부울 값 모형

수학 논리학에서 부울 값 모델은 모델 이론으로부터 구조라는 일반적인 타르스키어 개념을 일반화한 것이다.부울 값 모델에서 명제의 진리 값은 "진리"와 "거짓말"에 국한되지 않고, 그 대신 어떤 고정된 완전한 부울 대수학에서 값을 취한다.null

부울가치의 모델은 다나 스콧, 로버트 M에 의해 소개되었다. 1960년대에는 솔로베이, 그리고 페트르 보펜카 등이 폴 코헨의 강요 방법을 이해하는데 도움을 주었다.직관논리학에서도 헤이팅 대수 의미론과 관련이 있다.null

정의

완전한 부울 대수 B와^[1] 1차 언어 L을 고정하라. L의 서명은 상수 기호, 함수 기호 및 관계 기호의 모음으로 구성된다.null

L 언어에 대한 부울 값 모델은 요소(또는 이름)의 집합인 우주 M과 기호에 대한 해석으로 구성된다.특히 모델은 L의 각 상수 기호에 M의 원소를 할당해야 하며, L의 각 n-ari 함수 기호 f와 M의 각 n-tuple <a₀,...,a_n-1>에 모델명은 f(a₀,...,a_n-1)라는 용어에 M의 요소를 할당해야 한다.null

L의 원자 공식의 해석은 더 복잡하다.M 원소의 각 쌍 a와 b에 대해, 모델은 a = b라는 표현식에 진리 값을 할당해야 한다. 이 진리 값은 부울 대수 B에서 가져온다.마찬가지로 L의 각 n-ari 관계 기호 R과 M의 각 n-tuple <a₀,...,a_n-1>에 대해 모델은 B의 요소를 진실 값 R(a₀,...,...,a_n-1)이 되도록 할당해야 한다.

기타 공식 및 문장의 해석

원자 공식의 진리 값은 부울 대수의 구조를 이용하여 더 복잡한 공식의 진리 값을 재구성하는 데 사용될 수 있다.명제적 연결의 경우, 이것은 쉽다; 단지 부울 연산자를 보조양식의 진실 값에 적용한다.예를 들어 φ(x)와 ψ(y,z)이 각각 1개, 2개의 자유 변수를 갖는 공식이고, a, b, c가 x, y, z를 대체할 모델 우주의 요소라면, 그 진가는 다음과 같다.

$\displaystyle \phi (a)\land \b,c)}$

단순하다

$\displaystyle \phi (a)\land \b,c)\\\\phi (a)\\land \\land \\land \\\\land \\\\\land \\\\\\\c}$

정량화된 공식에 대한 진실 값을 정의하려면 부울 대수의 완전성이 필요하다.φ(x)가 자유 변수 x(그리고 억제되는 다른 자유 변수)를 갖는 공식이라면,

$\exists x\phi(x)\\\bigvee _{a\in M}\\\phi(a)\,}$

여기서 우측은 모든 진리 값 집합의 B에서 최소값으로 이해되어야 한다 φ(a)는 M에 대한 범위로 이해되어야 한다.

수식의 진리 값은 때때로 그 확률로 언급된다.그러나 이것들은 실제 숫자가 아니라 완전한 부울대수 B의 요소들이기 때문에 일반적인 의미에서 확률은 아니다.null

집합 이론의 부울 값 모형

완전한 부울대수 B를^[1] 부여하면 V가^B 가리키는 부울 값 모델이 있는데, 이는 폰 노이만 우주 V의 부울 값 아날로그(강력하게 말하면, V는^B 적절한 등급이므로 모델이 되는 것이 무엇을 의미하는지 적절히 재해석해야 한다)비공식적으로 V의^B 요소는 "부울 값 집합"이다.일반적인 집합 A가 주어지면, 모든 집합은 멤버가 되거나 멤버가 아니지만, 부울 값 집합이 주어지면, 모든 집합은 A의 멤버라는 확실한 고정된 "확률"을 갖는다.다시 말하지만, "확률"은 실제 숫자가 아니라 B의 요소다.부울 값 집합의 개념은 퍼지 집합의 개념과 유사하지만 동일하지는 않다.null

