600셀

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600셀
정점 중심의 슐레겔 다이어그램 (vertices 및 가장자리)
유형	볼록 정칙 4-폴리토프
슐레플리 기호	{3,3,5}
콕서터 다이어그램
세포	600 ({3,3})
얼굴	1200 {3}
가장자리	720
꼭짓점	120
꼭짓점 도형	정이십면체
페트리 다각형	30곤
콕서터군	H4, [3,3,5], order 14400
듀얼	120셀
특성.	볼록, 등각, 등각, 등각
균일지수	35

기하학에서 600개의 셀은 슐레플리 기호가 {3,3,5}인 볼록 정규 4-폴리토프(플라톤 입체의 4차원 유사체)입니다. C₆₀₀, 헥사코시코론^[1], 헥사코시코로이드로도 알려져 있습니다.^[2] 사면체(tetraflex, "tetrahedron complex"에서 약칭)와 다면체(polytetrahedron)라고도 불리며, 사면체 세포에 의해 경계지어집니다.

600개의 셀의 경계는 각 꼭지점에서 20개가 만나는 600개의 사면체 셀로 구성되어 있습니다.^[a] 그것들은 함께 1200개의 삼각형 면, 720개의 가장자리, 120개의 꼭지점을 형성합니다. 이십면체가 꼭짓점마다 5개의 삼각형이 만나는 것처럼, 모든 모서리에 5개의 사면체가 만나는 것이기 때문에 이십면체의 4차원 유사체입니다.^[b] 이중 폴리토프는 120셀입니다.

기하학.

600개의 셀은 6개의 볼록한 규칙적인 4-폴리토프의 순서 중 다섯 번째입니다(같은 반경에서 복잡성과 크기 순).^[c] 24-셀은 이전 테서랙트(8-셀)의 3개의 중첩 인스턴스로, 8-셀은 이전 16-셀의 2개의 중첩 인스턴스로 분해될 수 있기 때문에 바로 이전 24-셀의 25개의 중첩 인스턴스로 분해될 수 있습니다.^[4][5]

이전 인스턴스에서 이들 각각을 구성하는 역순서는 이전 인스턴스의 반경을 보존하지만 일반적으로 에지 길이가 더 작은 후속자를 생성합니다.^[d] 24셀의 가장자리 길이는 반지름과 같지만 600셀의 가장자리 길이는 반지름의 ~0.618배로 ^{[citation needed]}황금비율입니다.

일반 볼록 4-폴리토페
대칭군	가4.	나4.		F4	아4
이름.	5셀 초사면체 5점짜리	16셀 초팔면체 8점짜리	8셀 하이퍼큐브 16점짜리	24셀 24점짜리	600셀 초이십면체 120점	120셀 초십이면체 600점짜리
슐레플리 기호	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
콕서터 거울
거울다이어럴	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
그래프
꼭짓점	5 사면체	팔면체 8개	16 사면체	24입방형	120 정이십면체	600 사면체
가장자리	10삼각형	24제곱	32 삼각형	96 삼각형	720 오각형	1200 삼각형
얼굴	삼각형 10개	삼각형 32개	24제곱	96삼각형	1200개의 삼각형	720 오각형
세포	4면체 5개	16 사면체	정육면체 8개	24 octahedra	600개의 사면체	십이지장 120개
토리	15 tetra의 다면체	28 tetra의 다면체	24큐브	46팔면체	2030-tetra 다면체	12 dod 정면체
내접	120인치(120-cell)	675(120셀)	16셀 2개	38셀	24셀 25개	600셀 10개
대다각형		2제곱 x 3	직사각형 4개 x 4개	4 hexagons x 4	12 데카곤 x 6	불규칙 육각형 100개 x 4
페트리다각형	1 오각형 x 2	1 팔각형 x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
장반경	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
가장자리 길이	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi}}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}\approx 0.270}$
짧은 반지름	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}\approx 0.926}$
지역	${\displaystyle 10\left ({\tfrac {5{\sqrt {3}}{8}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left ({\sqrt {\tfrac {3}{4}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left ({\sqrt {\tfrac {3}{16}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left ({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left ({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}{8\phi ^{4}}\right)\approx 90.366}$
용량	${\displaystyle 5\left ({\tfrac {5{\sqrt {5}}{24}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left ({\tfrac {1}{3}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left ({\tfrac {\sqrt {2}}{3}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left ({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left ({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}\right)\approx 18.118}$
4-내용	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}{24}\left ({\tfrac {\sqrt {5}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text}Short}}\times {\text{Vol}}{4}\약 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text}Short}}\times {\text{Vol}}{4}\약 4.193}$

좌표

단위반지름 직각좌표

길이가 1/φ ≈ 0.618(여기서 φ = 1 + √ 5/2 ≈ 1.618은 황금 비율)인 4-공간의 원점을 중심으로 하는 단위 반경 600-셀의 정점은 다음과 같이 주어질 수 있습니다.

에서 얻은 8개의 꼭짓점

(0, 0, 0, ±1)

좌표를 순열하고 형태의 16개 꼭짓점을 지정합니다.

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

나머지 96개의 꼭짓점은 다음의 짝수 순열을 취함으로써 얻어집니다.

(±φ/2, ±1/2, ±φ⁻¹/2, 0)

첫 번째 8개는 16개 셀의 꼭짓점이고, 두 번째 16개는 테서랙트의 꼭짓점이며, 이 24개의 꼭짓점은 모두 24개 셀의 꼭짓점입니다. 나머지 96개의 꼭짓점은 스너브 24-셀의 꼭짓점으로, 다른 24-셀의 96개의 가장자리를 황금비로 일관되게 분할하여 찾을 수 있습니다.^[7]

쿼터니언으로 해석하면 ^[e]유니코시안입니다.

24개의 셀에는 큰 원 위에 있는 정사각형, 육각형, 삼각형이 있습니다(네 개 또는 여섯 개의 꼭짓점을 통해 중앙 평면에 있습니다).^[f] 600개의 셀에는 25개의 중첩된 내접된 24개의 셀이 있으며, 각 꼭지점과 정사각형은 5개의 24개의 셀이 공유하고, 각 육각형이나 삼각형은 2개의 24개의 셀이 공유합니다.^[h] 각 24개의 셀에는 3개의 분리된 16개의 셀이 있으므로 600개의 셀에는 75개의 중첩된 내접된 16개의 셀이 있습니다.^[i] 각 16개 셀은 좌표 기준 프레임을 선택하기 위한 고유한 정규 기준을 구성합니다.

600셀의 60축과 75개의 16셀은 기하학적 구성을 구성하는데, 구성 언어로 6075로₅₄ 쓰여 각 축이 5개의 16셀에 속하며, 각 16셀은 4개의 축을 포함하고 있음을 나타냅니다.^[8] 각 축은 정확히 15개의 다른 축과 직교하며, 이 축이 발생하는 5개의 16개의 세포에서 그 동반자일 뿐입니다.

호프 구면좌표

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600개의 셀에는 거대한 원 오각형과 데카곤(10개의 꼭짓점을 통과하는 중앙 평면)도 있습니다.^[n]

데카곤 가장자리만 600 셀의 눈에 보이는 요소입니다(600 셀의 가장자리이기 때문입니다). 다른 대원 다각형의 가장자리는 600셀의 내부 화음으로, 이 글의 600셀 렌더링에는 표시되지 않습니다(점선으로 표시된 경우 제외).

대칭에 의해 각 꼭짓점에는 같은 수의 각 종류의 다각형이 지나가기 때문에 데카곤, 육각형, 오각형, 사각형 또는 삼각형 중 한 종류의 중심 다각형 집합의 교차점으로 120개의 꼭짓점을 모두 설명할 수 있습니다. 예를 들어, 120개의 꼭짓점은 어떤 꼭짓점도 공유하지 않는 15개의 완전 직교^[p] 사각형 쌍의 꼭짓점이거나, 모든 축 쌍이 직교하는 100개의 비직교 육각형 쌍 또는 각 꼭짓점에서 교차하는 144개의 비직교 오각형 쌍으로 볼 수 있습니다. 600 셀의 후자의 오각형 대칭은 다음과 같이 주어진 Hopf 좌표 집합(𝜉, 𝜂, 𝜉)에 의해 캡처됩니다.

({<10}𝜋/5, {≤5}𝜋/10, {<10}𝜋/5)

여기서 {<10}은 10자리(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)의 순열이고 {≤5}는 6자리(0 1 2 3 4 5)의 순열입니다. 𝜉와 𝜉 좌표는 대원 십각형의 10개 꼭짓점에 걸쳐 있습니다. 짝수와 홀수 숫자는 각 십각형에 새겨진 두 대원 오각형의 꼭짓점을 표시합니다.

구조.

다면체 단면

외접 초구의 호(arc)도로 측정한 꼭짓점의 상호 거리는 36° = 𝜋/5, 60° = 𝜋/3, 72° = 2 𝜋/5, 90° = 𝜋/2, 108° = 3 𝜋/5, 120° = 2 𝜋/3, 144° = 4 𝜋/5, 180° = 𝜋입니다. 임의의 꼭짓점 V에서 출발하여 이십면체의 12개 꼭짓점을 36°와 144°에 두고, 60°와 120°에서 십이면체의 20개 꼭짓점, 72°와 108°에서 더 큰 이십면체의 12개 꼭짓점, 90°에서 이십면체의 30개 꼭짓점, 그리고 마지막으로 180°에서 V의 대척점.^[12][13][14] 이는 겹치는 정점이 색상으로 표시된 H3 콕서터 평면 투영에서 볼 수 있습니다.^[15]

이 다면체 섹션은 3차원이라는 의미에서 고체이지만, 물론 모든 꼭짓점은 600셀의 표면에 놓여 있습니다(고체가 아닌 속이 비어 있습니다). 각 다면체는 600셀(초평면)을 통해 평행한 단면으로 유클리드 4차원 공간에 놓여 있습니다. 600 셀의 경계면 외피의 휘어진 3차원 공간에서 다면체는 자신의 중심을 둘러싸는 방식으로 꼭짓점 V를 둘러싸고 있습니다. 그러나 그 자체의 중심은 표면이 아닌 600개의 세포 내부에 있습니다. V는 실제로 다면체의 중심에 있지 않습니다. 왜냐하면 V는 4차원의 초평면에서 600셀의 표면으로 바깥쪽으로 변위되기 때문입니다. 따라서 V는 다면체를 기준으로 한 4-피라미드의 꼭짓점입니다.

동심원 선체
	600 셀은 정규 표준 기준을 사용하여 3D로 투영됩니다. 정점은 3D 표준에 따라 정렬되고 집계됩니다. 점점 더 투명해지는 각 표준 세트의 선체를 생성하면 다음과 같이 표시됩니다. 1) 원점에서 두 점 2) 두 개의 아이코셰드라 3) 십이지장 두 개 4) 두 개의 더 큰 아이코샤데라 5) 단 한 개의 정십면체 총 120개의 꼭짓점에 대해. 이것은 모든 원점 정점에서 보는 뷰입니다. 600개의 셀에는 60개의 서로 다른 동심원 선체 세트가 포함되어 있으며, 하나는 각 쌍의 대척점을 중심으로 합니다.

골든 코드

120개의 꼭짓점은 서로 8개의 다른 코드 길이로 분포되어^[16] 있습니다. 이 600개의 세포의 가장자리와 화음은 단순히 다섯 개의 위대한 원 다각형의 가장자리와 화음입니다.^[17] In ascending order of length, they are √0.𝚫, √1, √1.𝚫, √2, √2.𝚽, √3, √3.𝚽, and √4.^[x]

24개 세포의 4개의 과입방 화음(√ 1, √ 2, √ 3, √ 4)은 600개 세포의 추가적인 위대한 원의 4개의 새로운 화음, 데카곤 및 오각형과 교대합니다. 새로운 황금화음 길이는 반드시 분수의 제곱근이지만, 그림과 같이 √ 5의 두 황금 부분을 포함한 황금비율과 관련된 매우 특별한 분수입니다.

경계 봉투

600개의 셀은 24개의 셀의 기존의 24개의 정점들 사이에 96개의 정점들을 더함으로써 24개의 셀을 반올림하고,^[z] 사실상 600개의 셀에 새겨진 24개의 중첩된 24개의 셀들을 더함으로써 24개의 셀들을 반올림합니다.^[i] 이렇게 형성된 새로운 표면은 더 작고 더 많은 세포와 면의 테셀레이션입니다: 가장자리 길이 1의 팔면체 대신 가장자리 길이 1/φ ≈ 0.618의 사면체. 이것은 24개 세포의 √ 1 가장자리를 감싸는데, 이것은 √ 2 및 √ 3 코드처럼 600개 세포에서 보이지 않는 내부 코드가 됩니다.

