큰 추기경

Large cardinal

집합 이론의 수학적 분야에서, 큰 추기경 속성은 트랜스피나이트 추기경 숫자의 특정한 종류의 속성이다. 그러한 성질을 가진 추기경들은 이름에서 알 수 있듯이 일반적으로 매우 "크다"(예를 들어, α=Ω과 같은α 최소 α보다 크다)이다. 그러한 추기경들이 존재한다는 명제는 가장 보편적인 세트 이론, 즉 ZFC의 공리화에서는 증명될 수 없으며, 그러한 명제는 ZFC를 넘어서서 어떻게 "mucch"하는가를 측정하는 방법으로 볼 수 있으며, 특정한 원하는 결과를 증명할 수 있다고 가정할 필요가 있다. 다시 말해, 다나 스콧의 구절에서 "더 많은 것을 원한다면 더 많은 것을 가정해야 한다"는 사실을 수량화하면서 그들을 볼 수 있다.[1]

ZFC에서만 증명할 수 있는 결과가 가설 없이 명시될 수 있지만, 그 증거가 (대형 추기경의 존재 등) 다른 가정을 필요로 한다면, 이러한 것들을 명시해야 한다는 대략적인 규약이 있다. 이것이 단순히 언어적 관습인지, 아니면 그 이상의 것인지는 구별되는 철학적 학교들 사이에서 논쟁의 여지가 있는 점이다(아래 동기와 인식론적 지위 참조).

큰 추기경 공리는 어떤 특정한 큰 추기경 속성을 가진 추기경(또는 그들 중 많은 것)이 존재한다는 것을 나타내는 공리다.

대부분의 워킹 세트 이론가들은 현재 검토되고 있는 커다란 추기경 공리가 ZFC와[citation needed] 일치한다고 믿는다. 이러한 공리는 ZFC의 일관성을 암시할 정도로 강하다. 이는 ZFC와의 일관성을 ZFC에서 증명할 수 없는 결과(Gödel의 두 번째 불완전성 정리를 통해)를 가지고 있다(ZFC가 일관된다고 가정).

일반적으로 큰 추기경 재산의 정의에 대한 정확한 정의는 없지만, 기본적으로 모든 사람들이 큰 추기경 재산 목록에 있는 것이 큰 추기경 재산이라는 것에 동의한다.

부분적 정의

추기경 수의 속성이 큰 추기경 속성이 되기 위해 필요한 조건은 그러한 추기경의 존재가 ZFC와 일치하지 않는 것으로 알려져 있지 않고 ZFC가 일관성이 있다면 ZFC는 "그런 추기경은 존재하지 않는다"는 문구와 일치한다는 것이 증명되었다."

일관성 강도의 계층 구조

큰 추기경 공리에 대한 주목할 만한 관찰은 그것들이 일관성 강도에 의해 엄격한 선형적 순서로 나타나는 것으로 보인다는 것이다. 즉, 다음과 같은 예외는 알려져 있지 않다: A와1 A라는2 두 개의 큰 추기경 공리를 볼 때, 정확히 세 가지 중 하나가 일어난다.

  1. ZFC가 일관성이 없는 한, ZFC+A는1 ZFC+A가2 일관성이 있는 경우에만 일관성이 있다.
  2. ZFC+A는1 ZFC+A가2 일관성이 있다는 것을 증명한다.
  3. ZFC+A는2 ZFC+A가1 일관성이 있다는 것을 증명한다.

문제의 이론들 중 하나가 실제로 일관성이 없는 것이 아니라면, 이것들은 상호 배타적이다.

사례 1에서는 A와1 A가2 동일하다고 한다. 사례 2의 경우, 우리는 A가1 일관성 측면에서 A보다2 강하다고 말한다(사례 3의 경우 그 반대). A가2 A보다1 강하면 ZFC+A1 그 자체가 일치한다는 추가적인 가설(물론 그것이 사실이라는 전제하에)에도 불구하고 ZFC+A가12 일관성을 증명할 수 없다. 이는 괴델의 두 번째 불완전성 정리에서 비롯된다.

