슈퍼태스크

Supertask
컴퓨터 과학 용어는 계산 복잡성 이론을 참조하십시오.

철학에서 슈퍼태스크는 한정된 시간 간격 내에 순차적으로 발생하는 헤아릴 수 없이 무한히 이어지는 연산 순서다.[1]슈퍼타스크는 수술 횟수가 헤아릴 수 없이 무한해질 때 비대라고 불린다.각 서수마다 하나의 과제를 포함하는 비대를 울트라타스크라고 한다.[2]슈퍼태스크라는 용어는 철학자 제임스 F에 의해 만들어졌다. 톰슨의 램프를 고안한 톰슨."hypertask"라는 용어는 그 이름의 그들의 신문에 실린 Clark와 Read에서 유래되었다.[3]

역사

제노

동작

슈퍼타스크에 대한 관심의 기원은 보통 엘레아의 제노에 기인한다.제노는 운동이 불가능하다고 주장했다.그는 다음과 같이 주장하였다: 아킬레우스가 말하길 우리의 급성장하는 "모버"가 A에서 B로 옮기고 싶다고 가정하자.이것을 이루기 위해서 그는 A에서 B까지의 거리의 절반을 횡단해야 한다.AB의 중간점에서 B까지 가려면 아킬레우스는 이 거리의 절반을 횡단해야 한다.그가 이런 '트래버링' 업무 중 하나를 몇 번이나 수행해도 B에 도착하기 전에 해야 할 일이 또 하나 남아 있다.따라서 그것은 제노에 따르면 그 운동(유한 시간에 0이 아닌 거리를 여행하는 것)은 수퍼태스크라고 한다.제노는 더 나아가 슈퍼타스크는 불가능하다고 주장한다(각 횡단에 또 다른 것이 있다면 어떻게 이 시퀀스를 완성할 수 있을까).그것은 운동이 불가능하다는 것을 따른다.

제노의 주장은 다음과 같은 형식을 취한다.

  1. 동작은 슈퍼태스크로서, 정해진 거리에 걸쳐 동작의 완성은 무한한 수의 스텝을 수반하기 때문이다.
  2. 슈퍼타스크는 불가능하다.
  3. 그러므로 동작은 불가능하다.

뒤이은 대부분의 철학자들은 상식에 유리하게 제노의 대담한 결론을 배척한다.대신 그의 주장을 (유효하다고 가정한다) 머리 위에 돌려놓고 운동의 가능성을 당연시하는 모순에 의한 증거로 받아들인다.그들은 움직임의 가능성을 받아들이고 어느 한쪽 움직임이 슈퍼태스크가 아니거나 모든 슈퍼태스크가 불가능하지 않다는 결론에 도달하기 위한 제노의 주장에 모더스 톨렌스(경쟁력)를 적용한다.

아킬레스와 거북이

제노 자신은 또한 그가 "아킬레스와 거북이"라고 부르는 개념에 대해 논한다.아킬레우스가 가장 빠른 달리기 선수라고 가정하고, 1m/s의 속도로 움직인다.아킬레우스는 0.1m/s로 움직이는 느린 동물로 유명한 거북이를 쫓는다.하지만 거북이는 0.9미터 앞에서 출발한다.상식은 아킬레우스가 정확히 1초 후에 거북이를 따라잡겠다고 선언하는 것 같지만 제노는 그렇지 않다고 주장한다.그는 대신 아킬레우스가 거북이로부터 출발하는 지점까지 필연적으로 올라올 것을 제안하지만, 그가 이것을 성취했을 무렵에는 거북이는 이미 다른 지점으로 옮겨갔을 것이다.이것은 계속되며, 아킬레우스가 거북이가 있던 곳에 도달할 때마다 거북이는 아킬레우스가 따라잡아야 할 새로운 지점에 도달했을 것이다; 거북이는 0.9미터로 시작하는 동안 0.09미터가 더 되고, 그 다음 0.009미터가 된다.이러한 거리는 매우 작게 자라나면서도 한정된 상태로 남아 있을 것이고, 아킬레우스가 거북이를 쫓는 것은 끝없는 슈퍼태스크가 될 것이다.이 특정한 역설에 대해 많은 논평을 했다; 많은 사람들은 그것이 상식에서 허점을 발견한다고 주장한다.[4]

