마틴의 공리

Martin's axiom

집합론의 수학 분야에서, 도널드 A에 의해 소개된 마틴의 공리. 마틴과 로버트 M. 솔로베이([1]Solovay)는 ZFC 집합 이론의 일반적인 공리와 독립적인 진술입니다. 연속체 가설에 의해 암시되지만 ZFC 및 연속체 가설의 부정과 일치합니다. 비공식적으로 연속체의 기수보다 작은모든 c {\ {\는ℵ 0 \{0}와 같이 대략적으로 동작한다고 합니다. 그 이면의 직관은 라시오와-시코르스키 보조정리의 증명을 연구함으로써 이해할 수 있습니다. 특정 강제 인수를 제어하는 데 사용되는 원리입니다.

진술

기본 𝛋에 대해 다음 문장을 고려합니다.

MA(𝛋)
셀 수 있는 사슬 조건(이하 ccc)을 만족하는 임의의 부분 순서 P와 D ≤ 𝛋인 P의 조밀 부분집합들의 임의의 가군 D에 대하여, F ∩ d가 D의 모든 d에 대하여 비어 있지 않도록 하는 필터 F가 P에 존재합니다.

이 경우(ccc의 적용을 위해) 안티체인은 A의 두 개의 구별되는 구성원이 호환되지 않는 P의 부분 집합입니다(부분 순서로 둘 다 아래에 공통 요소가 존재하는 경우 두 요소가 호환된다고 합니다). 이것은 예를 들어 나무의 맥락에서 안티체인의 개념과 다릅니다.

MA(ℵ)는 간단히 참입니다. Rasiowa-Sikorski 보조정리입니다. MA(2ℵ0)는 거짓입니다. [0, 1]은 분리 가능한 콤팩트 하우스도르프 공간이므로 (P, 포함 아래 열린 부분 집합의 포셋은) ccc입니다. 그러나 이제 다음 두 가지 크기-2=를 고려해 보십시오.P: x ∈[0, 1]의 조밀 집합 c족은 분리되어 있으므로 각 x는 조밀 부분 집합 {S: x ∉S}을(를) 정의합니다. 그리고 각 r ∈(0, 1)는 조밀 부분 집합 {S : diam(S)<r}을 정의합니다. 결합된 두 패밀리의 크기도 c이며, 두 개의 필터가 모두 [0, 1]의 모든 점을 동시에 피하면서 임의로 작은 직경의 집합을 포함해야 합니다. 그러나 임의로 작은 직경의 집합을 포함하는 필터 F는 컴팩트도에 의해 ⋂F의 한 점을 포함해야 합니다. (동등한 형태의 MA(κ)도 § 참조).

이때 마틴의 공리는 MA(κ)가 "가능한 한 오래" 유지한다는 것입니다.

마틴의 공리
모든 𝛋 < c, MA(𝛋)가 유지됩니다.

동등한 형태의 MA(𝛋)

다음 문장은 MA(𝛋)에 해당합니다.

  • X가 ccc를 만족하는 콤팩트 하우스도르프 위상 공간이라면 X는 𝛋 또는 더 적은 곳의 조밀 부분집합의 결합이 아닙니다.
  • P가 비어 있지 않은 위쪽 ccc 포셋이고 Y가 Y ≤ 𝛋를 갖는 P의 최종 부분집합들의 족이라면, A가 Y의 모든 원소를 만족하도록 위 방향 집합 A가 존재합니다.
  • A를 0이 아닌 ccc 부울 대수라고 하고, F ≤ 𝛋을 갖는 A의 부분집합들의 집합 F족이라 하자. 그런 다음 부울 동형 φ A → Z/2Z가 있으므로 F의 모든 X에 대해 φ(a) = 1인 X에 대한 a 또는 φ(b) = 0인 상한 b가 있습니다.

결과들

마틴의 공리는 다른 여러 가지 흥미로운 조합적, 분석적, 위상학적 결과를 가지고 있습니다.

  • 폴란드 공간에 대한 무원자 σ-무한 보렐 측도의 𝛋 또는 더 적은 널 집합의 결합은 null입니다. 특히, 르베그 측도 0의 R의 𝛋 이하 부분집합들의 합은 또한 르베그 측도 0을 갖습니다.
  • X < 2인𝛋 콤팩트 하우스도르프 공간 X는 순차적으로 콤팩트하며, 즉, 모든 수열은 수렴 서브 시퀀스를 갖습니다.
  • N에 카디널리티 < 𝛋의 베이스를 갖는 비주력적인 울트라 필터는 없습니다.
  • βN\N의 임의의 x에 대해 동등하게 우리는 𝜒(x) ≥ 𝛋를 가지며, 여기서 𝜒는 x의 문자이므로 𝜒(βN) ≥ 𝛋를 갖습니다.
  • MA(ℵ)는 ccc 위상 공간의 곱이 ccc임을 의미합니다(이것은 차례로 서슬린 선이 없음을 의미합니다).
  • MA + ¬CH는 자유롭지 못한 화이트헤드 군이 존재한다는 것을 암시합니다. 셸라는 이를 이용하여 화이트헤드 문제가 ZFC와 무관하다는 것을 보여주었습니다.

추가 개발

참고문헌

  1. ^ Martin, Donald A.; Solovay, Robert M. (1970). "Internal Cohen extensions". Ann. Math. Logic. 2 (2): 143–178. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4. MR 0270904.
  2. ^ Davis, Sheldon W. (2005). Topology. McGraw Hill. p. 29. ISBN 0-07-291006-2.

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