큰 추기경 공리가 일관성의 강도에 의해 선형적으로 배열된다는 관찰은 단지 하나의 정리가 아니라 관찰일 뿐이다. (대규모 추기경 재산에 대한 통용된 정의가 없으면, 통상적인 의미에서는 증거의 대상이 되지 않는다.) 또한, 세 가지 사건 중 어느 것이 들어있는지 모든 경우에 알 수 없다. 사하론 셀라는 이렇게 물었다. "이것을 설명하는 어떤 정리가 있는가? 아니면 우리의 비전이 우리가 깨닫는 것보다 더 균일한가?" 그러나 우딘은 이를 Ω 로직의 주요 미해결 문제인 Ω 컨jecture에서 추론한다. 또한 많은 조합적 진술들이 말하자면 그들 사이의 중간이라기 보다는 몇몇 큰 추기경들과 정확히 일치한다는 점도 주목할 만하다.

일관성 강도의 순서가 큰 추기경 공리에 대한 가장 작은 증인의 크기 순서와 반드시 같은 것은 아니다. 예를 들어, 거대한 추기경의 존재는 슈퍼콤팩트 추기경의 존재보다 일관성 강도의 측면에서 훨씬 강하지만, 둘 다 존재한다고 가정할 때 최초의 거대한 추기경의 존재는 첫 번째 슈퍼콤팩트보다 작다.

동기 및 인식 상태

큰 추기경들은 폰 노이만 우주 5의 맥락에서 이해되는데, 이는 주어진 집합의 모든 서브셋을 함께 모으는 파워셋 작전을 완전히 반복함으로써 구축된다. 전형적으로 큰 추기경 공리가 실패하는 모델은 공리가 들어 있는 모델의 하위모델로 어떤 자연스런 방법으로 볼 수 있다. 예를 들어 접근하기 어려운 추기경이 있다면, 그런 추기경이 첫 번째의 전성기에 있는 "우주를 잘라낸다"는 것은 접근하기 어려운 추기경이 없는 우주를 산출한다. 또는 측정할 수 있는 추기경이 있다면, 완전한 것이 아니라 정의 가능한 파워셋 작전을 반복하면 괴델의 구성 가능한 우주인 L이 산출되는데, 이는 "측정이 가능한 추기경이 있다"는 문구를 충족시키지 못한다(계수로서 측정 가능한 추기경이 포함됨에도 불구하고).

그러므로, 많은 세트 이론가들(특히 카발 전통에서 영감을 받은 사람들)이 보유하고 있는 어떤 관점에서, 큰 추기경은 "우리가 고려하고 있는 모든 세트를 고려하고 있다"고 말하는 반면, 그들의 부정은 "제한적"이며 우리는 그 세트들 중 일부만을 고려하고 있다고 말한다. 게다가 큰 추기경 공리의 결과는 자연적인 패턴으로 떨어지는 것 같다(매디, "공리문자의 믿음, II" 참조). 이러한 이유로, 그러한 집합 이론가들은 큰 추기경 공리를 ZFC의 확장 중에서 선호되는 지위를 갖는 것으로 간주하는 경향이 있는데, 하나는 덜 명확한 동기(마틴의 공리 등)의 공리와 그들이 직관적으로 불가능하다고 생각하는 다른 공리로 공유되지 않는다(예: V = L). 이 집단의 강경 현실주의자들은 더 간단히, 큰 추기경 공리가 사실이라고 말할 것이다.

이러한 관점은 세트 이론가들 사이에서 결코 보편적이지 않다. 일부 공식주의자들은 표준 집합 이론은 정의상 ZFC의 결과에 대한 연구라고 주장할 수 있으며, 원칙적으로 다른 시스템의 결과를 연구하는 것에 반대하지는 않을 수 있지만, 그들은 큰 추기경들을 선호되는 것으로 간주할 이유가 없다고 본다. 존재론적 극대주의가 적절한 동기라는 것을 부정하고, 심지어 커다란 추기경 공리가 거짓이라고 믿는 현실주의자들도 있다. 그리고 마지막으로 L자체가 그 명제를 충족시키지 못하더라도 (예를 들어) L에 측정 가능한 추기경이 존재한다고 믿는 전이적 집합 모델이 있을 수 있다고 지적하면서 큰 추기경 공리의 부정은 제한적이라는 것을 부인하는 사람들도 있다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Bell, J.L. (1985). Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory. Oxford University Press. viii. ISBN 0-19-853241-5.

참조

외부 링크