계급(세트 이론)

수학 전체에 걸친 집합 이론과 그것의 적용에서, 클래스는 집합(또는 때로는 다른 수학 객체)의 집합체로서, 모든 구성원이 공유하는 속성에 의해 명확하게 정의될 수 있다. 수업은 러셀의 패러독스를 피하기 위해 세트와 다른 반면 세트와 같은 컬렉션을 갖는 하나의 방법으로 작용한다. "클래스"의 정확한 정의는 기초적인 맥락에 따라 달라진다. 제르멜로-프렌켈 집합 이론에 대한 연구에서 계급의 개념은 비공식적인 반면, 폰 노이만-베르나이스와 같은 다른 집합 이론은 비공식적이다.괴델은 "속성계급"의 개념을 공리화하여 예를 들어 다른 실체의 구성원이 아닌 실체로 한다.

집합이 아닌 클래스(비공식적으로 제르멜로-프렌켈에서)를 적정 클래스라고 하며, 집합인 클래스를 소 클래스라고 부르기도 한다. 예를 들어, 모든 서수 번호의 클래스, 그리고 모든 집합의 클래스는 많은 공식 시스템에서 적절한 클래스다.

Quine의 설정 이론적 글에서, "속성계급"이라는 문구는 종종 그가 고려하는 시스템에서 특정계급은 구성원이 될 수 없으며, 따라서 그들이 속해 있는 어떤 멤버십 체인의 최종 용어라는 것을 강조하는 문구 대신 "속성계급"이라는 문구를 대신하여 사용된다.

집합론 밖에서는 "class"라는 단어가 "set"와 동의어로 쓰이기도 한다. 이 용어의 유래는 현대적 집합론적 용어에서와 같이 계급과 집합이 구별되지 않았던 역사적 시기로부터 시작된다.^[1] 19세기 이전과 그 이전의 "클래스"에 대한 많은 논의는 정말로 세트를 언급하고 있거나, 오히려 특정 클래스가 세트화되지 않을 수 있다는 것을 고려하지 않고 이루어지는 것일 수도 있다.

예

주어진 유형의 모든 대수적 구조의 집합은 보통 적절한 등급이 될 것이다. 예로는 모든 그룹의 클래스, 모든 벡터 공간의 클래스, 그리고 많은 다른 것들을 포함한다. 범주 이론에서, 물체의 집합이 적절한 계급을 형성하는 범주(또는 형태론의 집합이 적절한 계급을 형성하는 범주)를 큰 범주라고 한다.

초현실적인 숫자는 필드의 특성을 가진 적절한 등급의 물체들이다.

세트 이론 내에서, 많은 세트 모음들이 적절한 계급으로 판명된다. 예로는 모든 집합의 클래스, 모든 서수 번호의 클래스, 모든 기본 번호의 클래스가 있다.

한 클래스가 적절하다는 것을 증명하는 한 가지 방법은 모든 서수들의 클래스와 편향된 클래스를 배치하는 것이다. 예를 들어, 이 방법은 세 개 이상의 발전기에 완전한 자유 격자가 없다는 증거에서 사용된다.

패러독스

순진한 집합론의 역설은 '모든 계급은 집합'이라는 일관성 없는 암묵적 가정이라는 측면에서 설명할 수 있다. 엄격한 기초와 함께, 이러한 역설들은 대신 특정 계층이 적절하다는 증거(즉, 그들이 집합되어 있지 않다는 증거)를 제시한다. 예를 들어 러셀의 역설은 자신을 포함하지 않는 모든 집합의 클래스가 적절하다는 증거를 제시하며, 부랄리-포르티 역설은 모든 서수들의 클래스가 적절하다는 것을 암시한다. 클래스를 포함하는 클래스에 대한 개념이 없기 때문에 클래스와 함께 역설은 발생하지 않는다. 그렇지 않으면, 예를 들어, 자신을 포함하지 않는 모든 클래스의 클래스를 정의할 수 있으며, 이는 클래스에 대한 러셀의 역설로 이어질 것이다. 반면에 재벌의 이론은 아직 확립되어 있지 않지만 대기업은 구성원으로서 적절한 계층을 가질 수 있다.^{[citation needed]}

