문장의 스펙트럼

수학 논리학에서 문장의 스펙트럼은 주어진 문장이 참인 유한 모형의 크기로 발생하는 자연수의 집합이다.

정의

ψ을 일차 논리학의 문장으로 삼자.ψ의 스펙트럼은 n 원소를 가진 ψ에 대해 유한한 모형이 있는 자연수 n의 집합이다.

만일 for의 어휘가 관계 기호만으로 이루어진다면, ψ은 관계, 빈 어휘에 걸쳐 정량화된 실존적 이차 논리(ESOL)의 문장으로 볼 수 있다.일반화 스펙트럼은 일반 ESOL 문장의 모델 세트다.

예

• 1차 공식의 스펙트럼

$a,b,c~\c,d,e}에 대해 \displaystyle \b,o~\d,e}$

$a+z=a=z+a~\land~a\cdot z=z=z\cdot a~a+d=z}$

$\displaystyle \land ~a+b+a~\land ~a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c~~(a+b)+c=a+(b+c)}$

$\displaystyle \land ~a\cdot o=a=a=a=a=cdot a~\land e=o~\land~(a\cdot b)\cdot c=a=a\cdot(b\cdot c)}$

$\{{\displaystyle p^{}}$ n ${\displaystyle \mid }$ p ${\displaystyle \text{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{prime}}$, n ${\displaystyle \in }$ $}$ {\$displaystyle \{p^{n$}\$mid p{\text{prime},n\in \mathb{N}$는 프라임 숫자의 힘 집합이다.실제로 $0$의 경우$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $z$$},$ $1$의 경우$$$$$o{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle o}$을$($를) 사용하는 경우 이 문장은 필드의 집합을 설명하며, 유한 필드의 카디널리티는 소수 검정력이다.

• The spectrum of the monadic second-order logic formula ${\displaystyle \exists S,T~\forall x~\left\{x\in S\iff x\not \in T\land ~f(f(x))=x\land ~x\in S\iff f(x)\in T\right\}}$ is the set of even numbers.실제로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$과 $T{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle T}$ 사이의 편향이며, S $\{\backslash$$displaystyle S}$과 $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle T}$은 우주의$$ 한 부분이다.따라서 우주의 카디널리티는 균등하다.
• 유한한 집합과 공동 마무리 집합은 후속 관계와의 1차 로직의 스펙트럼 집합이다.
• 궁극적으로 주기적인 집합은 단항 함수를 갖는 단색 2차 논리 스펙트럼의 집합이다.그것은 또한 후임 함수와 함께 모나디드 2차 논리 스펙트럼의 집합이기도 하다.

특성.

파긴의 정리는 실존적 이차 논리학에서 표현할 수 있는 모든 성질의 집합이 정확히 복잡도 등급 NP라고 기술하는 서술적 복잡성 이론의 결과물이다.튜링머신 등 연산 모델을 호출하지 않는 클래스 NP의 특성화라는 점에서 주목할 만하다.이 정리는 1974년(강력하게, 1973년 박사 논문에서) 로널드 파긴에 의해 증명되었다.

튜링 기계와 동등함

Jones와 Selman은 한 세트가 복잡도 등급 NEXP일 경우에만 스펙트럼이라는 것을 보여주었다.^[1]

입증의 한 방향은 모든 1차 공식 $formula{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대해$$카디널리티 n 공식의 모델이 있는지 여부를 판단하는 문제는 n에 있는 크기 다항식의 공식을 만족시키는 문제와 동등하다는 것을 보여주는 것이다. n은 NP(n)에 있고 따라서 문제에 대한 입력의 NEXP(n 수 i)에 있다.n 바이너리 양식, 이것은 크기 로그(n)의 문자열이다.

이는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 모든 실존적 정량자를 모델의 모든 요소에 대한 절연으로 교체하고 모든 범용 정량자를 모델의 모든 요소에 대한 연결로 교체함으로써 이루어진다.이제 모든 술어는 모델의 요소에 있고, 마지막으로 특정 요소들에 대한 술어의 모든 모습은 새로운 명제 변수로 대체된다.평등은 그들의 임무에 따라 그들의 진실 가치로 대체된다.