부울 값 집합의 ("확률론적") 요소도 부울 값 집합이며, 요소도 부울 값 집합이다.부울 값 집합의 비원형 정의를 얻기 위해, 그것들은 누적 계층 구조와 유사한 계층 구조에서 귀납적으로 정의된다.V의 각 서수 α에 대해, 설정^B_α V는 다음과 같이 정의된다.null

• V는^B₀ 빈 세트다.
• V는^B_α+1 V에서^B_α B까지의 모든 함수의 집합이다. (이러한 함수는 V의^B_α "확률적" 하위 집합을 나타낸다. 만약 f가 그러한 함수라면, 어떤 x ∈ V의^B_α 경우, 값 f(x)는 x가 집합에 있을 확률이다.)
• α가 한계 서수인 경우, V는^B_α β < α에 대한 V의^B_β 결합이다.

등급^B V는 모든 집합 V의^B_α 조합으로 정의된다.

또한 이 전체 구조를 ZF의 어떤 전이 모델 M(또는 때로는 그 조각)과 상대화할 수도 있다.Boolean 값 모델 M은^B M 내부에 위의 구조를 적용하여 얻는다.모스토프스키 붕괴 정리는 모든 "합리적" (잘근거된, 확장적인) 모델은 전이적 모델에 대해 이형적인 것이라는 것을 암시하기 때문에 전이적 모델에 대한 제약은 심각하지 않다. (모델 M이 전이적 사물이 더 어지러워지지 않는다면, M이 '기능'이나 '순수'가 의미하는 것에 대한 해석은 '외적'과 다를 수 있기 때문이다.해석)null

일단^B V의 요소가 위와 같이 정의되면, V에^B 대한 평등과 멤버십의 B-값 관계를 정의할 필요가 있다.여기서 V에^B 대한 B 값 관계는 V^B × V에서^B B까지의 함수다.일반적인 평등과 구성원 자격과의 혼동을 피하기 위해, 이러한 것들은 V에서^B x와 y에 대해 x = y와 x ∈ y로 표시된다.그것들은 다음과 같이 정의된다.

x ∈ y는 σ_t∈Dom(y) x = t ∧ y(t)로 정의된다("x는 y의 어떤 것과 같을 경우 y").

x = y는 x ⊆ y ∧ y ⊆ x("x와 y가 모두 서로의 하위 집합인 경우 x는 y")로 정의된다.

x ⊆ y는 π x_t∈Dom(x)(t) ⇒ t ∈ y로 정의된다("x의 모든 요소가 y"인 경우 x는 y의 하위 집합임)

기호 σ과 π은 완전한 부울 대수 B에서 각각 최소 상한과 최대 하한 연산을 나타낸다.첫눈에 위의 정의는 원형인 것처럼 보인다: ∈은 ⊆에 의존하는 ⊆에 의존한다. 그러나 면밀한 조사에서는 however의 정의는 ∈이 작은 계급의 원소에 대해서만 의존하기 때문에 ∈과 =는 V^B×V에서^B B까지 잘 정의된 함수라는 것을 보여준다.null

V에서^B B 값 관계 ∈과 =가 V를^B 세트 이론의 부울 값 모델로 만든다는 것을 알 수 있다.자유 변수가 없는 1차 집합 이론의 각 문장은 B에 진리 값이 있다. 평등 공리와 ZF 집합 이론의 모든 공리(자유 변수 없이 쓰여짐)는 진리 값 1(B의 가장 큰 요소)을 가지고 있음을 보여 주어야 한다.이 증거는 직설적이지만 점검해야 할 공리가 많아 길다.null

강제력과 관계

세트 이론가들은 독립성 결과를 얻고 다른 목적을 위해 세트 이론의 모델을 구성하기 위해 강제력이라고 불리는 기술을 사용한다.이 방법은 원래 폴 코헨에 의해 개발되었지만 그 이후로 크게 확장되었다.하나의 형태로, 포셋의 일반적인 부분집합인 "우주에 적응"을 강요하는, 포셋은 새로 추가된 물체에 흥미로운 성질을 부과하도록 설계되고 있다.주름이 잡힌 것은 (흥미있는 포지션의 경우) 포지션의 그러한 일반적인 서브셋이 없다는 것을 증명할 수 있다는 것이다.이에 대처하는 방법에는 세 가지가 있다.

