E8(수학)

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서 E는₈ 몇 개의 서로 밀접하게 연관된 예외적인 단순 리 그룹, 선형 대수 그룹 또는 차원 248의 리 알헤브라 중 하나이며, 8위를 가진 해당 뿌리 격자에도 동일한 표기법이 사용된다. E라는₈ 명칭은 A_n, B_n, C_n, D라는_n 라벨이 붙은 4개의 무한 시리즈와 G₂, F₄, E, E₆, E₈, E라는₇ 라벨이 붙은 5개의 예외적인 사례로 분류된 복합 단순 리알헤브라의 카르탄-킬링 분류에서 유래한다. E₈ 대수학은 이러한 예외적인 사례들 중에서 가장 크고 가장 복잡하다.

기본설명

Lie 그룹 E는₈ 차원 248을 가지고 있다. 그것의 최대 토러스 치수인 그 등급은 8이다.

그러므로 뿌리계의 벡터는 8차원 유클리드 공간에 있다. 그것들은 이 글의 뒷부분에서 명시적으로 설명된다. E의₈ Weyl 그룹은 전체 그룹의 결합에 의해 유도되는 최대 토루스 대칭의 그룹으로서 순서 2¹⁴ 3⁵ 5 7² = 696729600을 가지고 있다.

이 소형 그룹 E8로 간단한 컴팩트한 매복하여 그룹 사이에서 작은 치수의는 표현은 수반 표현(치수 248의)은 리 아래 E8자체에 작용하는;이것은 또한 독특한 것 다음과 같이 4가지 속성: 사소한 센터며, 작고, 단순히 연결되어 있었고, 그저 끈이 달린(모든 뿌리 하 독특하다.순진 같은 길이).

모든 정수 k ≥ 3에 대해 Lie 대수 E가_k 있다. E가_k 유한차원인 k의 가장 큰 값은 k = 8, 즉 E는_k 어떤 k > 8에 대해서도 무한차원이다.

실제 및 복잡한 형태

E형에는₈ 복합차원 248의 복잡한 그룹에 해당하는 독특한 복합 리 대수학(complex dimension 248. 복합차원 248의 복합리그룹 E는₈ 실차원 496의 단순한 리얼리그룹으로 볼 수 있다. 이것은 간단히 연결되며, E의₈ 콤팩트한 형태(아래 참조)를 가진 최대 콤팩트 서브그룹과 복잡한 결합에 의해 생성되는 순서 2의 외부 자동형성 그룹을 가지고 있다.

E형의₈ 복잡한 Lie 그룹뿐만 아니라 리 대수학에는 세 가지 실제 형태가 있는데, 리 대수학에는 세 가지 실제 형태가 있는데, 사소한 중심을 가진 집단의 실제 형태(이 중 두 가지는 비알지브라질 이중 커버를 가지고 있고, 두 가지는 더 많은 실제 형태를 준다)가 모두 실제 차원 248에 해당한다.

• 단순히 연결되고 사소한 외부 자동형성 집단을 갖는 콤팩트 형태(다른 정보가 주어지지 않을 경우 보통 의미되는 형태)이다.
• 분할 형태인 EVIII(또는 E₈₍₈₎)는 최대 콤팩트 부분군 Spin(16)/(Z/2Z), 순서 2의 기본 그룹(단순히 연결된 Lie real group이지만 대수적이지 않은 이중 커버를 가지고 있으며, 아래를 참조)이며, 사소한 외부 자동형 그룹을 가지고 있다.
• EIX(또는 E₈₍₋₂₄₎)는 최대 콤팩트 부분군₇ E×SU(2)/(-1,-1)의 기본 그룹 순서 2(대수가 아닌 이중 커버를 의미함)를 가지며 사소한 외부 자동형 그룹을 가진다.

간단한 리알헤브라의 실제 형태에 대한 전체 목록은 단순 리 그룹 목록을 참조하십시오.

