연속체의 주요 특징

세트 이론의 수학적 규율에서 연속체의 기본 특성은 무한의 기수로서, $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$자연수 집합의 카디널리티)과 연속체의 카디널리티, 즉 세트 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$] 사이에 엄격하게 놓여 있을 수 있다.모든$$ 실제 $숫자의 tyle$\mathb {$R} }.$후자의 추기경은 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ 0 ${\$ $또는$ c ${\$로 표시된다$.$ 이러한 추기경들 간의 관계가 증명 가능한지를 결정하고, 다양한 일관된 구성을 위해 세트 이론의 모델을 구축하는 데 많은 작업이 이루어졌다.그들의 배급량

배경

칸토어의 대각선 $인수$는 c ${\${\$mathfak{c}}$이(가) ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle$$\aleph _{0}}$보다 확실히 크지만 $cardinal{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}}보다 작은 추기경인지는 명시하지 않는다.$$실제로 $c{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$라는 가정은$$ 잘 알려진 연속 가설로, 폴 코헨이 세트 이론에 대한 표준 ZFC 공리와는 무관한 것으로 나타났다.연속성 가설이 실패하여 $c{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이 적어도$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$$\$aleph_{0}$과($와$) ${\$ 사이에 추기경들에 대해 예를 들어 Lebegue 측정 가능성과 관련된 자연스런 의문이 발생한다$.$일부 속성을 가진 최소 추기경을 고려함으로써 $c{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$보다 일관되게 작은 값을 매길 수 없는 추기경에 대한 정의를 얻을 수 있다$.$ 일반적으로 $one{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$보다 큰 추기경 정의와$최대{\displaystyle \mathfrak{}}$ {\$display$}만 고려한다.$aystyle$ {\$mathfrak{c}$는 연속체의 기본 특성으로$$, 따라서 연속체 가설이 유지한다면 모두 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}와 같다$.$

예

집합 이론에서 표준과 같이, 우리는 카디널리티가 ${\displaystyle \omega$$}}$인 최소 무한$$ 서수를$$Ω으로 나타내며$,$ 모든 자연수 집합으로 식별될 수 있다.

르베그 null 집합의 이상과 미미한 집합의 이상과 같이 실재자의 구조와 밀접하게 연관된 이상에 대한 기본적인 불변으로서 많은 기본적인 특성이 자연적으로 발생한다.

비(N)

기본 특성 non(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은 측정할 수 없는 집합의 최소 카디널리티로, 동등하게 Lebesgue null 집합이 아닌 집합의 최소 카디널리티다.

경계 번호 $b{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${$b$$}$ 및 우세$$ $번호{\displaystyle \mathfrak{}}$ d ${\$mathfak {$d}}$

We denote by ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ the set of functions from ${\displaystyle \omega }$ to ${\displaystyle \omega }$. For any two functions ${\displaystyle f:\omega \to \omega }$ and ${\displaystyle g:\omega \to \omega }$ we denote by ${\displaystyle f\leq ^$${*}g}$은(는) n${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle n\in \omega,f(n)\leq g(n)}$을(를) 제외한 모든 항목에 대해 이 문구를 참조하십시오$.$The bounding number ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ is the least cardinality of an unbounded set in this relation, that is, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min(\{ F :F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \exists g\in F(g\$$nleq ^{*}f)\}).$$}$

지배적인 숫자 $d{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는$){\displaystyle {}^{}}$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$omega$}부터$$ $\Omega {\displaystyle }$${\$ $^\{*\}\}$까지 일련의 함수 집합 중에서 카디널리티가 가장 작아서$$, 해당 세트의 $멤버$인 d${\displaystyle }$=${\displaystyle (\{F}$)가 모든 기능을 지배한다.${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min(\{ F :F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \exists g\in F(f\leq ^{*}g)\}).$$}$

분명히 그러한 압도적인 집합 F{F\displaystyle}, b{\displaystyle{\mathfrak{b}}}은 대부분 d{\displaystyle{\mathfrak{d}에서}}, diagonalisation 주장은 b>는지를 보여 줍니다. ℵ 0{\displaystyle{\mathfrak{b}}>\aleph _{0}}. 물론 만약 c)ℵ 1{\displaystyle{\와 같이 끌려가는 사람들이.mathfr$ak{c}=\aleph _$${1$} $이것$은 b${\displaystyle }$= d${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ 1${\$${1$$\}\}\}$을 의미하지만, 헤클러는^[1] d {\$displaystyle {\mathfak${b$\}\}\}$보다 엄격히 적은 $b$를 갖는 것도 일관성이 있음을 보여주었다.

