세트 카테고리

범주 이론의 수학적 분야에서 집합(Set)으로 표시된 집합의 범주는 개체가 집합인 범주입니다.집합 A와 집합 B 사이의 화살표 또는 형태소는 A에서 B까지의 전체 함수이며 형태소의 구성은 함수의 구성이다.

다른 많은 범주(예: 그룹의 범주, 그룹 동형사상을 화살표로 하는 그룹)는 집합 범주의 객체에 구조를 추가하거나 특정 종류의 기능으로 화살표를 제한한다.

집합 범주의 속성

범주의 공리는 함수의 구성이 연관성이 있고, 모든 집합 X가 함수 합성을 위한 식별 요소 역할을 하는 식별 함수_X ID: X → X를 가지고 있기 때문에 집합에 의해 충족됩니다.

집합의 에피몰피즘은 투영 맵, 단형상은 주입 맵, 동형상은 쌍사 맵입니다.

빈 집합은 빈 함수를 모르피즘으로 사용하여 집합의 초기 개체로 기능합니다.모든 싱글톤은 터미널 객체이며, 함수는 소스 세트의 모든 요소를 단일 타깃 요소에 모르피즘으로 매핑합니다.따라서 Set에는 0개의 객체가 없습니다.

카테고리 세트가 완전하고 동시에 완전합니다.이 범주의 곱은 세트의 데카르트 곱에 의해 주어진다.공동 생산물은 분리 결합에 의해 주어진다. i가 일부 지수 집합 I에 걸쳐 있는 집합 A가_i 주어지면, 우리는 A×{i}의 결합으로 공동_i 생산물을 구성한다(모든 성분이 분리 상태를 유지하도록 하는 데 도움이 되는 데카르트 곱).

세트는 콘크리트 범주의 프로토타입입니다.다른 범주는 명확하게 정의된 방식으로 "구축"된 경우 구체적입니다.

모든 2-요소 집합은 집합의 하위 개체 분류자로 사용됩니다.집합 A의 멱승 객체는 그 멱승 집합에 의해 주어지고 집합 A와 집합 B의 지수 객체는 A에서 B까지의 모든 함수 집합에 의해 주어집니다.따라서 집합은 토포스(특히 바의 의미에서는 폐쇄적이고 정확한 데카르트)입니다.

집합은 아벨도, 가법도, 전가법도 아닙니다.

비어 있지 않은 모든 집합은 집합의 주입 개체입니다.모든 집합은 집합의 투영 객체입니다(선택 공리 가정).

집합에서 정확하게 표시할 수 있는 개체는 유한 집합입니다.모든 집합은 유한 부분 집합의 직접 한계이므로 집합 범주는 로컬로 미세하게 표시할 수 있는 범주입니다.

C가 임의 범주인 경우 C에서 집합까지의 역변수 함수는 종종 중요한 연구 대상이 됩니다.A가 C의 객체일 경우, X를_C Hom(X,A)으로 보내는 C에서 Set(X,A)로 함수는 그러한 함수의 한 예이다.C가 작은 범주(즉, 객체의 집합이 집합을 형성함)인 경우, C에서 집합으로 반변하는 펑터는 형태론으로서의 자연 변환과 함께 새로운 범주, 즉 C에서 프리히브의 범주로 알려진 펑터 범주를 형성한다.

세트 범주의 기초

체르멜로-프랭켈 집합론에서 모든 집합의 집합은 집합이 아니다; 이것은 기초 공리에서 따른다.하나는 적절한 클래스로 설정되지 않은 컬렉션을 나타냅니다.적절한 클래스는 세트를 처리할 수 없습니다.특히, 이러한 적절한 클래스가 컬렉션(세트 또는 적절한 클래스)에 속한다고 쓸 수 없습니다.이것은, 이 설정에서는 세트의 카테고리를 간단하게 형식화할 수 없기 때문에, 문제가 됩니다.오브젝트 컬렉션이 적절한 클래스를 형성하는 Set과 같은 카테고리를 Large Category라고 하며 오브젝트가 세트를 형성하는 작은 카테고리와 구분합니다.

문제를 해결하는 한 가지 방법은 NBG 집합 이론과 같이 적절한 클래스에 공식적인 지위를 부여하는 시스템에서 작업하는 것입니다.이 설정에서는, 집합으로부터 형성되는 카테고리는 작다고 하고, 적절한 클래스에서 형성되는 카테고리(세트등)는 크다고 한다.

또 다른 해결책은 그로텐디크 우주의 존재를 가정하는 것이다.대략적으로 말해서, 그로텐디크 우주란 그 자체가 ZF(C)의 모델인 집합이다(예를 들어, 만약 집합이 우주에 속한다면, 그 원소와 그 파워셋은 우주에 속할 것이다).그로텐디크 우주(빈 집합과 유전적으로 유한한 집합의 ${\displaystyle {집합}_{}}$ V$${\ {\$displaystyle V_{\mega$}} 이외$$)의 존재는 일반적인 ZF 공리에 의해 암시되지 않는다.그것은 접근하기 어려운 추기경의 존재와 거의 동등한 추가 독립 공리이다.이 추가 공리를 가정하면 집합의 대상을 특정 우주의 요소로 제한할 수 있습니다.(모델 내에 "모든 집합"은 없지만, 모든 내부 집합의 클래스 U, 즉 U의 요소에 대해 추론할 수 있습니다.)

이 계획의 한 변형에서 집합의 클래스는 그로텐디크 우주의 전체 탑의 결합이다.(이것은 반드시 적절한 클래스이지만, 각각의 그로텐디크 세계는 하나의 집합입니다. 왜냐하면 그것은 더 큰 그로텐디크 우주의 요소이기 때문입니다.)단, "모든 세트의 카테고리"와 직접 연동되는 것은 아닙니다.대신, 정리는 충분히 큰 그로텐디크 우주 U의 요소인 범주_U 집합으로 표현되며, 그 개체는 U의 특정 선택에 의존하지 않는 것으로 나타난다. 범주 이론의 기초로서, 이 접근법은 타르스키-그로텐디크 집합과 같은 체계에 잘 부합한다.적절한 클래스에 대해 정직하게; 그것의 주된 단점은 정리가 모든 집합에 대해_U 참일 수 있지만 집합에는 참이 될 수 없다는 것이다.

그 외의 다양한 솔루션이나, 상기의 변형이 ^[1][2][3]제안되고 있습니다.

그룹의 범주나 위상 공간의 범주 등 다른 구체적인 범주에서도 동일한 문제가 발생한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 위상 공간의 범주
• 집합론
• 소세트(카테고리 이론)

메모들

레퍼런스

• 블래스, A.범주 이론과 집합 이론 사이의 상호작용입니다.현대 수학 30(1984년).
• 페퍼맨, S. 범주론의 이론적 기초스프링거 렉트.비고 수학 106(1969) : 201~247.
• Lawvere, F.W. 해설이 포함된 집합 범주(긴 버전)의 기본 이론
• 맥 레인, S범주론의 기초가 되는 하나의 우주.스프링거 렉트.비고 수학 106(1969) : 192 ~200.
• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician. Springer. ISBN 0-387-98403-8. (연재 제5권 수학 졸업 교재)
• Pareigis, Bodo (1970), Categories and functors, Pure and applied mathematics, vol. 39, Academic Press, ISBN 978-0-12-545150-5

외부 링크

• A231344 OEIS에서 {{}, {1}, {1,2}, {1, 2, ..., {1, 2, ..., n}개의 전체 하위 범주의 형태소 수.