정사면체는 정삼각형보다 짧은 삼각형 모서리로 이루어져 있기 때문에 (역황금비의 1배인), 단위 반경 좌표계에서 24개의 세포와 테서랙트가 하는 것처럼 600개의 세포는 단위 반경 좌표계에서 단위 모서리 길이를 갖지 않습니다. 그들처럼 그것은 특별한 방식으로 방사형 삼각형이지만 ^[ae]정삼각형이 아닌 황금 삼각형이 중심에서 만나는 삼각형입니다.^[w]

600개의 작은 사면체 세포의 경계 외피는 24개의 팔면체 세포의 25개의 외피를 둘러싸고 있습니다(이 곡선의 3차원 외피 사이의 장소에 일부 4차원 공간을 추가함). 그 인터스티스의 모양은 팔면체 모양의 4-피라미드가 틀림없지만, 600-셀에서는 규칙적이지 않습니다.^[ag]

측지학

600셀의 꼭짓점 화음은 데카곤, 육각형, 오각형, 사각형, 삼각형 등 다섯 종류의 측지 대원 다각형으로 배열되어 있습니다.^[20]

√ 0.𝚫 = 𝚽 가장자리는 72개의 평평한 규칙적인 중앙 데카곤을 형성하며, 그 중 6개는 각 꼭지점에서 교차합니다. 정이십면체를 6개의 중심 십각형(60개의 모서리 = 6 × 10)으로 분할할 수 있는 것처럼, 600개의 셀을 72개의 십각형(720개의 모서리 = 72 × 10)으로 분할할 수 있습니다. 720 √ 0.𝚫 모서리는 표면을 1200개의 삼각형 면과 600개의 사면체 셀, 즉 600개의 셀로 나뉩니다. 720개의 가장자리는 360개의 평행한 쌍, √ 3.𝚽 떨어져 있습니다. 십각형과 정이십면체에서와 마찬가지로 모서리는 폴리토프의 중심에서 만나는 황금 삼각형에서^[af] 발생합니다.^[w] 72개의 대 데카곤은 6개의 12개의 비교차 클리포드 평행 측지선으로 나눌 수 있는데,^[ak] 각 집합에서 하나의 십각형 대 원만 각 꼭짓점을 통과하고, 각 집합에서 12개의 데카곤은 120개의 꼭짓점에 모두 도달합니다.^[22]

√ 1 코드는 200개의 중심 육각형(25개의 16개 세트, 각 육각형은 2개 세트)을 형성하며, 그 중 10개는 각 꼭지점에서 교차합니다(꼭지점에서 만나는 5개의 24개 셀 각각에서 4개, 각 육각형은 해당 24개 셀 중 2개에 있습니다). 16개의 육각형으로 구성된 각 세트는 중첩된 25개의 내접된 24개의 셀 중 하나의 96개의 가장자리와 24개의 꼭지점으로 구성됩니다. √ 1 코드는 2개의 √ 0인 정점을 결합합니다.𝚫 가장자리가 떨어져 있습니다. 각 √ 1 코드는 면 결합된 사면체 세포 쌍(삼각형 바이피라미드)의 장경이며, 공유 면의 중심을 통과합니다. 1200개의 면이 있기 때문에 1200개의 √ 1 코드, 600개의 평행한 쌍, 3개의 √가 떨어져 있습니다. 육각 평면은 직교하지 않지만(60도 간격) 하나의 육각형의 모든 3축이 이중의 모든 3축과 직교하는 100개의 이중 쌍으로 발생합니다.^[23] 200개의 거대 육각형은 교차하지 않는 20개의 클리포드 평행 측지선으로 10개의 세트로 나눌 수 있는데, 각 세트에서 하나의 육각형 대원만 각 꼭짓점을 통과하고, 각 세트에서 20개의 육각형은 120개의 꼭짓점에 모두 도달합니다.^[24]

√ 1. 𝚫 코드는 144개의 중심 오각형을 형성하며, 그 중 6개는 각 꼭지점에서 교차합니다. √ 1. 𝚫 코드는 72 데카곤과 동일한 평면에서 매초 꼭짓점에서 꼭짓점으로 이어집니다. 각 데카곤에는 두 개의 오각형이 새겨져 있습니다. √ 1.𝚫 코드는 2개의 √ 0인 정점을 결합합니다.𝚫 측지형 대원 위에 가장자리가 떨어져 있습니다. 720 √ 1.𝚫 코드는 360개의 병렬 쌍으로 발생하며, √ 2. 𝚽 = φ 떨어져 있습니다.

√ 2 코드는 450개의 중앙 사각형을 형성하며, 그 중 15개는 각 꼭지점에서 교차합니다(꼭지점에서 만나는 5개의 24개 셀 각각에서 3개씩). √ 2 코드는 3개의 √ 0인 정점을 결합합니다.𝚫 가장자리가 떨어져 있습니다(그리고 두 개의 √ 1 코드가 떨어져 있습니다). 600개의 √ 2 코드가 있으며, 300개의 병렬 쌍으로 √ 2가 떨어져 있습니다. 450개의 큰 사각형(225개의 완전 직교^[p] 쌍)은 30개의 비교차 클리포드 평행 측지선으로 구성된 15개의 세트로 나눌 수 있으며, 각 세트에서 하나의 정사각형 큰 원만 각 꼭짓점을 통과하고, 각 세트의 30개의 정사각형(15개의 완전 직교 쌍)은 120개의 꼭짓점에 모두 도달합니다.^[25]

√ 2.𝚽 = φ 코드는 중심 이등변삼각형 720개(각 십각형에 새겨진 10개씩 72세트)의 다리를 형성하며, 이 중 6개는 각 꼭지점에서 교차합니다. 각 이등변 삼각형의 세 번째 모서리(베이스)는 길이가 √ 3.𝚽. √ 2.𝚽 코드는 72 데카곤과 동일한 평면에서 정점에서 3분의 1의 정점으로 실행되며 3개의 √ 0인 정점을 연결합니다.𝚫 측지형 대원 위에 가장자리가 떨어져 있습니다. 720개의 다른 √ 2가 있습니다.𝚽 코드, 360개의 평행한 쌍으로, √ 1. 𝚫가 떨어져 있습니다.

√ 3 코드는 400개의 정삼각형 중앙 삼각형(25개의 32개 세트, 각 삼각형은 2개 세트)을 형성하며, 그 중 10개는 각 꼭지점에서 교차합니다(5개의 24개의 24개의 셀 각각에서 4개, 각 삼각형은 24개의 셀 중 2개의 셀에서). 32개의 삼각형으로 구성된 각 세트는 96개의 √ 3화음과 25개의 중첩된 내접 24셀 중 하나의 꼭지점 24개로 구성됩니다. √ 3 코드는 200개의 육각형과 동일한 평면에서 정점에서 매초 정점까지 이어집니다. 각 육각형에는 두 개의 삼각형이 새겨져 있습니다. √ 3 코드는 4개의 √ 0인 정점을 결합합니다.𝚫 가장자리가 떨어져 있습니다(그리고 두 개의 √ 1 코드는 측지선 대원에서 떨어져 있습니다). 각 √ 3 코드는 동일한 24-셀에 있는 두 개의 입방 셀의 긴 직경입니다. 1200개의 √ 3 코드가 있으며, 600개의 병렬 쌍으로 √ 1이 떨어져 있습니다.

√ 3.𝚽화음(오각형의 대각선)은 720개의 중심이등변삼각형(각 오각형에 5개씩 새겨진 144세트)의 다리를 형성하며, 이 중 6개는 각 꼭지점에서 교차합니다. 각 이등변 삼각형의 세 번째 모서리(베이스)는 길이가 √ 1.𝚫의 오각형의 모서리이므로 황금 삼각형입니다. √ 3.𝚽 코드는 72 데카곤과 동일한 평면에서 정점에서 매 4/4 정점으로 실행되며, 4개의 √ 0인 정점을 연결합니다.𝚫 측지형 대원 위에 가장자리가 떨어져 있습니다. 720개의 구별된 √ 3이 있습니다.𝚽 코드, 360개의 평행한 쌍으로, √ 0.𝚫 떨어져 있습니다.

√ 4 화음은 60개의 장경(각각 16개의 셀로 구성된 4개의 직교 축으로 구성된 75개의 세트)으로 발생하며, 이는 600개의 셀의 120개의 장경 반지름입니다. √ 4 코드는 5개의 √ 0인 서로 반대되는 꼭지점을 연결합니다.𝚫 측지형 대원 위에 가장자리가 떨어져 있습니다. 직경 12개의 뚜렷하지만 중복되는 25개의 세트가 있으며, 각각은 25개의 내접된 24개의 셀 중 하나로 구성되어 있습니다.^[m] 4개의 직교 직경으로 구성된 75개의 구별되지만 중복되는 세트가 있으며, 각각은 75개의 내접된 16개의 셀 중 하나로 구성됩니다.

600개의 셀로 이루어진 이 모든 구별된 코드의 길이의 제곱의 합은 14,400 = 120입니다. 이것들은 모두 꼭짓점을 통과하는 중심 다각형이지만, 600개의 셀은 어떤 꼭짓점도 통과하지 않는 하나의 주목할 만한 거대한 원을 가지고 있습니다.^[as] 또한 4-공간에는 중앙 평면에 전혀 놓여 있지 않은 3-구에 측지선이 있습니다. 단순한 원형이 아닌 나선형인 두 개의 600 셀 꼭지점 사이에는 지오데식 최단 경로가 있습니다. 단순한 회전이 아닌 등사선(대각형) 회전에 해당합니다.^[at]

위에서 열거한 모든 측지 다각형은 회전 각도를 특징으로 하는 세 가지 종류의 중앙 평면에 놓여 있습니다: 십각형 평면(𝜋/5개 떨어져 있음), 육각형 평면(𝜋/3개 떨어져 있음, 25개의 내접된 24개의 셀에도 있음), 정사각형 평면(𝜋/2개 떨어져 있음, 75개의 내접된 16개의 셀과 24개의 셀에도 있음). 600 셀의 이러한 중심면은 각각 정십면체를 형성하는 4개의 직교 중심 초평면(3-공간)으로 분할될 수 있습니다. 90도 간격의 450개의 거대 사각형, 60도 간격의 200개의 거대 육각형, 36도 간격의 72개의 거대 십각형이 있습니다.^[ay] 각각의 거대한 정사각형 평면은 또 다른 거대한 정사각형 평면과 완전히 직교합니다^[p]. 각각의 위대한 육각형 평면은 오직 두 개의 꼭짓점(하나의 √ 4 장경)과 교차하는 평면, 즉 위대한 이각형 평면과 완전히 직교합니다. 각각의 위대한 십각형 평면은 어떤 정점도 교차하지 않는 평면, 즉 위대한 0각형 평면과 완전히 직교합니다.^[aq]

대원 다각형의 섬유화

유사한 대원 다각형(사각형 또는 육각형 또는 데카곤)의 각 집합은 교차하지 않는 클리포드 평행 대원(30개의 사각형 또는 20개의 육각형 또는 12개의 데카곤)의 묶음으로 나눌 수 있습니다.^[ak] Clifford 평행 대원의^[au] 각 섬유 번들은 600 셀을 채우는 개별 Hopf 섬유이며, 단 한 번만 120개의 정점을 모두 방문합니다.^[30] 각 이산 Hopf 섬유에는 3차원 기저가 있으며, 이는 섬유의 맵 또는 축척 모델 역할을 하는 별개의 다면체입니다.^[ba] 각각의 묶음에 있는 거대한 원 다각형들은 서로를 둘러싸고 나선형이며, 서로에게 둥지를 틀고 있는 얼굴 결합 세포의 나선형 고리를 묘사하고, 어떤 세포에서도 교차하지 않고 서로를 통과하며 600개의 세포를 그들의 분리된 세포 집합으로 정확하게 채웁니다. 세포 고리가 있는 서로 다른 섬유 다발은 각각 동일한 공간(600개의 세포)을 채우지만 섬유는 서로 다른 "방향"으로 클리포드를 병렬로 실행합니다. 서로 다른 섬유의 거대한 원 다각형은 클리포드 병렬이 아닙니다.^[31]

데카곤

600개의 세포의 섬유화는 72개의 거대 데카곤 중 6개의 섬유화, 12개의 거대 데카곤 중 6개의 섬유 다발을 포함합니다.^[aj] 각 번들의 12개의 클리포드 평행 데카곤은 완전히 분리되어 있습니다. 인접한 평행 데카곤은 다른 거대 데카곤의 가장자리에 걸쳐 있습니다.

각 섬유 다발은^[av] 각각 30개의 사면체 세포로 이루어진 20개의 나선형 고리를 묘사하며,^[ai] 각 십각형 주위에 5개의 고리가 함께 둥지를 틀고 있습니다.^[32] 이 진동의 호프 맵은 정이십면체인데, 12개의 꼭짓점이 각각 큰 십각형으로 올라가고, 20개의 삼각형 면이 각각 30개의 셀 링으로 상승합니다.^[ba] 각 사면체 세포는 6개의 섬유화 각각에 있는 20개의 세포 고리 중 하나만 차지합니다. 사면체 세포는 6개의 가장자리 각각을 다른 진동의 십각형에 기여하지만, 그 가장자리는 진동의 5개의 다른 세포 고리에 기여합니다.^[ah]

600 셀의 6가지 특징적인 Hopf 섬유의 12개의 위대한 원과 30개의 셀 고리는 600 셀을 30개의 "점"과 3012로₂₅ 쓰여진 12개의 "선"의 기하학적 구성으로 만듭니다. 이것은 600개의 세포와 n차원의 정다각형의 완전 집합을 발견한 스위스의 수학자 ^[34]루트비히 슐레플리의 이름을 따서 슐레플리 이중 6구성이라고 불립니다.^[35]

육각형

24개의 세포의 섬유는 16개의 거대 육각형 중 4개의 섬유 다발: 4개의 거대 육각형 중 4개의 섬유 다발을 포함합니다. 각 번들의 4개의 클리포드 평행 육각형은 완전히 분리되어 있습니다. 인접한 평행 육각형은 다른 거대 육각형의 가장자리에 걸쳐 있습니다. 각 섬유 다발은 각각 6개의 팔면체 세포로 이루어진 4개의 나선형 고리를 묘사하며, 각 육각형 주위에 3개의 고리가 함께 둥지를 틀고 있습니다. 각 팔면체 세포는 4개의 섬유화 각각에서 하나의 세포 고리만 차지합니다. 팔면체 셀은 12개의 가장자리 중 3개를 각 진동에서 3개의 서로 다른 클리포드 평행 육각형에 기여하지만 각 가장자리는 진동에서 3개의 서로 다른 셀 링에 기여합니다.

