Tautology (logic)

In mathematical logic, a tautology (from Greek: ταυτολογία) is a formula or assertion that is true in every possible interpretation. An example is "x=y or x≠y". Similarly, "either the ball is green, or the ball is not green" is always true, regardless of the colour of the ball.

The philosopher Ludwig Wittgenstein first applied the term to redundancies of propositional logic in 1921, borrowing from rhetoric, where a tautology is a repetitive statement. In logic, a formula is satisfiable if it is true under at least one interpretation, and thus a tautology is a formula whose negation is unsatisfiable. In other words it cannot be false. It cannot be untrue.

Unsatisfiable statements, both through negation and affirmation, are known formally as contradictions. A formula that is neither a tautology nor a contradiction is said to be logically contingent.

Such a formula can be made either true or false based on the values assigned to its propositional variables. The double turnstile notation is used to indicate that S is a tautology. Tautology is sometimes symbolized by "Vpq", and contradiction by "Opq". The tee symbol is sometimes used to denote an arbitrary tautology, with the dual symbol (falsum) representing an arbitrary contradiction; in any symbolism, a tautology may be substituted for the truth value "true", as symbolized, for instance, by "1".[1]

tautologies는 명제 논리학의 핵심 개념으로, 여기서 tautology는 명제적 변수에 대한 가능한 부울적 평가 하에서 사실인 명제적 공식으로 정의된다.[2] 명제 논리학에서 tautologies의 주요 특성은 주어진 공식이 항상 충족되는지 여부를 시험하기 위해 효과적인 방법이 존재한다는 것이다.

tautology의 정의는 명제논리의 문장에 없는 특징인 정량자를 포함할 수 있는 술어 논리학의 문장으로 확장될 수 있다. 실제로 명제 논리학에서는 tautology와 논리적으로 타당한 공식의 구분이 없다. 술어 논리의 맥락에서 많은 저자들은 tautology를 명제논리의 tautology를 취함으로써 얻을 수 있는 문장으로 정의하고 있으며, 각 명제 변수를 1차 공식(명제 변수당 하나의 공식)으로 균일하게 대체한다. 그러한 공식의 집합은 논리적으로 유효한 술어 논리(즉, 모든 모델에서 참된 문장)의 집합의 적절한 부분집합이다.

역사

tutology라는 단어는 고대 그리스인들이 같은 말을 두 번 하는 것만으로 진실이라고 주장된 말을 묘사하기 위해 사용되었는데, 이는 여전히 수사적인 tutology에 사용되는 경멸적인 의미였다. 1800년과 1940년 사이에 이 단어는 논리학에서 새로운 의미를 얻었고, 현재 수학 논리에서 원래 가지고 있던 경멸적인 함축 없이 어떤 유형의 명제적 공식을 나타내기 위해 사용되고 있다.

1800년 임마누엘 칸트는 그의 저서 로직에서 다음과 같이 썼다.

분석적 판단에서 개념의 정체성은 명시적(설명적)이거나 명확하지 않은(임시적)일 수 있다. 이전의 사례에서 분석적 명제는 서로 상투적이다.

여기서 분석적 명제는 분석적 진리, 단지 관련된 용어들 때문에 진실된 자연 언어로 된 진술을 가리킨다.

1884년 고틀롭 프레게는 그의 그룬들라겐에서 진리는 논리를 이용하여 도출될 수 있다면 정확히 분석적인 것이라고 제안했다. 그러나 그는 분석적 진실(즉, 용어 의미에만 근거한 진실)과 tautology(즉, 내용이 없는 진술)의 구별을 유지했다.

