펜타곤

정오각형
정오각형
	정오각형
유형	정다각형
모서리 및 정점	5
슐레플리 기호	{5}
콕서터-딘킨 도표
대칭군	이면체(D5), 2×5 차수
내부 각도(도)	108°
특성.	볼록형, 순환형, 등변형, 등변형, 등변형, 등변형

펜타곤
펜타곤
	순환 오각형
모서리 및 정점	5

기하학에서, 오각형은 5개의 면을 가진 다각형 또는 5곤을 의미한다^[1].단순한 오각형에서 내부 각도의 합계는 540°이다.

오각형은 단순할 수도 있고 자가 교차할 수도 있습니다.스스로 교차하는 정오각형(또는 별오각형)은 펜타그램이라고 불린다.

일반 펜타곤

측면 (

t

\

displaystyle

t

) , 원반경 (

R

\

displaystyle

R

R

) , 내접원반경 (

r

\

displaystyle

r

r

) , 높이 (

R+r

+

r

) , 폭 / 대각선 (

\varphi t

t \

displaystyle

\

varphi

t

\varphi t

)

일반 오각형은 슐레플리 기호 {5}과(와) 내부 각도가 108°입니다.

정오각형은 5줄의 반사대칭과 5줄의 회전대칭(72°, 144°, 216° 및 288°)을 가진다.볼록한 정오각형의 대각선은 그 변에 대한 황금비율이다.측면 $길이$ t $,$ \ $displaystyle$ t $,\$ $displaystyle$ H(한쪽에서 반대쪽 $W$ 까지의 $거리),$ 폭 W(\ $displaystyle$ W)(\ $W$ $displaystyle$ $)$ 및 원둘레 $반지름$ R(\ $displaystyle$ R $)$ 은 $R$ 다음과 같습니다.

디스플레이 스타일H&=hcfrac({5+2hcrt {5}}}{2}}}{2}}~t\약 1.539~t,\W=D&=hcfrac {1+{\hcrt {5}}{2}}~t\약 1.1hcrt,\\\\hcrtW&=cdotsqrt {2-{\frac {2}{\fracrt {5}}\cdot H\약 1.051~H,\R&=cdotsqrt {5}{10}}t\약 0.8507~t,\D&R={5}rt {5}{\frcdcdot {5}{\frcdcdfrt}{\frt}}{\frt}{\frt}{\frt}{\frt}}{\frt}{\f\end { aligned}}

측면 $길이$ t{\ $displaystyle$ t $}$ 의 볼록한 정규 오각형 면적은 다음과 같다.

디스플레이 스타일A&=glfrac {t^{2}{\glfrt {25+10720rt {5}}}}{4}=glfrac {5t^{2}\tan 54^{\glfrc}{4}}}}\&=glfrac {5+2720rt {5}}}}}}}}{\t}{\t}{t}}~{2}}}{t}}}}}}}{4}}}}}}}}}}{{{t}}}}}}}}}}}}}{\end { aligned}}

정규 펜타곤의 원둘레 $반지름$ R {\ $displaystyle$ R $}$ 이 $R$ 주어진 경우, 그 가장자리 $길이$ t {\ $displaystyle$ t $}$ 는 $t$ 다음 식에 의해 구할 수 있습니다.

{{displaystyle t=R\{frac {5-{\facrt {5}}{2}}=2R\sin 36^{\fac}=2R\sin {fi}{5}}\약 1.176~R,}

그리고 그 면적은

{{displaystyle A=margetfrac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {5+{\margetrt {5}}{2}};

외접 원의 면적은 $\pi R^{2},$ $\pi R^{2},$ 2, $\pi R^{2},$ \ $displaystyle \pi$ R $^{2}$ 이므로 $\pi R^{2},$ 정규 오각형은 외접 원의 약 0.7568을 채운다.

면적식의 도출

일반 폴리곤의 면적은 다음과 같습니다.

A=squalfrac {1}{2}}Pr

여기서 P는 폴리곤의 둘레이고 r은 인반경(동일한 원점)입니다.P와 r에 대한 정규 오각형 값을 대입하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.