600개의 세포에는 25개의 24개의 세포가 포함되어 있으며, 5개의 분리된 24개의 세포의 화합물로 볼 수 있습니다(10가지 다른 방식).^[n] 200개의 거대 육각형 중 10개의 섬유화, 20개의 거대 육각형 중 10개의 섬유 다발을 가지고 있습니다. 각 번들의 20개의 클리포드 평행 육각형은 완전히 분리되어 있습니다. 인접한 평행 육각형은 거대한 데카곤의 가장자리에 걸쳐 있습니다.^[aw] 각 섬유 다발은 각각 6개의 팔면체 세포로 이루어진 20개의 나선형 고리를 묘사하며, 각 육각형 주위에 3개의 고리가 함께 둥지를 틀고 있습니다. 이 진동의 홉 맵은 20개의 꼭짓점이 각각 거대한 육각형 다발로 들어올리는 십이면체입니다.^[24] 각 팔면체 세포는 10개의 섬유화 각각에서 206개의 팔면체 고리 중 하나만 차지합니다. 20개의 팔면체 고리는 각각 46개의 팔면체 고리로 구성된 5개의 분리된 24개의 세포에 속합니다. 600개의 세포의 각 육각형 진동은 5개의 분리된 24개의 세포로 구성됩니다.

사각형

16개 세포의 섬유화에는 6개의 거대 사각형 중 3개의 섬유화, 2개의 거대 사각형 중 3개의 섬유 다발이 포함됩니다. 각 번들에 포함된 두 개의 클리퍼드 평행 사각형은 완전히 서로소입니다. 인접한 평행 사각형은 다른 거대 사각형의 모서리에 걸쳐 있습니다. 각 섬유 다발은 각각 8개의 사면체 세포로 구성된 2개의 나선형 고리를 묘사합니다. 각 사면체 세포는 3개의 섬유화 각각에서 하나의 세포 고리만 차지합니다. 사면체 세포는 6개의 가장자리 각각을 서로 다른 정사각형에 기여하지만(3개의 섬유화 각각에 대해 2개의 반대되는 비교차 가장자리를 기여함), 각 가장자리는 섬유화에서 2개의 서로 다른 세포 고리 모두에 기여합니다.

600개의 세포는 75개의 16개 세포를 포함하고 있으며, 15개의 서로 다른 16개 세포의 화합물로 볼 수 있습니다. 그것은 450개의 거대 사각형 중 15개의 섬유질을 가지고 있습니다: 30개의 거대 사각형 중 15개의 섬유 다발. 각 번들에 포함된 30개의 클리퍼드 평행 사각형은 완전히 서로소입니다. 인접한 평행 사각형은 큰 데카곤의 가장자리에 걸쳐 있습니다.^[ax] 각 섬유 다발은 각각 8개의 사면체 세포로 구성된 30개의 세포 분리 나선 고리를 묘사합니다.^[bc] 이 진동의 호프 맵은 정이십면체이며,^[w] 여기서 30개의 꼭짓점이 각각 거대한 정사각형 묶음으로 들어올려집니다.^[25] 각 사면체 세포는 15개의 섬유화 각각에서 308개의 사면체 고리 중 하나만 차지합니다.

클리포드 평행 세포 고리

섬유화의 조밀하게 채워진 나선형 세포 고리는^[36][37][30] 세포와 분리되어 있지만 꼭지점, 가장자리 및 면을 공유합니다. 600개 세포의 각 진동은 인접한 세포 고리의 해당 면이 서로 얼굴 결합된 세포 고리의 조밀한 패킹으로 볼 수 있습니다.^[bf] 동일한 진동은 전혀 닿지 않는 완전히 분리된 세포 고리의 최소 희소 배열로도 볼 수 있습니다.^[j]

거대한 데카곤의 섬유화는 각 데카곤에서 만나는 5개의 세포 고리 중 1개를 제외하고 모두 생략함으로써 20개의 면 결합 세포 고리가 아니라 공간이 분리된 4개의 완전히 분리된 30개의 세포 고리로 볼 수 있습니다.^[38] 이렇게 할 수 있는 다섯 가지 방법은 모두 동일한 이산형 진동에 해당한다는 점에서 동일합니다. (6개의 십각형 진동이 동일하다는 점에서, 6개 모두 동일한 600개의 셀을 포함한다는 점에서). 4개의 셀 링은 여전히 완전한 진동을 구성합니다. 그들은 120개의 정점을 모두 방문하는 12개의 클리포드 평행 데카곤을 모두 포함합니다.^[bg] 20개의 세포 고리 중 4개의 부분 집합은 차원적으로 72개의 데카곤 중 12개의 부분 집합과 유사하며^[b], 둘 다 120개의 정점을 모두 방문하는 완전히 분리된 클리퍼드 평행 폴리토프의 집합입니다.^[bh] 20개의 세포 고리 중 4개의 부분 집합은 72개의 데카곤 중 12개의 데카곤 내의 5개의 섬유 중 하나입니다. 즉, 섬유의 진동입니다. 모든 피브레이션은 서브 피브레이션이 있는 이 2단계 구조를 가지고 있습니다.

24개의 육각형의 섬유화는 각 육각형에서 만나는 세 개의 세포 고리 중 하나를 제외하고 모두 생략함으로써 4개의 면 결합 세포 고리가 아닌 공간이 분리된 2개의 완전히 분리된 6개의 세포 고리로 볼 수 있습니다. 따라서 600개 세포의 거대 육각형의 10개의 섬유화 각각은 완전히 분리된 2개의 팔면체 세포 고리로 볼 수 있습니다.

각 정사각형에서 만나는 두 개의 세포 고리 중 하나를 생략하면 16개 세포의 거대한 정사각형의 섬유화가 2개의 면 결합된 세포 고리가 아니라 인접한 세포 고리 크기의 빈 공간을 가진 단일 8개 사면체 세포 고리로 볼 수 있습니다(두 가지 다른 방식). 따라서 600개 세포의 거대 사각형의 15개의 섬유화가 각각 하나의 사면체 세포 고리로 보일 수 있습니다.^[bc]

600개 세포의 섬유화의 희소한 구성은 세포 고리와 그들 사이의 공간을 구별하기 위해 다른 색상의 세포를 가진 600개 세포, 24개 세포 또는 16개 세포의 낮은 대칭 분해에 해당합니다.^[bi] 큰 십각형 섬유의 희소 구성에 해당하는 600-셀의 특정 하부 대칭 형태는 (2-구에서 이러한 섬유의 기초가^[ba] 되는) 정이십면체의 스누브 사면체 형태와 차원적으로 유사합니다^[b]. 20개의 보어다이크-콕세터 세포 고리는^[ai] 각각 이십면체의 해당 면에서 들어 올립니다.^[bl]

시공

600 셀은 5 셀, 120 셀 및 폴리곤 {7} 이상을 제외한 모든 볼록 정규 폴리토프의 기하학적 구조를 처음 4차원에 통합합니다.^[42] 따라서 600셀을 구성하거나 해체하는 방법은 여러 가지가 있지만 그 어느 것도 사소한 것이 아닙니다. 일반적인 이전 셀인 24-셀에서 600-셀을 구축하는 것은 시각화하기 어려울 수 있습니다.

고셋의 시공

소롤드 고셋(Thorold Gosset)은 같은 반경에서 크기와 복잡성이 증가하는 볼록한 4-폴리토프의 순서로 24-셀과 600-셀 사이에 해당하는 96개의 꼭지점을 가진 스너브(snub) 24-셀을 포함한 반규칙적인 4-폴리토프를 발견했습니다. 고셋은 24개의 세포로부터 600개의 세포를 만드는 것은 두 단계에 있으며, 스너브 24개의 세포를 중간 형태로 사용합니다. 첫 번째, 더 복잡한 단계(다른 곳에서 설명됨)에서 스너브 24-셀은 가장자리의 황금 부분에서 24-셀의 특별한 스너브 절단에 의해 구성됩니다.^[7] 두 번째 단계에서는 스너브 24-셀의 측면에 4-피라미드(수직물)를 추가하여 간단한 방식으로 600-셀을 구성합니다.^[43]

snub 24-cell은 24개의 꼭짓점(및 각 주변의 20개의 사면체 셀 클러스터)이 잘려나간 축소된 600-cell입니다.^[z] 각 제거된 이십면체 피라미드 대신에 "평탄한" 이십면체 셀이 남습니다.^[a] 따라서 스너브 24 세포에는 24개의 정이십면체 세포와 나머지 120개의 정이십면체 세포가 있습니다. 고셋이 600개의 세포를 만드는 두 번째 단계는 단순히 감소하는 것의 반대입니다: 20개의 사면체 세포로 구성된 이십면체 피라미드가 각 이십면체 세포에 배치됩니다.

Gosset의 방법으로 단위 반경 600 셀을 그 전구체인 단위 반경 24 셀로 구성하는 것은 실제로 세 단계가 필요합니다. 스누브-24 세포의 24개 세포 전구체는 같은 반경이 아닙니다. 스누브-24 세포가 잘린 것이기 때문에 더 큽니다. 유닛 반경 24-셀부터 시작하여, 첫 번째 단계는 24-셀이 자가 이중이기 때문에, 외부 표준 듀얼인 더 큰 24-셀을 구성하기 위해 미드스피어를 중심으로 왕복하는 것입니다. 그런 다음 더 큰 24 셀을 단위 반경 24 셀로 잘라낼 수 있습니다.

셀 클러스터

매우 간접적이기 때문에, 고셋의 구성은 600개의 사면체 세포가 어떻게 곡선의 3차원 표면 외피에 함께 들어맞는지,^[aa] 또는 그것들이 24개의 세포의 팔면체 세포의 기초 표면 외피에 어떻게 놓여 있는지를 직접적으로 시각화하는 데 큰 도움이 되지 않을 수 있습니다. 이를 위해서는 4면체 셀 클러스터에서 직접 600셀을 구축하는 것이 도움이 됩니다.

우리 대부분은 4차원 공간에서 외부에서 600개의 세포를 시각화하거나, 4차원 공간에서 감각적 경험이 전혀 없기 때문에 600개의 세포를 외부에서 보는 데 어려움을 겪습니다.^[44] 하지만 그 부피는 실제로 "걸어서" 탐험할 수 있는 3차원 공간이기 때문에 우리는 내부에서 600개의 세포의 표면 외피를 시각화할 수 있어야 합니다.^[45] 셀 클러스터로부터 600개의 셀을 만드는 이 연습에서, 우리는 비록 이상하게도 작고 닫힌 곡선 공간이지만 완전히 3차원 공간 안에 있습니다. 어떤 방향으로든 직선으로 불과 10개의 가장자리 길이만큼 떨어져 출발점으로 돌아갈 수 있습니다.

이코셰드라

600셀의 꼭짓점 도형은 정이십면체입니다.^[a] 20개의 사면체 세포가 각 꼭짓점에서 만나 꼭짓점이 꼭짓점인 이십면체 피라미드를 형성하고, 그 기본 이십면체로 둘러싸여 있습니다. 600 셀의 다면체 각도는 𝜋/3 + arccos(-1/4) ≈ 164.4775°입니다.

이십면체 피라미드 24개(이십면체의 20개 면 중 8개 면에 면대면으로 접합되어 그림에서 노란색으로 표시됨)와 이십면체 사이에 남아 있는 빈 공간을 채우는 5개의 사면체 셀 24개 클러스터(1개를 중심으로 면대면으로 접합된 4개의 셀)로 구성된 전체 600개의 셀을 조립할 수 있습니다. 각 정이십면체는 가장자리를 공유하는 두 개의 파란색 면에 의해 5개의 세포로 구성된 인접한 각 클러스터에 면 결합됩니다(이것은 5개의 중심 사면체의 6개의 가장자리 중 하나이기도 합니다). 5개의 세포로 이루어진 6개의 클러스터가 각 정이십면체를 둘러싸고 있고, 6개의 정이십면체가 5개의 세포로 이루어진 각 클러스터를 둘러싸고 있습니다. 5개의 사면체 세포가 각 이십면체 가장자리를 둘러싸고 있습니다: 2개는 이십면체 피라미드 내부에서, 3개는 그 외부에서.^[bp]

24개의 정이십면체 피라미드의 꼭짓점은 600개의 세포 안에 새겨진 24개의 세포의 꼭짓점입니다. 다른 96개의 꼭짓점(이십면체의 꼭짓점)은 여기에 설명된 이십면체와 사면체의 구조가 정확히 동일한 내접 스누브 24-셀의 꼭짓점입니다. 단, 이십면체가 사면체 셀로 채워진 4-피라미드가 아니라는 점을 제외하면, 이들은 "평탄한" 3차원 이십면체 셀일 뿐입니다. 중앙 정점 정점이 없기 때문입니다.

