퍼지 집합

수학에서 퍼지 집합(불확실 집합이라고도 함)은 요소가 멤버십 정도를 갖는 집합이다.퍼지 집합은 ^[1][2]집합의 고전적 개념의 확장으로 1965년 Lotfi A. Zadeh에 의해 독립적으로 도입되었다.동시에, Salii(1965)는 추상적인 대수적 맥락에서 연구한 L-관계라고 불리는 더 일반적인 종류의 구조를 정의했다.퍼지 수학 전반에 걸쳐 사용되고 언어학(De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000), 의사결정(Kuzmin 1982) 및 클러스터링(Bezdek 1978)과 같은 영역에서 적용되고 있는 퍼지 관계는 L이 구간일 때 L-관계의 특별한 경우이다[0, 1].

고전 집합론에서 집합 내 요소의 구성원은 2진수 조건에 따라 평가된다. 즉, 한 요소가 집합에 속하거나 속하지 않는다.반면 퍼지 집합 이론은 집합 내 요소의 멤버십을 점진적으로 평가할 수 있게 한다. 이는 실제 단위 간격에서 가치 있는 멤버십 함수의 도움으로 설명된다[0, 1].퍼지 집합은 고전 집합의 지시 함수(특징 함수)가 퍼지 집합의 멤버십 함수의 특별한 경우이기 때문에 고전 집합을 일반화한다. 퍼지 집합은 퍼지 집합이 값 0 또는 ^[3]1만을 취할 경우이다.퍼지 집합론에서 고전적인 2가 집합은 보통 선명한 집합이라고 불린다.퍼지 집합 이론은 정보가 불완전하거나 부정확한 광범위한 영역에서 사용될 수 있다. 예를 들어 생물 정보학이다.^[4]

정의.

퍼지 세트는 쌍$({\displaystyle U,}$ $m)$입니다.$여기$서$$U(\$displaystyle$$$U$)$는 세트(종종 공백이 아니어야 함)이고 m${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \to }$ [${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$](\$displaystyle$ m$\display$ U$\rightarrow [0,$ 1$])$는 멤버십 함수입니다.기준 $집합{\displaystyle }$U(\$displaystyle$ U$)($ $\displaystyle \Omega$ 또는$$X(\$displaystyle$ X$)$라고도 함)는 담론의 세계이며$,$ 각 $x{\displaystyle }$ universe$U$에 대해 m${\displaystyle (}$$)$ {$displaystyle$$$m$(x)$은${\displaystyle }$x${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ M${\displaystyle )}$의 멤버쉽 등급이라고 합니다.${\displaystyle }${{$displaystyle (U,m$ m $=$ ${\displaystyle {\mu A}_{}}${$displaystyle$ m=\$mu$ _${A}}$ $함수$를 퍼지 $집합{\displaystyle }$ A $=$ ($)$ {$displaystyle$ A=($U,m$의 멤버십 함수라고 합니다$.$

유한 $집합{\displaystyle }$ U ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1 , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \}}$, { $displaystyle$ U = \ { x$_$ {1$}$ , \ $dots$, x$_$ n$$${\displaystyle {}_{}}$ 의 경우$$ 퍼지 집합$({\displaystyle U}$,$)$은 종종${\displaystyle }${${\displaystyle m}$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$$1$${\displaystyle }$) / ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1_{}}$/${\displaystyle m{}_{}}$ ( $x$) / n$} style$로 표시됩니다$.$$}$

$x{\displaystyle u}$U { $displaystyle$x \ $in$ U$$} 、 $x{\displaystyle }${ $displaystyle$ x$$}를$$ 호출합니다.

• 퍼지 세트$({\displaystyle U,}$ $)$에 포함되지 않음({$displaystyle(U,m)},$ $m$(x) $=$ {$displaystyle$ m$(x$)=$0}($부재 없음)
• $m{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) $=$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ m$(x$)=$1}($풀 멤버),
• 0< ( { $displaystyle$0 <$m$ ($x$ )<$1$}(부재 멤버)^[5]의 경우, 일부가 포함됩니다.

