세트의 파티션

번들로 분할된 스탬프 세트:스탬프는 2개의 번들로 되어 있지 않고, 번들은 비어 있지 않으며, 모든 스탬프는 1개의 번들로 되어 있습니다.

5개의 요소가 포함된 세트의 52개의 파티션.색칠된 영역은 둘러싸인 파티션의 멤버를 구성하는 X의 서브셋을 나타냅니다.색칠되지 않은 점은 단일 요소 하위 집합을 나타냅니다.처음 표시된 파티션에는 5개의 단일 요소 서브셋이 포함되어 있으며 마지막 파티션에는 5개의 요소가 포함된 1개의 서브셋이 포함되어 있습니다.

겐지모노가타리 54장의 일본 전통 기호는 오원소를 나누는 52가지 방법(빨간색 기호는 같은 칸막이를 나타내고 녹색 기호는 ^[1]54가 되도록 추가)에 기초하고 있다.

수학에서 집합의 분할은 모든 요소가 정확히 하나의 부분 집합에 포함되도록 요소를 비어 있지 않은 부분 집합으로 그룹화하는 것입니다.

집합의 모든 동등 관계는 이 집합의 파티션을 정의하고 모든 파티션은 동등 관계를 정의합니다.등가 관계나 칸막이를 갖춘 집합은 전형적으로 유형 이론과 증명 이론에서 세토이드라고 불립니다.

정의와 표기법

집합 X의 분할은 X의 모든 요소 X가 정확히 이들 부분^[2] 집합 중 하나에 포함되도록 X가 비어 있지 않은 부분 집합의 집합이다(즉, X는 부분 집합의 분리된 결합이다).

마찬가지로 집합 P 패밀리는 다음 조건이 모두 ^[3]충족되는 경우에만 X의 파티션입니다.

패밀리 P에는 빈 세트(즉 $\emptyset \notin P$ " $\displaystyle\emptyset\notin$ P $")$ 가 포함되어 있지 않습니다.
P 의 집합의 합계는 X 와 같습니다( $\textstyle \bigcup _{A\in P}A=X$ A $\textstyle \bigcup _{A\in P}A=X$ $\textstyle \bigcup _{A\in P}A=X$ $\textstyle \bigcup _{A\in P}A=X$ $\textstyle \bigcup _{A\in P}A=X$ { $displaystyle$ \ $textstyle$ \ $bigcup$ _ { $A$ \ $in$ P $}$ A $= X$ $\textstyle \bigcup _{A\in P}A=X$ ）。P의 세트는 X를 배기 또는 커버한다고 합니다.포괄적인 이벤트와 커버(토폴로지)도 참조해 주세요.
P 내의 2개의 서로 다른 세트의 교차점은 비어 있습니다( $(\forall A,B\in P)\;A\neq B\implies A\cap B=\emptyset$ ( $(\forall A,B\in P)\;A\neq B\implies A\cap B=\emptyset$ P) $(\forall A,B\in P)\;A\neq B\implies A\cap B=\emptyset$ , $(\forall A,B\in P)\;A\neq B\implies A\cap B=\emptyset$ $(\forall A,B\in P)\;A\neq B\implies A\cap B=\emptyset$ (\ $display (\forall$ A $, B\in$ P $)\).$ $A\neq$ B $\implies$ A $\cap$ B $=\emptyset}$ 입니다.P의 원소는 쌍으로 분리되거나 서로 배타적이라고 한다.상호 배타성을 참조하십시오.

P의 집합을 파티션의 블록,^[4] 부품 또는 셀이라고 합니다. $a\in X$ X \ $displaystyle$ a \ $in$ X $a\in X$ 、를 포함하는 셀을 [ a $]$ \ $displaystyle$ [ $a$ 로 나타냅니다.즉 $[a]$ [ $[a]$ ]\ $displaystyle$ [ $a$ ]는 $[a]$ a를 포함하는 P의 셀 표기법입니다.

각 파티션 P는 X의 등가관계 $\sim _{P}$ 즉 ~ $(\$ 로 $\sim _{P}$ 식별할 수 있습니다.그러면 $a,b\in X$ 의 $displaystyle$ a $,b$ $\in$ X $)$ 에 $a,b\in X$ 대해 $a\sim _{P}b$ ~ $a\in [b]$ $displaystyle$ a $\$ $sim$ _ ${P$ $}b})$ 가 $a\sim _{P}b$ $a\sim _{P}b$ $a\in [b]$ $]$ \ $display style$ b \ $in$ [ a $]$ $\sim _{P}$ $\sim _{P}$ {\ $displaystyle \sim$ _ ${P}}$ 표기법은 동등 관계가 파티션에서 구성될 수 있다는 생각을 불러일으킵니다 $\sim _{P}$ .반대로 모든 등가관계는 파티션으로 식별할 수 있다.이것이 때때로 "등가관계는 파티션과 같다"고 비공식적으로 말하는 이유이다.P가 주어진 동등성 $\sim$ 관계에서 식별된 파티션 $~\displaystyle$ 인 경우 일부 저자는 P $P=X/\sim$ / $~\displaystyle$ P $=X/\sim$ 이라고 $P=X/\sim$ .이 표기는 파티션이 셀로 분할된 집합 X임을 암시합니다.표기법은 또한 동등성 관계에서 파티션을 구성할 수 있다는 생각을 불러일으킨다.

