울트라프로덕트

초급행렬은 주로 추상대수학과 수학논리학, 특히 모델론과 세트이론에서 나타나는 수학구축이다.초고속은 구조물 계열의 직접 생산물의 지수다.모든 요인은 동일한 서명이 있어야 한다.초고속철도는 모든 요소가 동일한 이 건설의 특별한 경우다.

예를 들어, 초경량기는 주어진 분야로부터 새로운 분야를 건설하는 데 사용될 수 있다.실수의 초경량인 초현실적인 숫자들은 이것의 특별한 경우다.

초고속의 일부 눈에 띄는 응용에는 콤팩트성 정리 및 완전성 정리의 매우 우아한 증명, 기초 동등성의 의미적 개념의 대수적 특성화를 제공하는 키슬러의 초고속 정리, 그리고 수축하기 위한 상부구조의 이용과 그 단모형의 사용에 대한 로빈슨-자콘의 제시 등이 있다.비표준 분석 모델을 uct하여, 아브라함 로빈슨에 의해 (집약성 정리의 적용으로서) 개척된 비표준 분석 영역의 성장을 이끌었다.

정의

울트라프로덕트를 얻기 위한 일반적인 방법은 인덱스 세트 I, I의 각 요소 I(동일한 시그니처 모두)에 대한 구조_i M, 그리고 I에 대한 초고필터 U를 사용한다.사람들은 보통 이것을 내가 무한하다고 생각하고 U는 I의 모든 cofinite subset, 즉 I의 모든 cofinite subset을 포함하고 있는 경우에 고려한다.U는 주요 초여광필터가 아니다.주요 사례에서 초고속은 요인 중 하나에 대해 이형성이다.

데카르트 산물의 대수적 연산

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}}$

포인트와 같이 정의되며(예:${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$이(${\displaystyle 가}$) 이항 함수인 경우$$ ${\displaystyle (+b}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle (a+b)_{i}=a_{i}+b_{i}}})$ 동등성 관계는${\displaystyle }$~ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ a$\sim b}$에 의해 정의된다.

${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U}$

그리고 초고속은${\displaystyle }$~에 대한 지수 집합이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \sim .}$ 따라서$$ 초고속은 때때로 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}/U.}$

지수 세트 I에 m(A) = 1(A ∈ U이면 1), 다른 경우 = 0이라고 말해 미세하게 가미된 측정치 m을 정의할 수 있다.그 다음, 카트리지안 제품의 두 구성원은 정확히 동일하다. 만약 그들이 인덱스 세트의 거의 모든 곳에서 동일하다면.초고속은 이와 같이 생성된 동등성 등급의 집합이다.

다른 관계도 동일한 방식으로 연장할 수 있다.

${\displaystyle R([a^{1}],\dots ,[a^{n}])\f \left\{i\in I:R^{M_{i}}(a_{i}^{1}^{1}1},\dots,a_{i}^{n}}\{n}\in U,}}}$

여기서 [a]는${\displaystyle }$~에 대한 의 동등성 클래스를 나타냄.${\displaystyle \sim.}$

특히 모든 M이_i 주문된 필드라면 초고속도 마찬가지다.

Ultrapower는 모든 요소_i M이 동일한 Ultraproduct이다.

${\displaystyle M^{I}/U=\prod _{i\in I}M/U.\,}$

보다 일반적으로 위의 시공은 U가 I의 필터일 때마다 수행할 수 있으며, 결과 ${\displaystyle 모델}$ ${\displaystyle \underset{}{model}}{\displaystyle \underset{}{}}$I ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{I}}$ ${\displaystyle M_{}}$ I${\displaystyle {}_{}}$/ U ${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}/U}$을(를$$) 축소된 제품이라고 한다.

예

초실수 숫자는 모든 코피나이트 집합을 포함하는 자연수 위의 초박막과 관련하여 모든 자연수에 대한 실제 숫자의 한 사본의 초박막이다.그들의 순서는 실수의 순서의 연장이다.예를 들어 Ω_i = i로 주어진 시퀀스 Ω은 어떤 실수보다 큰 초실수 숫자를 나타내는 동등성 클래스를 정의한다.

유사하게, 해당 구조물의 사본의 초고속을 취함으로써 비표준 정수, 비표준 복합수 등을 정의할 수 있다.

초고속으로 관계를 이월하는 예로서 sequence_i = 2i로 정의된 시퀀스 consider을 고려한다.모든_i i에 대해 = > Ω_i = i이기 때문에 equival_i = 2i의 등가 등급이 Ω_i = i의 등가 등급보다 크므로, 원래 구성된 수보다 큰 무한수로 해석할 수 있다.단, = = i가 7이 아닌 χ_i7 = 8이 되도록 한다.Ω과 χ이 동의하는 지수 집합은 (Ω과 χ이 거의 모든 곳에서 일치하기 때문에) 어떤 울트라필터의 구성원이므로 Ω과 χ은 동일한 동등성 등급에 속한다.