예:

${\displaystyle \forall {x}\all {y}\좌측(P(x)\웨지 P(y)\우측)\우측 화살표(x=y)}$

카디널리티 2 모델(즉, n=2)은 다음으로 대체된다.

${\displaystyle {\big (}\left(P(a_{1})\wedge P(a_{1})\right)\rightarrow (a_{1}=a_{1}){\big )}\wedge {\big (}\left(P(a_{1})\wedge P(a_{2})\right)\rightarrow (a_{1}=a_{2}){\big )}\wedge {\big (}\left(P(a_{2})\wedge P(a_{1})\right)\rightarrow (a_{2}=a_{1}){\big )}\wedge {\big (}\left(P(a_{2})\wedge P(a_{2})\right)\rightarrow (a_{2}=a_{2}){\big )}}$

Which is then replaced by ${\displaystyle {\big (}\left(p_{1}\wedge p_{1}\right)\rightarrow \top {\big )}\wedge {\big (}\left(p_{1}\wedge p_{2}\right)\rightarrow \bot {\bi$$g )}\big (}\big (}\p_{2}\big(왼쪽)\big(p_{1}\오른쪽)\오른쪽 화살표 \bot {\big)\big({\p_{2}\big)\big(왼쪽)\wrightarrow \big 상단 {\\\\\big )}$

여기서 $⊤{\displaystyle \top$}은$($는) 진실이고$$, $⊥$ {\$displaystyle \bot }$은(는) $거짓$이며, ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyp_{2}}$은 명제 변수다.이 특별한 경우에 마지막 공식은${\displaystyle \mathrm{}}$satisf${\displaystyle }$(p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle \neg (p_{1}\wedge p_{2}}$에 해당하며$,$ 만족스러운 것이다.

증명서의 다른 방향은 지수 시간(입력 길이 x의 경우$$ ${\displaystyle {\mathrm{2c}}^{}}$ x$${\$displaystyle$ 2$^{cx})$으로 실행되는 비결정론적 튜링 시스템에 의해 수락된 이진 문자열의 모든 집합에 대해, 이러한 이진 문자열로 대표되는 숫자 집합과$$ 같은 1차 공식 $\phi {\displaystyle }${\$displaystyle \varphi}$이 있다는 것을 보여주는 것이다.$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 스펙트럼이다$.$

Jones와 Selman은 동일성이 없는 1차 공식의 스펙트럼은 일부 최소 카디널리티보다 작지 않은 모든 자연수의 집합에 불과하다고 언급한다.

기타 속성

이론의 스펙트럼 세트는 결합, 교차, 덧셈, 곱셈으로 닫힌다.완전한 일반성에서는 이론의 스펙트럼 세트가 보완에 의해 닫히는지는 알 수 없다. 이것이 소위 분석자의 문제다.

참고 항목

• 이론의 스펙트럼

참조

• Fagin, Ronald (1974). "Generalized First-Order Spectra and Polynomial-Time Recognizable Sets" (PDF). In Karp, Richard M. (ed.). Complexity of Computation. Proc. Syp. App. Math. SIAM-AMS Proceedings. Vol. 7. pp. 27–41. Zbl 0303.68035.
• Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid; Maarten, Marx; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). Finite model theory and its applications. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-68804-8. ISBN 978-3-540-00428-8. Zbl 1133.03001.
• Immerman, Neil (1999). Descriptive Complexity. Graduate Texts in Computer Science. New York: Springer-Verlag. pp. 113–119. ISBN 0-387-98600-6. Zbl 0918.68031.
• Durand, Arnaud; Jones, Neil; Markowsky, Johann; More, Malika (2012). "Fifty Years of the Spectrum Problem: Survey and New Results". Bulletin of Symbolic Logic. 18 (4): 505–553. arXiv:0907.5495. Bibcode:2009arXiv0907.5495D. doi:10.2178/bsl.1804020.

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