({displaystyle A=cdot frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {t\tan\mathord {\frac {3\pi}{10}}}}}}{2}=cdfrac {5t^{2}\tan {10}\right})}}}{4}}}

side length t를 사용합니다.

인라디우스

모든 일반 볼록 다각형과 마찬가지로, 일반 볼록 오각형은 내접된 원을 가지고 있습니다.정오각형의 반지름 r인 아포템은 다음과 같이 변 길이 t와 관련이 있다.

r=tan frac {t}{2\tan\mathord\leftfrac{5}\오른쪽)}}}}=cdfrac {t}{2cdfrt {5-{\cdfrt {20}}}}}}}}\약 0.6882\cdot t.

외접원에서 정점까지의 코드

모든 일반 볼록 다각형과 마찬가지로, 일반 볼록 오각형은 외접된 원을 가지고 있습니다.연속된 정점 A, B, C, D, E가 있는 정규 오각형일 경우, PA + PD = PB + PC + PE 사이의 원주상의 임의의 점일 경우.

평면 내 포인트

$표준$ 펜타곤의중심과 5개의 정점까지의 거리가 $각각$ L ${\displaystyle$ L $}$ $d_{i}$ $di$ {displaystyle $d_{$ i $d_{i}$ }인 표준 $펜타곤$ 평면의 임의의 점에 대해서는 다음과 같이 한다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{나는}^{2}&, =5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{나는}^{4}&, =5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{나는}^{6}&, =5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^ᆼ+6R^ᆽL^ᆾ\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle\sum _{i=1}^{5}d_{i.}^{8}&, =5\left(\left(R^{2}+L^{2}\오른쪽)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\오른쪽)^{2}+6R^{4}}L^{4}\right).\end { aligned}}

$(\$ })가 $d_{i}$ 일반 오각형 정점에서 원주상의 임의의 점까지의 거리인 $d_{i}$ ,

\displaystyle 3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{i2}^{2}\오른쪽)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{i}d_{i}^4}.}

기하학적 구조

5는 페르마 소수이므로 정오각형은 나침반과 직선으로 구성할 수 있습니다.정오각형 구성에는 다양한 방법이 알려져 있습니다.그 중 몇 가지는 다음과 같습니다.

리치몬드법

주어진 원 안에 정오각형을 구성하는 한 가지 방법은 리치몬드에 의해^[3] 설명되고 크롬웰의 폴리헤드라에서 ^[4]더 자세히 논의됩니다.

상단 패널은 내접된 오각형 측면을 만들기 위해 리치몬드의 방법에 사용된 구조를 보여줍니다.오각형을 정의하는 원에는 단위 반경이 있습니다.중심은 C점에 있으며 중간점 M은 반지름의 중간 지점에 표시됩니다.이 점은 D점의 중심에서 수직으로 위쪽의 주변부에 결합됩니다.각도 CMD가 이등분되고 이등분선이 점 Q에서 수직 축과 교차합니다.점 P에서 Q를 통과하는 수평선이 원과 교차하며, 코드 PD는 내접된 오각형에서 필요한 변이다.

이 변의 길이를 결정하기 위해 원 아래에 두 개의 직각 삼각형 DCM과 QCM을 그립니다.피타고라스의 정리와 양변을 사용하면 큰 삼각형의 빗변은 5/ $(\$ 로 구할 수 있습니다.작은 삼각형의 변 h는 반각 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

\tan(\phi /2)=black {1-\cos(\phi)}{\sin(\phi)}}}\,

여기서 코사인 및 사인 are은 큰 삼각형에서 알 수 있습니다.결과는 다음과 같습니다.

