보편적 재산

수학의 한 분야인 범주론에서 보편적 특성은 보편적 형태론에 의해 충족되는 중요한 속성이다(정형적 정의 참조). 보편적 형태는 또한 콤마 범주의 초기 또는 단자 객체로서 더 추상적으로 생각할 수 있다(쉼표 범주가 있는 연결 참조). 보편적 특성은 수학의 거의 모든 곳에서 발생하며, 따라서 정확한 범주 이론적 개념은 수학의 다른 분야들 사이의 유사성을 지적하는데 도움을 주는데, 그 중 일부는 심지어 관련이 없어 보일 수도 있다.

보편적 특성은 암묵적으로 수학의 다른 영역에서 사용될 수 있지만, 그것에 대한 추상적이고 더 정확한 정의는 범주 이론에서 연구될 수 있다.

이 글은 보편적 성질에 대한 일반적 취급을 하고 있다. 개념을 이해하려면 먼저 여러 가지 예를 연구하면 유용하며, 그 중 많은 예: 모든 자유 객체, 직접 제품 및 직접 합, 자유 그룹, 자유 격자, 그로텐디크 그룹, 데데킨드-맥닐 완성, 제품 토폴로지, 스톤-체크 콤팩트화, 텐서 제품, 역 한계 및 직접 한계, 커널 및 코커넬, 풀백, 풀백, 푸시 아웃과 이퀄라이저

동기

보편적 성질에 대한 공식적인 정의를 내리기 전에, 우리는 그러한 건축물을 연구하기 위한 어떤 동기를 제공한다.

• 주어진 공사에 대한 구체적인 세부 사항은 지저분할 수 있지만, 만약 공사가 보편적인 재산을 만족시킨다면, 그 모든 세부 사항들을 잊을 수 있다: 공사에 대해 알아야 할 모든 것은 이미 보편적인 재산에 포함되어 있다. 구체적인 내용보다는 보편적 재산을 사용한다면 증명이 짧고 우아해지는 경우가 많다. 예를 들어, 벡터 공간의 텐서 대수학은 실제로 구성하기에는 약간 고통스럽지만, 그것의 보편적인 속성을 사용하면 훨씬 다루기가 쉬워진다.
• 보편적 특성은 독특한 이형성에 이르기까지 사물을 고유하게 정의한다.^[1] 따라서 두 물체가 이형성이라는 것을 증명하는 하나의 전략은 그들이 동일한 보편적 속성을 만족한다는 것을 보여주는 것이다.
• 범용구조는 본질적으로 교구형이다. 범주 C의 모든 물체에 대해 공사를 수행할 수 있다면, 교구형은 C에 대한 교구를 얻게 된다. 더욱이, 이 펑터는 보편적 재산의 정의에 사용되는 펑터 U에 대한 오른쪽 또는 왼쪽 맞춤이다.^[2]
• 보편적인 특성은 수학의 어디에서나 발생한다. 추상적 특성을 이해함으로써 이러한 모든 구성에 대한 정보를 얻고 각 개별 인스턴스에 대해 동일한 분석을 반복하는 것을 피할 수 있다.

형식 정의

보편적 구조의 정의를 이해하기 위해서는 예를 살펴보는 것이 중요하다. 보편적 구조는 얇은 공기로 정의되는 것이 아니라 수학자들이 많은 수학적인 구조에서 패턴을 알아차리기 시작한 후에 정의되었다(아래 예 참조). 따라서 이 정의는 처음에는 타당하지 않을 수 있지만 구체적인 사례와 조정하면 명확해질 것이다.