X가 유한한 경우 P의 순위는 X - P입니다.

예

빈 세트 $\emptyset$ "\ $displaystyle$ \ $emptyset"$ 에는 $\emptyset$ 정확히 하나의 $파티션$ , 즉 $"\displaystyle$ \emptyset $\emptyset$ 가 있습니다(주의: 이것은 파티션의 멤버가 아닙니다).
집합 X가 비어 있지 않은 경우 P = { X }은(는) 일반 파티션이라고 하는 X의 파티션입니다.
- 특히 모든 싱글톤 집합 {x}에는 정확히 하나의 파티션, 즉 {x} }이(가) 있습니다.
집합 U의 적절한 부분 집합 A에 대해 집합 A는 그 보완체와 함께 U의 파티션, 즉 {A, U a A}을 형성합니다.
{1, 2, 3) 집합에는 다음과 같은 5개의 파티션이 있습니다(항목당 하나의 파티션).
- {1}, {2}, {3} }, 때로는 1 2 3으로 기록되었습니다.
- {1, 2}, {3} } 또는 1 2 3입니다.
- {1, 3}, {2} }, 또는 1 3 2입니다.
- {1}, {2, 3} 또는 1 2 3입니다.
- {1, 2, 3) }, 또는 123(숫자와 혼동되지 않는 컨텍스트).
다음은 {1, 2, 3}의 파티션이 아닙니다.
- {{}, {1, 3}, {2} }의 요소 중 하나가 빈 집합이므로 파티션이 아닙니다.
- 요소 2가 두 개 이상의 블록에 포함되어 있으므로 {1,2}, {2,3}이(가) 파티션이 아닙니다.
- {1}, {2} }은(는) 3을 포함하는 블록이 없으므로 {1, 2, 3)의 파티션이 아니지만 {1, 2)의 파티션입니다.

파티션 및 동등성 관계

집합 X의 모든 동등성 관계에 대해 해당 동등성 클래스의 집합은 X의 파티션입니다.반대로, X의 임의의 분할 P에서 x와 y가 P에서 같은 부분에 있을 때 x ~ y를 정확하게 설정하여 X에 대한 동등성 관계를 정의할 수 있습니다.따라서 등가관계와 분할의 개념은 본질적으로 ^[5]동일하다.

선택 공리는 집합 X의 모든 파티션에 대해 파티션의 각 부분에서 정확히 하나의 요소를 포함하는 X의 하위 집합의 존재를 보증합니다.즉, 집합에 동등성 관계가 주어지면 모든 동등성 클래스에서 표준 대표 요소를 선택할 수 있습니다.

파티션의 미세화

미세 조정으로 정렬된 4세트 파티션

집합 X의 칸막이 α는 X의 칸막이 α를 개량한 것으로, α의 모든 원소가 α의 일부 원소의 서브셋인 경우에는 α가 α보다 가늘고 α가 α보다 거칠다고 말할 수 있다.비공식적으로 이것은 α가 γ의 추가적인 단편화임을 의미한다.이 경우 α ≤ ρ ρ α in α ≤ ρ 。

X의 파티션 집합에서 이 보다 미세한 관계는 부분 순서입니다(따라서 """ 표기법이 적절합니다).각 요소 집합은 최소 상한과 최대 하한을 가지므로 격자를 형성하고, 보다 구체적으로 (유한 집합의 파티션의 경우) 기하학적 ^[6]격자를 형성합니다.4 요소 세트의 파티션 격자는 15개의 요소를 가지며 왼쪽의 Hasse 다이어그램에 표시됩니다.

기하학적 격자와 매트로이드 사이의 동등성에 기초하여, 이 유한 집합 분할 격자는 매트로이드의 베이스 세트가 격자의 원자로 구성된 매트로이드에 해당한다. 즉 $n-2$ n - $n-2$ \ $displaystyle$ n - $n-2$ 2 \ element $n-2$ $n-2$ .이러한 원자 분할은 완전한 그래프의 가장자리와 일대일로 대응합니다.원자 분할 집합의 매트로이드 폐쇄는 그 모든 것 중에서 가장 일반적으로 조화된 것이다. 그래프 이론 용어로 말하면, 완전한 그래프의 정점을 주어진 가장자리 집합에 의해 형성된 하위 그래프의 연결된 구성요소로 분할하는 것이다.이와 같이 파티션의 격자는 전체 그래프의 그래픽 매트로이드의 평면 격자에 해당합니다.

