전 대칭을 가지고 있다.이 그림을 20면체의 대칭면에 반영함으로써 우리는 5개의 사면체의 상보적인 집합을 얻는다.5개의 사면체 중 이 두 세트는 에난티오모형이며, 즉 직접적으로 일치하지는 않지만 신발 한 켤레와 같은 관련이 있다.대칭면을 가지지 않는 도형(따라서 거울상과 반동형이다.

[FOOTNOTEBorovik20068–9§5._How_to_draw_an_icosahedron_on_a_blackboard-13] 보로빅 2006, 페이지 8-9, 5파운드.칠판에 20면체 그리는 법

[15] 반프리즘 스눕

[16] C. 마이클 호건, 2010년바이러스. 지구 백과사전. 국립과학환경위원회(National Council for Science and Environment) eds.S. 드래건과 C.클리블랜드

[Bobik2007-17] Bobik, T.A. (2007), "Bacterial Microcompartments", Microbe, Am. Soc. Microbiol., 2: 25–31, archived from the original on 2013-07-29

[18] Cromwell, Peter R. "Polyhedra" (1997년) 327페이지.

[19] "Fuller and Sadao: Partners in Design". September 19, 2006. Archived from the original on August 16, 2010. Retrieved 2010-01-26.

[20] Weisstein, Eric W. "Icosahedral Graph". MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[a]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[b]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

균일한 20면체 다면체군
대칭 : [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr {5,3}
이중에서 균일한 다면체

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.5

균일한 사면체 다면체군
대칭 : [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
이중에서 균일한 다면체

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3

균일한 팔면체 다면체
대칭: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= 또는	= 또는	=

이중에서 균일한 다면체
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

*n32 정규타일링 대칭변환: {3,n} v t
구면				유클리드	콤팩트 하이퍼		파라코	비콤팩트 쌍곡선

3.3	3개³	3개⁴	3개⁵	3개⁶	3개⁷	3개⁸	3개^∞	3개¹²ⁱ	3개⁹ⁱ	3개⁶ⁱ	3개³ⁱ

n32 스너브 타일링 대칭 돌연변이: 3.3.3.n v t
대칭 n32	구면				유클리드	콤팩트 쌍곡선		파라콤프
대칭 n32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
스너브 수치
설정.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
자이로 수치
설정.	V3.3.3.2	V3.3.3.3	V3.3.3.4	V3.3.3.5	V3.3.3.6	V3.3.3.7	V3.3.3.8	V3.3.3.★

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면적 및 볼륨

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기타 사실

등각선 시스템에 의한 시공

대칭

스텔레이션

패싯

기하 관계

다른 플라톤계 고체에 내접

600 셀 및 기타 4-폴리토프와의 관계

다른 균일한 폴리토프와의 관계

6입방체 및 마름모꼴 3면체와의 관계

대칭

용도 및 자연형

생물학

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관련 다면체 및 다면체

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v t 다면체
면수 및 유형별로 나열됨
1 ~ 10 면	일면체 이면체 삼면체 사면체 5면체 육면체 칠면체 팔면체 무호흡면체 십이면체
11 ~ 20 면	헨드십이면체 십이면체 삼면체 사면체 5면체 육면체 7면체 팔면체 엔네아데카면체 이십면체
20면 이상	이십이면체(24) 삼면체(30) 이십이면체(32) 육면체(60) 무정면체(90) 헥토트리아디온면체(132개) 정면체())
원초적인 것	얼굴 엣지 꼭지점 균일한 다면체(2개의 무한 군과 75개) 정다면체(9) 준규격 다면체(7) 반정규 다면체(2개의 무한 군과 59)
볼록 다면체	플라토닉 솔리드(5) 아르키메데스 다면체(13) 카탈로니아 솔리드(13) Johnson 솔리드(92)
비대칭 다면체	케플러-포인소트 다면체(4) 별 다면체(무한) 균일한 별 다면체(57)
프리즘로이드	프리즘 안티프리즘 좌절. 큐폴라 쐐기를 하다 피라미드 평행한

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