루드비히 비트겐슈타인은 1921년 그의 <Tractatus Logico-Philosophicus>에서 논리적 추론에 의해 추론될 수 있는 진술은 분석적 진실일 뿐만 아니라 tautological(의미적 빈말)이라고 제안했다. 앙리 푸앵카레는 1905년 과학과 가설에서 비슷한 발언을 했었다. 비록 처음에는 베르트랑 러셀이 비트겐슈타인과 푸앵카레의 이러한 발언에 반대하여 수학적인 진리는 신뢰할 수 없을 뿐만 아니라 합성된 것이라고 주장했지만, 후에 그는 1918년에 그들에게 찬성하는 말을 했다.

논리의 명제인 모든 것은 어떤 의미에서든 또는 다른 의미에서는 팽팽한 이론과 같아야 한다. 그것은 내가 어떻게 정의해야 할 지 모르는, 논리적인 명제에 속하지만 타인에게 속하지 않는, 어떤 독특한 품질을 가지고 있어야 한다.

여기서 논리 명제는 논리 법칙을 이용하여 증명할 수 있는 명제를 가리킨다.

1930년대에는 진리 과제 측면에서 명제논리의 의미론적 공식화가 개발되었다. "자동학"이라는 용어는 그들의 명제적 변수의 진실이나 거짓과 무관하게 참된 명제적 공식에 적용되기 시작했다. 논리에 관한 일부 초기 책들(C. I. Lewis와 Langford, 1932년)은 보편적으로 유효한 어떤 명제(어떤 형식 논리에서도)에 대해서도 이 용어를 사용했다. 이 이후의 프레젠테이션(Stephen Kleene 1967, Herbert Enderton 2002 등)에서는 tautology를 사용하여 논리적으로 타당한 명제 공식을 참조하되, 1차 논리학의 맥락에서 "자동학"과 "논리적으로 타당한"의 구분을 유지하는 것이 일반적이다. (아래 참조).

Background

Propositional logic begins with propositional variables, atomic units that represent concrete propositions. A formula consists of propositional variables connected by logical connectives, built up in such a way that the truth of the overall formula can be deduced from the truth or falsity of each variable. A valuation is a function that assigns each propositional variable to either T (for truth) or F (for falsity). So by using the propositional variables A and B, the binary connectives and representing disjunction and conjunction respectively, and the unary connective representing negation, the following formula can be obtained:.

A valuation here must assign to each of A and B either T or F. But no matter how this assignment is made, the overall formula will come out true. For if the first conjunction is not satisfied by a particular valuation, then one of A and B is assigned F, which will make one of the following disjunct to be assigned T.

Definition and examples

A formula of propositional logic is a tautology if the formula itself is always true, regardless of which valuation is used for the propositional variables. There are infinitely many tautologies. Examples include:

  • ) A or not A"), 제외된 중간 법칙. 이 공식은 하나의 명제 변수, A만 가지고 있다. 이 공식에 대한 모든 평가는 정의상 A에게 또는 거짓 중 하나를 할당하고 진실 값을 할당해야 한다. 예를 들어, "고양이는 검정색 또는 고양이는 검정색이 아니다."
  • 왼쪽 화살표 B AA가 B를 의미한다면, B가 아닌 것은 A를 의미하며, 그 반대의 경우도 A를 의미함)는 대립의 법칙을 나타낸다. 예를 들어, "책이라면 파란색, 파란색이 아니면 책이 아니다."
  • ("if not-A implies both B and its negation not-B, then not-A must be false, then A must be true"), which is the principle known as reductio ad absurdum. 예를 들어, "파란색이 아니면 책이고, 파랑색이 아니면 책도 아니어서 파랑색이다."
  • \lot BA와 B가 아니면 A가 아니거나 B가 아니거나")로 알려져 있으며, De Morgan의 법칙으로 알려져 있다. "책도 아니고 파랑도 아니면 책도 아니고, 파랑도 아니고, 둘 다 아니야."
  • ) (→ C)(→ C) CAB와 B를 내포한다면 A는 C를 내포한다")라는 원칙은 삼단논법으로 알려져 있다. "책이라면 파랑, 파랑이면 저 선반 위에 있지. 따라서 책이라면 저 선반 위에 있는 겁니다."
  • ("if at least one of A or B is true, and each implies C, then C must be true as well"), which is the principle known as proof by cases. "책과 파란 것들이 저 선반 위에 있어. 책이거나 파랑이면 저 선반 위에 있어."