{{displaystyle h=snapfrac {\snaprt {5}-1}{4}}\ .}

DP가 정오각형 변이면 m $m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }$ $m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }$ $m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }$ $m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }$ $m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }$ ${\$ { $style$ m $\angle \mathrm {CDP$ } = $54^{\display$ 이므로 DP = 2 cos (54°), QD = DP cos (54°) = 2² cos (54²°), CQ = 1 cos (54°)이다.코사인 복각 공식에 의해.이 값은 72°의 코사인입니다.이것은 필요에 $\left({\sqrt {5}}-1\right)/4$ ( $\left({\sqrt {5}}-1\right)/4$ $\left({\sqrt {5}}-1\right)/4$ 1 $\left({\sqrt {5}}-1\right)/4$ ) / $\left({\sqrt {5}}-1\right)/4$ {\ $displaystyle \left ({\sqrt {5}-1\right)/4}$ 과 $\left({\sqrt {5}}-1\right)/4$ 같습니다.

칼라일 서클

칼라일 원을 사용한 방법

칼라일 원은 2차 ^[5]방정식의 근을 찾는 기하학적 방법으로 발명되었다.이 방법론은 정규 오각형 구성 절차로 이어집니다.순서는 다음과 같습니다.^[6]

오각형을 새길 원을 그리고 중심점을 O로 표시합니다.
원의 중심을 가로질러 수평선을 그립니다.원과 왼쪽 교차로를 점 B로 표시합니다.
중심을 지나는 수직선을 그립니다.원이 있는 교차로를 점 A로 표시합니다.
점 M을 O와 B의 중간점으로 구성합니다.
점 A를 통해 M을 중심으로 원을 그립니다.수평선(원래 원 안쪽)을 점 W로 하고 원 바깥쪽의 교차점을 점 V로 표시합니다.
반지름 OA와 중심 W의 원을 그립니다.그것은 오각형의 두 꼭지점에서 원래의 원을 교차합니다.
반지름 OA와 중심 V의 원을 그립니다.그것은 오각형의 두 꼭지점에서 원래의 원을 교차합니다.
다섯 번째 정점은 원래 원과 수평선의 가장 오른쪽 교차점입니다.

스텝 6~8은 애니메이션에 표시된 다음 버전과 동일합니다.

6a. 점 F를 O와 W의 중간점으로 구성합니다.

7a. F를 통과하는 수직선을 그립니다.그것은 오각형의 두 꼭지점에서 원래의 원을 교차합니다.세 번째 정점은 원래 원과 수평선의 가장 오른쪽 교차점입니다.

8a. 스텝 7a에서 찾은 나침반과 정점의 길이를 사용하여 다른 두 개의 정점을 구성합니다.

유클리드의 방법

황금 삼각형을 사용한, 주어진 원에서의 오각형에 대한 유클리드의 방법, 애니메이션 1분 39초

일반 오각형은 나침반과 직선 모서리를 사용하여 구성 가능하며, 주어진 원에 하나를 새기거나 주어진 모서리에 하나를 구성합니다.이 과정은 ^[7]^[8]유클리드에 의해 기원전 300년경에 그의 원소들에 기술되었다.

물리적 구축 방법

종이 조각의 오버핸드 매듭

띠에 오버핸드 매듭을 묶고 종이띠의 끝을 잡아당겨 조심스럽게 매듭을 평평하게 함으로써 종이조각만으로 일반 오각형으로 만들 수 있다.한쪽 끝을 펜타곤 위로 접으면 백라이트 시 펜타그램이 나타납니다.
딱딱한 종이 또는 카드 위에 일반 육각형을 만듭니다.반대쪽 꼭지점 사이의 세 직경을 따라 접습니다.정점에서 중앙으로 잘라 정삼각형 플랩을 만듭니다.이웃집 밑에 이 플랩을 고정하면 오각형 피라미드를 만들 수 있습니다.피라미드의 밑부분은 정오각형이다.

대칭

일반 오각형 대칭이죠정점은 대칭 위치에 따라 색상이 지정됩니다.파란색 미러 선은 정점과 모서리를 통해 그려집니다.중앙에서 회전 지시가 내려집니다.

일반 오각형은 Dih₅ 대칭이 10개입니다.5는 소수이므로 이면체 대칭을 가진 하위 그룹이 하나 있습니다.Dih₁ 및 두 개의 순환 그룹 대칭: Z₅, Z₁.