이십면체 피라미드 꼭지점을 연결하는 24개의 세포 가장자리는 노란색 면의 중앙을 관통합니다. 8개의 노란색과 12개의 파란색 얼굴로 아이코셰드라를 색칠하는 것은 5가지 방법으로 할 수 있습니다.^[bq] 따라서 각 이십면체 피라미드의 꼭지점은 5개의 구별된 24개의 세포로 이루어진 꼭지점이며,^[l] 120개의 꼭지점은 25개의 (5개가 아닌) 24개의 세포로 구성됩니다.^[i]

정이십면체는 6개의 정이십면체 피라미드 고리로 4차원으로 구부러진 반대쪽 노란색 면에 의해 측지선 "직선"으로 면 결합됩니다. 그들의 꼭짓점은 거대한 원 육각형의 꼭짓점입니다. 이 육각형 측지선은 12개의 사면체 세포로 이루어진 고리를 가로지르며, 교대로 얼굴과 꼭짓점에서 꼭짓점으로 결합됩니다. 각 면결합된 사면체 쌍(각 삼각형 바이피라미드)의 장경은 육각형 모서리(24셀 모서리)입니다. 24개의 셀(육각형 진동)에 6개의 팔각형의 셀이 서로 분리된 4개의 인터로킹 링이 있는 것처럼, 각 정점-정점에서 교차하는 6개의 이십면체 피라미드의 링이 4개 있습니다.^[bu]

사면체 세포는 세 개의 나선으로 면 결합되고, 네 번째 차원에서 30개의 사면체 세포의 고리로 구부러집니다.^[ai] 세 개의 나선은 10개의 가장자리로 이루어진 지오데식 "직선"입니다: 클리포드를 서로 평행하게^[ak] 달리는 거대한 원 데카곤입니다. 6개의 가장자리를 가진 각 사면체는 6개의 다른 십각형에^[ah] 참여하여 600개 세포의 6개의 십각형 섬유에 모두 참여합니다.

600개의 세포를 20개의 세포로 된 클러스터와 5개의 세포로 된 클러스터로 분할하는 것은 모든 세포가 동일하기 때문에 인공적입니다. 임의로 선택한 꼭짓점을 중심으로 하는 이십면체 피라미드 클러스터를 선택하는 것으로 시작할 수 있으므로 600 셀에는 120개의 중첩된 이십면체가 있습니다.^[bn] 그들의 120개 꼭짓점은 각각 5개의 24-vertex 24-세포의 꼭짓점이므로 5*120/24 = 25개의 중첩된 24-세포가 있습니다.

옥타헤드라

600개의 세포 표면을 25개의 사면체 세포로 구성된 24개의 클러스터로 분할하는 또 다른 유용한 방법이 있는데, 이는 이전의 24개의 세포로부터 600개의 세포의 더 많은 구조와^[53] 직접적인 구성을 보여줍니다.

5개의 셀로 구성된 클러스터(위) 중 하나로 시작하여, 그 중심 셀이 4면체 셀로 구성된 새로운 더 큰 클러스터의 중심 객체라고 생각합니다. 중앙 셀은 셀로 시작하는 600개 셀의 첫 번째 부분입니다. 그것을 더 많은 사면체 세포로 둘러싸면, 우리는 세포로 시작하는 더 깊은 부분에 도달할 수 있습니다.

먼저, 5개의 셀로 구성된 클러스터는 길이 √ 1의 24-셀 가장자리(육각형 가장자리)인 4개의 중첩 쌍의 면결합 사면체(삼각형 이중 피라미드)로 구성됩니다. 6개의 삼각형 쌍피라미드가 5개의 클러스터 표면의 오목부에 더 적합하므로 4개의 정점 정점을 연결하는 외부 코드도 길이 √ 1의 24-셀 가장자리입니다. 그들은 세포로 시작하는 600개의 세포의 두 번째 부분인 가장자리 길이 √ 1의 사면체를 형성합니다. 이 √ 1개의 사면체 섹션 중 600개가 600개의 셀에 있습니다.

6개의 삼각형 디피아미드가 오목한 부분에 들어맞으면 원래 클러스터의 5개의 셀과 8개의 정점 외에 12개의 새로운 셀과 6개의 새로운 정점이 있습니다. 6개의 새로운 꼭짓점은 가장자리 길이 √ 1의 팔면체인 셀로 시작하여 24개 셀의 셀로 시작하여 600개 셀의 세 번째 섹션을 형성합니다. 지금까지 부분적으로 채워졌던 (17개의 사면체 세포에 의해) 이 √ 1 팔면체는 짧은 삼각뿔이 맞는 오목면을 가지고 있습니다; 그것은 일반 사면체 세포와 같은 부피를 가지고 있지만 불규칙한 사면체 모양을 가지고 있습니다. 각 팔면체는 1 + 4 + 12 + 8 = 25개의 사면체 세포를 둘러싸고 있습니다: 17개의 정규 사면체 세포와 8개의 체적으로 동등한 사면체 세포 각각은 3개의 인접한 팔면체 세포에 걸쳐 있는 6개의 서로 다른 정규 사면체 세포로부터 6개의 1개의 sixth 단편으로 구성됩니다.

따라서 단위 반경 600 셀은 모서리 길이가 1/φ ≈ 0.618인 25개의 정규 사면체 셀로부터 (위 방식으로) 구성된 14개의 정점으로 이루어진 잘린 불규칙한 팔면체 피라미드를 각 팔면체 면에 배치함으로써 이전의 단위 반경 24 셀로부터 직접 구성할 수 있습니다.

두 토리의 합

600개의 세포 표면을 사면체 세포로 분할하는 또 다른 유용한 방법이 있는데, 이것은 600개 세포의 더 많은 구조와^[54] 십각형 섬유화를 보여줍니다. 전체 600개의 세포가 5개의 정이십면체 피라미드의 두 고리 주위에 조립될 수 있으며, 꼭짓점에서 꼭짓점으로 두 개의 지오데틱 "직선"으로 결합됩니다.

120개의 셀은 두 개의 분리된 토리로 분해될 수 있습니다. 600셀의 듀얼이기 때문에 이와 동일한 듀얼토리 구조가 600셀에 존재하지만 다소 복잡합니다. 120셀의 10셀 측지 경로는 600셀의 10 꼭지점 십각형 경로에 해당합니다.^[55]

공통 모서리 주위에 5개의 사면체를 조립하는 것으로 시작합니다. 이 구조물은 마치 각진 "비행접시"처럼 보입니다. 이 중 10개를 꼭짓점에서 꼭짓점으로, "팬케이크" 스타일로 쌓습니다. 각 "비행접시" 쌍 사이의 고리를 10개의 사면체로 채워 정이십면체를 만듭니다. 이것은 5개의 꼭짓점으로 쌓인 이십면체 피라미드로 볼 수 있으며, 5개의 추가 고리 간격도 채워집니다.^[cd] 표면은 단면이 오각형인 삼각형 모양의 기둥인 오각형 반원기둥을 쌓아올린 것과 같습니다.^[56] 기둥 모양의 고리 모양으로 구부러진 이 원환체는 150개의 세포, 10개의 가장자리로 구성되어 있으며 100개의 노출된 삼각형 면,^[ce] 150개의 노출된 가장자리, 50개의 노출된 꼭지점으로 구성되어 있습니다. 노출된 각 면에 또 다른 사면체를 쌓습니다. 이렇게 하면 50개의 융기된 꼭짓점, 50개의 계곡 꼭짓점 및 100개의 계곡 가장자리가 있는 250개의 셀로 구성된 다소 울퉁불퉁한 원환체를 얻을 수 있습니다.^[cf] 계곡은 10개의 가장자리 긴 닫힌 경로이며 위에서 언급한 10개의 꼭지점 데카곤 경로의 다른 인스턴스(대원 데카곤)에 해당합니다. 이 십각형들은 중심핵 십각형을 중심으로 나선형을 그리지만,^[cg] 수학적으로 이들은 모두 동등합니다(이들은 모두 중심면에 놓여 있습니다).

첫 번째와 상호 연결되는 250개의 세포로 구성된 두 번째 동일한 원환체를 구축합니다. 이것은 500개의 셀을 차지합니다. 이 두 개의 토리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알리알 이 후자의 100개 사면체 집합은 두 개의 원통의 정확한 경계에 있으며 클리포드 원환체를 형성합니다.^[ch] 정사각형 10×10 배열로 "언롤"할 수 있습니다. 부수적으로 이 구조는 사면체-팔면체 벌집에 하나의 사면체 층을 형성합니다. 250개의 세포 토리와 짝을 이루는 양쪽에 정확히 50개의 "계란 상자" 리세스와 피크가 있습니다.^[cc] 이 경우 벌집에서와 같은 팔면체 대신 각 오목부에 2개의 사면체로 구성된 삼각형 바이피라미드를 맞춥니다.

이 600개의 세포를 분해하는 과정에서 대칭성이 [10,2⁺,10], 차수 400, 즉 대반력과 동일한 대칭성을 갖게 됩니다.^[57] 대반력은 위의 두 개의 150개의 세포 토리가 제거된 600개의 세포일 뿐이며, 300개의 사면체로 이루어진 단 하나의 중간층만 남아 있으며, 차원적으로 5개의 상면과 5개의 하면이 제거된 정이십면체의 10면 벨트와 유사합니다^[b](오각형 반력).^[ci]

두 개의 150개의 셀 토리는 각각 6개의 클리포드 평행 거대 데카곤(1개 주변에 5개)을 포함하고 있으며, 두 개의 토리는 서로 평행한 클리포드이므로 600개의 셀 중 절반만 셀로 채워도 120개의 정점에 모두 도달하는 12개의 데카곤의 완전한 진동을 구성합니다.

보어다이크-콕세터 나선 고리

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또한 600개의 셀을 30개의 셀로 구성된 20개의 셀 분리 연결 고리로 분할할 수 있으며,^[32] 각각의 가장자리 길이는 10개이며 600개의 셀 전체를 채우는 개별 Hopf 섬유를 형성합니다.^[58][59] 30개의 면결합 사면체의 각 고리는 4차원에서 고리 모양으로 구부러진 원통형 보어다이크-콕세터 나선입니다.

입체 사영에서 볼 수 있는 600개의 셀 내에서 하나의 30개의 사면체 보어다이크-콕세터 나선 고리.[ai]	6백 셀의 30각형 직교 투영의 둘레를 따라 30개의 정사면체 고리를 볼 수 있습니다.[as]	30개의 가장자리로 이루어진 {30/11} 폴리그램으로서 30개의 세포 고리는 그것의 축을 중심으로 11번 꼬이는 나선으로 감겼습니다. 30개의 셀 실린더의 축을 따라 투영된 것은 실린더의 원형 단면을 중심으로 12° 떨어져 있는 30개의 정점을 보여주며, 모서리는 원 위의 모든 11번째 정점을 연결합니다.[ar]
30개의 꼭지점, 30개의 사면체인 보어다이크-콕세터 나선 고리는 3차원 공간에서 평평하게 자르고 펼쳐집니다. 세 개의 청록색 클리포드 평행 거대 데카곤이 고리를 묶었습니다.[aj] 그것들은 모두 30개의 꼭짓점을 연결하는 30개의 마젠타 가장자리로 이루어진 30그램 나선형으로 연결되어 있습니다: 600개 세포의 페트리 다각형입니다.[cj] 15개의 주황색 가장자리와 15개의 노란색 가장자리는 서로 다른 15그램 나선형, 즉 등축의 가장자리 경로를 형성합니다.

30셀 고리는 서로 인접한 3개의 청록색 클리포드 평행 거대 데카곤의 30개 꼭지점이 차지하는 3차원 공간으로, 36° = 𝜋/5 = 600셀 가장자리 길이가 모든 꼭지점 쌍에서 떨어져 있습니다. 이 꼭짓점 쌍을 연결하는 30개의 마젠타 가장자리는 나선형 트라이아콘타그램, 즉 30개의 가장자리 결합 삼각형 면으로 이루어진 30그램 나선형, 즉 600개 세포의 페트리 다각형을 형성합니다.^[cj] 30개의 세포 고리(세포 중심을 연결하여 만든 30개의 꼬임)의 이중은 600개의 세포의 이중 폴리토프인 120개의 세포의 페트리 다각형입니다.^[bb] 30셀 고리의 중심축은 30면의 중심을 통과하지만 어떤 꼭짓점도 교차하지 않는 거대한 30곤의 측지선입니다.^[as]

15개의 주황색 가장자리와 15개의 노란색 가장자리는 별도의 15그램 나선을 형성합니다. 각각의 주황색 또는 노란색 가장자리는 두 개의 청록색 거대한 데카곤 사이를 가로지릅니다. 이 15그램 나선의 연속적인 주황색 또는 노란색 가장자리는 동일한 큰 원 위에 놓여 있지 않으며, 서로 36° = 𝝅/5로 기울어진 서로 다른 중앙 평면에 놓여 있습니다. 각 15그램 나선은 이소클린의 가장자리 경로, 이소클린 회전의 측지 경로로 주목할 만합니다.^[at] 등각선은 15그램의 두 번째 꼭짓점마다 교차하는 원형 곡선으로, 그 사이에 꼭짓점이 없습니다. 단일 아이소클린은 각 오렌지(또는 노란색) 15그램 주위를 두 번 돌면서 첫 번째 루프에 있는 정점의 절반과 두 번째 루프에 있는 정점의 나머지 절반을 타격합니다. 연결된 두 루프는 하나의 뫼비우스 루프, {15/2} 펜타데카그램을 형성합니다. 펜타데카그램은 그림에 표시되지 않습니다(단, 아래 참조). 왜냐하면 그 가장자리는 두 개의 주황색(또는 두 개의 노란색) 가장자리가 떨어져 있는 꼭지점 사이의 보이지 않는 화음이며, 이 그림에는 화음이 표시되지 않기 때문입니다. 비록 30개의 세포 고리의 30개의 꼭지점들이 하나의 거대한 30곤 중심면에 놓여 있지는 않지만,^[ck] 이 보이지 않는 5각형 등각형 등각형들은 특별한 종류의 진정한 측지선이며, 일반적인 측지선처럼 2차원 평면에 놓여 있는 것이 아니라 4차원을 통해 바람을 쐬는 것입니다.^[cl]

이 30개의 세포 나선 중 5개는 10개의 꼭짓점 10개의 십각형 경로 각각을 따라 서로 중첩되고 나선형으로 형성되어 상기 대항원 분해에서 설명된 150개의 세포 원환체를 형성합니다.^[57] 따라서 모든 위대한 십각형은 150셀 원환체의 중심핵 십각형입니다.^[cm] 600개의 세포는 20개의 30개의 세포 고리로 분해될 수도 있고, 2개의 150개의 세포 고리와 10개의 30개의 세포 고리로 분해될 수도 있지만, 이런 종류의 4개의 150개의 세포 고리로 분해되지는 않습니다.^[cn] 600셀은 다른 종류의 4개의 150셀 토리로 분해될 수 있습니다.^[co]

방사형 황금 삼각형

600 셀은 4-폴리토프의 중심에서 만나는 가장자리 길이 √ 0.𝚫 √ 1 √ 1의 황금 삼각형 720개로부터 방사형으로 구성될 수 있으며, 각각 2개의 √ 1 반경과 √ 0.𝚫 가장자리를 제공합니다. 그것들은 그들의 꼭지점이 중심에 있는 1200개의 삼각 피라미드를 형성합니다: 등변의 √ 0.𝚫 밑면을 가진 불규칙한 사면체 (600개의 세포의 면). 이것들은 600개의 사면체 피라미드를 형성하는데, 그들의 꼭지점이 중심에 있습니다: 규칙적인 √ 0을 가진 불규칙한 5개의 세포입니다.𝚫 사면체 염기(600개 세포의 세포).