톰슨

제임스 F. 톰슨은 운동이 슈퍼태스크가 아니라고 믿었고, 그는 슈퍼태스크가 가능하다고 단호하게 부인했다.톰슨이 후자의 주장에 제시한 증거는 아마도 제노 이후 가장 유명한 슈퍼태스크의 예가 되었을 것이다.톰슨의 램프는 켜지거나 꺼질 수 있다.t = 0일 때 램프가 꺼지고 t = 1/2이 켜지고 t = 3/4(= 1/2 + 1/4)이 꺼지고 t = 7/8(= 1/2 + 1/4 + 1/8)이 켜지는 등자연적인 의문이 생긴다: t = 1에서 램프가 켜지거나 꺼지는가?이 문제를 결정하는 비임의 방법은 없어 보인다.톰슨은 더 나아가 이것이 모순이라고 주장한다.그는 램프가 다시 즉시 꺼지지 않은 곳에 켜진 지점이 전혀 없었기 때문에 램프를 켤 수 없다고 말한다.그리고 비슷하게 그는 그것이 꺼질 수 없다고 주장한다. 왜냐하면 그것은 꺼질 때 즉시 다시 켜지지 않은 부분이 없기 때문이다.톰슨의 추론에 따르면 램프는 켜지지도 꺼지지도 않지만, 켜지지도 꺼지지도 않으면 안 된다는 것을 명기함으로써, 이것은 모순이다.그러므로 톰슨은 슈퍼타스크는 불가능하다고 믿는다.

베나케라프라

Paul Benacerraf는 톰슨의 명백한 모순에도 불구하고 슈퍼타스크는 적어도 논리적으로 가능하다고 믿는다.그가 개략적으로 설명한 실험이 t = 1에서 램프의 상태를 결정하지 않는 한, Benacerraf는 Thomson의 의견에 동의한다.그러나 그는 Thomson이 t = 1에서의 램프의 상태가 앞의 주들에 의해 논리적으로 결정될 필요는 없기 때문에 이것으로부터 모순을 이끌어낼 수 있다는 것에 동의하지 않는다.논리적인 함축적 의미는 램프가 켜지거나 꺼지거나 완전히 사라지는 것을 말 끄는 호박으로 대체하는 것을 막지는 않는다.톰슨의 램프가 켜지는 가능한 세계와 t = 1에서 기이하고 멋진 일들이 일어나는 수많은 다른 세계들은 말할 것도 없다.겉으로 보이는 재정적인 문제는 톰슨의 실험이 햄릿이 오른손잡이인지 왼손잡이인지 결정하기 위해 셰익스피어의 희곡에서 아무것도 찾을 수 없는 방법처럼 t = 1에서 램프의 상태를 결정하기에 충분한 정보를 포함하고 있지 않다는 사실에서 비롯된다.그렇다면 모순은 어떤가?베나케라프는 톰슨이 실수를 저질렀다는 것을 보여주었다.그가 램프가 다시 꺼지지 않고 켜진 적이 없기 때문에 켤 수 없다고 주장했을 때 – 이는 엄격히 1 미만인 시간 주입자에게만 적용되었다.1은 시퀀스 {0, 1/2, 3/4, 7/8, …}에 나타나지 않기 때문에 1에 적용되지 않는 반면, 톰슨의 실험은 이 시퀀스에서 시간 동안 램프의 상태만을 명시했다.

현대 문학

현대 문학의 대부분은 베나케라프의 후손들, 즉 슈퍼타스크의 가능성을 암묵적으로 받아들이는 사람들로부터 나온다.자신의 가능성을 거부하는 철학자들은 톰슨과 같은 이유로 그들을 배척하는 것이 아니라 무한 그 자체에 대한 관념에 거리낌이 있기 때문이다.물론 예외도 있다.예를 들어, 맥러플린은 톰슨의 램프가 실제 분석의 변종인 내부 세트 이론으로 분석된다면 일관성이 없다고 주장한다.

수학철학

만약 슈퍼타스크가 가능하다면, 골드바흐의 추측과 같은 숫자 이론의 알려지지 않은 명제의 진실이나 거짓, 혹은 심지어 미해결 명제까지도 모든 자연수들의 집합에 대한 무차별적인 강제적인 검색에 의해 유한한 시간 안에 결정될 수 있을 것이다.그러나 이것은 교회-튜링 논문과 모순된다.일부 사람들은 직감주의자들이 실제로 증명될 수 없는 것들(예를 들어 볼로스의 "귀여운 추론"[5]과 같이 너무 길거나 복잡하기 때문에)을 구별해야 하지만 그럼에도 불구하고 "제공할 수 있는 것"으로 간주되고, 위의 의미에서는 무한한 짐승의 힘에 의해 증명될 수 있는 것들을 구별해야 하기 때문에 이것이 직관주의에 문제를 제기한다고 주장해 왔다.