${\displaystyle F}$: C${\displaystyle }$→ D ${\displaystyle F:$$C\to D}$은(는$)$ $범주{\displaystyle }$ C {\$displaystyle C}$과(와$)$ $D{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $D$$}$ 사이의 functor가 된다$$$.$ $그{\displaystyle }$ 뒤에 X ${\displaystyle X}$을(를$)$ D ${\displaystystyle$ $D$$\}$의 개체로$$ $두십시오$$.$

Thus, the functor ${\displaystyle F}$ maps ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A'}$ and ${\displaystyle h}$ in ${\displaystyle C}$ to ${\displaystyle F(A)}$, ${\displaystyle F(A')}$ and ${\displaystyle F(h)}$ in ${\displaystyle D}$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 F ${\displaystyle F}$까지의 범용 형태론은 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 고유한 쌍$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle u}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (A}$) ${\displaystystyle(A,u:X\to F(A)})$이며, 일반적으로$$ 범용 속성이라고 한다. $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서 f${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ F ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle f:X\to F(A')}$ 형식의 모든 형태론에 대해$,$ 고유한 형태론 $h{\displaystyle }$:${\displaystyle {}^{}}$ → A ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 $A\to A'}$에 다음 다이어그램이 통용되는 경우:

우리는 이 범주적 개념을 이원화할 수 있다. $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$까지의 범용 형태론은 다음과 같은 범용 특성을 만족하는 고유한$$ 쌍$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle u}$: F${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle (A,u:F(A)\to$ X$)}$이다. $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서 ${\displaystyle f}$: F${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle }$→ X $(\displaystyle f:F(A')\to X}$ 형식의 모든 형태론에 대해$$고유한 형태론 $h{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ A ${\displaystyle h:$$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 $A'\to A}$에 다음 다이어그램이 통용되는 경우$$:

각 정의에서 화살표는 반전된다는 점에 유의하십시오. 두 정의 모두 수학에 나타나는 보편적 구조를 설명하기 위해 필요하지만, 범주 이론에 존재하는 내재된 이중성 때문에 발생한다. 두 경우 모두 위에서와 같이 동작하는$$ 쌍$({\displaystyle A}$,${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle(A,u)}$이(가) 범용 속성을 만족한다고 말한다.

쉼표 범주와 연결

보편적 형태는 콤마 범주의 초기 개체와 단자 개체로 보다 간결하게 설명할 수 있다.

${\displaystyle F}$: C${\displaystyle }$→ D ${\displaystyle F:$$C\to D}$은(는) functor이고 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 개체$.$ 그런 다음 쉼표 범주$({\displaystyle X}$ ${\displaystyle \downarrow }$ F${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X\downarrow F)$가 다음$$ 범주라는 것을 상기하십시오.

• 개체는 형식$({\displaystyle B}$, f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (}$B )${\displaystyle$ (B$,f:X\to$ F($B)})$의$$쌍이며$,$ 여기서 B {\$displaystyle B}$은(는$)$ $C{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ C$}$의 객체임
• A morphism from ${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$ to ${\displaystyle (B',f':X\to F(B'))}$ is given by a morphism ${\displaystyle h:$$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 $B\to B'}$ 도표가 다음과 같이 통근한다$$.

이제${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle (A$$,u:X\to F(A)}$의 개체$({\displaystyle A,}$:X${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ (X$\downarrow$ F$)})$가 초기라고$$ 가정합시다. 그러면 모든 물체$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle f}$: X${\displaystyle }$→ F ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle (A',f:X\to F(A$에 대해 고유한 형태론 $h{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ A ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$다음$ 도표가 통용될 수 있는 A$\to$ A$'}.$

여기서의 평등은 단순히 도표가 같다는 것을 의미한다는 것에 주목하라. 또한 평등의 오른쪽에 있는 도표는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 F ${\displaystyle F}$까지 범용 형태론을 정의할 때 제시된 도표와 정확히 일치한다는 점에 유의하십시오$.$ $따라서{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$에서 F ${\displaystyF}$까지의 범용 형태론은$$ com의 초기 물체와 동일하다는 것을 알 수 있다.ma 범주$({\displaystyle X}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle(X\downarrow$ F$)}$.