최소의 tautology는 짧은 tautology의 예가 아닌 tautology이다.

  • )→ ( ) ( (lor B)\to (A이지만 C의 인스턴스화이기 때문에 최소학과는 다르다

tautologies 확인

공식이 팽팽한 논리인지 아닌지를 판단하는 문제는 명제 논리에 있어서 기본이다. 공식에 변수가 n개 있는 경우 공식에 대해 두 가지n 뚜렷한 평가가 있다. 따라서 공식이 tautology인지 아닌지를 판단하는 과제는 유한하고 기계적인 것이다. 즉 공식이 가능한 각각의 가치에 따라 공식의 진실 가치를 평가하기만 하면 된다. 모든 평가가 공식을 참으로 만드는지를 검증하는 하나의 알고리즘 방법은 가능한 모든 평가를 포함하는 진실 표를 만드는 것이다.[2]

예를 들어, 공식을 고려하십시오.

아래 표의 처음 세 개 열로 대표되는 제안 변수 A, B, C에 대한 8가지 가능한 평가가 있다. 나머지 열은 위의 공식의 보조형식의 진리를 보여주며, 각 평가에서 원래 공식의 진가를 보여주는 열로 절정에 이른다.

T T T T T T T T
T T F T F F F T
T F T F T T T T
T F F F T T T T
F T T F T T T T
F T F F T F T T
F F T F T T T T
F F F F T T T T

Because each row of the final column shows T, the sentence in question is verified to be a tautology.

It is also possible to define a deductive system (i.e., proof system) for propositional logic, as a simpler variant of the deductive systems employed for first-order logic (see Kleene 1967, Sec 1.9 for one such system). A proof of a tautology in an appropriate deduction system may be much shorter than a complete truth table (a formula with n propositional variables requires a truth table with 2n lines, which quickly becomes infeasible as n increases). Proof systems are also required for the study of intuitionistic propositional logic, in which the method of truth tables cannot be employed because the law of the excluded middle is not assumed.

Tautological implication

A formula R is said to tautologically imply a formula S if every valuation that causes R to be true also causes S to be true. This situation is denoted . It is equivalent to the formula being a tautology (Kleene 1967 p. 27).

For example, let be . Then is not a tautology, because any valuation that makes false will make false. But any valuation that makes true will make true, because is a tautology. Let be the formula . Then , because any valuation satisfying will make true—and thus makes true.

공식 이(가) 모순이라면 은(는) 모든 공식을 자율적으로 내포한다는 정의에서 따르며, 이는 을(를) 진실되게 만드는 진실평가가 없기 때문에 tutological 함의 정의는 사소한 것으로 만족되기 때문이다. 마찬가지로 (가) tautology인 경우, {\ 모든 공식에 의해 tautology적으로 암시된다.

대체

주어진 tautology(Kleene 1967초 3)에서 추가 tautology를 구성할 수 있는 일반적인 절차인 대체 규칙이 있다. S가 tutology이고 S에서 각 명제 변수 A에 대해 고정 문장 SA 선택한다고 가정하자. 그러면 S의 각 변수 A를 해당 문장 SA 대체하여 얻은 문장 역시 tautology이다.

예를 들어, S를 tautology로 하자.

) B B

SA 하고 S를 → E 로 한다.

그 문장은 대체 규칙에서 따온 것이다.

의미 완전성 및 건전성

모든 자동론이 하나의 정리(공리로부터 파생될 수 있는)라면 공리체계완성된다. 모든 정리가 tautology라면 자명체계는 건전하다.