물리적 가능성

일부에서는 톰슨의 램프가 빛의 속도(예: 램프 스위치)보다 빠른 속도로 부품을 이동시켜야 하기 때문에 물리적으로 불가능하다고 주장해왔다.아돌프 그룬바움은 램프가 들어올릴 때 회로를 방해하고 램프를 끄는 와이어 스트립을 가질 수 있다고 제안한다. 그런 다음 램프를 끌 때마다 이 스트립은 일정한 속도를 유지하며 더 작은 거리로 들어올릴 수 있다.그러나 그러한 설계는 결국 실패하게 되는데, 결국 접점 사이의 거리는 전자가 그 간격을 뛰어넘을 수 있을 정도로 작기 때문에 회로가 아예 깨지는 것을 막을 수 있을 것이다.그러나 인간 또는 어떤 장치의 경우 램프의 상태를 감지하거나 그에 따라 작용하기 위해서는 측정해야 한다. 예를 들어 램프에서 나오는 빛이 눈이나 센서에 도달해야 한다.그러한 측정은 아무리 작더라도 고정된 시간이 소요될 것이며 따라서 어느 시점에서는 국가의 측정이 불가능할 것이다.t=1의 상태는 원칙적으로 결정할 수 없기 때문에 램프가 켜지거나 꺼진다고 말하는 것은 의미가 없다.

다른 신체적으로 가능한 슈퍼타스크가 제안되었다.한 제안에서 한 사람(또는 실체)은 1에서 위로 세어 무한정 많은 시간이 걸리는 반면, 다른 한 사람은 한정된 시간 공간에서 이러한 일이 발생하는 참조의 틀에서 이를 관찰한다.카운터의 경우 이것은 슈퍼태스크가 아니라 관찰자의 경우 그렇다.(예를 들어 관찰자가 특이점에 비례하여 위치가 고정된 카운터를 관찰하다가 블랙홀에 빠지는 등 이론적으로 시간 확장에 의해 발생할 수 있다.)구스타보 E. 논문 '슈퍼타스크의 붕괴'[6]에서 로메로는 어떤 슈퍼타스크를 실행하려고 해도 블랙홀이 형성되어 슈퍼타스크가 물리적으로 불가능하게 된다고 주장한다.

슈퍼 튜링 기계

주요 기사:하이퍼컴퓨팅

슈퍼태스크가 이론 컴퓨터 과학에 미치는 영향은 햄킨스와 루이스 – "무한 시간 튜링 머신"과 같은 몇몇 새롭고 흥미로운 작업을 촉발시켰다.

저명한 슈퍼타스크

로스-리틀우드의 역설

주요 기사:로스-리틀우드의 역설

무한히 많은 구슬을 담을 수 있는 항아리와 1, 2, 3 등의 라벨이 붙은 구슬의 무한 컬렉션이 있다고 가정해보자.t = 0일 때, 구슬 1부터 10까지를 항아리에 넣고 대리석 1을 꺼낸다.t = 0.5에서 대리석 11 ~ 20을 항아리에 넣고 대리석 2를 꺼내며, t = 0.75에서는 대리석 21 ~ 30을 항아리에 넣고 대리석 3을 꺼내며, 일반적으로 t = 1 - 0.5에서는n 대리석 10n + 1을 항아리에 넣고 대리석 n + 1을 뺀다.t = 1에 얼마나 많은 구슬이 항아리에 있니?

한 주장은 t = 1 이전의 각 단계마다 이전 단계보다 대리석의 수가 증가하여 무한히 많은 대리석이 항아리 안에 있어야 한다고 말한다.그러나 두 번째 주장은 항아리가 비어 있다는 것을 보여준다.항아리가 비어 있지 않으면 항아리에 대리석이 있어야 한다.저 대리석에는 n이라는 숫자가 붙어 있다고 하자.그러나 t = 1 - 0.5의n - 1 시간에 n번째 대리석이 제거되었기 때문에 대리석 n은 항아리 안에 있을 수 없다.이것은 모순이니 항아리는 비어 있어야 한다.로스-리틀우드의 역설은 여기 우리가 완전히 정반대의 결론과 함께 겉보기에는 훌륭해 보이는 두 개의 논거를 가지고 있다는 것이다.

