이론(수학논리)

수학 논리학에서, 이론(또는 형식 이론)은 형식 언어의 문장 집합이다.대부분의 시나리오에서 연역 시스템은 먼저 컨텍스트에서 이해되며, 그 후 연역적으로 닫힌 $이론{\displaystyle }$ T의 요소$$$\delta {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$\phi\in$ T$}$를 이론의 정리라고 한다.많은 연역 시스템에서는 $T$의 "공리 집합$"$이라고 불리는 $부분집합{\displaystyle \mathrm{}\delta }$ T$(\$$displaystyle$ $\Sigma \subseteq T$$)$가 있으며, 이 경우 연역 시스템은 "축계"라고도 불린다.정의상 모든 공리는 자동으로 정리된다.1차 이론은 일련의 공리에 적용되는 시스템의 추론 규칙에 의해 재귀적으로 얻어지는 1차 문장(이론)의 집합이다.

일반 이론(정식 언어로 표현)

기본 목적을 위해 이론을 정의할 때, 일반적인 집합 이론 언어가 적절하지 않을 수 있으므로 추가적인 주의를 기울여야 한다.

이론의 구축은 명제라고 불리는, 비어 있지 않은 명확한 개념 $클래스{\displaystyle \mathcal{}}$ E$(\$를 지정함으로써 시작됩니다.이러한 초기 진술은 종종 이론의 원시적 요소 또는 기초 진술로 불리며, 그것들로부터 파생될 수 있는 다른 진술과 구별하기 위해서이다.

$이론{\displaystyle \mathcal{}}$ T$(\$는 이러한 일부 기본 진술로 구성된 개념 클래스입니다.T$${\$displaystyle${\$mathcal {T}}$에 $속하는{\displaystyle \mathcal{}}$ 기본 스테이트먼트를 T$${\$displaystyle${\$mathcal {T}}$의 $기본{\displaystyle \mathcal{}}$ 이론이라고 하며, 참이라고 합니다.이와 같이 이론은 진실된 진술만을 포함하는 E$(\$의 서브셋을 지정하는 방법으로 볼 수 있습니다.

이 이론의 일반적인 지정방법은 그 기본설명의 진실성을 T$(\$를 참조하지 않으면 알 수 없다고 규정하고 있습니다.따라서 같은 기본설명은 하나의 이론에서는 진실이지만 다른 이론에서는 거짓일 수 있습니다.'^[1]그는 정직한 사람'이라는 말은 누가 정직한 사람인지 해석하지 않고서는 참과 거짓을 판단할 수 없는 통상적인 언어를 연상시키는 대목이다.

서브이론 및 확장

$이론{\displaystyle \mathcal{}}$ S$($$디스플레이{\displaystyle \mathcal{}}$ 스타일$)$는 이론 T$($$디스플레이$ $스타일$$)$의 $하위{\displaystyle \mathcal{}}$ 집합이고$,$ $이론{\displaystyle \mathcal{}}$ S$($$디스플레이 스타일)$는 이론$$$$ T$($$디스플레이$ 스타일$)$의 $하위{\displaystyle \mathcal{}}$ 집합입니다.${\displaystyle \mathcal{S}}$$(\$$displaystyle\mathcal {S})$는 T$(\$displaystyle\$mathcal {T})$의 $확장{\displaystyle \mathcal{}}$ 또는 슈퍼이론이라고 불립니다.