반대로 쉼표 범주$({\displaystyle F}$ ${\displaystyle \downarrow }$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle(F\downarrow X)}$가 다음 범주임을 기억하십시오.

• 개체는 $형식{\displaystyle }$$($, ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$→ X${\displaystyle }$)의 쌍이며$,$ $여기$서 B ${\displaystyle B}$은(는$)$ C ${\displaystyle C}$의 객체임
• A morphism from ${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$ to ${\displaystyle (B',f':F(B')\to X)}$ is given by a morphism ${\displaystyle h:$$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 $B\to B'}$ 도표가 다음과 같이 통근한다$$.

$({\displaystyle A}$ ,${\displaystyle u}$: ${\displaystyle F}$(${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$→ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$이(가) $({\displaystyle F}$ ${\displaystyle \downarrow }$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle (F\downarrow$ X$)}$의 터미널 개체라고$$ 가정합시다$.$ 그러면 모든 물체$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ ,${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle F}$ (${\displaystyle {}^{})}$) →${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle (A',f:F(A)\to$ X$)\}$에 대해 고유한 $형태론{\displaystyle }$h : ${\displaystyle {}^{}\to }$ → A$${\$displaystyle$ $:$$A'\to A}$을(를) 따라서 다음과 같은 다이어그램이 통근한다.

평등의 오른쪽에 있는 도표는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $F$$}$에서 X ${\displaystyle$ X$}$까지의 범용 형태론을 정의할 때 그린 것과 같은 도표다$.$ 따라서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에서 X ${\displaysty X}$까지의 범용 형태론은 쉼표 범주의 ${\displaystyle \mathrm{단자}}$ 객체(F${\displaystyle }$terminal ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle )}$ ${\display$)와 일치한다$$.$스타일(F\downarrow$ X$)\}.$

예

아래는 일반적인 생각을 강조하기 위한 몇 가지 예들이다. 독자는 서론에서 언급된 기사들을 참고함으로써 다른 수많은 예들을 구성할 수 있다.

텐서 알헤브라스

$C{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle C}$을(를) $벡터{\displaystyle }$ $공간{\displaystyle }$ K ${\$displaystyle K$}$의 $범주$로 $하고$ D$$ {\$displaystyle D}$을(를$)$ 알헤브라스 $K{\displaystyle }$ ${\displaysty K}$의 범주로 한다$$($$일관적이고 연관성이 있다고 가정). 내버려두다

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ $$: $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -Alg$$ → $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -Vect$$

각 대수학에게 그것의 기본 벡터 공간을 할당하는 건망증이 있는 펑터가 되다.

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$을(를) 사용하면 텐서 대수 $T{\displaystyle }$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle T(V)}$을(를) 구성할 수 있다$.$ 텐서 대수학은 다음과 같은 사실에 의해 특징지어진다.

"$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 $대수{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$까지의 선형 지도는 $T{\displaystyle }$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle T(V)}$에서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$까지 대수 동형성으로 고유하게 확장될$$ 수 있다."$$

이 문장은 쌍$({\displaystyle T}$( V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, i${\displaystyle }$) ${\displaystyle (T(V),i$ $여기$서 i${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle U}$( ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle V}$)${\displaystyle$ i$:$$V\to U(V)}$는 포함 지도로서 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 펑터 U ${\displaystyle$ U$}$에 이르는$$ 범용 형태론이다$.$

이 구조는 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$에 대해 작동하므로 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}$은(는) K ${\displaystyle$$K$} -Vect$$ $to{\displaystyle }$ K$${\$displaysty$K} -Alg의 functor라는$$ 결론을 내린다$.$ 즉, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 건망증이 있는 $펑터{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$과(와) 일치하도록 남겨진다는 것을 의미한다($$연장 펑터 관련 섹션 참조).