다음의 변종에서 추가적인 합병증이 도입된다.위와 같은 과정을 따르지만 t = 0에서 대리석 1을 꺼내는 대신 대리석 2를 꺼낸다고 가정하자.그리고, t = 0.5에서는 대리석 3을, t = 0.75 대리석 4 등에서 꺼낸다.그러면 t = 1, 대리석 1이 아직 항아리 안에 있지만 다른 구슬은 항아리 안에 둘 수 없다는 것을 보여주기 위해 위에서 같은 논리를 사용할 수 있다.마찬가지로, 결국 2개의 구슬이 남아 있거나, 17개 또는, 물론 무한히 많은 구슬이 남아 있는 시나리오를 구성할 수 있다.하지만 이것은 역설적이다: 이 모든 변화에서 동일한 수의 구슬이 각각의 단계에서 추가되거나 제거된다는 점을 고려하면, 최종 결과는 어떻게 다를 수 있을까?

각각의 순간에 어떤 구슬을 꺼내느냐에 따라 최종 결과가 달라진다는 주장이다[by whom?].그러나 그러한 관점의 한 가지 당면한 문제는 그 사고실험을 실제로 어떤 구슬에도 라벨이 붙어 있지 않은 것으로 생각할 수 있다는 것이다. 따라서 위의 모든 변화는 단순히 동일한 과정을 기술하는 다른 방법일 뿐이다; 하나의 실제 과정의 최종 결과가 who를 기술하는 방법에 따라 결정된다고 말하는 것은 불합리해 보인다.공교롭게도

게다가 앨리스와 쾰지어는 이 사고 실험에 다음과 같은 변형을 제공한다: t = 0에서 대리석을 1에서 9까지 항아리에 넣지만, 대리석을 꺼내는 대신 첫 번째 대리석의 라벨에 있는 1 뒤에 0을 낙서하여 현재 "10"이라고 표시되도록 한다.t = 0.5에서는 구슬 11~19개를 항아리에 넣고 대리석 2를 꺼내는 대신 0을 적어 20으로 표시한다.그 과정은 반복된다.이제, 이 과정을 따라가는 각 단계의 최종 결과는 원래의 실험에서와 동일하며, 실제로 역설은 다음과 같이 남아있다.가는 걸음마다 구슬이 더 추가되었으므로 끝에는 구슬이 무한히 남아 있을 것이 틀림없지만, 동시에 숫자 n을 가진 모든 대리석을 t = 1 - 0.5로n - 1 꺼냈기 때문에 끝에는 구슬이 남아 있을 수 없다.그러나, 이 실험에서는, 구슬을 꺼내는 일이 전혀 없기 때문에, 구슬을 꺼내는 최종 결과에 대한 어떤 이야기도 '에 따라' 불가능하게 된다.

보다 간단한 변화는 다음과 같다: t = 0일 때, 항아리에는 0이라는 숫자가 낙서된 대리석이 한 개 있다.t = 0.5에서 대리석의 숫자 0은 숫자 1로, t = 0.75에서 숫자 2로 바뀐다.이제, 어떤 구슬도 항아리에 첨가되거나 항아리에서 제거되지 않기 때문에 t = 1에서, 항아리 안에는 정확히 하나의 대리석이 있어야 한다.하지만 대리석의 번호를 항상 다른 번호로 바꾸었기 때문에, 그 번호에는 n이 몇 개 붙어 있어야 하고, 그 번호가 언제 바뀌었는지 정확히 알고 있기 때문에 불가능하며, 그 번호는 나중에 다시 반복되지 않는다.다시 말해 이 과정이 끝날 때 어떤 대리석도 남아 있을 수 없다는 것도 추론할 수 있는데, 이는 상당히 역설적이다.

물론 t = 1 이전의 항아리 상태가 t = 1의 상태를 논리적으로 결정하지 않는다는 베나케라프라프의 말에 주의를 기울이는 것이 현명할 것이다.따라서 t = 1에서 항아리의 상태에 대한 로스나 앨리스의 주장과 코에티어의 주장은 논리적 수단만으로 진행되지 않는다.위해서는 항아리 t에 국가가)1. 알리스와 Koetsier 그러한 여분의 전제는 물리학 법칙에 의해 구슬,이고 그래서 사실은 각 n에, 대리석 nt<>에 대한 항아리에서;1다의 끊임 없는 시-공간 길이 멀 수 있다고 믿는다, 그것에 따라야만 한다에 대해 뭐라고 그러므로 어떤 여분의 전제 도입되어야 한다.에서연속성에 의해 t = 1의 항아리 밖에 있어야 한다.따라서 모순과 역설은 여전하다.