$우주{\displaystyle }$ U$(\displaystyle$ U$)$의 모든 퍼지 집합의 (${\displaystyle \mathrm{크리스프})}$ 세트는${\displaystyle }$S F($U)$ {$displaystyle SF($$)}($$때로는{\displaystyle }$ F$)\displaystyle$ F$(U)).$^[6]

퍼지 집합과 관련된 선명한 집합

퍼지 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle U}$ ,${\displaystyle m}$) {$displaystyle$ A = (U$$,$m$) } $및$ α${\displaystyle \in }$ [${\displaystyle 0}$ , $]$ {{$displaystyle$\alpha $\in [ 0$ , $1$]}에$$ 대해 다음과 같은 선명한 집합이 정의됩니다.

• ${\displaystyle A^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ α ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle x\delta }$ U${\displaystyle \delta }$m (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \alpha }$ α $}$ { $display style$ A$^{\geq \alpha$ } =$A_{\alpha$} =$\{x\in$U\mid m$(x$)\geq \alpha \}} α-cut (a-levelpha 집합)이라고 한다.
• > δ { Um () > $α }$ { $display style$ A^ { > \ $alpha$ } = \ { $x$\ $in$U \ $mid$ m ( x ) > \ $alpha$ \} = \ { display style A'$_${ \ { \ { x \ mid m ( x \ mid m ( x ) α - levelpa ) } } its ) ( ) ( ) ( - - - - - - - -) its
• $}$A$^{>0}=\{x\in$ U$\mid$ m$(x)>0\}$을(를) 서포트라고 부릅니다.
• $}$$A^{=1$}=\{$x\in$ U$\mid$ m$(x$)=$1\}}$을 코어(또는 ${\displaystyle \mathrm{커널}}$ Kern ${\displaystyle (}$ ($)\displaystyle$ \$operatorname$ {Kern} ($A)})$라고 부릅니다.

일부 저자는 "커널"에 대해 다른 방식으로 이해하고 있습니다. 아래를 참조하십시오.

기타 정의

• 퍼지 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle U}$ ,${\displaystyle m}$) { $displaystyle$ A = ($U$ , $m$) ${\displaystyle \}}$ 이$$ 비어 ${\displaystyle }$( A $=$ { $displaystyle$ A = \ $varnothing$ ) iff ( if and only )

${\displaystyle\forall}$${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• 2개의 퍼지 $세트{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$와 B$(\displaystyle$ B$)$는 동일합니다$$(${\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ \$displaystyle$ A $= B$） if

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$

• 퍼지 $세트{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$는 퍼지 $세트{\displaystyle }$ B$($${\displaystyle b}$B \ $displaystyle$A \ $subseteq$B$$)에 포함됩니다.

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• 퍼지 $세트{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$의 경우 다음을 충족하는 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$U(\$displaystyle$ x$\in$$$U)

$\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}$

교차점이라고 합니다.

• $퍼지{\displaystyle }$ $집합{\displaystyle }$A {\$displaystyle$ A$$${\displaystyle \}<img\; alt="a"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.743ex;\; height:2.176ex;">}$ {\displaystyle \alpha $\in [0$ {\$displaystyle$ \alpha \$in$ [0,$1]$$=$ { x$$ U${\displaystyle \mathrm{\mu A}{}_{}}$} $=$ ${\displaystyle \alpha }$ $}$ {\$displaystyle$ A^{=\alpha\$in$U\$mu\mid$\alpha(X) ${A}$ } }
• A의 레벨 세트는 모든 $레벨\alpha {\displaystyle }$levels [ 0${\displaystyle }$, $]{$ $displaystyle$\alpha $\in [ 0$ , $1$]{ displaystyle \1 }의 집합으로 구분되는 컷을 나타냅니다$$.이것은 ${\displaystyle {\mu A}_{}}$의 $이미지$입니다.\$display$ \$mu$ _ { A$$} :

$\displaystyle \Lambda _{A}=\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$$\displaystyle \displays }$$\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• 퍼지 $세트{\displaystyle }$A의 경우(\$displaystyle$ A$)$ 높이는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \operatorname {Hgt}(A)=\sup\{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

${\displaystyle 여기}$서 sup$\displaystyle\sup은$$$$)\displaystyle\mu_{A}(U)$가 비어 있지 않고 위가 1로 경계되어 있기 $때문$에 존재하는 슈프림을 나타냅니다.만약 U가 유한하다면, 우리는 단순히 최고치를 최대치로 대체할 수 있다.

• 퍼지 $세트{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$는 다음과 같이 정규화되어 있습니다.