이 4개의 대칭은 펜타곤의 4개의 뚜렷한 대칭에서 볼 수 있습니다.John Conway는 편지 및 그룹 ^[9]순서에 따라 라벨을 붙입니다.정규 형태의 전체 대칭은 r10이며 대칭은 a1로 표시되지 않습니다.이면체 대칭은 정점(대각선의 경우 d) 또는 모서리(수직선의 경우 p) 중 어느 쪽을 통과하느냐에 따라 분할되며 반사선이 모서리와 정점을 모두 통과할 때 i가 분할됩니다.가운데 열의 순환 대칭은 중심 회전 순서에 대해 g로 레이블이 지정됩니다.

각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용합니다.g5 하위 그룹에만 자유도가 없지만 방향 가장자리로 볼 수 있습니다.

정규 펜타그램

펜타그램 또는 펜타곤은 일반적인 별 오각형이다.Schléfli 기호는 {5/2}입니다.그것의 변은 일반적인 볼록한 오각형 대각선을 형성합니다 – 이 배열에서 두 펜타곤의 변은 황금비율입니다.

등변 펜타곤

4개의 동그라미가 한 줄로 배열된 등변 펜타곤입니다.

등변 오각형은 길이가 같은 5개의 변을 가진 다각형이다.그러나 5개의 내부 각도는 다양한 값의 집합을 취할 수 있으며, 따라서 펜타곤 패밀리를 형성할 수 있습니다.이와는 대조적으로, 정오각형은 등변형이고 등각형이기 때문에 유사점까지 독특하다(5개의 오각형은 5개의 각도가 동일하다.

순환 펜타곤

순환 오각형은 원이라고 불리는 원이 5개의 꼭지점을 모두 통과하는 것입니다.정오각형은 순환 오각형의 한 예이다.순환 오각형의 면적은 정규적이든 아니든 계수가 ^[10]^[11]^[12]오각형의 변의 함수인 정화방정식의 뿌리 중 하나의 제곱근의 1/4로 표현될 수 있다.

합리적인 변과 합리적인 영역을 가진 순환 펜타곤이 존재한다; 이것들은 로빈스 펜타곤이라고 불린다.로빈스 오각형의 대각선은 모두 유리하거나 모두 불합리해야 하며, 모든 대각선은 합리적이어야 한다는 ^[13]것이 증명되었다.

일반 볼록 펜타곤

모든 볼록 펜타곤의 경우 대각선의 제곱합은 ^[14]^{: p.75, #1854}변의 제곱합보다 3배 작습니다.

타일링 펜타곤

평면에서 동일한 크기의 일반 펜타곤의 가장 잘 알려진 패킹은 평면의 92.131%를 덮는 이중 격자 구조입니다.

일반 오각형은 일반 폴리곤의 타일링에 표시할 수 없습니다.첫째, 오각형 정기 tiling(상황이 얼굴 크기와 형태가 동일한 것이기 때문은 모든 다각형이 5각형을 요구하는)을 꾸릴 수 없,을 입증할 때 이러한 360°/108°=3.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output .frac을 지킨다.는 전체 숫자 Den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄3(어디 108°의 내부 각도 있나),;그러므로가 5각형과 사이에 공백에서 출발하는 하나의 꼭지점을 공유해 주지 않는 정수 수 존재한다.m. 더 어려운 것은 오각형은 일반 폴리곤에 의해 만들어진 엣지 투 엣지 타일링에 있을 수 없다는 것을 증명하는 것이다.

일반 오각형의 알려진 최대 패킹 밀도는 약 0.921로 표시된 이중 격자 패킹에 의해 달성됩니다.2016년에 발표된 프리프린트에서 토마스 헤일스와 뵐든 쿠스너는 일반 오각형 패킹(이들은 "오각형 아이스레이" 패킹이라고 부르며 1900년 중국 장인의 작업으로 추적)의 이중 격자 패킹이 일반 ^[15]펜타곤의 모든 패킹 중 최적의 밀도를 가지고 있다는 증거를 발표했다.2020년 현재^[update], 그들의 증거는 아직 심의되고 발표되지 않았다.