이 모든 혼란과 역설들에 대한 한가지 분명한 해결책은 슈퍼타스크는 불가능하다고 말하는 것이다.만약 슈퍼타스크가 불가능하다면, 이 모든 시나리오들이 그들에게 어떤 종류의 '종말 결과'를 가졌다는 바로 그 가정이 잘못되어, 더 이상의 추리( 모순으로 이어짐)가 모두 통과하지 못하게 된다.

베나르데테의 역설

J. A. Benardete의 "신들의 파라독스"[7]에 상당한 관심이 있었다.

남자는 α 지점에서 1마일 정도 걸어간다.그러나 다른 사람들에게 알려지지 않은 각각의 신들이 그를 방해하려는 무한한 신들이 있다.그 중 하나가 반 마일 지점에 도달하면 1초, 1/8마일 지점에 도달하면 3분의 1마일, 즉 애드인피니텀에 도달하면 더 이상의 진보를 막기 위해 장벽을 높일 것이다.그래서 그는 심지어 출발조차 할 수 없다. 왜냐하면 그가 아무리 짧은 거리를 여행하더라도 그는 이미 장벽에 의해 멈춰 서 있을 것이기 때문이다.그러나 그런 경우에는 어떤 장벽도 일어나지 않을 것이므로, 그가 출발하는 것을 막을 수 있는 것은 아무것도 없다.그는 신들의 단순한 미완의 의도에 의해 자신이 있는 곳에 머물 수밖에 없었다.[8]

— M. Clark, Paradoxes from A to Z

그림 리퍼 역설

J. A. Benardete의 무한 연쇄 암살자에 대한 역설에서 영감을 받은 David Chalmers는 그 패러독스를 다음과 같이 설명한다.[9]

모든 양의 정수마다 하나씩 있는 암울한 리퍼들이 틀림없이 많이 있다.그림 리퍼 1은 오후 1시에 낫으로 당신을 죽이려고 한다. 만약 당신이 아직 살아 있다면(그렇지 않으면 그의 낫은 내내 움직이지 않고 그대로 남아 있다) 30분 정도 걸린다.그림 리퍼 2는 밤 12시 30분에 낫으로 당신을 죽이려고 한다. 만약 당신이 아직 살아있다면 15분 정도 걸릴 것이다.그림 리퍼 3은 밤 12시 15분에 낫으로 널 죽일 작정이야.넌 아직 12시 직전에 살아있어. 암울한 리퍼의 낫을 통해서만 죽을 수 있고, 한번 죽으면 죽는다.표면상으로는, 이러한 상황은 상상할 수 있는 것처럼 보인다. 각 리퍼는 개별적으로 그리고 본질적으로 상상할 수 있는 것처럼 보이며, 뚜렷한 내적 특성을 가진 구별되는 개인을 하나의 상황에 결합하는 것은 타당해 보인다.그러나 조금만 반성해 보면 서술한 상황이 모순된다는 것을 알 수 있다.밤 12시가 넘도록 살아남을 수는 없지만(엄청난 리퍼가 먼저 나를 잡을 것이다), 죽임을 당할 수는 없다(엄청난 리퍼가 나를 죽이려면, 나는 불가능하다는 암 리퍼 n+1에서 살아남았음에 틀림없다).[10]

그것은 유한한 과거를 논하는 데 사용함으로써 철학에서 의의를 얻었고, 따라서 칼람 우주론적 주장과 관련이 있다.[11][12][13][14]