대수군으로서의₈ E

리 대수학의 체발리 기초를 통해, 사람들은 정수에 대한₈ 선형 대수학 그룹으로 E를 정의할 수 있고, 결과적으로, 모든 조합 고리 그리고 특히 어떤 분야에 걸쳐서: 이것은 E의₈ 소위 분할("불완전한"이라고도 한다) 형태를 정의한다. 는 대수적으로 문을 닫분야에 걸쳐, 이러한 유일한 형태지만, 다른 밭에, 갈루아 cohomology의 전반적인 체계하에서(완벽한 분야 k에)설정한 H1(k,Aut(E8))때문에 E8(아래 참조)의 Dynkin도 없automorphisms가 있는,, H1(k과 일치에 의해서 분류된다 종종 많은 다른 양식 또는 E8의“반전”,,E8).[1]

R이 흐르면서, 이 세개의 실제 거짓말 그룹에서 기술된 바와 같이 E8일치하다 이러한 대수적으로 뒤틀린 형태의 정체성이지만, 섬세함은 기본 군:E8모든 형태의 단순히 대수 기하학의 의미에서, 없었다는은 대수 덮개들이 자신을 인정해 의미 연결되어 있는 관련하여의 진정한 연결 구성 요소;non-co.융점따라서 E의 실제 Lie 그룹 형태는 대수적이지 않고₈ 충실한 유한차원 표현을 인정하지 않는다.

유한한 분야에 걸쳐, Lang-Steinberg의 정리는 H¹(k,E₈)=0을 의미하며, E는₈ 뒤틀린 형태가 없다는 것을 의미한다: 아래를 참조하라.

실제적이고 복잡한 리알헤브라와 리 그룹의 유한 치수 표현 문자는 모두 웨일 문자 공식에 의해 주어진다. 최소 불분명한 표현들의 치수는 다음과 같다(OEIS에서 순서 A121732).

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (twice), 12692520960…

248차원 표현은 부선 표현이다. 차원 8634368000에는 두 개의 비이형성 비이성적 비이성적 비이성적 비이성적 표현(단, 이 속성을 가진 다음 정수는 175898504162691260083299200000(OEIS의 순서 A181746)이 있다. 기본적인 표현은 치수가 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 및 147250(아래 카탄 행렬에 대해 선택한 순서에 따라 Dynkin 다이어그램의 8개 노드에 대응함, 즉 마지막 노드가 세 번째 노드에 연결되고 7개 노드 체인에 먼저 노드가 판독된다).

E의₈ 무한 치수 불가해한 표현을 위한 문자 공식의 계수는 George Lusztig와 David Kazhdan(1983)이 일반적으로 환원 그룹을 위해 도입한 Kazhdan-Lusztig 다항식의 아날로그인 Lusztig-Vogan 다항식으로 구성된 일부 큰 제곱 행렬에 따라 달라진다. Lusztig-Vogan 다항식 중 1의 값은 표준 표현(설명하기 쉬운 문자)과 관련된 행렬의 계수를 계산할 수 없다.

이 행렬들은 제프리 아담스가 이끄는 18명의 수학자와 컴퓨터 과학자들의 그룹과 Fokko du Cloux가 수행한 프로그래밍의 많은 부분이 4년 동안 협력한 후에 계산되었다. 가장 어려운 경우(예외 그룹의 경우)는 E의₈ 분할 실제 형태(위 참조)로, 가장 큰 매트릭스는 크기가 453060×453060이다. 다른 모든 예외적인 단순 그룹에 대한 Lusztig-Vogan 다항식들은 한동안 알려져 왔다. E의₈ 분할 형태에 대한 계산은 다른 어떤 경우보다 훨씬 길다. 2007년 3월의 결과 발표는, 그것을 연구하는 수학자들의 놀라움으로, 언론으로부터 비상한 관심을 받았다.

