페어링 공리

자명 세트 이론과 그것을 사용하는 논리학, 수학, 컴퓨터 과학의 분과에서 페어링의 공리는 제르멜로-프라엔켈 세트 이론의 공리 중 하나이다. 그것은 제르멜로(1908)에 의해 초등 세트라는 그의 공리의 특별한 사례로 소개되었다.

형식명세서

제르멜로-프렌켈 공리의 공식어에는 다음과 같이 쓰여 있다.

$[\displaystyle \for all A\,\fall B\,\exists C\,\fall D\iff(D=A\lor D=B)]}}$

즉, 다음과 같다.

어떤 물체 A와 어떤 물체 B가 주어졌을 때, 어떤 물체 D가 A와 같거나 D가 B와 같을 경우에만 D가 C의 구성원이 되는 세트의 C가 있다.

또는 더 간단한 말로 다음과 같이 말할 수 있다.

두 개의 사물을 주어, 멤버가 정확히 두 개의 주어진 사물을 가진 세트가 있다.

결과들

지적한 바와 같이 공리가 말하는 것은 A와 B의 두 가지 대상을 볼 때 A와 B의 멤버가 정확히 A와 B인 세트 C를 찾을 수 있다는 것이다.

우리는 확장성의 공리를 사용하여 이 집합 C가 독특하다는 것을 보여줄 수 있다. 우리는 C 세트를 A와 B의 쌍이라고 부르고, 그것을 {A,B}라고 표시한다. 따라서 공리의 본질은 다음과 같다.

어떤 두 물체도 한 쌍이 있다.

{A,A} 세트는 A를 포함하는 싱글톤이라고 불리는 약칭 {A}이다. 싱글톤은 특별한 한 쌍의 경우라는 점에 유의하십시오. 예를 들어, 무한히 하강하는 체인 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle x=\{x\}}$의 존재하지 않는 것을 주기율의 악시오름에서 보여주기$$ 위해서는 싱글톤을 구성할 수 있는 것이 필요하다.

쌍의 공리는 또한 순서 쌍의 정의를 허용한다. ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$$객체$에 대해 순서가 지정된 쌍은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle (a,b)=\{a\},\{a,b\}\,}$

이 정의는 조건을 충족한다는 점에 유의하십시오.

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.}$

순서가 지정된 n-tuple은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle(a_{1},\ldots,a_{n})=(a_{1},\ldots,a_{n-1}),a_{n}.\!}$

대안

비독립성

페어링의 공리는 일반적으로 논쟁의 여지가 없는 것으로 간주되며, 그것 또는 그에 상당하는 공리는 세트 이론의 어떠한 공리화에도 나타난다. 그럼에도 불구하고, 제르멜로-프렌켈 집합 이론의 표준 공식화에서, 페어링의 공리는 둘 이상의 원소를 가진 임의의 주어진 집합에 적용되는 교체의 공리 스키마로부터 따르며, 따라서 생략되기도 한다. { {}, {} {} }과 같은 두 가지 요소를 가진 집합의 존재는 빈 집합의 공리와 전원 집합의 공리 또는 무한대의 공리 중 하나에서 추론할 수 있다.

더 강한 ZFC 공리가 없는 경우에도 페어링 공리는 손실 없이 더 약한 형태로 도입될 수 있다.

약하다

분리라는 공리 스키마의 표준 형태가 존재하는 경우, 우리는 페어링의 공리를 더 약한 버전으로 대체할 수 있다.

${\displaystyle$오른쪽 $화살표 D\in$ C$)}$.

이 약한 페어링 공리는 주어진 $물체{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$ $A$$}$과 $B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $B$$}$이(가) 어떤 $집합$의 멤버라는 것을 암시한다$.$ 분리 공리 스키마를 사용하여 정확히 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 멤버인 집합을 구성할 수 있다$.$

빈 집합의 공리가 있는 상태에서 페어링의 공리를 암시하는 또 다른 공리는 다음과 같다.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D\in A\lor D=B)]}$.