라라우도고이티아의 슈퍼태스크

J. P. 라라오도고이티아에 의해 제안된 이 슈퍼태스크는 뉴턴 역학에서 인데터민주의의 한 예다.슈퍼태스크는 고정점 질량의 무한 집합으로 구성된다.점 질량은 모두 질량 m이며, 위치 B, AB / 2, AB / 4, AB / 8 등에 길이 1미터인 선 AB를 따라 배치된다.B에서 첫 번째 입자는 A를 향해 초당 1m의 속도로 가속된다.뉴턴 역학의 법칙에 따르면, 첫 번째 입자가 두 번째 입자와 충돌할 때, 그것은 쉬게 되고 두 번째 입자는 그 속도인 1m/s를 계승하게 된다.이 과정은 무한 충돌량으로 계속되며, 1초 후 모든 입자가 초속 1m로 움직이고 있었기 때문에 모든 충돌이 마무리될 것이다.그러나 A에서는 마지막 입자가 없기 때문에 어떤 입자도 나오지 않을 것이다.그것은 모든 입자들이 지금 정지해 있고, 에너지의 보존과 모순된다.이제 뉴턴 역학의 법칙은 시간 역행이다. 즉, 시간의 방향을 반대로 하면 모든 법칙은 그대로 유지될 것이다.만약 이 슈퍼태스크에서 시간이 역전된다면, 우리는 A에서 AB/2를 따라 정지된 점 질량의 시스템을 가지고 있는데, 임의로, 자발적으로 서로 충돌하기 시작하여 1m/s의 속도로 B로부터 멀어지는 입자를 발생시킨다.알퍼와 브리저는 실제 무한대와 잠재적 무한대의 구분을 불러일으키는 이 초특급 과제에서 이성에 의문을 제기해 왔다.

데이비스의 슈퍼 머신

E. B. Davies가 제안한 이 기계는 30분의 1의 공간에 절반의 크기에 복제 속도를 두 배로 높일 수 있는 정확한 복제품을 만들 수 있는 기계다.[15]이 복제품은 차례로 동일한 사양을 가진 훨씬 더 빠른 버전의 자기 자신을 만들어 한 시간 후에 끝나는 슈퍼태스크를 만들어낼 것이다.추가로, 만약 기계가 부모 기계와 자식 기계 사이에 연속적으로 더 빠른 대역폭을 산출하는 통신 링크를 만들고 그 기계들이 단순한 산수를 할 수 있다면, 그 기계들은 알 수 없는 추측의 무차별적인 증거를 수행하는 데 사용될 수 있다.그러나 Davies는 양자역학, 열 잡음, 정보 이론과 같은 실제 우주의 근본적인 특성 때문에 자신의 기계가 실제로 만들어질 수 없다고도 지적한다.

참고 항목

참조

  1. ^ 이 개념은 추기경 숫자와 관련이 있다.
  2. ^ Al-Dhalimy, Haidar; Geyer, Charles (December 2016). "Surreal Time and Ultratasks". The Review of Symbolic Logic. Cambridge University Press. 9 (4): 836–847. doi:10.1017/S1755020316000289.
  3. ^ Clark, Peter; Read, Stephen (December 1984). "Hypertasks". Synthese. Springer Netherlands. 61 (3): 387–390. doi:10.1007/BF00485061. ISSN 1573-0964.
  4. ^ Chakraborti, Chhanda (2006). Logic. Prentice Hall of India. p. 477. ISBN 81-203-2855-8.
  5. ^ 조지 볼로스"이상한 추론."철학적 논리학 저널 16: 1–12. (JSTOR)
  6. ^ Romero, Gustavo E. (2013). "The collapse of supertasks". arXiv:1309.0144 [physics.hist-ph].
  7. ^ Oppy, G.R. (2006). Philosophical Perspectives on Infinity. Cambridge University Press. p. 63. ISBN 978-0-521-86067-3. LCCN 2005021715.
  8. ^ Clark, M. (2007). Paradoxes from A to Z. Routledge. p. 75. ISBN 978-0-415-42082-2. LCCN 2007015371.
  9. ^ Benardete, José (1964). Infinity: An Essay in Metaphysics. Clarendon Press. p. 259.
  10. ^ Chalmers, David (2002). Conceivability and Possibility. Clarendon Press. p. 154.
  11. ^ Koons, Robert (June 2014). "A New Kalam Argument: Revenge of the Grim Reaper". Noûs. 48 (2): 256–267. doi:10.1111/j.1468-0068.2012.00858.x.
  12. ^ Pruss, Alexander; Rasmussen, Joshua (October 2014). "Time without Creation?". Faith and Philosophy. 31 (4): 401–411. doi:10.5840/faithphil201412819.
  13. ^ Pruss, Alexander (2018). Infinity, causation, and paradox (First ed.). Oxford University Press. pp. 46–56. ISBN 978-0-19-881033-9.
  14. ^ Pruss, Alexander. "From the Grim Reaper paradox to the Kalaam argument".
  15. ^ Davies, E. Brian (2001). "Building Infinite Machines" (PDF). Br. J. Philos. Sci. 52 (4): 671–682. doi:10.1093/bjps/52.4.671. Archived from the original (PDF) on 2014-10-23.
  • Thomson, J, 1954–55, 'Tasks and Super-Tasks', Analysis, XV, 페이지 1–13.

외부 링크