오각형을 포함하는 정점에서 4개 이상의 만남이 있는 일반 폴리곤의 조합은 없습니다.3과의 조합의 경우, 3개의 폴리곤이 정점에서 만나고 한 개의 변이 홀수인 경우, 나머지 2개는 일치해야 합니다.그 이유는 펜타곤의 가장자리에 닿는 폴리곤이 펜타곤을 중심으로 교대로 움직여야 하는데 펜타곤의 변 수가 홀수이기 때문에 불가능하기 때문이다.오각형의 경우, 각도가 모두 (360 - 108) / 2 = 126°인 폴리곤이 된다.이 다각형에 있는 변의 수를 구하려면 360 / (180 - 126) = 62⁄3 이며, 이는 정수가 아닙니다.따라서 일반 폴리곤에 의해 만들어진 타일링에는 오각형이 나타날 수 없습니다.

평면 위에 단면 타일을 붙일 수 있는 15개의 펜타곤 클래스가 있습니다.어떤 펜타곤은 일반적으로 대칭을 가지지 않지만, 어떤 펜타곤은 거울 대칭을 가진 특별한 경우가 있다.

일면 오각형 타일 15장
1	2	3	4	5

6	7	8	9	10

11	12	13	14	15

다면체의 펜타곤

나_h	T_h.	T_d.	O	I	D_5d.

십이면체	열면체	사변체	오각형 이십면체	오각형 육면체	잘린 삼면체

자연 속의 펜타곤

식물

오크라의 오각형 단면.
나팔꽃은 다른 많은 꽃들처럼 오각형 모양을 하고 있다.
사과의 석회암은 다섯 개의 카르펠을 포함하고 있으며, 다섯 개의 뾰족한 별 모양으로 배열되어 있다
스타프루트는 다섯 배의 대칭을 가진 또 다른 과일이다.

동물

바다의 별.많은 극피엽은 5배의 반지름 대칭을 가지고 있다.
성게 내골격인 극피질의 또 다른 예입니다.
부서지기 쉬운 별과 오각형 모양의 극피질 일러스트.

광물

오각형 12면체로 형성된 Ho-Mg-Zn 정십면체 준결정.얼굴들은 진짜 평범한 펜타곤이다.
황철광의 황정면체 결정.열면체는 규칙적이도록 구속되지 않은 12개의 동일한 오각형 면을 가지고 있다.

기타 예

미 국방부의 본부인 펜타곤입니다
야구장의 홈 플레이트

「」를 참조해 주세요.

동면체; 오각형은 4차 동면체이다
정형이 12개의 오각형 면으로 이루어진 다면체인 십이면체
황금비율
기하학적 도형 목록
오각수
펜타그램
펜타그램 지도
펜타스타, 크라이슬러 로고
피타고라스의 정리#삼변 유사 도형
오각형에 대한 삼각 상수

인라인 노트 및 레퍼런스

^ '펜타곤, adj. and n' OED 온라인옥스포드 대학 출판부, 2014년 6월.웹. 2014년 8월 17일.
^ ^a ^b Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340.
^ Herbert W Richmond (1893). "Pentagon".
^ Peter R. Cromwell (22 July 1999). Polyhedra. p. 63. ISBN 0-521-66405-5.
^ Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. p. 329. ISBN 1-58488-347-2.
^ DeTemple, Duane W. (Feb 1991). "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions" (PDF). The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97–108. doi:10.2307/2323939. JSTOR 2323939. Archived from the original (PDF) on 2015-12-21.
^ George Edward Martin (1998). Geometric constructions. Springer. p. 6. ISBN 0-387-98276-0.
^ Fitzpatrick, Richard (2008). Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (PDF). Translated by Richard Fitzpatrick. p. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (20장, 일반화 셰플리 기호, 다각형 대칭의 유형) pp.275-278.
^ 웨이스틴, 에릭 W. "사이클 펜타곤"MathWorld에서 울프램 웹 리소스.[1]
^ Robbins, D. P. (1994). "Areas of Polygons Inscribed in a Circle". Discrete and Computational Geometry. 12 (2): 223–236. doi:10.1007/bf02574377.
^ Robbins, D. P. (1995). "Areas of Polygons Inscribed in a Circle". The American Mathematical Monthly. 102 (6): 523–530. doi:10.2307/2974766. JSTOR 2974766.
^ *Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Cyclic polygons with rational sides and area", Journal of Number Theory, 128 (1): 17–48, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005, MR 2382768.
^ "Crux Mathaticorum", [2]에서 제안된 부등식.
^ Hales, Thomas; Kusner, Wöden (September 2016), Packings of regular pentagons in the plane, arXiv:1602.07220