특징적인 오르토스킴

600셀의[61] 특성
	가장자리[62]	호를 그리다		이면체의[63]
𝒍	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi}}\approx 0.618}$	36°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{5}}$	164°29′	${\displaystyle \pi -2{\text{𝟁}}$
𝟀	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}\approx 0.505}$	22°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{3}-{\text{𝜼}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{3}}$
𝝉[cp]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}\approx 0.437}$	18°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{10}}$	36°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{5}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}\approx 0.252}$	17°44′40″	${\displaystyle {\text{𝜼}-{\tfrac {\pi}{6}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{3}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}\approx 0.535}$	22°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{3}-{\text{𝜼}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{2}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}\approx 0.309}$	18°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{10}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{2}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}\approx 0.178}$	17°44′40″	${\displaystyle {\text{𝜼}-{\tfrac {\pi}{6}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi}{2}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\display style {\sqrt {5+{\sqrt {5}}{8}}\approx 0.951}$
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}\approx 0.934}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}\approx 0.926}$
${\displaystyle {\text{𝜼}}$		37°44′40″	${\displaystyle {\tfrac {{text}{arc sec}}}{2}}$

모든 규칙적인 4-폴리토프는 특징적인 4-오르토스킴, 불규칙한 5-셀을 가지고 있습니다.^[ac] 일반적인 600셀의 특징적인 5셀은 Coxeter-Dynkin 다이어그램으로 표현되며, 이 다이어그램은 거울 측면 사이의 이면각 목록으로 읽을 수 있습니다. 정사면체의 특징적인 사면체를 바탕으로 한 비정형 사면체 피라미드입니다. 일반적인 600개의 셀은 대칭 초평면에 의해 그 중심에서 모두 만나는 특징적인 5개의 셀의 14400개의 인스턴스로 세분화됩니다.^[bd]

특징적인 5-셀(4-orthoscheme)은 기본 특징적인 사면체(3-orthoscheme)보다 가장자리가 4개 더 많아 베이스의 4개 정점을 정점(정규 600-셀의 중심에 있는 4-orthoscheme의 5번째 정점)에 결합합니다.^[cq] 일반 600 셀의 단위 반경 및 에지 길이가 𝒍 $$=${\displaystyle \mathrm{}}$ϕ ≈ 0.618 ${\text${𝒍$}}$ = {\$tfrac {$1$}$phi }}\approx 0.618}인 경우, 셀의 특징인 ${\displaystyle \sqrt{\frac{{10개}^{}}{}}}$의$$에지의 $길이는$23 ϕ$2 {\displaystyle$sqrt {\tfrac {2} {3\phi ^{2}}}}, ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ around its exterior right-triangle face (the edges opposite the characteristic angles 𝟀, 𝝉, 𝟁),^[cp] plus ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}}$, ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}\sqrt{\frac{14}{}}}$$ϕ$ 2 {\$displaystyle {\tfrac {1}$ {$4\$phi $^\{$${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{}}}$${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{\}}}{}}}$}}, ${\displaystyle \sqrt{\frac{{11}^{}}{}}}$ϕ 2 {\$displaystyle {\tfrac$ {$1}$ {12$\$phi ^{2}}}(외장 3-직교계의 나머지 세 모서리는$정사면체$의 특성 반경인 특성사면체를 향함), $1개의$displaystyle 1}, ${\displaystyle \sqrt{\frac{5}{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{\frac{58}{}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {$$$$ϕ$ $23 {\displaystyle${\$tfrac {\pi^{$${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{}}}$$\}\}\{$${\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{}}}$}},$$ϕ 48 {\$displaystyle${\$tfrac {\tfrac$ {\pi^{4}}{8}}}(600셀의${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{특성}}{}}}$반경인 edges). The 4-edge path along orthogonal edges of the orthoscheme is ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$, $ϕ$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{$4$\}\}\{$8}}}, 먼저 600 셀 꼭지점에서 600 셀 가장자리 중심으로 90° 회전한 다음 600 셀 얼굴 중심으로 90° 회전한 다음 600 셀 사면체 셀 중심으로 90° 회전한 다음 600 셀 중심으로 90° 회전한 다음

반사

600개의 셀은 자체 측면(사면체 거울 벽)에서 특징적인 5개의 셀의 반사로 구성될 수 있습니다.^[cr] 반사와 회전은 관련이 있습니다: 짝수 개의 교차 거울에서 반사는 회전입니다.^[65][66] 예를 들어, 십각형 불변 평면에서 600개의 셀을 완전히 등축으로 회전시키면 120개의 정점이 각각 15개의 정점을 거쳐 자신으로 되돌아가고, 3-구 주위를 감는 원주 5 𝝅의 스큐 펜타데카그램 측지선 등축 위에 놓입니다. 각각의 거대한 십각형이 (바퀴처럼) 회전하고, 또한 완전히 직교하는 평면과 함께 (동전 뒤집기처럼) 옆으로 기울어집니다.^[cs] 그러한 궤도를 수행하는 4개의 직교 쌍의 대척점(75개의 내접된 16개의 셀 중 하나의 8개의 정점)의 임의의 세트는 15 * 8 = 120개의 서로 다른 정점을 방문하고 하나의 완전한 등사선 회전에서 순차적으로 600개의 셀을 생성합니다. 하나의 특징적인 5-셀이 자신의 거울 벽에 스스로를 반사시키는 것처럼, 반사에 의해 120개의 꼭짓점이 동시에 생성됩니다.^[bs]

웨일 궤도

또 다른 구성 방법은 쿼터니언을 사용하고 웨일군의 이십면체 ${\displaystyle {대칭}_{}}$이 $O{\displaystyle (}$λ) =$W$(H4) = I ${\displaystyle$O(\Lambda) = W(H_{4})=120번 $주문$의 I$}.$^[68] 다음은 웨일 그룹 W(D4) 아래에 있는 D4의 무게 궤도입니다.

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000) : V1

O(0010) : V2

O(0001) : V3

With quaternions ${\displaystyle (p,q)}$ where ${\displaystyle {\bar {p}}}$ is the conjugate of ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ and ${\displaystyle [p,$$q]^{*}:r\rightarrow$r$"=p{\$bar {$r}q},$다음으로 콕서터 그룹 W${\displaystyle ({H4}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$$=$${$[${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$$¯$$]$$⊕$ [$p,$ p $¯$] $∗$} {\$displaystyle$ W$(H_{4})$$=$$\lbrace$ [$p,{\$bar {p}}]\oplus$$[p,{\bar {p}]^{*}\rbrace }는 600셀과 120셀 순서 14400의 대칭군입니다.

${\displaystyle p^{}}$ ¯ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle$p\in T}가 p ∈ = ± p ${\displaystyle {}^{}}$, p${\displaystyle }$¯ ${\displaystyle {2\stackrel{}{}}^{}}$= ±${\displaystyle {}^{}}$ 3${\displaystyle \stackrel{}{,}{}^{}{p}^{}}$ ¯ ${\displaystyle 3}$ = ± p$$2, p ¯ $4$=$$± p${\displaystyle {\bar$ {p}=\$pm$ p$^{4$}, {\$p}^{2$}=\$pm$p^{3}, {\bar {p}^{3}=\pm p^{2},${\bar {p}^{4$}$=$\$pm$ p$}$ 및 $p$$†$ {\$displaystyle$p^{\$dagger$}는 p ${\displaystyle$ -1$/\varphi$\$leftright$arrow \$varphi$ }를${\displaystyle }$p {\displaystyle p}$$내에서 ${\displaystyle \mathrm{교환}}$하여 구성할 수 있습니다.

• 스누브 24셀 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{S}}}$ = ∑ ${\displaystyle {}^{}}$ =$14$ ⊕ $pIT$ {\$displaystyle S$ =\$sum _{i$=$1}^{4$}\oplus p^{i}T}
• 600셀 $I$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{T}}}$+ ${\displaystyle S}$ = ∑ ${\displaystyle {}^{}}$ = $04$ ⊕ 피트 $IT$ {\$displaystyle I$=T+$S$=$\sum _${i=0}^{4$}\oplus p^{i}T}$
• 120셀 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{J}}}$ = ∑ i, ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ⊕ $파이프$¯ † j T' {\$displaystyle J$=\$sum$ _{i,j=0}^{4$}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$

회전수

규칙적인 볼록 4-폴리토프는 4차원 유클리드 공간의 고정된 점에 대한 회전^[69] 그룹인 SO(4)로 알려진 기본 대칭의 표현입니다.^[dd]

600 셀은 24 셀의 등축 회전에 의해 36° = 𝜋/5(하나의 600 셀 가장자리 길이의 호)만큼 생성됩니다.

25개의 24-cells

600개의 셀에 25개의 내접된 24개의 셀이 있습니다.^[73][cv] 따라서 25개의 내접형 스누브 24셀, 75개의 내접형 테서랙트, 75개의 내접형 16셀도 있습니다.^[i]

8-vertex 16-셀은 서로 90° = 𝜋/2로 기울어진 4개의 장경을 가지며, 종종 4개의 직교 축 또는 좌표계의 기초로 간주됩니다.

24-vertex 24-셀은 서로에 대해 60° = 𝜋/3으로 경사진 12개의 장경을 가지고 있습니다. 각 세트는 3개의 내접된 16-셀 중 하나의 직경으로 구성된 4개의 직교 축으로 분리된 3개의 세트로, 서로에 대해 𝜋/3으로 등임상적으로 회전합니다.

120개의 꼭지점을 가진 600개의 셀은 60개의 긴 직경을 가지고 있습니다. 12개의 직경을 가진 5개의 서로 다른 집합뿐만 아니라 각각은 5개의 내접된 24개의 셀 중 하나로 구성되어 있습니다(우연으로 추측할 수 있듯이). 각각은 25개의 내접된 24개의 셀 중 하나로 구성된 12개의 서로 다르지만 중복되는 25개의 내접된 24개의 셀 중 하나로 구성되어 있습니다.^[75] 600개의 세포에는 5개의 분리된 24개의 세포가 있지만 5개만이 아닙니다. 600개의 세포를 5개의 분리된 24개의 세포로 분할하는 10가지 방법이 있습니다.^[m]

24개의 세포에 새겨진 16개의 세포와 8개의 세포와 마찬가지로, 600개의 세포에 새겨진 25개의 24개의 세포는 상호 등사성 폴리토프입니다. 내접된 24개의 셀 사이의 회전 거리는 각 불변 회전면에서 항상 𝜋/5입니다.

5개의 24개의 셀은 클리포드 평행이기 때문에 서로 떨어져 있습니다. 그들의 대응하는 정점은 두 개의 교차하지 않는 클리포드 평행 십각 대원에서 𝜋/5 떨어져 있습니다(또한 동일한 십각 대원에서 𝜋/5 떨어져 있습니다). 십각형 평면의 𝜋/5에 의한 등사선 회전은 각 24개 셀을 서로 분리된 24개 셀로 이동합니다(𝜋/3에 의한 육각형 평면의 등사선 회전이 각 16개 셀을 서로 분리된 16개 셀로 이동하는 것처럼). 각 등사선 회전은 두 가지 카이랄 형태로 발생합니다: 각 24개 세포의 왼쪽에 4개의 분리된 24개 세포가 있고 오른쪽에 다른 4개의 분리된 24개 세포가 있습니다.^[dk] 왼쪽과 오른쪽 회전은 서로 다른 24개의 셀에 도달합니다. 따라서 각각의 24개의 셀은 서로 다른 5개의 24개의 셀로 구성된 두 세트에 속합니다.

모든 Clifford 평행 폴리토프는 등사선이지만 모든 등사선 폴리토프가 Clifford 평행(완전히 분리된 개체)인 것은 아닙니다.^[dl] 각 24개의 세포는 8개의 세포와 평행한 이소클리닉 및 클리퍼드이며, 16개의 세포와 평행한 클리퍼드는 아니지만 이소클리닉입니다.^[g] 각각의 16개의 꼭짓점과 6개의 꼭짓점을 공유합니다. 즉, 육각형 중심면입니다.^[l] 비분리형 24-셀은 600-셀의 두 꼭짓점만을 교차하는 불변 평면에서 𝜋/5만큼 단순한 회전에 의해 연관되며, 이 회전은 완전히 직교하는 고정 평면이 그들의 공통 육각형 중심 평면입니다. 또한 두 평면이 모두 𝜋/5만큼 회전하는 등사선 회전과 관련이 있습니다.

