서명(로직)

논리학, 특히 수학적 논리학에서 서명은 공식 언어의 비논리적 상징들을 나열하고 설명한다.유니버설 대수학에서 서명은 대수 구조를 특징짓는 연산을 나열한다.모델 이론에서 서명은 두 가지 목적으로 사용된다.그들은 논리학에 대한 더 철학적인 치료법에서는 거의 명백하게 만들어지지 않는다.null

정의

형식적으로 (단일 편향된) 서명은 트리플 σ = (S_func, S, ar_rel)로 정의할 수 있으며, 여기서 S와_func S는_rel 각각 호출된 다른 기본적인 논리 기호를 포함하지 않는 분리 집합이다.

• 함수 기호(숫자: +, ×, 0, 1) 및
• 관계 기호 또는 술어(examples: ≤, ∈),

및$$ 함수 ar: S_func $\cup {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup$}$S$_rel → $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 모든 함수 또는 관계 기호에 arity라는 자연 숫자를 할당한다.함수 또는 관계 기호는 그 아리티가 n이면 n-ary라고 한다.무효(0-ary) 함수 기호를 상수 기호라고 한다.null

함수 기호가 없는 서명을 관계 기호라고 하고, 관계 기호가 없는 서명을 대수 기호라고 한다.^[1]유한서명은 S와_func S가_rel 유한한 서명이다.보다 일반적으로 서명 signature = (S_func, S, ar_rel)의 카디널리티는 σ = S + S로_funcrel 정의된다.

서명의 언어는 논리 시스템의 기호와 함께 그 서명의 기호로부터 만들어진 모든 잘 형성된 문장의 집합이다.null

기타 규약관

유니버설 대수학에서 단어 유형이나 유사성 유형은 종종 "서명"의 동의어로 사용된다.모델 이론에서, 시그니처 σ은 종종 어휘라고 불리거나, 그것이 비논리적 기호를 제공하는 (첫 번째 순서) 언어 L과 동일시된다.그러나 언어 L의 카디널리티는 항상 무한할 것이다. 만약 σ이 유한하다면 L은 ℵ일₀ 것이다.

형식적 정의는 일상적으로 사용하기 불편하기 때문에, 특정 서명의 정의는 다음과 같이 비공식적으로 약칭되는 경우가 많다.

"아벨리아 집단의 표준서명은 = = (+,-,0), 여기서 -는 단항 연산자다."

때때로 대수적 서명은 다음과 같이 단지 아리의 목록으로 간주된다.

"아벨리아 집단의 유사성 유형은 σ = (2,1,0)이다."

공식적으로 이것은 서명의 함수 기호를 f₀(nullary), f₁(unary) 및 f₂(binary)와 같은 것으로 정의하지만, 실제로는 이 관습과 연관되어도 일반적인 이름이 사용된다.null

수학 논리학에서는 기호가 무효가 되지 않는 경우가 매우 많으므로 ^{[citation needed]}상수 기호는 무효 함수 기호로 취급하기보다는 별도로 취급해야 한다.그들은 S로부터_func 세트 S_const 디스조인트(set S disjunction)를 형성하는데, 그 위에 아리티 함수 ar가 정의되어 있지 않다.그러나 이는 특히 공식의 구조에 대한 유도에 의한 증명에서 문제를 복잡하게 만들 뿐이며, 추가적인 경우를 고려해야 한다.또한 그러한 정의에 따라 허용되지 않는 임의의 무효 관계 기호는 그 값이 모든 요소에 대해 동일하다는 것을 나타내는 문장과 함께 단항 관계 기호로 에뮬레이션될 수 있다.이 번역은 (관습에 의해 종종 제외되는) 빈 구조에 대해서만 실패한다.만약 무효 기호가 허용된다면, 명제 논리학의 모든 공식은 1차 논리학의 공식이기도 하다.null

무한서명의 예로는 S_func = {+} ∪ {f_a: ∈ F} 및 S = {=}을(를) 사용하여 무한 스칼라 필드 F에 벡터 공간에 대한 표현식과 방정식을 공식화하는데, 여기서_rel 각 f는_a scalar 곱셈의 단항연산을 a로 나타낸다.이렇게 해서 서명과 논리는 한쪽으로 치우쳐 둘 수 있고 벡터만이 유일한 분류다.^[2]null

논리 및 대수에서의 서명 사용

1차 논리학의 맥락에서, 서명의 기호는 또한 비논리적 기호라고도 알려져 있다. 왜냐하면 두 개의 공식 언어가 귀납적으로 정의되는 기초 알파벳을 형성하기 때문이다.서명 위의 용어 집합과 서명 위의 수식 집합(잘 형성된)null

구조에서 해석은 함수 및 관계 기호를 그들의 이름을 정당화하는 수학적 객체에 연결한다.영역 A가 있는 구조 A에서 n-ari 함수 기호 f의 해석은 함수 f^A: A → A이며ⁿ, n-ari 관계 기호의 해석은 관계 R^A ⊆ A이다ⁿ.여기ⁿ A = A × A × ...× A는 그 자체로 도메인 A의 n-폴드 데카르트 제품을 나타내며, 따라서 f는 사실상 n-ari 함수, R은 n-ari 관계를 나타낸다.null

다양한 서명

다양한 종류의 논리 및 다양한 구조의 경우 서명은 해당 분류에 대한 정보를 인코딩해야 한다.이것을 하는 가장 간단한 방법은 일반화된 아리의 역할을 하는 기호 형식을 통해서이다.^[3]null

기호 종류

S를 기호 × 또는 →를 포함하지 않는 집합(종류)으로 한다.

알파벳 S∪에 S에 대한 상징 형식 특정 단어({\displaystyle S\cup){\times))}}:은 상대적인 상징 형식 및 ∈ S{\displaystyle s_{1},s_{2},\dots S,s_{n},s'\in 기능적인 상징 형식×…×sn→s′non-negative의 정수를, n과 s1, s2,…, s, s′s1×…×sn s1}.(권한입니다. nx0, s₁ × … × s라는_n 표현은 빈 단어를 의미한다.)null

서명

A(다양한)서명은 다음과 같이 구성된 3중(S, P, type)이다.

• S형 세트,
• 기호 P 세트
• P의 모든 기호와 연결되는 지도형. S에 대한 기호형.

참고 항목

• 용어 대수

메모들

참조

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 3-540-90578-2. 무료 온라인판.
• Hodges, Wilfrid (1997). A Shorter Model Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1.

외부 링크

• 스탠포드 철학 백과사전: Wilfred Hodges의 "모델 이론".
• PlanetMath: 항목 "Signature"는 어떤 종류도 도입되지 않은 경우의 개념을 설명한다.
• Baillie, Jean, "추상 데이터 유형의 대수적 사양 소개"