이코시트리곤

일반 이코시트리곤
일반 이코시트리곤
유형	정규 다각형
모서리 및 정점	23
슐레플리 기호	{23}
콕시터-딘킨 도표
대칭군	디헤드랄(D23), 2×23 주문
내부 각도(도)	≈164.348°
특성.	볼록, 주기, 등변, 이등변, 동위원소

기하학에서 이코시트리곤(또는 이코시카이트리곤) 또는 23곤은 23면 다각형이다. 이코시트리곤은 신구성이 없는 가장 작은 일반 폴리곤이라는 구별을 가지고 있다.

일반 이코시트리곤

일반 아이코시트리곤은 슐레플리 기호 {23}로 표현된다.

A regular icositrigon has internal angles of ${\textstyle {\frac {3780}{23}}}$ degrees, with an area of ${\textstyle A={\frac {23}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{23}}=23r^{2}\tan {\frac {\pi }{23}}\simeq 41.8344\,a^{2},}$ where ${\display$$스타일 a}$은(는) 측면 길이$,$ $r{\displaystyle }$ {\$displaystyle r}$은(는) inradius 또는 apothem이다.

규칙적인 아이코시트리곤은 숫자 23이 페르마도 피에르폰트 프라임도 아니기 때문에 나침반과 직선 또는 각도 트라이제이션으로 구성될 수 없다.^[1] 또 일반 이코시트리곤은 네우시스로도 시공할 수 없는 가장 작은 일반 폴리곤이다.

A. 바라가르(2002)는 일반 아이코시트리곤의 비구축성과 관련하여 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$와 같은$$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 이상의 필드 타워에 해당 방법으로 구성할 수 있는 모든 점이 있다는 것을 입증함으로써 나침반과 두 번 노트의 직선 에지만을 사용하여 정규 23곤을 구축할 수 없음을 보여주었다.${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$⊂ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$= K ${\displaystyle \mathb$ {$Q} = K_{0}\subset K_{1}\subset$K_{n}\$dots$\subset K_{n$}=K$ 각 단계의 확장 정도가 2, 3, 5, 6인 중첩된 필드의 순서다.

$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$alpha }$의 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \$mathb {C}$이(가$)$ 나침반과 두 번 노팅된 직선 모서리를 사용하여 구성할 수 있다고$$ 가정하십시오. Then ${\displaystyle \alpha }$ belongs to a field ${\displaystyle K}$ that lies in a tower of fields ${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K}$ for which the index ${\displaystyle [K_{j}:$각$$ $단계에서 K_${j-1$}}$은(는) 2, 3, 5, 6이다. 특히 $N{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle K\mathbb{}}$: Q ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ N$=[K:\mathb {Q}$ $]\}$인 경우 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$을(를) 나누는 유일한 소수점은 2, 3, 5이다$$.(Theorem 5.1)

If we can construct the regular p-gon, then we can construct ${\displaystyle \zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}}$, which is the root of an irreducible polynomial of degree ${\displaystyle p-1}$. By Theorem 5.1, ${\displaystyle \zeta _{p}}$ lies in a field ${\displaystyle K}$ of degre$E{\displaystyle }$ ${\$displaystyle N}을(를) Q {\$displaystyle$ \mathb ${Q}$에 $걸쳐서{\displaystyle }$$$N {\$displaystyle$$$N}을(를$)$ 나누는 유일한 프리타임은 2, 3, 5이다$.$ But ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{p}]}$ is a subfield of ${\displaystyle K}$, so ${\displaystyle p-1}$ divides ${\displaystyle N}$. In particular, for ${\displaystyle p=23}$, ${\displaystyle N}$ must be divisible by 11, and for ${\displaystyle p=29}$, N must 7로 ^[2]나누다

이 결과는 100곤 이하에서 프라임파워 일반 다각형을 고려할 때 뉴시스가 있는 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 89-곤을 건설하는 것이 불가능하다는 것을 입증한다. 그러나 11-, 25-, 31-, 41-, 61-gon의 경우를 결정하기에는 충분하지 않다. 엘리엇 벤자민과 칩 스나이더는 2014년 일반 헨데카곤(11곤)이 신구성이 가능하다는 것을 발견했고, 나머지 사례는 아직 공개돼 있다.^[3]

이코시트리곤 역시 종이접기를 할 수 있는 것은 아니다. 왜냐하면 23은 피에르폰트 전성기가 아니며, 2-3의 힘도 아니기 때문이다.^[4] 이것은 히피아의 쿼드라트릭스, 아르키메데스 나선, 그리고 다른 보조 곡선을 사용하여 건설될 수 있다. 그러나 이것은 모든 일반 다각형에 적용된다.^[5]

관련숫자

아래는 각각의 Schléfli 기호 {23/q}, 2 ≤ q ≤ 11과 함께 라벨을 붙인 10개의 정규 아이코시트리그램 또는 항성 23-곤으로 구성된 표이다.

{23/2}	{23/3}	{23/4}	{23/5}	{23/6}
{23/7}	{23/8}	{23/9}	{23/10}	{23/11}

참조

외부 링크

• 일반 폴리곤의 흥미로운 특성 자동 검출