확장성의 공리

자명 세트 이론과 그것을 사용하는 논리학, 수학, 컴퓨터 과학의 분야에서는 확장성의 공리, 즉 확장의 공리학은 저멜로-프라엔켈 세트 이론의 공리 중 하나이다. 동일한 요소를 가진 세트가 동일한 세트로 되어 있다고 한다.

형식명세서

제르멜로-프렌켈 공리의 공식어에는 다음과 같이 쓰여 있다.

$(\displaystyle \ forall A\,\fall B\, (\fall X\in B)\implies A=B)}$

또는 말로 다음과 같다.

어떤 세트 A와 세트 B가 주어졌을 때, 만약 모든 세트 X에 대해 X가 B의 멤버라면, 만약 X가 B의 멤버라면, A는 B와 동일하다.

(여기서 X가 한 세트라는 것은 정말 필수적인 것은 아니지만, ZF에서는 모든 것이 필수적이다. 위반 시 아래 Ur-elements를 참조하십시오.)

The converse, ${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(A=B\implies \forall X\,(X\in A\iff X\in B)),}$ of this axiom follows from the substitution property of equality.

해석

이 공리를 이해하려면 위의 기호 문장의 괄호 안에 있는 절에 A와 B가 정확히 같은 구성원을 가지고 있다고 간단히 명시되어 있다는 점에 유의한다. 따라서 공리가 진정으로 말하는 것은 두 세트가 정확하게 같은 멤버를 가지고 있어야만 대등하다는 것이다. 이것의 본질은 다음과 같다.

한 세트는 회원들에 의해 독특하게 결정된다.

The axiom of extensionality can be used with any statement of the form ${\displaystyle \exists A\,\forall X\,(X\in A\iff P(X)\,)}$, where P is any unary predicate that does not mention A, to define a unique set ${\displaystyle A}$ whose members are precisely the sets satisfying the predicate ${\$$displaystyle P$ 그런 다음 $우리$는 A$${\$displaystyle A}$의 새로운 기호를 도입할 수 있다$;$ 이런 식으로 일반 수학의 정의는 그들의 진술이 순전히 이론적인 용어로 축소될 때 궁극적으로 작용한다.

확장성의 공리는 일반적으로 수학의 세트이론적 기초에서 논란의 여지가 없으며, 그것 또는 그에 상당하는 공리는 세트이론의 어떤 대안적 공리화에서 나타난다. 그러나 다음과 같은 일부 목적을 위해 수정이 필요할 수 있다.

평등하지 않은 술어 논리학에서.

위에서 주어진 공리는 술어 논리학에서 평등이 원시적인 상징이라고 가정한다. 일부 자명 세트 이론의 치료는 이것 없이 하는 것을 선호하며, 그 대신 위의 진술을 공리가 아닌 평등의 정의로 취급한다. 그런 다음 이 정의된 기호에 대한 공리로 술어 논리에서 나오는 평등의 일반적인 공리를 포함할 필요가 있다. 평등의 대부분의 공리는 여전히 정의에서 따르며, 나머지 공리는 대체 재산이다.

$\displaystyle \ forall A\,\fall B\,(\all X\in B)\implies \fall Y\,(A\in Y)\,)}$

그리고 이 맥락에서 확장성의 공리라고 하는 것이 이 공리가 된다.

소변기를 이용한 세트이론

소변은 그 자체가 집합이 아닌 집합의 구성원이다. 저멜로-프렌켈 공리에서는 소변은 없지만, 집합 이론의 일부 대안 공리화에 포함된다. 요소들은 집합과 ${\displaystyle \mathrm{다른}}$ 논리적인 유형으로 취급될 수 있다. 이 경우, $B{\displaystyle }$${\displaystyle }$$\$ A {\$displaystyle$ B\$in$ A$}$이(가) 소변인 경우$$, 의미가 없으므로$$ 확장성의 공리는 집합에만 적용된다.

또는 ${\displaystyle \mathrm{유형화}}$되지 않은 논리에서는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 소변일$$ 때마다 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ A ${\displaystyle B\in A}$이(가) 거짓이 되도록$$ 요구할 수 있다. 이 경우, 확장성의 일반적인 공리는 모든 소자가 빈 집합과 동일하다는 것을 의미할 것이다. 이러한 결과를 피하기 위해 확장성의 공리를 수정하여 비어 있지 않은 집합에만 적용하도록 하여 다음과 같이 읽을 수 있다.

$(\displaystyle \for all A\,\fall B\), (\exist X\, (X\in A)\implies [\fall Y\in B)\implies A=B],)}$

즉,

임의의 집합 A와 임의의 집합 B를 주어진다면, A가 비어 있지 않은 집합(즉, A의 멤버 X가 존재하는 경우), A와 B가 정확히 같은 멤버를 가지고 있다면, 그들은 동일하다.

그러나 유형화되지 않은 논리의 또 다른 대안은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 소변일$$ 때마다$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 유일한 $요소$로 정의하는 것이다. 이 접근방식은 확장성의 공리를 보존하는 역할을 할 수 있지만, 규칙성의 공리는 대신 조정이 필요할 것이다.

참고 항목

• 일반 개요에 대한 확장성.

참조

• 폴 할모스, 순진무구한 집합론. 프린스턴, NJ: D. 밴 노스트랜드 컴퍼니, 1960년 1974년 뉴욕의 Springer-Verlag에 의해 재인쇄되었다. ISBN0-387-90092-6(Springer-Verlag 에디션).
• 제치, 토마스, 2003년 이론 설정: 수정 및 확장된 제3의 밀레니엄 에디션. 스프링거. ISBN 3-540-44085-2.
• 쿠넨, 케네스, 1980년 세트 이론: 독립 증명서에 대한 소개. 엘스비에 ISBN 0-444-86839-9