연역 이론

T$($가 귀납적 클래스인 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$, 즉 그 내용이 어떤 형식적 연역 체계에 기초하고 있고 그 기초 진술 중 일부가 공리로 받아들여진다면 이론은 연역적 이론이라고 한다.연역 이론에서, 하나 이상의 공리의 논리적 결과인 문장은 또한 그 ^[1]이론의 문장이다.좀 더 형식적으로, $\{\backslash {\displaystyle }${ $displaystyle$\$vdash$}가$$ Tarski 스타일의 결과 관계인 경우, ${$ $displaystyle$\ $vdash$$}$는 ${\$ { $displaystyle$\ vdash$$$}$에서 닫힙니다(따라서 각각의 정리는 $모든$ $문장$이 tisplay style $\ phi$ 언어의$$ 논리적인 결과입니다).${\displaystyle \mathrm{이론}}$ T$(\$$displaystyle\$$displaystyle\vdash\phi$$),$ ${\displaystyle T\mathcal{}}$$(\$$displaystyle\$displaystyle\$in\$$mathcal${$T}),$ T$(\$$displaystyle\$displaystyle\$mathcal{T})$가$$유한한 $부분$ 집합인 경우$f{\displaystyle \mathcal{}}$ T$($ 공리화 가능한 $이론$의 $경우$$)$ $및{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ T$$$표시$ 스타일)와 $T$${\displaystyle (}$표시 스타일$)\vdash \phi$ 그 다음 T$($ 스타일$)\phi(표시$ 스타일)\$mathcal$$${$T},$ 즉 T$($$표시{\displaystyle }$ 스타일$phi(표시$ 스타일)\mathcal ${T$$}\$

일관성과 완전성

구문적으로 일관된 이론은 기초 언어의 모든 문장이 증명될 수 없는 이론이다.폭발의 원리를 만족시키는 연역 체계(예를 들어 1차 논리)에서, 이것은 문장 such이 없고, 그 부정이 모두 이론에서 증명될 수 있도록 요구하는 것과 같다.

만족스러운 이론은 모형을 가진 이론이다.이것은 이론의 모든 문장을 만족시키는 구조 M이 있다는 것을 의미합니다.만족할 수 있는 이론은 구문적으로 일관성이 있는데, 그 이유는 이론을 만족시키는 구조가 각 문장 φ에 대해 정확히 and과 ,의 부정 중 하나를 만족시키기 때문이다.

일관된 이론은 때로는 구문적으로 일관된 이론으로 정의되기도 하고, 때로는 만족스러운 이론으로 정의되기도 한다.가장 중요한 경우인 1차 논리에서는 두 의미가 일치한다는 ^[2]완전성 정리가 뒤따른다.2차 논리와 같은 다른 논리학에서는 γ-불일관 이론과 같이 만족할 수 없는 구문적으로 일관된 이론이 있다.

완전 일관 이론(또는 완전 이론)은 일관 $T$로, 언어의 $문장$ a마다 in가$$T(\$displaystyle\mathcal {T})$ $또는$ T$(\$${\displaystyle }$에서 증명 가능하거나 T(\$displaystyle\cup {T})$에서 증명될 수 있다.논리적인 결과로 닫힌 이론의 경우, 이것은 모든 문장 ,에 대해 ^[3]or 또는 그 부정 중 하나가 이론에 포함된다는 것을 의미한다.불완전한 이론은 완전하지 않은 일관된 이론이다.

(일관성의 보다 강력한 개념에 대해서는, 「일관성이론」도 참조해 주세요.

이론의 해석

이론의 해석은 이론의 특정 기본 진술과 주제와 관련된 특정 진술 사이에 다대일 대응이 있을 때 이론과 어떤 주제 사이의 관계입니다.이론의 모든 기본 진술에 대응하는 것이 있으면 완전 해석이라고 하고, 그렇지 않으면 부분 ^[4]해석이라고 합니다.

구조와 관련된 이론

각각의 구조에는 몇 가지 연관된 이론이 있다.구조 A의 완전이론은 A가 만족하는 A의 서명에 대한 모든 1차 문장의 집합이다.Th(A)로 표시됩니다.보다 일반적으로, δ 구조의 클래스인 K의 이론은 K의 모든 구조에서 만족하는 모든 1차 δ-문장의 집합이며 Th(K)로 나타난다.분명히 Th(A) = Th({A})이다.이러한 개념은 다른 논리에 대해서도 정의할 수 있습니다.

각 구조 A에 대해 A 영역의 각 요소에 대해 하나의 새로운 상수 기호를 추가함으로써 확장되는 큰 시그니처 )'에는 여러 개의 관련 이론이 있다(새로운 상수 기호가 A의 요소에서 식별되는 경우,$$)'은 ) { $display$style \ $cup }$ A로$$ 간주할 수 있다).따라서, 「」의 카디널리티는, 「」의 카디널리티와 ^{[further explanation needed]}A의 카디널리티 중 큰 것이 됩니다.