상품들

범주형 제품은 보편적인 구조로 특징지어질 수 있다. 구체성을 위해 세트의 데카르트 제품, Grp의 직접 제품 또는 제품이 존재하는 탑의 제품 토폴로지를 고려할 수 있다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$을(를) 유한 제품을 $사용$하는 범주 C ${\displaystyle C}$의 개체로$$ 두십시오. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$의 곱은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ×$$ Y ${\displaystyle Y}$ $개체$와 두 가지 형태 표현으로 구성된다.

${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} $$: $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\time Y\to$ X$}$

${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$pi{\displaystyle }$ $_{2}}$ $$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$→ Y ${\displaystyle$ X$\time Y}$

such that for any other object ${\displaystyle Z}$ of ${\displaystyle C}$ and morphisms ${\displaystyle f:Z\to X}$ and ${\displaystyle g:Z\to Y}$ there exists a unique morphism ${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$ such that ${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$ and $g{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g=\pi _{2}\pi h}$.

이 특성을 범용 속성으로 이해하려면 범주 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D$}을(를) 제품 범주 C ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle C}$ {\$displaystyle C\times C}$로 하고 대각선$$ 펑터를 정의하십시오.

${\displaystyle \Delta :C\to C\time C}$

by ${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$ and ${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$. Then ${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$ is a universal morphism from ${\displaystyle \Delta }$ to the object ${\displaystyle (X$$,Y)}$ of ${\displaystyle C\times C}$: if ${\displaystyle (f,g)}$ is any morphism from ${\displaystyle (Z,Z)}$ to ${\displaystyle (X,Y)}$, then it must equal a morphism ${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$ from ${\$$displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$ to ${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$ followed by ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$.

한계 및 콜리미트

범주형 제품은 범주 이론에서 특정한 종류의 한계다. 위의 예를 임의의 한계와 코리밋에 일반화할 수 있다.

$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J$$}$ $및$ C ${\$$displaystyle$ $C}$을(를) 작은 인덱스 범주로 하고$$ $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle J^{}}$ ${\$을 해당하는$$ 펑터 범주로 한다. 대각선 펑터

${\displaystyle \Delta :C\to C^{J}}$

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 각 $개체{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$을(를) 상수 펑터 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}(}$N${\displaystyle }$)에$$ 매핑하는 펑터:${\displaystyle J}$→ C ${\displaystyle \Delta(N):$$J$\$to C}$에서 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $N$$}$까지($$$$예: $N$) =${\displaystyle J}$ ${\$$displaystyle$ $\$$Delta$($N)(X)=N}).$

Functor $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle J}$→ C ${\displaystyle F:$$J\to C}$ (thought of as an object in ${\displaystyle C^{J}}$), the limit of ${\displaystyle F}$, if it exists, is nothing but a universal morphism from ${\displaystyle \Delta }$ to ${\displaystyle F}$. Dually, the colimit of ${\displaystyle F}$ is a universal morphism from ${\displaystyle F}$ t$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$ $\}.$

특성.

존재와 고유성

양을 정의하는 것은 수량의 존재를 보증하지 않는다. Functor $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ D ${\displaystyle F:$$\$$to D}$ 및 C$$ {\$displaystyle$ $C$의 개체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X}$에서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$까지 범용 형태론이 존재할 수도 있고 없을 수도 있다$.$ 그러나 보편적 형태론$({\displaystyle A}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystystyle (A,u)$이 존재한다면$$ 본질적으로 고유하다. 구체적으로는 고유한 이형성(${\displaystyle {}^{}}$′,${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle(A',u')}$이 다른$$ 쌍이라면, 고유한 이형성 k${\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle F}$( k${\displaystyle }$) ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u'=F(k)\circu u$과 같은 $A.$ 이는 보편적 형태론의 정의에서${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle (A,u')}$을 대체하면 쉽게 알 수 있다.