각 24셀을 다른 24셀로 이동시키는 두 가지 종류의 𝜋/5 아이소클리닉 회전이 있습니다. 분리된 24개의 셀은 12개의 클리포드 평행 십각 불변 평면의 전체 진동의 𝜋/5 등사선 회전에 의해 관련됩니다. (이러한 섬유 세트는 6개이며, 각 세트에서 오른쪽 또는 왼쪽 등사선 회전이 가능하므로 12개의 서로 다른 회전이 있습니다.)^[dk] 분리되지 않은 24-셀은 20개의 클리포드 평행 육각 불변 평면의 전체 진동의 𝜋/5 등사선 회전과 관련이 있습니다. (이러한 섬유 세트는 10개이므로 20개의 서로 다른 회전이 있습니다.)^[dm]

반면에 서로 다른 5개의 24개의 세포로 이루어진 10개의 집합은 각각 클리포드 평행인데, 그에 해당하는 거대 육각형은 클리포드 평행이기 때문입니다. (24개의 세포는 거대한 데카곤을 가지고 있지 않습니다.) 각 24개의 셀에 있는 16개의 거대 육각형은 4개의 교차하지 않는 4개의 클리포드 평행 측지선 세트로 나눌 수 있으며, 각 세트는 24개의 셀의 모든 24개 정점을 다룹니다. 600셀에 있는 200개의 거대 육각형은 20개의 교차하지 않는 클리포드 평행 측지선으로 구성된 10개의 세트로 나눌 수 있으며, 각 세트는 120개의 정점을 모두 포함하고 이산 육각형 진동을 구성합니다. 20개의 분리된 육각형으로 구성된 10개의 세트 각각은 4개의 분리된 육각형으로 구성된 5개의 세트로 나눌 수 있으며, 각각의 세트는 분리된 24개의 셀을 덮습니다. 마찬가지로, 서로 분리된 24-셀의 대응하는 대제곱은 클리포드 평행입니다.

폴리그램 등각선에서의 회전

규칙적인 볼록 4-폴리토프는 각각 특징적인 종류의 오른쪽(및 왼쪽) 이소클리닉 회전을 가지며, 이는 큰 원의 이산 호프 진동의 특징적인 종류에 해당합니다.^[bk] 예를 들어, 600 셀은 6개의 다른 방식으로 클리퍼드 평행 거대 데카곤 집합으로 섬유화될 수 있으므로, 600 셀은 6개의 뚜렷한 오른쪽(및 왼쪽) 등각 회전을 가지며, 여기서 거대 데카곤 평면은 불변 회전면입니다. 우리는 이러한 등사선 회전이 600 셀의 특징이라고 말합니다. 600 셀의 가장자리가 불변 평면에 놓여 있기 때문입니다. 이러한 회전은 600 셀에서만 발생하지만, 600 셀의 내접 인스턴스를 포함하는 더 큰 일반 폴리토프(120 셀)에서도 발견됩니다.

600 셀의 중앙 평면에 있는 측지 다각형(십각형, 육각형 또는 사각형)이 클리포드 평행 대원의 섬유 다발을 형성하는 것처럼, 대응하는 측지 스큐 폴리그램(등변 회전 하에서 꼭짓점의 클리퍼드 원 위의 경로를 추적하는 것)^[79]은 클리퍼드 평행 등각선의 섬유 다발을 형성합니다. 나선형 원은 4차원 모두를 통해 감겨집니다.^[at] 아이소클리닉 회전은 왼손잡이와 오른손잡이 형태로 발생하는 카이랄이기 때문에, 각 다각형 섬유 다발은 해당하는 왼쪽과 오른쪽 폴리그램 섬유 다발을 가지고 있습니다.^[80] 모든 섬유 번들은 동일한 이산 Hopf fibration의 측면입니다. 왜냐하면 fibration은 동일한 뚜렷한 좌-우 회전 쌍의 다양한 표현이기 때문입니다.

셀 링은 Hopf fibration의 또 다른 표현입니다. 각 이산형 진동에는 4-폴리토프를 테셀레이션하는 셀 분리형 셀 링 세트가 있습니다.^[bf] 각 카이랄 다발의 아이소클라인은 서로를 둘러싼 나선형으로, 얼굴 결합 세포의 고리의 축 방향 측지선입니다. 섬유질의 클리포드 평행 세포 고리는 서로에게 둥지를 틀고, 어떤 세포에서도 교차하지 않고 서로를 통과하며, 600개의 세포를 그들의 분리된 세포 집합으로 정확히 채웁니다.

아이소클리닉 회전은 평행한 경로를 따라 단단한 물체의 꼭지점을 회전시키며, 각 꼭지점은 두 개의 직교 운동 대원 내에서 순환하며, 직조기가 두 개의 직교 평행 섬유 집합에서 직물 조각을 짜는 방식입니다. 클리포드 평행 대원 다각형 다발과 그에 대응하는 클리포드 평행 스큐 폴리그램 아이소클라인 다발은 동일한 왼쪽 또는 오른쪽 아이소클라인 회전의 워프와 우프이며, 이는 클리포드 평행 대원 다각형을 서로 취하게 하며, 동전처럼 뒤집어서 클리포드 평행한 중앙 평면 세트를 통해 회전시킵니다. 한편, 다각형들도 바퀴처럼 개별적으로 회전하기 때문에, 꼭지점들은 연속적인 클리포드 평행 다각형들에 놓여 있는 꼭지점들을 통해 나선형 클리포드 평행 등각선(왜곡 폴리그램을 형성하는 코드)을 따라 변위됩니다.^[bj]

600 셀에서 등사선 스큐 폴리그램의 각 계열(십각형 {10}, 육각형 {6} 또는 정사각형 {4} 대다각형 회전에서 움직이는 꼭짓점 경로)은 교차하지 않는 클리퍼드 평행 폴리그램의 번들로 나눌 수 있습니다.^[81] 아이소클린 다발은 왼쪽과 오른쪽 키랄성의 쌍으로 발생합니다. 각 회전의 아이소클린은 각각의 뚜렷한 아이소클린 회전 자체와 마찬가지로 키랄 물체로 작용합니다.^[be] 각 진동에는 동일한 수의 왼쪽 및 오른쪽 아이소클린이 두 개의 서로 다른 번들에 포함되어 있으며, 이 번들은 각각 진동의 왼쪽 또는 오른쪽 아이소클린 회전 중에 600 셀의 정점 경로를 추적합니다. 등축선의 각 왼쪽 또는 오른쪽 섬유 다발은 그 자체로 전체 600 셀을 채우는 이산 Hopf 섬유를 구성하며, 한 번만 120개의 정점을 모두 방문합니다. Clifford 평행 다각형 대원의 다발과는 다른 섬유 다발이지만, 두 섬유 다발은 교차 직조된 평행 섬유의 직물로서 교집합에 의해 동일한 오른쪽(또는 왼쪽) 등사선 회전에서 120개의 정점을 함께 열거하기 때문에 동일한 이산 섬유 다발을 설명합니다.

각 등각 회전은 완전히 직교하는 불변 중심 회전면 쌍을 포함하며, 둘 다 동일한 각도를 통해 회전합니다. 두 가지 방법이 있습니다: "동일한" 방향으로 회전하거나 "반대" 방향으로 회전합니다(기존에는 4개의 좌표 축에서 어느 방향이 "위"인지를 나타내는 오른손 규칙에 따라). 통상적으로 우측 폴리그램과 우측 등사선 회전은 같은 방향으로 회전하는 불변 쌍에 해당하고, 좌측 폴리그램과 좌측 등사선 회전은 서로 반대 방향으로 회전하는 쌍에 해당합니다.^[77] 왼쪽과 오른쪽 등각선은 서로 다른 곳으로 가는 다른 길입니다. 또한, 각각의 구별된 등사선 회전(왼쪽 또는 오른쪽)은 원형 평행 섬유를 따라 양 또는 음의 방향으로 수행될 수 있습니다.

클리퍼드 평행 등각선의 섬유 다발은 뚜렷한 왼쪽 또는 오른쪽 등각선 회전으로 설명되는 나선형 꼭짓점 원의 집합입니다. 각 이동 정점은 (이동하는) 셀 링 내에 포함된 아이소클린을 따라 이동합니다. 왼쪽과 오른쪽 등사선 회전은 각각 동일한 클리포드 평행 불변 회전면 집합을 이중 회전하지만, 왼쪽과 오른쪽 등사선 회전은 대원 {2p} 다각형(p는 소수 ≤ 5)의 대체 정점을 강타하기 때문에 대원 다각형의 다른 집합을 통과합니다.^[dt] 좌우 회전은 {2p}개의 다각형 섬유로 구성된 동일한 Hopf 번들을 공유하며, 이는 모두 좌우 번들이지만, 이산 섬유가 {2p}개의 다각형 내접된 좌우 {p}개의 다각형과 반대이기 때문에 서로 다른 {p}개의 다각형^[82] 번들을 갖습니다.^[du]

간단한 회전은 직접적이고 국소적이며, 일부 정점은 큰 원을 따라 인접한 정점으로, 일부 중심면은 동일한 초평면 내의 다른 중심면으로 이동합니다.^[dv] 단순한 회전에서는 완전한 직교 불변 중심 회전면이 한 쌍만 존재하며, 이는 진동을 구성하지 않습니다.

등사선 회전은 대각선 및 전역 회전으로, 모든 정점을 대각선 등사선을 따라 인접하지 않은 정점(2개 이상의 에지 길이 떨어져 있음)^[cw]으로, 모든 중앙 평면 다각형을 클리퍼드 평행 다각형(같은 종류)으로 가져옵니다. 좌-우 한 쌍의 등변 회전은 이산 진동을 구성합니다. 진동의 모든 Clifford 평행 중앙 평면은 두 개의 동일한 각도로 분리되고 서로 다른 초평면에 놓여 있는 불변 회전 평면입니다.^[ay] 대각선 등각선은^[cx] 인접하지 않은 꼭짓점 사이의 짧은 경로로 가장자리를 따라 사용할 수 있는 여러 단순 경로보다 짧은 경로입니다. 3-구에서 가장 짧은 경로인 측지선입니다.

데카곤과 5개의 𝝅 폴리그램

600개의 세포의 섬유화는 72개의 거대 데카곤의 6개의 섬유화를 포함합니다: 12개의 거대 데카곤으로 이루어진 6개의 섬유 다발,^[aj] 각각 30개의 사면체 세포로 이루어진 20개의 카이랄 세포 고리를 묘사하고,^[ai] 각각의 세포 고리를 묶는 3개의 거대 데카곤과 각각의 데카곤 주위에 함께 둥지를 튼 5개의 세포 고리. 각 번들의 12개의 클리포드 평행 데카곤은 완전히 분리되어 있습니다. 인접한 평행 데카곤은 다른 거대 데카곤의 가장자리에 걸쳐 있습니다.^[av] 각 진동은 5개의 𝝅 아이소클린에서 12개의 거대 십각 불변 평면에서 600 셀의 뚜렷한 왼쪽(및 오른쪽) 아이소클린 회전에 해당합니다.

12개의 클리포드 평행 십각형 섬유 다발은 12개의 왼쪽 오각형 섬유 다발과 12개의 오른쪽 오각형 섬유 다발로 나뉘며, 각각의 좌우 오각형 쌍은 십각형 안에 새겨져 있습니다.^[83] 12개의 거대한 다각형은 불연속적인 Hopf 섬유의 모든 120개 꼭지점을 덮는 섬유 다발로 구성됩니다. Fibration에는 20개의 세포가 분리된 30개의 세포 고리가 있지만 완전히 분리된 30개의 세포 고리는 4개뿐입니다.^[j] 600개의 셀에는 6개의 이산 십각형 섬유가 있으며, 각각은 독특한 좌-우 쌍의 이소클리닉 회전(12개의 거대한 오각형으로 이루어진 좌우 섬유 다발)의 도메인(컨테이너)입니다.^[dw] 각각의 위대한 십각형은 단 하나의 진동에 속하지만,^[82] 각각의 30개의 셀 링은 6개의 진동 중 5개에 속합니다(그리고 다른 1개의 진동과는 완전히 분리되어 있습니다). 600개의 세포는 72개의 거대한 데카곤을 포함하고 있으며, 6개의 섬유화로 나뉘며, 각각은 20개의 세포가 분리된 30개의 세포 고리(4개의 완전히 분리된 30개의 세포 고리)로 구성되어 있지만, 600개의 세포에는 20개의 별개의 30개의 세포 고리만 있습니다. 각 30개의 셀 링에는 5개의 섬유화 각각에 12개의 클리퍼드 평행 데카곤 중 3개와 120개의 정점 중 30개가 포함되어 있습니다.

이 십각형 등각 회전에서 꼭짓점은 육각형의 가장자리를 따라 이동하여 ^[24]각 이중 36°×36° 회전 단위에서 육각형 가장자리 하나의 피타고라스 거리를 전진시킵니다.^[dp] 등사선 회전에서 이동한 연속적인 각 육각형 가장자리는 서로 다른 거대 육각형에 놓여 있으므로 등사선은 다각형이 아닌 왜곡 폴리그램을 설명합니다. 60°×60°의 등사선 회전(24셀의 특징적인 육각형 회전에서와 마찬가지로, 600셀의 육각형 회전에서 아래와 같이)에서 이 폴리그램은 육각형 회전은 단순한 육각형 회전과 마찬가지로 6개의 모서리가 있는 원형 경로를 따르지만, 그 안의 모든 꼭짓점을 열거하기 위해서는 두 번의 회전이 필요합니다. 아이소클린은 다른 모든 꼭짓점을 통과하는 이중 루프이고, 그 코드는 √ 1 육각형 가장자리 대신 육각형의 √ 3 코드이기 때문입니다. 그러나 600 셀의 36°×36° 특성 십각형 회전에서 연속적인 거대 육각형은 서로 더 가깝고 더 많으며, 15개의 육각형 가장자리에 의해 형성된 아이소클린 폴리그램은 5각형(15-그램)입니다.^[cs] 육각형이나 단순 십각형 회전과 같은 주기가 아닐 뿐만 아니라, 육각형이나 십각형 주기의 정수배도 아닐 뿐만 아니라, 둘 중 어느 하나의 단순 회전도 아닙니다. 평행하게 회전하는 두 개의 15그램(검은색과 흰색)인 화합물 {30/4}=2{15/2} 트라이아콘타그램(30-그램)만이 이들 모두의 배수이므로 십각등변회전의 회전 단위를 구성합니다.