• 통사적 강제력 A 강제력 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊩}$ p ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p\vdash \pi }$은 강제력 언어의 p 요소와 공식 φ 사이에 정의된다$$.이 관계는 구문론적으로 정의되며 의미론적 요소가 없다. 즉, 모델은 생산되지 않는다.오히려 ZFC(또는 어떤 다른 세트 이론의 공리화)가 독립된 진술을 증명한다는 가정부터 시작하여 ZFC도 모순을 증명할 수 있어야 한다는 것을 보여준다.그러나 강제력은 "V 이상"이다. 즉, 카운트 가능한 전이 모델에서 시작할 필요는 없다.이 방법에 대한 설명을 보려면 쿠넨(1980)을 참조하십시오.
• countable transitive model 1은 원하는 목적에 필요한 만큼의 설정 이론의 countable transitive model M으로 시작하고, 포셋을 포함한다.그렇다면 M 위에 일반적인 Poset에 필터가 존재한다. 즉, Poset의 모든 밀도 있는 오픈 서브셋을 충족시키는 필터도 M의 요소가 된다.
• 허구의 일반적 객체 일반적으로, 세트 이론가들은 포셋이 V의 모든 위에 일반적 부분집합을 가지고 있는 것처럼 행동할 것이다.이 일반적인 물체는, 비종교적인 경우, V의 요소가 될 수 없으므로, "실제로 존재하지 않는다." (물론, 어떤 집합이 "실제로 존재하는"지는 철학적 논쟁의 포인트지만, 그것은 현재 논의의 범위를 벗어난다.)아마도 놀랍게도 약간의 연습만 있으면 이 방법은 유용하고 믿을 만하지만 철학적으로 만족스럽지 못할 수도 있다.

부울 값 모델 및 구문 강제 적용

부울 값 모델은 구문적 강제력에 의미론을 부여하는 데 사용될 수 있다. 지불되는 가격은 의미학이 2-값("참 또는 거짓")이 아니라 일부 완전한 부울 대수학에서 진실 값을 할당하는 것이다.강제 포셋 P에 따라, P의 정기적인 오픈 서브셋의 집합으로 종종 획득되는 해당 완전한 부울 대수 B가 있다. 여기서 P의 위상은 모든 하위 집합이 개방됨(그리고 모든 상위 집합이 폐쇄됨)을 선언하여 정의된다.(B 건설에 대한 기타 접근방식은 아래에서 논의한다.)null

이제 B에 대한 주문(영원소 제거 후)은 강제적인 목적을 위해 P를 대체할 수 있으며, 강제적인 관계는, 강제적인 언어의 공식인 P와 B의 요소인 φ에 대해, 강제적인 언어의 공식인 P를 의미론적으로 해석할 수 있다.

$\displaystyle p\vdash \iff p\leq \pi }$

여기서 φ은 V에서^B φ의 진리값이다.

이 접근방식은 가상의 일반적 객체에 의존하지 않고 V를 강제로 적용하기 위해 의미론을 할당하는 데 성공한다.단점은 의미론이 2가치가 되지 않고, B의 조합이 밑바탕 P의 조합보다 복잡한 경우가 많다는 점이다.

부울 값 모델 및 일반 개체가 카운트 가능한 전이적 모델 초과

강제력에 대한 하나의 해석은 ZF 세트 이론의 카운트 가능한 전이 모델 M, 부분 순서가 정해진 세트 P, 그리고 P의 "일반적인" 부분 집합 G로 시작하고, 이러한 객체들로부터 새로운 ZF 세트 이론의 모델을 구성한다.(모델을 계산할 수 있고 전이할 수 있는 조건은 일부 기술적 문제를 단순화하지만 필수적인 것은 아니다.)코헨의 시공은 다음과 같이 부울 값 모델을 사용하여 진행할 수 있다.null

• 포셋 P에 의해 "생성된" 전체 부울 대수 B를 구성한다.
• P의 일반 부분 집합 G에서 B(또는 B에서 부울 대수 {true, false}까지의 동일 동형성)에 초필터 U를 생성한다.
• B에서 {true, false}까지의 동형식을 사용하여 위 섹션의 부울 값 모델 M을^B ZF의 일반 모델로 변환한다.