유한 분야에 걸친 E 그룹의₈ 표현은 Deligne-Lusztig 이론에 의해 제시된다.

시공

해당 e₈ Lie 대수학의 자동형 집단으로서 E₈ 집단의 (compact form)을 구성할 수 있다. 이 대수학에는 120차원 서브알지브라(16)가 있어 J가_ij 생성하는 128개의 새로운 발전기 Q는_a 물론 Weyl–Majorana Spinor로서 변환한다(16). 이러한 진술이 정류자를 결정한다.

$왼쪽[왼쪽]J_{ij},J_{k\ell }\right]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}-{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}}$

게다가

$왼쪽[왼쪽]J_{ij},Q_{a}\오른쪽]={\frac {1}{1}{4}\왼쪽(\gamma _{i}-\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i}\ri}\오른쪽)_{ab}Q_{b}}}}}}}}}$

스피너 발생기 사이의 나머지 정류자(anticommutators!가 아님)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \left[Q_{a},Q_{b}\right]=\gamma _{ac}^{i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}}$

그러면 자코비 정체성이 충족되는지 확인할 수 있다.

기하학

E의₈ 콤팩트한 실제 형태는 128차원 특출한 콤팩트 리만 대칭 공간 EVIII(카탄의 분류에서)의 등각도 그룹이다. 자신들과 함께 옥토니언의 텐서 생산물인 대수학을 이용해 만들 수 있고, 투사면의 통상적인 공리에는 따르지 않지만 로젠펠드 투사면으로도 알려져 있어 비공식적으로 '옥토콘티온 투사면'으로 알려져 있다. 이것은 한스 프로이덴탈과 자크 티츠 (Landsberg & Manivel 2001) 때문에 마법의 광장으로 알려진 구조를 사용하여 체계적으로 볼 수 있다.

E근계₈

r등급의 루트 체계는 r차원 유클리드 공간에 걸쳐 일정한 기하학적 특성을 만족시키는, 뿌리라고 불리는 벡터의 특정한 유한한 구성이다. 특히 루트 시스템은 어떤 루트에 수직인 하이퍼 평면을 통해 반사되는 동안 불변성이어야 한다.

E₈ 루트 시스템은 R에⁸ 걸쳐 있는 240개의 루트 벡터를 포함하는 8등급 루트 시스템이다. 계급이 작은 뿌리 체계로는 지을 수 없다는 점에서 돌이킬 수 없다. E의₈ 모든 루트 벡터는 길이가 같다. 길이가 √2인 것은 여러 가지 목적으로 정상화하는 것이 편리하다. 이 240 벡터는 1900년 소럴드 고셋이 발견한 반정규 폴리토프의 정점이며, 때로는₂₁ 4 폴리토프로 알려져 있다.

건설

소위 짝수 좌표계에서는 좌표가 모두 정수이거나 모두 반정수이고 좌표의 합이 짝수일 정도로 길이 제곱이 2인 R의⁸ 모든 벡터 집합으로 E가₈ 주어진다.

명시적으로, 112개의 루트가 있으며, 여기서 얻은 정수 입력이 있다.

${\displaystyle \left(\pm 1,\pm 1, 1,0,0,0,0,0\오른쪽)\,}$

임의의 기호 조합과 좌표 순열, 그리고 128 루트의 반만 입력된 루트를 취함으로써

${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)\,}$

짝수 수의 마이너스 부호를 취함(또는 동등하게, 모든 8개의 좌표의 합이 짝수여야 함) 모두 240개의 뿌리가 있다.

정수 항목이 있는 112루트는 D루트₈ 시스템을 형성한다. 또한₈ E 루트 시스템에는 E와₆₇ E뿐만 아니라 A₈(72루트를 가지고 있음)의 복사본도 포함되어 있다(사실, 후자는 일반적으로₈ E의 하위 집합으로 정의된다).