형식 집합 이론의 수업

ZF set 이론은 계급의 개념을 공식화하지 않기 때문에, 계급이 있는 각 공식은 계급이 없는 공식으로 구문론적으로 줄여야 한다.^[2] For example, one can reduce the formula ${\displaystyle A=\{x\mid x=x\}}$ to ${\displaystyle \forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)}$. Semantically, in a metalanguage, the classes can be described as equivalence classes of logical formulas: If ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is a structure interpreting ZF, then the object language "class-builder expression" ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ is interpreted in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ by the collection of all the elements from the domain of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ on ${\displaystyle \mathrm{which}}$ x ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \data$ x$\pi }$이(가) 보유하므로 클래스는 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$에 해당하는 모든 술어의 집합으로 설명될 수 있다($$$이{\displaystyle }$ 집합에는 {$${\$displaysty \pi$} 그 자체가$$ 포함됨). 특히 $x{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$x${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$=x$에 해당하는 $모든$ 술어 집합으로 "모든 집합의 클래스"를 식별할 수 있다$.$$}$

ZF 이론에서 계급은 어떠한 형식적 지위를 가지고 있지 않기 때문에 ZF의 공리는 바로 계급에 적용되지 않는다. 그러나 접근 불가능한 추기경 ${\displaystyle \kappa }$을 가정할$$ 경우, 더 작은 등급 집합이 ZF(그랜디크 우주)의 모델을 형성하고, 그 하위 집합은 "클래스"라고 생각할 수 있다.

ZF에서 함수의 개념은 또한 계급에 일반화될 수 있다. A class function is not a function in the usual sense, since it is not a set; it is rather a formula ${\displaystyle \Phi (x,y)}$ with the property that for any set ${\displaystyle x}$ there is no more than one set ${\displaystyle y}$ such that the pair ${\displaystyle (x,y)}$ satisfies ${$$\displaystyle \Phi.}$ 예를$$ 들어, 각 세트를 ${\displaystyle \mathrm{후계자}}$에 매핑하는 클래스 함수는 y${\displaystyle }$= $x{\displaystyle }$∪${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle y=x\컵 \{x\}$ 공식으로 표현될 수 있다.$}$ 순서 쌍$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$이(가) $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$을(를) 만족한다는 사실은$$ 속기법 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y.}$ ${\displaysty \Phi (x)=y$로 표현할 수 있다$$$.$$}$

또 다른 접근법은 폰 노이만-베르나이-에 의해 취해진다.괴델 공리(NBG); 계급은 이 이론의 기본 대상이며, 집합은 어떤 다른 계급의 요소인 계급으로 정의된다. 그러나 NBG의 클래스 존재 공리는 모든 클래스에 대한 것이 아니라 집합에 대해서만 정량화하도록 제한된다. 이것은 NBG가 ZF의 보수적인 확장이 되게 한다.

Morse-Kelley set 이론은 NBG와 같이 적절한 클래스를 기본 객체로 인정하지만, 클래스 존재 공리에서 모든 적절한 클래스에 대한 정량화를 허용하기도 한다. 이것은 MK가 NBG와 ZF 둘 다보다 엄격히 강해지는 원인이 된다.

뉴 파운데이션이나 세미셋의 이론과 같은 다른 세트 이론에서는, '속성계급'의 개념은 여전히 타당하지만(모든 클래스가 세트인 것은 아님) 세트화의 기준은 하위 세트에서 닫히지 않는다. 예를 들어, 범용 집합이 있는 집합 이론은 집합의 하위 분류인 적절한 클래스를 가지고 있다.

메모들

참조

• Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (third millennium ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7
• Levy, A. (1979), Basic Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag
• Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting, 2010, Set 이론과 Continuum 문제. 도버 출판물 ISBN 978-0-486-47484-7
• 도날드 J, 1969년 세트 이론 입문 맥그로-힐 북 주식회사 ISBN 9780070427150.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Set Class". MathWorld.