$D{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D=A}$ 대신$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D\in A}$을 사용하여 표준과 다르며$,$ A는 {}, B는 x를 사용하여 C는 {x}을(를) 얻는다. 그런 다음 A에는 {x}을(를) 사용하고 B에는 y를(를) 사용하고 C에는 {x,y}을(를) 가져오십시오. 어떤 사람은 유한한 세트를 쌓기 위해 이런 식으로 계속될 수도 있다. 그리고 이것은 결합의 공리를 사용하지 않고 유전적으로 유한한 모든 세트를 생성하는데 사용될 수 있다.

더 강한

빈 집합의 공리와 결합의 공리와 함께, 페어링의 공리는 다음과 같은 스키마에 일반화할 수 있다.

${\displaystyle \ forall A_{1}\,\dots \,\fall A_{n}\,\exists C\,\fall D\,[d\in C\iff(D=A_{1}\lorcodots \lor D=A_{n}]}$

즉,

A에서₁ A까지의_n 물체 수가 한정되어 있는 경우, A에서 A까지의_n 구성원이 정확하게 A에서₁ A까지인 C 세트가 있다.

이 집합 C는 다시 확장성의 공리에 의해 고유하며 {A₁,...,A_n}로 표시된다.

물론 우리는 이미 우리 손에 문제의 물체가 속하는 세트(마인드)를 가지고 있지 않고 한정된 수의 물체를 엄격하게 언급할 수는 없다. 따라서 이것은 하나의 문장이 아니라 스키마로서, 각각의 자연수 n에 대해 별도의 문장이 있다.

• 사례 n = 1은 A = A₁, B = A와₁ 짝을 이루는 공리다.
• 사례 n = 2는 A = A₁, B = A와₂ 짝을 이루는 공리다.
• 사례 n > 2는 페어링의 공리와 결합의 공리를 여러 번 사용하여 증명할 수 있다.

예를 들어 사례 n = 3을 입증하려면 페어링 공리를 세 번 사용하여 페어링 {A₁,A₂}, 싱글톤 {A₃}, 그 다음 페어링 {{A₁,A₂},{A₃}}}을(를) 생성하십시오. 그런 다음 조합의 공리는 원하는 결과인 {A₁,A₂,A₃}을(를) 산출한다. 빈 집합의 공리로 해석하면 n=0을 포함하도록 이 스키마를 확장할 수 있다.

따라서 이것을 빈 세트와 페어링의 공리 대신에 공리 스키마로 사용할 수도 있다. 그러나 보통은 빈 세트와 페어링의 공리를 따로 사용하다가 이를 정리 스키마로서 증명한다. 이것을 공리 스키마로 채택하는 것은 다른 상황에 여전히 필요한 결합의 공리를 대체하지 않는다는 점에 유의한다.

참조

• 폴 할모스, 순진무구한 집합론. 프린스턴, NJ: D. 밴 노스트랜드 컴퍼니, 1960년 1974년 뉴욕의 Springer-Verlag에 의해 재인쇄되었다. ISBN0-387-90092-6(Springer-Verlag 에디션).
• 제치, 토마스, 2003년 이론 설정: 수정 및 확장된 제3의 밀레니엄 에디션. 스프링거. ISBN 3-540-44085-2.
• 쿠넨, 케네스, 1980년 세트 이론: 독립 증명서에 대한 소개. 엘스비에 ISBN 0-444-86839-9
• 체르 멜로, 에른스트(1908년),"Untersuchungen 1세 Grundlagen 해부 Mengenlehre 죽über", Mathematische Annalen, 65(2):261–281, doi:10.1007/bf01449999.영어 번역:Heijenoort, 장 밴(1967년),"집합론의 기반에 수사", 프레게 괴델까지:소스 책 수학 논리에, 1879-1931, 소스 북스는 과학, 하버드 대학교의 역사에.출판부를 대신하여 서명함. 199–215, 아이 에스비엔 978-0-674-32449-7.