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Pentagon". MathWorld.
나침반과 직선으로 새겨진 오각형을 만드는 애니메이션 시연입니다.
나침반과 일자만 있는 일반 오각형 만드는 법
종이 한 장만을 사용하여 일반 오각형 접는 방법
대화형 애니메이션을 사용한 펜타곤의 정의 및 속성
르네상스 예술가들의 일반적인 펜타곤의 대략적인 구성
펜타곤.일반 펜타곤의 다양한 치수를 계산하는 방법

v t 치수 2-10의 기본 볼록 정규 및 균일한 폴리토프
가족	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆/E₇/E₈/F₄/G₂	H_n
정다각형	삼각형	광장	p곤	육각형	펜타곤
균일한 다면체	사면체	8면체 • 큐브	데미큐브		12면체 • 이십면체
균일한 폴리코론	펜타코론	16 셀 • 테서랙트	데모테서랙트	24 셀	120 셀 • 600 셀
균일한 5 폴리토프	51200x	5 - ORTOPLEX • 5 - 큐브	5 데미큐브
균일한 6 폴리토프	61200x	6-정류 • 6-큐브	6-데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
균일한 7 폴리토프	71200x	7-정류 • 7-큐브	7 데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
균일한 8 폴리토프	8180x	8-정류 • 8-큐브	8개의 데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
균일한 9-폴리토프	9169x	9-정류 • 9-입방체	9데미큐브
균일한 10 폴리토프	10-1996x	10 - ORTOPLEX • 10 - 큐브	10 데미큐브
균일한 n-폴리토프	n-1996x	n-ortoplex • n-입방체	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-오각형 폴리토프
주제: 폴리토프 패밀리 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록

[1] '펜타곤, adj. and n' OED 온라인옥스포드 대학 출판부, 2014년 6월.웹. 2014년 8월 17일.

[Mamuka-2] Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340.

[Richmond-3] Herbert W Richmond (1893). "Pentagon".

[4] Peter R. Cromwell (22 July 1999). Polyhedra. p. 63. ISBN 0-521-66405-5.

[Weisstein-5] Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. p. 329. ISBN 1-58488-347-2.

[DeTemple-6] DeTemple, Duane W. (Feb 1991). "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions" (PDF). The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97–108. doi:10.2307/2323939. JSTOR 2323939. Archived from the original (PDF) on 2015-12-21.

[Martin-7] George Edward Martin (1998). Geometric constructions. Springer. p. 6. ISBN 0-387-98276-0.

[Fitzpatrick-8] Fitzpatrick, Richard (2008). Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (PDF). Translated by Richard Fitzpatrick. p. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1.

[9] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (20장, 일반화 셰플리 기호, 다각형 대칭의 유형) pp.275-278.

[10] 웨이스틴, 에릭 W. "사이클 펜타곤"MathWorld에서 울프램 웹 리소스.[1]

[11] Robbins, D. P. (1994). "Areas of Polygons Inscribed in a Circle". Discrete and Computational Geometry. 12 (2): 223–236. doi:10.1007/bf02574377.

[12] Robbins, D. P. (1995). "Areas of Polygons Inscribed in a Circle". The American Mathematical Monthly. 102 (6): 523–530. doi:10.2307/2974766. JSTOR 2974766.

[13] *Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Cyclic polygons with rational sides and area", Journal of Number Theory, 128 (1): 17–48, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005, MR 2382768.

[Crux-14] "Crux Mathaticorum", [2]에서 제안된 부등식.

[15] Hales, Thomas; Kusner, Wöden (September 2016), Packings of regular pentagons in the plane, arXiv:1602.07220

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Search

펜타곤

네임스페이스

더

목차