우리는 이제 이 단계들을 좀 더 자세히 설명한다.null

어떤 포셋 P의 경우, 영상이 조밀할 때마다 e(p) ande(q), p와 q가 양립할 때마다 e(p)e(q)=0이 되도록 P에서 B까지의⁺ 완전한 부울 대수 B와 지도 e가 있다.이 부울대수는 이소모르프까지 독특하다.P의 위상학적 공간(기본 세트 P와 qp 원소의 세트 U에_p 의해 주어진 베이스)에서 정규 오픈 세트의 대수로서 구성할 수 있다.null

포셋 P에서 완전한 부울 대수 B까지의 지도는 일반적으로 주입되지 않는다.지도는 P가 다음 속성을 가지고 있는 경우에만 주입된다: 모든 r rp가 q와 호환되는 경우 p≤q.null

B의 극필터 U는 G의 일부 원소보다 큰 B의 원소 b의 집합으로 정의된다. 부울대수에 극필터 U가 주어지면 U를 true에 매핑하고 그 보완을 false에 의해 {true, false}에 동형성을 얻는다.반대로 그러한 동형성을 고려할 때 참의 역적 이미지는 초유형이기 때문에, 초유형은 {참, 거짓]에 대한 동형식과 본질적으로 동일하다.(알제브라주의자들은 초유형 대신 최대형 이상을 사용하는 것을 선호할 수 있다: 초유형성의 보완은 최대 이상이고, 반대로 최대 이상형의 보완은 초유형이다.ter.)

만약 g가 부울대수 B에서 부울대수 C에 이르는 동형상이고 M이^B ZF의 어떤 B값 모델이라면(또는 그 물질에 대한 다른 이론의) 우리는 모든 공식의 값에 동형상 g를 적용함으로써 M을^B C값 모델로 바꿀 수 있다.특히 C가 {true, false}인 경우 {true, false} 값 모델을 얻는다.이것은 일반 모델과 거의 같다: 사실 우리는 {true, false}-값 모델의 =에 따른 동등성 클래스 집합에 대한 일반 모델을 얻는다.그래서 우리는 B에 M, Boolean 대수 B, 그리고 Ultrafilter U에서 출발함으로써 ZF 세트 이론의 일반적인 모델을 얻는다.(이렇게 구축된 ZF의 모델은 타동성이 아니다.실제로 1은 이것을 전이 모델로 바꾸기 위해 Mostowskior를 적용한다.null

우리는 일반적인 부분집합을 가진 포셋에서 울트라필터로 부울 대수를 구성함으로써 부울 값 모델을 사용하여 강제력이 수행될 수 있다는 것을 보았다.다른 길로 되돌아가는 것도 가능하다: 부울대수 B를 주어진다면, 우리는 B의 모든 0이 아닌 원소의 포셋 P를 형성할 수 있고, B의 일반적인 초필터는 P의 일반 세트로 제한된다.그래서 강제성과 부울가치의 모델은 본질적으로 동등하다.null

메모들

참조

• 벨, J. L. (1985) 부울 가치 모델과 옥스포드 세트 이론의 독립 증명서.null ISBN0-19-853241-5
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• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965.
• Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. ISBN 0-444-85401-0. OCLC 12808956.
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• Manin, Yu. I. (1977). A Course in Mathematical Logic. Springer. ISBN 0-387-90243-0. OCLC 2797938. 이론가가 아닌 수학자들을 위해 쓰여진 강제력과 부울 가치 모델에 대한 설명을 포함한다.
• Rosser, J. Barkley (1969). Simplified Independence Proofs, Boolean valued models of set theory. Academic Press.