30개의 세포 고리에서, 등축 회전으로 연결된 인접하지 않은 꼭지점들은 가장자리 길이가 두 개 떨어져 있고, 고리의 다른 세 개의 꼭지점들은 그들 사이에 놓여 있습니다.^[ea] 두 개의 인접하지 않은 꼭지점은 거대 육각형 가장자리(24셀 가장자리)인 아이소클린의 √ 1 코드에 의해 연결됩니다. (√ 0이 없는) 30-셀 링의 √ 1 코드.𝚫 600 셀 가장자리)는 좌우 5각형 아이소클린 쌍인 2개의 서로 다른 {15/2} 뫼비우스 이중 루프를 포함하는 스큐 트라이아콘타그램을 형성합니다. 12개의 오각형 섬유로 구성된 각 왼쪽(또는 오른쪽) 번들은 8개의 클리포드 병렬 오각형 섬유로 구성된 왼쪽(또는 오른쪽) 번들에 의해 교차됩니다. 각각의 고유한 30셀 링에는 짝수 또는 홀수(검은색 또는 흰색) 정점을 통해 각각 2개의 이중 루프 펜타데카그램 아이소클라인이 있습니다.^[da] 오각형 나선은 고유한 키랄성이 없지만, 각각은 뚜렷한 등각 회전에서 왼쪽 또는 오른쪽 등각선 역할을 합니다.^[ds] 2개의 펜타데카그램 섬유는 5가지 다른 섬유의 왼쪽과 오른쪽 섬유 다발에 속합니다.

각 꼭짓점에는 6개의 거대한 데카곤과 꼭짓점에서 교차하는 6개의 오각형 등각선(검은색 또는 흰색)이 있습니다.^[ed] 8개의 펜타데카그램 아이소클린(검은색 4개, 흰색 4개)은 서로 다른 오른쪽(또는 왼쪽) 아이소클린 회전의 모든 120개 정점을 덮는 고유한 오른쪽(또는 왼쪽) 섬유 다발로 구성됩니다. 각 섬유는 독특한 좌우 등사선 회전과 12개의 펜타곤과 8개의 펜타카그램 등사선으로 구성된 독특한 좌우 섬유 다발을 가지고 있습니다. 600개의 셀에는 20개의 별개의 검은색 이소클린과 20개의 별개의 흰색 이소클린이 있습니다. 각각의 별개의 이소클린은 5개의 섬유 번들에 속합니다.

동일한 직교 투영 관점에서 30셀 링 코드의 3세트
펜타데카그램 {15/2}	Triacontagram {30/4}=2{15/2}	Triacontagram {30/6}=6{5}
모든 가장자리는 길이 √ 1의 5각형 이소클린 화음이며, 이는 600개의 세포에 새겨진 24개의 세포로 이루어진 훌륭한 육각형 가장자리이기도 합니다.		길이 √ 1.𝚫 ≈ 1.176의 오각형 가장자리만 있습니다.
단일 블랙(또는 화이트) 아이소클린은 원주 5 𝝅의 뫼비우스 이중 루프 스큐 펜타데카그램 {15/2}입니다. √ 1 코드는 서로 다른 내접된 24 셀의 24 셀 가장자리(육각형 가장자리)입니다. 이 코드는 30셀 고리 그림에서 보이지 않으며(미도시), 두 개의 주황색 가장자리 또는 두 개의 노란색 가장자리가 떨어져 있는 두 개의 면 결합 사면체 세포의 반대쪽 꼭지점을 연결합니다.	서로 다른 두 개의 펜타데카그램 {15/2}의 스큐 화합물인 30셀 고리(여기서는 주황색-노란색으로 표시된 흑백 쌍).[da] 아이소클라인의 √ 1 화음은 30셀 고리의 4번째 꼭지점마다 두 개의 주황색 가장자리 또는 두 개의 노란색 가장자리 아래에 직선 화음으로 연결됩니다. 이중 곡선 아이소클린은 이 꼭짓점들 사이의 측지선(가장 짧은 경로)이며, 또한 면 결합 사면체의 가장자리를 따라 3개의 다른 각도 경로로 2개의 가장자리가 떨어져 있습니다.	각 오각도(왼쪽)는 두 개 또는 세 개의 꼭짓점에서 위의 6개의 오각도(위)를 모두 교차합니다. 오각형은 십각형 불변 회전면에서 평평한 2 𝝅 대원 위에 놓여 있습니다. 5각형은 평평하지 않습니다. 15개의 코드가 서로 𝝅/5 = 36° 기울어진 연속적인 육각형 평면에 놓여 있는 나선형 5개의 𝝅 아이소클린 원입니다. 아이소클린 원은 회전과 함께 왼쪽 또는 오른쪽으로 꼬여 있다고 하지만, 그러한 모든 오각형은 직접적으로 합동이며, 각각은 다른 섬유에서 왼쪽 또는 오른쪽 아이소클린 역할을 합니다.
이 그림에는 600 셀 가장자리가 나타나지 않고 600 셀의 보이지 않는 내부 코드만 표시됩니다. 이 글에서는 모두 점선으로 적절하게 그려야 합니다.

두 개의 15그램 이중 루프 아이소클린은 각 30셀 링에 축 방향입니다. 30개의 세포 고리는 카이랄이며, 각 진동에는 10개의 오른쪽(시계방향-나선) 고리와 10개의 왼쪽(시계방향-나선) 고리가 포함되어 있지만, 각 3개의 세포 고리에 있는 2개의 등축선은 직접적으로 일치합니다.^[db] 각각은 왼쪽(또는 오른쪽) 등축 회전으로 작동하지만 고유한 키랄성은 없습니다.^[ds] 진동의 20개의 왼쪽과 20개의 오른쪽 15그램은 모두 120개의 서로 분리된 개방형 펜타그램(60개의 왼쪽과 60개의 오른쪽)을 포함하며, 개방된 끝은 인접한 600개의 셀 정점(1개의 √ 0)입니다.𝚫 가장자리 길이만큼 떨어져 있음). 아이소클린의 30개 꼭지점을 연결하는 30개의 코드는 √ 1 육각형 가장자리(24개의 셀 가장자리)이며, 두 개의 600 셀 √ 0인 600 셀 꼭지점을 연결합니다.𝚫 십각형의 거대한 원 위에 모서리가 떨어져 있습니다. ^[cy] 이 아이소클린 코드는 육각형 가장자리와 오각형 가장자리입니다.

각 왼쪽(또는 오른쪽) 이소클린 번들의 20개 Clifford 평행 이소클린(30셀 링 축)은 서로 교차하지 않습니다. 뚜렷한 십각형의 등각형 회전(왼쪽 또는 오른쪽)은 120개의 꼭짓점(그리고 600개의 셀 모두)을 회전시키지만, 오각형과 오각형은 체스판의 흑백 사각형처럼 꼭짓점이 60개의 흑백 꼭짓점(그리고 300개의 흑백 셀)과 교대하도록 연결되어 있습니다.^[ec] 회전 과정에서 왼쪽(또는 오른쪽) 아이소클린의 꼭지점은 동일한 15개의 꼭지점 블랙(또는 화이트) 아이소클린 내에서 회전하고, 셀은 동일한 블랙(또는 화이트) 30개의 셀 링 내에서 회전합니다.

육각형과 4개의 𝝅 폴리그램

600개의 세포의 섬유화는 200개의 거대 육각형의 10개의 섬유화, 20개의 거대 육각형의 10개의 섬유 다발을 포함합니다. 각 번들의 20개의 클리포드 평행 육각형은 완전히 분리되어 있습니다. 인접한 평행 육각형은 거대한 데카곤의 가장자리에 걸쳐 있습니다.^[aw] 각 진동은 4개의 𝝅 아이소클린에서 20개의 거대 육각 불변 평면에서 600 셀의 뚜렷한 왼쪽(및 오른쪽) 아이소클린 회전에 해당합니다.

각 섬유 다발은 각 육각형 주위에 3개의 세포 고리가 함께 둥지를 튼 6개의 팔면체 세포로 이루어진 20개의 서로 떨어져 있는 직접 합동 세포 고리를 묘사합니다. 클리포드 평행 육각섬유 20개 묶음은 검은 √ 3대삼각섬유 20개 묶음과 흰 대삼각섬유 20개 묶음으로 나뉘는데, 각 육각에는 검은 삼각형과 흰 삼각형이, 각 육각 고리에는 검은 삼각형과 흰 삼각형이 각각 6개씩 새겨져 있습니다. 검은색 또는 흰색 삼각형은 3개의 교차하는 검은색 또는 흰색 등각선으로 연결되며, 각각은 10개의 클리포드 평행 검은색(또는 흰색) 대삼각형의 해당 꼭지점을 통과하는 특수한 종류의 나선형 대원입니다^[dy]. 10개의 √ 1.𝚫각 아이소클린의 코드는 스큐 데카그램 {10/3}을 형성하며, 10개의 거대한 오각형 가장자리가 나선형 루프로 종단에서 결합되어 중앙 평면에서 평평하게 눕지 않고 4차원을 통해 600셀 주위를 3회 감습니다. 흑백 아이소클린의 각 쌍(대척 육각형 꼭짓점 intersect)은 복합 20곤 아이소그램 {20/6}=2{10/3}을 형성합니다.

거대 육각 불변 평면에서의 24-셀의 특징적인 회전과 거대 육각 평면의 회전에 대한 600-셀의 자체 버전 사이의 관계에 주목하십시오(데카그램 등각선에서의). 그들은 정확히 같은 등사선 회전입니다. 그들은 같은 등사선을 가지고 있습니다. 같은 아이소클린의 개수가 다르며, 600셀의 √ 1. 𝚫 아이소클린 화음은 24셀의 아이소클린 화음보다 짧습니다. 아이소클린이 24셀의 (√ 3) 아이소클린 화음보다 600셀의 (10) 꼭지점에서 더 많이 교차하지만, 두 클리퍼드 폴리그램은 모두 4 𝝅 둘레를 가지고 있습니다. 아이소클린 곡선이 24셀보다 600셀에서 더 많은 정점과 교차하기 때문에 아이소클린 폴리그램이 다릅니다.^[eg]

제곱 및 4개의 𝝅 폴리그램

600개의 세포의 섬유는 450개의 거대한 정사각형 중 15개의 섬유를 포함합니다. 30개의 거대한 정사각형 중 15개의 섬유 다발입니다. 각 번들에 포함된 30개의 클리퍼드 평행 사각형은 완전히 서로소입니다. 인접한 평행 사각형은 큰 데카곤의 가장자리에 걸쳐 있습니다.^[ax] 각 진동은 4개의 𝝅 아이소클린에서 30개의 큰 정사각형 불변 평면(15개의 완전히 직교하는 쌍)에서 600 셀의 뚜렷한 왼쪽(및 오른쪽) 아이소클린 회전에 해당합니다.

각 섬유 다발은 각각 8개의 사면체 세포로 구성된 30개의 카이랄 세포 고리를 묘사하며,^[bc] 왼쪽과 오른쪽 세포 고리는 600개의 세포에 새겨진 15개의 서로 분리된 16개의 세포 각각을 채우기 위해 함께 둥지를 틀고 있습니다. 각 8개의 사면체 고리의 축은 나선형 대원의 특별한 종류인 등각선입니다.^[at] 거대 정방형 불변 평면에서 600 셀의 왼쪽(또는 오른쪽) 등사선 회전에서 모든 정점은 15개의 클리포드 평행 등사선 중 하나에서 순환합니다.

각 번들에 포함된 30개의 클리퍼드 평행 사각형은 4개의 클리퍼드 평행 24그램 등각선(각 정점을 하나씩 통과함)으로 연결되며, 각 사각형은 30개의 사각형 중 24개의 정점에서 하나의 정점과 교차하고, 600개의 셀 중 25개의 24개 셀 중 하나의 정점에만 있는 모든 24개의 정점이 교차합니다. 각 아이소클린은 24그램 회로로 25개의 24개의 셀을 모두 교차합니다. 그 중 24개는 한 번, 하나는 24번입니다. 각각의 24그램 아이소클린에 있는 24개의 꼭지점은 고유한 24개의 셀로 구성됩니다. 600개의 셀에는 25개의 서로 다른 아이소클린이 있습니다. 각 아이소클린은 {24/5} 24그램, 24 φ = √2. 𝚽 코드는 나선형 고리로 끝에서 끝까지 연결되어 중앙 평면에 평평하게 눕지 않고 4차원을 통해 하나의 24셀 주위를 5번 감습니다. 24개 세포의 인접한 꼭지점은 1개의 √ 코드가 떨어져 있고, 5개의 φ 코드가 이소클린에 떨어져 있습니다. 720°를 통과하는 왼쪽(또는 오른쪽) 등사선 회전은 각 24 셀을 다른 모든 24 셀을 통과하도록 합니다.