효율적인 검증 및 부울 만족도 문제

명제 변수가 많은 문장이 tautology인지 아닌지를 판단하기 위한 실용적인 알고리즘을 구축하는 문제는 자동화된 정리 입증 분야에서 현대 연구의 한 분야다.

위에 설명된 진실 표의 방법은 확실히 정확하다. 즉, tautology의 진실 표는 T만 있는 열로 끝나는 반면, tautology가 아닌 문장의 진실 표는 최종 열이 F인 행을 포함하고, 그 열에 해당하는 평가는 시험 중인 문장을 만족시키지 못하는 평가다. 이 tautology 검증 방법은 효과적인 절차로서, 무한정 계산 자원이 주어질 경우 문장이 tautology인지 아닌지를 기계적으로 결정하는 데 항상 사용될 수 있다는 것을 의미한다. 이것은 특히, 고정된 유한 또는 계수 가능한 알파벳에 대한 tautology의 집합은 해독 가능한 집합임을 의미한다.

그러나 효율적인 절차로서 진리표는 확인해야 하는 평가의 수가 2로k 증가한다는 사실에 의해 제약된다. 여기서 k는 공식의 변수 수입니다. 연산 길이의 기하급수적인 성장은 현대 컴퓨팅 하드웨어가 실현 가능한 시간 내에 알고리즘을 실행할 수 없기 때문에 수천 개의 명제 변수를 갖는 수식에 진실 표 방법을 무용지물로 만든다.

공식을 참으로 만드는 가치평가가 있는지 여부를 결정하는 문제는 부울만족도 문제; 문장이 tautology인지 확인하는 문제는 이 문제와 동일하다. 왜냐하면 문장 S가 tautology라는 것을 확인하는 것은 S{\ S을(를) 만족시키는 가치평가가 없음을 확인하는 것과 같기 때문이다k부울 만족도 문제가 NP 완전하며, 이를 수행할 수 있는 다항식 시간 알고리즘이 없다는 것이 널리 알려져 있다. 결과적으로, tautology는 공동 NP-완전하다. 현재 연구는 특정 수준의 공식에서 잘 수행되거나, 일부 입력으로 인해 시간이 더 걸릴 수 있지만 평균적으로 빠르게 종료되는 알고리즘을 찾는 데 초점을 맞추고 있다.

1차 로직의 tautologies 대 유효성

tautology의 근본적인 정의는 명제논리의 맥락에 있다. 그러나 이 정의는 1차 논리에서는 문장으로 확장될 수 있다.[3] 이 문장들은 명제 논리학의 문장과는 달리 정량자를 포함할 수 있다. 1차 논리학의 맥락에서, 논리적 타당성, 모든 모델에서 참된 문장, 1차 논리 타당성의 적절한 부분집합인 tautology의 구분이 유지된다. 명제논리의 맥락에서 이 두 용어는 일치한다.

1차 논리학의 tautology는 명제논리의 tautology를 취하여 각 명제 변수를 1차 공식(명제 변수당 하나의 공식)으로 균일하게 대체함으로써 얻을 수 있는 문장이다. For example, because is a tautology of propositional logic, is a tautology in first order logic. 마찬가지로 단항 관계 기호 R,S,T가 있는 1차 언어에서 다음 문장은 tautology이다.

It is obtained by replacing with , with , and with in the propositional tautology 디스플레이 B 화살표( C

1차 논리에서는 모든 논리적 타당성이 tautology인 것은 아니다. 예를 들어, 그 문장은

is true in any first-order interpretation, but it corresponds to the propositional sentence which is not a tautology of propositional logic.

See also

Normal forms

Related logical topics

References

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Tautology". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-14.
  2. ^ a b "tautology Definition & Facts". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-14.
  3. ^ "New Members". Naval Engineers Journal. 114 (1): 17–18. January 2002. doi:10.1111/j.1559-3584.2002.tb00103.x. ISSN 0028-1425.

Further reading

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