홀수 좌표계에서 E는₈ 짝수 좌표계에 뿌리를 내리고 어떤 좌표의 부호를 변경하여 주어진다. 정수 입력이 있는 루트는 같은 반면 반정수 입력이 있는 루트는 짝수보다는 홀수 수의 마이너스 부호가 있다.

딘킨 도표

E에₈ 대한 Dynkin 도표는 에 의해 제공된다.

이 도표는 뿌리 구조에 대한 간결한 시각적 요약을 제공한다. 이 다이어그램의 각 노드는 단순한 루트를 나타낸다. 두 개의 단순한 뿌리를 잇는 선은 그들이 서로 120°의 각도에 있다는 것을 나타낸다. 선으로 연결되지 않은 두 개의 단순한 뿌리가 직교한다.

카르탄 행렬

순위 r 루트 시스템의 카르탄 행렬은 단순한 루트로부터 항목이 파생된 r × r 행렬이다. 특히, 카르탄 행렬의 항목은 다음과 같다.

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {\frac(\alpha _{i}\alpha _{j}\right)}{\reft(\alpha _{i}\lapa _{i}\rig}\right)}}{\reft}}}}$

여기서 ( , )는 유클리드 내적 생산물이고 α는_i 단순한 뿌리다. 출품작은 단순 루트(순서에 따라 다름)의 선택과 무관하다.

E에₈ 대한 카르탄 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle \left는 경우에는{\begin{배열}{rr}2&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 2&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, -1&, 2&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, -1&, 2&, -1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, -1&, 2&, -1&, 0&, -1\\0&, 0&, 0&, 0&, -1&, 2&, -1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&-1&, 2&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, -1&, 0&, 0&, 2\end{배열}}\right 뻗는다.}$

이 행렬의 결정 인수는 1과 같다.

단순뿌리

뿌리계통 φ에 대한 단순한 뿌리 집합은 φ에 의해 확장되는 유클리드 공간의 기초를 이루는 뿌리의 집합으로, 각각의 뿌리는 모두 음성이거나 모두 양성이 아닌 이 기초에 관한 성분을 가지고 있다.

E₈ Cartan 행렬(위) 및 Dynkin 다이어그램 노드 순서 지정:

단순 루트의 한 가지 선택은 다음 행렬의 행에 의해 주어진다.

${\displaystyle \left는 경우에는{\begin{배열}{rr}1&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, -1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, -1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 1&, 0\\-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&심장;-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2}}\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, -1&, 0\\\end{배열}}\right 뻗는다.}$

웨일 그룹

E의₈ Weyl 그룹은 순서가 696729600이고, O⁺
₈(2)로 설명할 수 있다: 형태 2.G.2 (즉, 그룹 G에 의한 순서 2의 주기적 그룹에 의한 줄기 확장)이며, G는 순서 174182400 (PSΩ₈⁺(2)로 설명할 수 있다)^[3]의 고유한 단순 그룹이다.

E₈ 루트 격자

E₈ 루트 시스템의 적분 스팬은 자연적으로 E 루트₈ 격자라 불리는 R에서⁸ 격자를 형성한다. 이 격자는 16등급 이하인 유일한 짝수 격자(비격자)라는 점에서 오히려 주목할 만하다.

E의₈ 단순한 아발게브라

리 대수 E8은 수학과 물리학에 있어서 다른 많은 중요한 리 알제브라뿐만 아니라 모든 예외적인 리 알제브라들을 하위 알제브라로 포함하고 있다. 도표상의 Lie 대수학 높이는 대략 대수학 등급에 해당한다. 대수에서 더 낮은 대수까지의 선은 더 낮은 대수가 더 높은 대수의 하위 대수라는 것을 나타낸다.

E형₈ 체벌리 그룹

체발리(1955)는 q 원소를 가진 유한한 분야에 걸쳐 (분할) 대수군₈ E(위 참조)의 지점이 유한한 체발리 군을 형성하고, 일반적으로 쓰여진 E₈(q)를 형성하며, 이는 어떤 q에 대해서도 단순하며,^[4][5] 유한 단순군 분류에 의해 어드레스되는 무한가족 중 하나를 구성한다는 것을 보여주었다. 원소의 개수는 공식(OEIS에서 순차 A008868)에 의해 주어진다.