숫자 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {s$}을($를) 분할하고 숫자$$ $r{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$r}$을(를) 수집하는 중

We denote by ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ the set of all infinite subsets of ${\displaystyle \omega }$. For any ${\displaystyle a,b\in [\omega ]^{\omega }}$, we say that ${\displaystyle a}$ splits ${\displaystyle b}$ if both ${\displaystyle b\cap a}$ and ${\displaystyle b}$${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\setminus$ a$}$은(는) 무한하다$$.The splitting number ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ is the least cardinality of a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ such that for all ${\displaystyle b\in [\omega ]^{\omega }}$, there is some ${\displaystyle a\in S}$ such that ${\dis$$플레이스타일 a}$ $분할$ b ${\displaystyle$ b$\}.$That is, ${\displaystyle {\mathfrak {s}}=\min(\{ S :S\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall b\in [\omega ]^{\omega }\exists a\in S( b\cap a =\aleph _{0}\land b\setminus a =\aleph _{0})\}).$$}$

The reaping number ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ is the least cardinality of a subset ${\displaystyle R}$ of ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ such that no element ${\displaystyle a}$ of ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ splits every element of ${\displaystyle R}$.That is, ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=\min(\{ R :R\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall a\in [\omega ]^{\omega }\exists b\in R( b\cap a <\aleph _{0}\lor b\setminus a <\aleph _{0})\}).$$}$

울트라필터 번호 $u{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$

그ultrafilter 수 니{\displaystyle{\mathfrak{마}}}는non-principal ultrafilter의 ω{\displaystyle \omega}에 필터를 기지를 최소한 카디널리티이다. Kunen[2]}세트 이론의 uxℵ 1{\displaystyle{\mathfrak{마}}=\aleph _{1} 모델을 주지만 c)ℵ 1ℵ{\displayst 정의된다.yle${\mathfrak {c}}=\aleph _{\aleph _{1}}}$, and using a countable support iteration of Sacks forcings, Baumgartner and Laver^[3] constructed a model in which ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{2}}$.

거의 연결 해제 $번호{\displaystyle \mathfrak{}}$ a$${\$displaystyle${\$mathfrak{a}$

${\displaystyle \Omega }$$$${\$$displaystyle$ $\$$omega$$}$의 두 $하위{\displaystyle }$ 집합 A {\displaystyle A}과 B ${\displaystyle B}$은(는) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cap }$ B ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ $A\$$cap$ $B$$}$이(가) 유한하면$$ 거의 해체된 것으로 알려져 있으며, 구성원이 거의 해체된 경우$\Omega {\displaystyle }$ 계열이 거의 해체된 것으로 알려져$$ 있다.A maximal almost disjoint (mad) family of subsets of ${\displaystyle \omega }$ is thus an almost disjoint family ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ such that for every subset ${\displaystyle X}$ of ${\displaystyle \omega }$ not in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, there is a set ${\disp$$레이스타일{\displaystyle }$ A$\in {\mathcal {A}$과(와) $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle A$$}$ 및 X {\displaystyle X$}$이(가) 거의 분리되지 않음(즉$$, 교차점이 무한대).거의 해체된 숫자 $a{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$는 무한대의 거의 해체된 가족 중에서 가장 카디널리티가 적다.기본적인 결과는^[4] $b{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a\mathfrak{}}$ ${\$ 셀라는^[5] 엄격한 불평등 < ${\$을를) 가지는 것이 일관성이 있다는 것을 보여주었다.

시초 도표

잘 알려진 기본 특성 다이어그램은 시초이 다이어그램으로, ZFC에서 10가지 기본 특성 사이에서 증명할 수 있는 모든 쌍-현상 관계를 보여준다.

참조

추가 읽기

• 토멕 바르토지스키와 하임 유다.실선의 구조에 이론을 세워라.A K Peters, 1995.
• Vaughan, Jerry E. (1990). "Chapter 11: Small uncountable cardinals and topology". In van Mill, Jan; Reed, George M. (eds.). Open Problems in Topology (PDF). Amsterdam: North-Holland Publishing Company. pp. 196–218. ISBN 0-444-88768-7. Retrieved December 5, 2011.
• Blass, Andreas (January 12, 2010). "Chapter 6 : Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum". In Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (eds.). Handbook of Set Theory (PDF). Vol. 1. Springer. pp. 395–490. ISBN 1-4020-4843-2. Retrieved December 5, 2011.
• Bartoszyński, Tomek (January 12, 2010). "Chapter 7 : Invariants of Measure and Category". In Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (eds.). Handbook of Set Theory. Vol. 1. Springer. pp. 491–556. arXiv:math.LO/9910015. ISBN 1-4020-4843-2.
• Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002.
• Halbeisen, Lorenz J. (2012). Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing. Springer Monographs in Mathematics. London: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4471-2173-2. ISBN 978-1-4471-2172-5.