A의 다이어그램은 A에 의해 충족되고 diag에_A 의해 나타나는 모든 원자 또는 부정 원자 δ'-문장으로 구성됩니다.A의 정의도는 A가 만족하는 모든 원자 δ'-문장의 집합이다.diag로⁺_A 표시됩니다.A의 기본 다이어그램은 A가 만족하는 모든 1차 -'-문장의 집합체_A 또는 그에 상응하는 A의 자연팽창에 대한 완전 (1차) 이론이다.

1차 이론

1차 $이론{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \mathcal{Q}}$ S$({displaystyle {QS})$는 1차 형식 언어 Q({$displaystyle {Q$의 문장 세트입니다$.$

1차 이론에서의 도출

1차 로직에는 많은 형식적인 파생("증명") 시스템이 있습니다.이것들은 힐베르트식 연역 체계, 자연 연역, 순차 미적분, 표법 및 분해능을 포함한다.

1차 이론의 구문적 결과

$공식$ A는 Q$$S의 ${\displaystyle \mathcal{공식}}$만을 $비논리적$인 공리로 사용하여$$ A의 파생이 있는 경우 $1차{\displaystyle \mathcal{}}$ 이론$$Q $S$의 구문적 $결과$이다$.$이러한 공식 A는 ${\displaystyle \mathcal{Q}}$S의 $정리{\displaystyle \mathcal{}}$({$displaystyle\mathcal$ {$QS$라고도 불리며, "${\displaystyle \mathcal{}}$ S$$ \$displaystyle$\mathcal ${QS}\vdash$ A$"$는 A가 Q$$의 $정리{\displaystyle \mathcal{}}$({$displaystyle\mathcal {QS$임을 나타냅니다.

1차 이론의 해석

1차 이론의 해석은 이론의 공식에 의미론을 제공한다.해석은 해석에 따라 공식이 참일 경우 공식을 만족한다고 한다.1차 $이론{\displaystyle \mathcal{}}$ $(표시$ 스타일)의 모형은 QS$(표시 스타일)$의 모든 공식을 만족시키는 해석이다.

동일성을 갖는 1차 이론

1차 $이론{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \mathcal{Q}}$ S$({displaystyle {QS})$는 ${\displaystyle \mathcal{Q}}$S$({displaystyle {QS}})$에 항등관계 기호 "="와 이 기호에 대한 반사성과 치환 공리가 포함된 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$ 항등성을 갖는 1차 이론이다.

1차 이론과 관련된 주제

• 콤팩트성 정리
• 일관된 세트
• 차감 정리
• 열거 정리
• 린덴바움 보조군
• 뢰벤하임-스콜렘 정리

예

이론을 규정하는 한 가지 방법은 특정 언어로 일련의 공리를 정의하는 것입니다.그 이론은 원하는 대로 그러한 공리들, 또는 논리적이거나 입증 가능한 결과만을 포함한다고 볼 수 있다.이 방법으로 얻은 이론에는 ZFC와 Peano 산술이 있습니다.

이론을 규정하는 두 번째 방법은 구조에서 시작하여 그 구조에서 만족하는 문장의 집합이 되도록 하는 것입니다.이것은 의미 경로를 통해 완전한 이론을 생성하는 방법이며, 여기서 N은 자연수의 집합이고, R은 실수의 집합인 구조(R, +, ×, 0, 1, =)의 참 문장 집합을 포함한다.진정한 산술 이론이라고 불리는 이들 중 첫 번째 것은 열거할 수 없는 일련의 공리들의 논리적 결과 집합으로 쓰여질 수 없다.(R, +, ×, 0, 1, =)의 이론은 타르스키에 의해 결정 가능한 것으로 나타났다; 그것은 실수의 1차 이론의 결정 가능성 참조이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 공리 체계
• 해석 가능성
• 1차 이론 목록
• 수학 이론

레퍼런스

추가 정보

• Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1.