이 패션에서 본질적으로 독특한 것은${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, $){\displaystyle (A,u)}$이다. 물체 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 자체는$$ 이소모르퍼리즘에 따라 독특한 것일 뿐이다. 실제로${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle u}$) ${\displaystyle (A,u)}$이(가) 보편적 형태론이고 $k{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$A\to A'}$은$({\displaystyle }$는) 쌍${\displaystyle ({}^{}}$ $u$, u ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle )}$다음에 나타나는 모든 이형성인데$,$ 여기서 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= F${\displaystyle }$($$${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaysty u'=F(k)\circur u}$은 보편적 형태론이기도 하다$$.

등가제식

보편적 형태론의 정의는 다양한 방법으로 바꾸어 말할 수 있다. ${\displaystyle F}$: C${\displaystyle }$→ D ${\displaystyle F:$$C\to D}$은(는) functor가 $되어{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$을(를) D$${\$displaystyle D$}의 객체가 되게$$ 한다$.$ 그렇다면 다음 문장은 동등하다.

• ${\displaystyle (A}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle (A,u)}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$까지의 범용 형태론이다.
• ${\displaystyle (A}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle (A,u)}$은(는) 쉼표 범주$({\displaystyle X}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle (X\downarrow$ F$)}$의 초기 개체다.
• ${\displaystyle (A}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle (A,u)}$은(는) ${\displaystyle {\text{홈}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}X}$, ${\displaystyle F}$(${\displaystyle }$- )${\displaystyle {\text{$$홈}_{D}(X,F(-))}$

이중 진술은 또한 다음과 같다.

• ${\displaystyle (A}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle (A,u)}$은(는) $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에서 X ${\displaystyle$ X$}$까지의 범용 형태론이다.
• ${\displaystyle (A}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle (A,u)}$은(는) 쉼표 범주$({\displaystyle F}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle (F\downarrow$ X$)}$의 터미널 개체다$$.
• ${\displaystyle (A}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle (A,$${\displaystyle u}$$)}$은(는) ${\displaystyle {}_{}}$ D${\displaystyle {}_{}F}$( ${\displaystyle )}$,${\displaystyle }$X${\displaystyle }$)$${\$displaystyle${\$text{$$홈}_{D}(F(-),X)}$

보조 펑커와의 관계

Suppose ${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$ is a universal morphism from ${\displaystyle X_{1}}$ to ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$ is a universal morphism from ${\displaystyle X_{2}}$ to ${\displaystyle F}$. By the universal pro보편적 형태론의 퍼티(perty)는 형태론 h${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$→ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}: 고유한 형태론 $g{\displaystyle }$ :${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$A_{1}\to A_{2$}}: 다음과$$ 같은 다이어그램이 통용된다.

If every object ${\displaystyle X_{i}}$ of ${\displaystyle D}$ admits a universal morphism to ${\displaystyle F}$, then the assignment ${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$ and ${\displaystyle h\mapsto g}$ defines a functor ${\displaystyle G:$$D\to$ C$\}.$ The maps ${\displaystyle u_{i}}$ then define a natural transformation from ${\displaystyle 1_{D}}$ (the identity functor on ${\displaystyle D}$) to ${\displaystyle F\circ G}$. The functors ${\displaystyle (F,G)}$ are then a pair of adjoint functors, with ${\displaystyle G}$ leFT-adjoint는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F},$ $F$ ${\displaystyle F}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 오른쪽$$ 연결한다$.$

유사한 문장이 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$$}$의 단자 형태론의 이중 상황에 적용된다$.$ $그러한{\displaystyle }$ 형태론이$$C {\$displaystyle$ C$$}의$$모든 X {\$displaystyle$ X$}$에 대해 존재하면 펑터$$ $G{\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ D ${\displaystyle G:$$F$ ${\displaystyle F}($따라서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $F$$}$은($따라서{\displaystyle }$ F ${\displaystyle$ G$})$의 오른쪽 맞춤인 C$\to D}.$