대형 추기경 이론에서, 표준적인 구조는 신중하게 선택된 초여광기 U. 이 초여광기 U의 특성은 초여광기의 (높은 순서) 특성에 강한 영향을 미친다. 예를 들어, U가 σ-완전하다면, 초여광기는 다시 초여광기가 될 것이다.근거가 있는(시제품 예는 측정 가능한 추기경 참조)

우워의 정리

울트라프로덕트의 근본적인 정리라고도 불리는 우와르의 정리는 예지 우와(성명은 [ˈw], 대략 "빨래"로 발음된다.이 보고서는 1차 공식이 U의 멤버인 경우, 그리고 M에서_i 공식이 참인 지수의 집합인 경우에만 초고속에서 참이라고 명시하고 있다. 보다 정확하게는 다음과 같다.

σ은 시그니처가 되고, $U{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ U$}$은(는$)$ 세트 I {\$displaystyle$ I$$$}$을(를) 통해 극필터가 되며$,$ $각{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ I ${\displaystyle i\in$ I$}$에 대해 ${\displaystyle {Mi}_{}}$ ${\$은(는) 구조물이 되도록$$ 한다$$.Let ${\displaystyle M}$ be the ultraproduct of the ${\displaystyle M_{i}}$ with respect to ${\displaystyle U}$, that is, ${\displaystyle M=\prod _{i\in I}M_{i}/U.}$ Then, for each ${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod M_{i}}$, where $$${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$ I$\}\})$ 및 모든 $\sigma -포뮬라{\displaystyle }$ for ${\displaysty \pi$ $\},$

${\displaystyle M\models \phi [[a^{1}],\ldots ,[a^{n}]]\iff \{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\\in U.}$

$\varphi {\displaystyle }$ {\$displaystyle \phi }$ 공식의 복잡성에 대한 유도로 정리를 증명한다$.$$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 부정 절에는 (필터가 아닌) 초필터라는 사실이 사용되며, 실존적 정량화 단계에서 선택의 공리가 필요하다.어플리케이션으로서 초현실 분야의 전이 정리를 획득한다.

예

R을 구조 M에서 단일한 관계가 되게 하고, M의 초경량관을 형성한다.그러면 세트 $S{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ R ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ S$=\{x\in$M$Rx\}}$은 울트라파워에 아날로그 S가 있고$$, S와 관련된 1차 공식도 S에 유효하다.예를 들어, M을 reals로 하고, x가 합리적인 숫자라면 Rx를 hold하게 한다.그렇다면 M에서 우리는 어떤 한 쌍의 합리성 x와 y에 대해서도 z가 합리적이지 않은 또 다른 숫자 z가 존재한다고 말할 수 있고, x < z < y. 이것은 관련 공식 언어에서 1차 논리 공식으로 번역될 수 있기 때문에, 우워의 정리는 S가 동일한 속성을 가지고 있다는 것을 암시한다.즉, 초합리적 숫자의 개념을 정의할 수 있는데, 초합리적 숫자의 하위 집합이며, 1차적 속성은 합리성과 동일하다.

그러나 무한정 목록의 모든 불평등에 대해 x > 1, x > 1 + 1, x > 1 + 1 + 1, ...과 같은 실제 숫자 x는 없다고 하는 실재자의 아르키메데스 속성을 생각해 보라.아르키메데스 속성은 1차적 논리로 명시할 수 없기 때문에 우와프의 정리는 아르키메데스 속성에 적용되지 않는다.실제로 아르키메데스 속성은 위의 초실수 Ω의 구성에서 알 수 있듯이 초실수에게는 거짓이다.

초경량(초경량)의 직접 한계

모델 이론과 세트 이론에서는, 초경량 연속의 직접적인 한계가 종종 고려된다.모델 이론에서 이 구조는 초경량 또는 제한 초경량이라고 할 수 있다.

구조로 시작하는₀ A와 초박막 D는₀ 초박막 A를₁ 형성한다.그런 다음 프로세스를 반복하여 A를₂ 형성하는 등의 작업을 수행하십시오.각 n에 대해 표준 대각선 내장 $A{\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$가 있다$.$A와_ω 같은 한계 단계에서는 초기 단계의 직접적인 한계를 형성한다.한 사람이 트랜스핀라이트 속으로 계속 들어갈 수도 있다.

참고 항목

• 컴팩트 정리 – 정리
• Löwenheim-Skolem 정리 – 논리 이론 모델의 존재와 카디널리티
• 전달 원리 – 일부 구조에 대해 참인 일부 언어의 모든 문장이 다른 구조에 대해 참이라는 것

참조

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (reprint of 1974 ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. (2000) [1981]. A Course in Universal Algebra (Millennium ed.).