또 다른 예는 동등성 관계의 관점에서 분할의 미세화를 보여준다.D가 표준 52카드 덱의 카드 세트인 경우 D와 같은 색상의 관계(~로 _C표기 가능)에는 2개의 동등성 클래스({red cards}와 {black cards})가 있습니다.~에 _C해당하는 2부분 파티션에는 관계 _S~와 동일한 수트-suit-suit-relation ~가 생성되며, 여기에는 4개의 동등성 클래스 {spades}, {diamonds}, {hearts} 및 {clubs}이 있습니다.

비교차 파티션

대응하는 등가관계 ~를 갖는 집합 N = {1, 2, ..., n}의 분할은 다음 특성을 갖는 경우, 비교차이다: a < c < c < c d 및 b ~ d를 갖는 N의 4개의 원소 a, b, c 및 d가 a ~ c ~ d를 만족하면, a ~ b ~ c ~ d이다.이 이름은 다음과 같은 정의에서 유래합니다.N의 요소 1, 2, ..., n이 일반 n-곤의 꼭지점(시계 반대 순서로)으로 그려졌다고 가정합니다.그런 다음 각 블록을 폴리곤으로 그려 파티션을 시각화할 수 있습니다(정점이 블록의 요소임).이러한 폴리곤이 교차하지 않는 경우에만 파티션이 교차하지 않습니다.

유한 집합의 비교차 분할 격자는 자유 확률론에서 그것의 역할 때문에 최근에 중요해졌다.두 격자의 결합 연산이 일치하지 않기 때문에, 이것들은 모든 파티션의 격자의 하위 집합을 형성하지만 하위 격자는 형성하지 않습니다.

파티션 수

n 요소 세트의 총 파티션 수는 벨 번호_n B입니다.처음 몇 개의 벨 번호는 B = 1, B₁₂ = 1, B = 2, B₃₄ = 5, B = 15, B₅ = 52 및 B₆ = 203(OEIS의 시퀀스 A000110)입니다₀.벨 번호는 재귀를 만족시킵니다.

B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n\choose k}B_{k

그리고 지수 생성 함수를 가지고 있다.

\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}=e^{e^{z}-1}.}

벨 삼각형의 구성

벨 번호는 각 행의 첫 번째 값이 이전 행의 끝에서 복사되는 벨 삼각형을 사용하여 계산할 수도 있으며, 후속 값은 두 개의 숫자(왼쪽 번호 및 왼쪽 위 번호)를 추가하여 계산됩니다.벨 번호는 이 삼각형의 양변을 따라 반복됩니다.특정 요소가 최대 싱글톤인 삼각형 내의 숫자입니다.

정확히 k(공백이 아닌) 부분으로 설정된 n원소의 분할 수는 두 번째 종류의 S(n, k)의 스털링 수이다.

n 요소 집합의 교차하지 않는 파티션 수는 카탈로니아 숫자입니다.

C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n}.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Knuth, Donald E. (2013), "Two thousand years of combinatorics", in Wilson, Robin; Watkins, John J. (eds.), Combinatorics: Ancient and Modern, Oxford University Press, pp. 7–37
^ Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory R. Springer. p. 28. ISBN 9780387900926.
^ Lucas, John F. (1990). Introduction to Abstract Mathematics. Rowman & Littlefield. p. 187. ISBN 9780912675732.
^ 브루알디 2004, 페이지 44-45.
^ Schechter 1997, 54페이지
^ 를 클릭합니다Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, p. 95, ISBN 9780821810255.

레퍼런스

Brualdi, Richard A. (2004). Introductory Combinatorics (4th ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-100119-1.
Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8.

[1] Knuth, Donald E. (2013), "Two thousand years of combinatorics", in Wilson, Robin; Watkins, John J. (eds.), Combinatorics: Ancient and Modern, Oxford University Press, pp. 7–37

[2] Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory R. Springer. p. 28. ISBN 9780387900926.

[3] Lucas, John F. (1990). Introduction to Abstract Mathematics. Rowman & Littlefield. p. 187. ISBN 9780912675732.

[FOOTNOTEBrualdi200444–45-4] 브루알디 2004, 페이지 44-45.

[FOOTNOTESchechter199754-5] Schechter 1997, 54페이지

[6] 를 클릭합니다Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, p. 95, ISBN 9780821810255.

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