${\displaystyle q^{120}\left(q^{30}-1\right)\left(q^{24}-1\right)\left(q^{20}-1\right)\left(q^{18}-1\right)\left(q^{14}-1\right)\left(q^{12}-1\right)\left(q^{8}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$

이 시퀀스의 첫 번째 용어 E₈(2)는 이미 몬스터 그룹의 크기, 즉 33780475314363480613881906140855950799922465157909906800000 3.38×10보다⁷⁴ 크다. 이 그룹 E₈(2)는 유한 그룹의 ATLAS에서 (문자표는 없지만) 설명한 마지막 그룹이다.^[6]

E₈(q)의 슈르 승수는 사소한 것이며, 그것의 외부 자동모형 집단은 필드 자동화의 그것(즉, q=p가^f prime인 경우 순서 f의 순환)이다.

Lusztig(1979)는 타입 E의₈ 유한집단의 전능하지 못한 표현을 기술했다.

부분군

더 작은 예외₆ 그룹 E와₇ E는 E 안에₈ 있다. 콤팩트 그룹에서 E₇×SU(2)/(-1,-1)와 E₆×SU(3)/(Z/3Z)는 모두 E의₈ 최대 하위 그룹이다.

E의₈ 248차원 부호 표현은 이러한 부분군 중 첫 번째 부분군에 대한 제한된 표현 측면에서 고려될 수 있다. 그것은 (3.1) + (1,133) + (2,56)로 치수 쌍으로 라벨을 표시할 수 있는 텐서 제품 표현의 합으로 E₇×SU(2)에 따라 변환된다(제품에 인수가 있기 때문에, 이러한 표기들은 극소수(Lie 대수) 표현을 나타내는 것으로 엄격히 간주될 수 있다. 부선 표현은 뿌리에 의해 Cartan subalgebra에 있는 생성자들과 함께 설명될 수 있기 때문에, 우리는 이것들을 보면 부패를 볼 수 있을 것이다. 이 설명에서,

• (3)은 루트(0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1)와 마지막 치수에 해당하는 카르탄 발생기로 구성된다.
• (1,62)는 (1,1), (-1,-1), (0,0), (-)를 가진 모든 루트로 구성된다.처음 7차원에 해당하는 카르탄 발생기와 함께 마지막 2차원의 ½,-½ 또는 (½ ½),
• (2,56)는 마지막 두 치수에서 (1,0), (-1,0) 또는 (1/2,-/1/2)의 순열을 가진 모든 루트로 구성된다.

E의₈ 248차원 부호 표현은 유사하게 제한될 경우 E₆×SU(3)에 따라 다음과 같이 변환된다. (8,1) + (1,78) + (3,27) + (3,27) + (3,27) + (3,27) 우리는 다시 카르탄 아말게브라에 있는 발전기들과 함께 뿌리를 살펴봄으로써 부패를 볼 수 있을 것이다. 이 설명에서,

• (8,1) 마지막 3차원에서 (1,-1,0)의 순열을 갖는 뿌리와 마지막 2차원에 해당하는 카르탄 발생기로 구성된다.
• (1,78)는 마지막 3차원에서 (0,0,0), (-1/4), (-1/2), (1/2), (1/2), (1/2), 처음 6차원에 해당하는 카르탄 발생기와 함께 모든 루트로 구성된다.
• (3,27)는 마지막 3차원에서 (1,0,0), (1,0) 또는 (-1,0)의 순열을 가진 모든 루트로 구성된다.
• (3,27)는 마지막 3차원에서 순열(-1,0,0), (-1,-1,0) 또는 (½,- 1/2,-/1/2)의 모든 루트로 구성된다.