16개 셀의 회전은 불변하는 2개의 거대 사각형 평면, 24개 셀의 회전은 6개의 클리포드 평행 사각형에서, 600개의 셀의 회전은 30개의 클리포드 평행 거대 사각형에서 관계가 있음을 주목하십시오. 이 세 개의 회전은 동일한 회전으로, 정확히 같은 종류의 아이소클린 원에서 발생하며, 이 원들은 16개의 셀(8)보다 600개의 셀(24)에서 더 많은 정점과 교차합니다.^[eh] 16셀의 회전에서 등각선 곡선의 꼭짓점 사이의 거리는 √2 가장자리 길이입니다. 600개의 셀로 이루어진 꼭짓점은 서로 더 가깝고, 그 √은 2입니다.𝚽 = φ 코드는 동일한 아이소클린 상에서 인접한 정점들 사이의 거리이지만, 이 모든 아이소클린들은 𝝅 둘레를 가지고 있습니다.

구성으로

이 구성 매트릭스는^[87] 600셀을 나타냅니다. 행과 열은 꼭짓점, 모서리, 면 및 셀에 해당합니다. 대각선 숫자는 600 셀 전체에서 각 요소의 수를 나타냅니다. 대각선이 아닌 숫자는 열의 요소 중 몇 개가 행의 요소 또는 그 요소에서 발생하는지를 나타냅니다.

${\display style {\begin {bmatrix}{\begin}120&12&30&20\\2&720&5\3&3&1200&2\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

다음은 k-페이스 요소와 k-피규어로 확장된 구성입니다. 대각선 요소 카운트는 전체 콕서터 그룹 순서의 비율인 14400을 거울 제거 부분군의 순서로 나눈 값입니다.

아4		k면의	fk	f0	f1	f2	f3	k-fig	메모들
아3		( )	f0	120	12	30	20	{3,5}	H4/H3 = 14400/120 = 120
A1H2		{ }	f1	2	720	5	5	{5}	H4/H2A1 = 14400/10/2 = 720
A2A1		{3}	f2	3	3	1200	2	{ }	H4/A2A1 = 14400/6/2 = 1200
가3.		{3,3}	f3	4	6	4	600	( )	H4/A3 = 14400/24 = 600

대칭

아이코시안은 600셀과 동일한 대칭을 가진 해밀턴 쿼터니언의 특정 집합입니다.^[88] 아이코시안은 황금빛 들판에 놓여 있는데, (a + b √ 5) + (c + d √ 5)i + (e + f √ 5)j + (g + h √ 5)k이며, 여기서 8개의 변수는 유리수입니다. 120개의 단위 아이코시안의 유한합을 아이코시안 고리라고 합니다.

쿼터니언으로 해석하면 ^[e]600개 세포의 120개 꼭지점이 쿼터니언 곱셈 하에서 그룹을 형성합니다. 이 군은 보통의 이십면체 군 I의 이중 덮개이기 때문에 종종 이진 이십면체 군이라고 불리며 2I로 표시됩니다.^[91] 불변 부분군으로서 600 셀의 회전 대칭 그룹 RSG에서 두 번 발생합니다. 즉, 쿼터니언 왼쪽 곱셈의 부분군 2I와_L 쿼터니언 오른쪽 곱셈의 부분군 2I입니다_R. 600 셀의 각 회전 대칭은 2I_L 및 2I의_R 특정 요소에 의해 생성됩니다. 반대되는 요소의 쌍은 RSG의 동일한 요소를 생성합니다. RSG의 중심은 비회전 Id와 중심 반전 Id로 구성됩니다. 동형 RSG ≅(2I × 2I) / {Id, -Id}가 있습니다. RSG의 순서는 120 × 120/2 = 7200입니다. 메비우스는 3D 및 4D 회전 처리를 위한 도구이자 4차원 유클리드 공간에서 회전 이론을 완전히 이해하기 위한 길로서 쿼터니언 대수를 설명합니다.^[92]

이진 정이십면체 군은 SL(2,5)과 동형입니다.

600개 세포의 완전한 대칭군은 H의₄ 바일군입니다.^[93] 이것은 14400 주문 그룹입니다. 7200 회전과 7200 회전-반사로 구성되어 있습니다. 회전은 완전 대칭군의 불변 부분군을 형성합니다. 회전 대칭군은 S.L. van Oss에 의해 처음 기술되었습니다.^[94] Dechant는 귀납법에 의한 3차원 대칭군으로부터의 H군과₄ 그 클리포드 대수 구성을 설명합니다.^[95]

시각화

600셀의 3차원 표면의 대칭성은 사면체 셀의 수가 많고,^[aa] 사면체에 대향하는 면이나 꼭지점이 없다는 점 때문에 시각화하기가 다소 어렵습니다.^[be] 600셀이 120셀의 듀얼이라는 것을 깨닫는 것으로 시작할 수 있습니다. 또한 600개의 셀이 십이면체의 꼭짓점을 포함하고 있으며,^[42] 이는 아래의 대부분의 투시 투영에서 어느 정도의 노력으로 볼 수 있습니다.

2D 프로젝션

H3 십각형 투영은 반 오스 다각형의 평면을 보여줍니다.

콕서터 평면에^[15] 의한 정사영

아4	-	F4
[30] (빨간색=1)	[20] (빨간색=1)	[12] (빨간색=1)
아3	A2/B3/D4	A3 / B2
[10] (빨간색=1, 주황색=5, 노란색=10)	[6] (빨간색=1, 주황색=3, 노란색=6)	[4] (빨간색=1,오렌지=2,노란색=4)

3D 프로젝션

앙리 푸앵카레 연구소(Institut Henri Poincaré)의 컬렉션에 있는 600개의 세포의 3차원 모델은 1934-1935년에 맨 레이(Man Ray)에 의해 촬영되었으며, 이후 그의 "셰이크스피어 방정식(Shakespear Equation)" 그림 두 점 중 일부를 형성했습니다.^[96]

꼭짓점 첫 번째 사영
	이 이미지는 600 셀을 3D로 버텍스-퍼스트 투시도로 보여줍니다. 600 셀은 꼭짓점 중심 반경 1로 스케일링되고 4D 시점은 5단위 떨어져 배치됩니다. 그러면 다음과 같은 향상된 기능이 적용됩니다. 4D 시점에 가장 가까운 꼭지점에서 만나는 20개의 사면체는 단색으로 렌더링됩니다. 그들의 이십면체 배열이 명확하게 보여집니다. 이 20개의 세포 바로 옆에 있는 사면체는 투명한 노란색으로 만들어집니다. 나머지 셀은 에지 아웃라인으로 렌더링됩니다. 최종 이미지에서 시각적인 어수선함을 줄이기 위해 4D 시점에서 멀리 떨어진 세포(600개 세포의 "먼 쪽"에 놓여 있는 세포)를 도태했습니다.
셀-퍼스트 프로젝션
	이 이미지는 셀 우선 투시도에서 600셀을 3D로 투영한 것을 보여줍니다. 다시, 600 셀에서 꼭지점 중심 반경이 1이고 4D 시점이 5단위 떨어져 있습니다. 그러면 다음과 같은 향상된 기능이 적용됩니다. 4d 시점에 가장 가까운 셀은 프로젝션 이미지의 중앙에 놓여 있는 단색으로 렌더링됩니다. 주변 셀(하나 이상의 꼭지점 공유)은 투명한 노란색으로 렌더링됩니다. 나머지 셀은 에지 아웃라인으로 렌더링됩니다. 4D 시점에서 마주보는 세포는 명확하게 하기 위해 도태되었습니다. 이 특정 시점은 3D 이미지의 전면을 향해 가장자리를 공유하는 5개의 4면체의 멋진 윤곽을 보여줍니다.

프레임 동기화된 직교 등각선(왼쪽) 및 원근법(오른쪽) 투영

600셀 감소

스너브 24-셀은 내접된 24-셀의 정점들을 제거하고 나머지 정점들의 볼록한 선체를 취함으로써 600-셀로부터 얻을 수 있습니다.^[97] 이 과정은 600셀의 감소입니다.

대반력은 600 셀의 또 다른 감소로 얻어질 수 있습니다: 두 개의 서로 직교하는 링 위에 있는 20개의 정점을 제거하고 나머지 정점의 볼록한 선체를 취하는 것입니다.^[57]

이중 24개의 절단된 600개의 세포가 있으며, 모든 3개의 절단된 20면체 세포는 48개의 정점이 제거되어 600개의 세포의 120개의 정점 중 72개가 남아 있습니다. 이중 24절편 600셀은 48개의 꼭짓점과 72개의 육면체 셀이 있는 3절편 600셀입니다.

인접하지 않은 꼭짓점에 의한 600 셀의 감소는 총 314,248,344개입니다. 이들은 모두 정사면체와 정이십면체 세포로 구성되어 있습니다.^[98]

600셀 감소
이름.	Tri-24-dimined 600-cell	Bi-24-dimined 600-cell	스너브 24셀 (24-dimin 처리된 600셀)	대항해주의 (20개 dimin 600셀)	600셀
꼭짓점	48	72	96	100	120
꼭짓점 도형 (대칭)	삼등분 정이십면체의 이중 ([3], 주문 6)	정방형 쐐기 ([2],+ 주문 2)	삼등분된 정이십면체 ([3], 주문 6)	이십면체의 양각 ([2], 주문 4)	이십면체 ([5,3], 주문 120)
대칭	주문 144(48x3 또는 72x2)		[3+,4,3] 주문 576 (96x6)	[[10,2+,10]] 주문 400(100x4)	[5,3,3] 주문 14400 (120x120)
그물
오르토 H평면4
오르토 F평면4

관련 폴리토프 및 벌집

600 셀은 동일한₄ H 대칭을 갖는 15개의 규칙적이고 균일한 폴리토프 중 하나입니다[3,3,5].^[73]

H족4 폴리토프
120셀	정류된 120셀	잘린 120셀	음미할 수 있는 120셀	깡마른 120셀	구불구불한 120셀	구연산의 120셀	잡동사니의 120셀
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t0,3{5,3,3}	tr{5,3,3}	t0,1,3{5,3,3}	t0,1,2,3{5,3,3}
600셀	정류된 600셀	잘린 600셀	음미할 수 있는 600셀	비트런닝된 600셀	구불구불한 600셀	구연산의 600셀	잡동사니의 600셀
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t0,1,3{3,3,5}	t0,1,2,3{3,3,5}

이는 세 개의 일반적인 4-폴리토프와 유사합니다: 유클리드 4-공간의 5-셀 {3,3,3,4}, 쌍곡 공간의 6차 사면체 벌집 {3,3,6}. 이것들은 모두 사면체 세포를 가지고 있습니다.

{3,3,p} polytopes
공간	S3			아3
형태	유한			파라콤팩트	비콤팩트
이름.	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
이미지
꼭짓점 형체	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

이 4-폴리토프는 정이십면체 꼭짓점 도형을 가진 4-폴리토프와 벌집의 시퀀스의 일부입니다.

{p,3,5} polytopes
공간	S3	아3
형태	유한	작은		파라콤팩트	비콤팩트
이름.	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
이미지
세포	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 정규 복소 다각형 {5}₃ 및 {3}₅은 4차원 공간에서 600셀로 실제 표현됩니다$$. 둘 다 120개의 꼭짓점과 120개의 모서리를 가지고 있습니다. 첫 번째는 복소 반사 그룹 [5],₃ 순서 360, 두 번째는 대칭 [3],₅ 순서 600을 갖습니다.^[99]

H4 콕서터 평면의[15] 직교 사영에서 정규 복소 폴리토프
{3,3,5} 주문 14400	3{5}3 주문360	5{3}5 주문 600

참고 항목

• 24-cell, 600-cell의 기반이 되는 이전의 4-폴리토프
• 120-셀, 600-셀에 이중 4-폴리토프 및 그 후속 장치
• [5,3,3] 대칭을 갖는 균일한 4-폴리토프 계열
• 일반 4-폴리토프
• 폴리토프

메모들

인용문

참고문헌

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "600-Cell". MathWorld.
• Klitzing, Richard. "4D uniform polytopes (polychora) x3o3o5o - ex".
• Der 600-Zeller (600셀) Marco Möller's Regular Polytopes in⁴ R (독일어)
• 600-Cell Vertex 중심의 600-Cell 확장

v t 2-10차원의 기본 볼록한 규칙적이고 균일한 폴리토프
가족	An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	아n
정다각형	삼각형	광장	p-gon	육각형	펜타곤
균일 다면체	사면체	팔면체 • 정육면체	데미큐브		십이면체 • 이십면체
균일 폴리코론	펜타코론	16셀 • 테서랙트	폐기종결법	24셀	120셀 • 600셀
균일한 5-폴리토프	5-simplex	5-오르소플렉스 • 5-큐브	5-데미큐브
균일한 6-폴리토프	6-simplex	6-오르소플렉스 • 6-큐브	6데미큐브	122 • 221
균일한 7-폴리토프	7-simplex	7-오르소플렉스 • 7-큐브	7데미큐브	132 • 231 • 321
균일한 8-폴리토프	8-simplex	8-오르소플렉스 • 8-큐브	8데시큐브	142 • 241 • 421
균일한 9-폴리토프	9-simplex	9-오르소플렉스 • 9-큐브	9데미큐브
균일한 10-폴리토프	10-simplex	10-오르소플렉스 • 10-큐브	10데시큐브
균일한 n-폴리토프	n-simplex	n-북소 • n-큐브	n-데미큐브	1k2 • 2k1 • k21	오각형의 폴리토프
주제: 폴리토프 계열 • 정규 폴리토프 • 정규 폴리토프 및 화합물 목록