실제로, 모든 보조 기구의 쌍은 이런 방식으로 보편적인 구조에서 나온다. $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ $및{\displaystyle }$ G$$ ${\displaystyle G}$을(를) 단위 {$${\$displaystyle \eta$}과$$(를) 공동 단위 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$과(정의는 연결 펑커에 관한 기사 참조)로 한다$$.$$ $그러면{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$ 및 $D$ ${\displaystyle D}$에 있는 각 객체에 대해 보편적인 형태론을 갖게 된다$.$

• For each object ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$ is a universal morphism from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle G}$. That is, for all ${\displaystyle f:X\to G(Y)}$ there exists a unique ${\display$$다음$ 다이어그램이$통근하는$스타일 g:F(X)\to Y$}$
• For each object ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$ is a universal morphism from ${\displaystyle F}$ to ${\displaystyle Y}$. That is, for all ${\displaystyle g:F(X)\to Y}$ there exists a unique ${\dis$다음$$ 다이어그램이 통근하는 플레이 $스타일 f:X\to G(Y)}$

범용구조는 조정자 쌍보다 더 일반적이다: 범용구조는 최적화 문제와 같다. 이 $문제$가 C$${\$displaystyle$C}의 모든 개체($$동등하게, $D{\displaystyle }${\$displaystyle D})$에 대한 해결책을 가지고 있는 경우에만 조정된 쌍을 발생시킨다.$$

역사

다양한 위상학적 구조의 보편적 특성은 1948년 피에르 사무엘에 의해 제시되었다. 그들은 나중에 부르바키에 의해 광범위하게 사용되었다. 근접하게 연관되어 있는 부교장 개념은 1958년 다니엘 칸에 의해 독립적으로 도입되었다.

참고 항목

• 자유 객체
• 자연 변형
• 보조 펑터
• 모나드(범주론)
• 알헤브라의 종류
• 데카르트 폐쇄 범주

메모들

참조

• 폴 콘, 유니버설 대수학 (1981), D.네덜란드 레이델 출판사 ISBN90-277-1213-1.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• 보르수스, F. 범주형 대수학 핸드북: vol 1 기본 범주 이론 (1994) 캠브리지 대학 출판부, (수학과 응용의 백과사전) ISBN 0-521-44178-1
• N. 부르바키, 리브레 2세 : 알제브레(1970), 헤르만, ISBN 0-201-00639-1.
• 밀리스, 세사르 폴치노, 세갈, 수다르산 K. 그룹 링에 대한 소개. 알헤브라와 응용 프로그램 1권 2002년 스프링거 ISBN 978-1-4020-0238-0
• 제이콥슨. 기본 대수학 II. 도버 2009년 ISBN 0-486-47187-X

외부 링크

• n-범주적 관점을 중심으로 한 수학, 물리학, 철학에 관한 위키 프로젝트인 nLab
• 안드레 조이알, 캣랩(CatLab)은 범주형 수학의 전시에 전념하는 위키 프로젝트다.
• Hillman, Chris. "A Categorical Primer". CiteSeerX 10.1.1.24.3264: {{cite journal}}: Cite 저널은 범주 이론에 대한 (도움말) 정식 소개를 요구한다.
• J. 아다멕, H. 에를리히, G. 스테커, 추상적이고 구체적인 범주-고양이의 기쁨
• 스탠포드 철학 백과사전: 장 피에르 마르키스의 "카테고리 이론". 광범위한 참고 문헌 목록.
• 범주론 학술회의 목록
• 배즈, 존 1996 "N-카테고리 이야기" 상위 주문 범주에 대한 비공식 소개.
• WildCats는 Mathematica의 카테고리 이론 패키지다. 물체의 조작 및 시각화, 형태론, 범주, 펑터, 자연 변형, 범용 특성.
• 카테고리 이론에 대한 유튜브 채널인 캣스터.
• 범주, 논리 및 물리학의 기초와 관련된 녹화된 대화의 비디오 보관.
• 유한 집합 범주에 범주형 구성의 예를 생성하는 대화형 웹 페이지.