(E의₈ 콤팩트한 형태) E에 내장할 수 있는 유한한 퀘이시 구현 집단은 그리이스 앤 라이바(1999년)에 의해 발견되었다.

Dempwolff 그룹은 E의₈ 하위 그룹이다. 그것은 Rie 그룹 E의₈ 기저 벡터 공간에 작용하지만 Lie 브라켓을 보존하지 않는 Thompson 산발적인 그룹에 포함되어 있다. 톰슨 그룹은 격자를 수리하고 이 격자모드 3의 Lie Bracket을 보존하여 톰슨 그룹을 E₈(F₃)에 내장시킨다.

적용들

E₈ Lie 그룹은 이론 물리학, 특히 끈 이론과 초중력 분야에 응용이 있다. E₈×E는₈ 두 종류의 이성질 문자열 중 하나의 게이지 그룹이며, 10차원 N = 1 초중력과 결합할 수 있는 두 가지 이상 없는 게이지 그룹 중 하나이다. E는₈ 8토러스(분할 형태로)에 있는 초중력의 U-이중성 그룹이다.

입자물리학의 표준 모델을 이성질 끈 이론에 통합하는 한 가지 방법은 E의₈ 최대 아발자국 SU(3)×E에₆ 대한 대칭 파괴다.

1982년, 마이클 프리드먼은 위상학적으로 4-매니폴드인 E₈ 다지관의 예를 만들기 위해₈ E 격자를 사용했는데, 이 다지관은 부드러운 구조가 없다.

안토니우스 개럿 리시의 불완전한 "유별나게 간단한 모든 것의 이론"은 물리학의₈ 알려진 모든 근본적인 상호작용을 E Lie 대수학의 일부로 묘사하려고 시도한다.^[7][8]

R. Coldea, D. A. 테넌트, 그리고 E. M. 휠러 외 연구진(2010년)은 자몰로치코프(1989년)가 예측한 E 관련₈ 8개 봉우리 중 2개를 특정 조건에서 보여주는 실험을 보고했다.^[9][10]

역사

빌헬름 킬링(Wilhelm Killing, 1888a, 1888b, 1889년, 1890년)은 간단한 콤팩트 리알헤브라를 분류하는 동안 복잡한 리 대수₈ E를 발견했는데, 이 사실은 엘리 카르탄이 처음 보여주었다. 카르탄은 E타입의₈ 복잡한 간단한 리 대수학은 세 가지 실제 형태를 인정한다고 판단했다. 그들 각각은 치수 248의 단순한 Lie 그룹을 낳는데, 정확히 그 중 하나(모든 복잡한 단순 Lie 대수학에서)는 콤팩트하다. 체발리(1955)는 다른 분야보다 대수집단과 E형의₈ 리알헤브라를 도입했는데, 예를 들어 유한한 분야의 경우 리 유형의 유한한 단순집단의 무한가족으로 이어진다.

참고 항목

• E_n

메모들

참조

• Adams, J. Frank (1996), Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422
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• Chevalley, Claude (1955), "Sur certains groupes simples", The Tohoku Mathematical Journal, Second Series, 7: 14–66, doi:10.2748/tmj/1178245104, ISSN 0040-8735, MR 0073602
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외부 링크

루슈티그-보간 다항식 계산

• Atlas of Lie 그룹
• E를₈ 위한 Kazhdan-Lusztig-Vogan 다항식
• E용₈ Kazhdan-Lusztig Polyomials 계산 프로젝트 설명
• American Institute of Mathematics (March 2007), Mathematicians Map E₈
• 존 배즈가 E에₈ 올린 텍사스 대학의 블로그인 n-Category Cafe.

기타 링크

• E₈ 루트 시스템의 그래픽 표현.
• E의₈ 복잡한 형태에 대한 되돌릴 수 없는 표현의 치수 목록은 OEIS의 시퀀스 A121732이다.