${\displaystyle\operatorname{Hgt}(A)=1}$

슈프림이 최대인 유한한 경우, 이것은 퍼지 집합의 적어도 1개의 요소가 풀 멤버쉽을 갖는 것을 의미한다.퍼지 집합의 멤버십 함수를 높이로 나누어 결과${\displaystyle \stackrel{}{}}A{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ {\$displaystyle {A}}$로 비어 있지 않은 $퍼지$ $집합{\displaystyle }$A {\$style$$$A$}$를 정규화할 수 있습니다.

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt}(A)}$

유사성 외에도 정규화 상수가 합계가 아니라는 점에서 일반 정규화와 다릅니다.

• 퍼지 $세트{\displaystyle }$ A$($유계 지지대 포함 실수(U ⊆ ℝ ))의 {\$displaystyle$ A$}$의 경우 폭은 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle \operatorname {Width}(A)=\sup(\operatorname {Sup}(A))-\inf(\operatorname {Sup}(A))}$

Supp ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle A}$)$$\ $displaystyle \operatorname {Supp}$ ($A)$ } 이$$ 유한 집합 또는 보다 일반적으로 닫힌 집합인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 폭은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \operatorname {Width}(A)=\max(\operatorname {Supp}(A))-\min(\operatorname {Supp}(A))}$

n차원의 경우(U ℝⁿ ) ) )는 Supp ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle A}$ $)\displaystyle \operatorname {Supp}$($A)$의 n차원의 볼륨으로 치환할 수 있습니다.

일반적으로 U에 대해 임의의 측정치를 지정할 수 있습니다. 예를 들어 Supp${\displaystyle }$style ( $displaystyle \operatorname {Sup}$ (A$)}$의 통합$($${\displaystyle 예}$: Lebegue 통합)을 통해 정의할 수 있습니다.

• 실제 퍼지 $집합{\displaystyle }$ A$($U ⊆ ) ))$$는 볼록하다고 한다(퍼지 의미에서는 선명한 볼록 집합과 혼동되지 않는다). iff

$μ$$0$$\mu$ _${A}(\lambda {x}+(1-\lambda)y)\geq \min(\mu$_{$A}(x),\mu$ _${A}(y$

일반성의 손실 없이, 우리는 x , y를 취할 수 있다. 이것은 등가 공식이다.

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z[}$[ ${\displaystyle {}_{}}$, y${\displaystyle }$] : ${\displaystyle {\mu }_{}A}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle \mu {}_{}}$A${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ) , $μ$(${\displaystyle }$y$$) \$style$ \ $forall z$\ $in$[ x , $y$] : \$mu$ _ { $A$} ($z$ ) \$geq$ \$min$ ( \$mu$_ { $A }$ ( x ) 、 \ $mu$_ { $A$ y ) ） ${\displaystyle \mathrm{。}}$

이 정의는 일반적인 위상 공간에 대해 1로 확장될 수 있습니다U: 우리는 퍼지 $집합{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$가 U의 하위 집합 Z에 대해 볼록하다고 합니다.

$\displaystyle \forall z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

holds. ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 Z$(\displaystyle$\$display$ Z$)$는 $Z$와 f${\displaystyle (X)}$의 경계$=$ x$\$$in$ X$\}{display$ Z$\}$는 $\mu f{\displaystyle {}_{}}$$({\displaystyle \mathrm{}}$여기서$$$)$의 함수 아래에 있는 집합 X의 ${\displaystyle \mathrm{이미지}}$입니다.

퍼지 집합 작업

퍼지 집합의 보완은 가장 일반적인 단일 정의, 즉 다른 주요 연산인 합집합과 교차점을 가지지만, 애매한 부분이 있다.

• ${\displaystyle 특정}$ 퍼지 $세트{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$)$의 경우 A$(\$${\displaystyle {일명}^{}}$ A$(\$ A$^{c}$ $또는$ c $(\displaystyle cA$는 다음 멤버쉽 함수에 의해 정의됩니다.

${\displaystyle x}$ x${\displaystyle u{}_{}}$ :${\displaystyle {\mathrm{}}_{}\mathrm{\mu }{}_{}{\mu }_{}}$ ${\displaystyle A}$(${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1_{}}$ - ${\displaystyle \mu {}_{}}$A ( x )$$（ \$displaystyle$ \ $forall$x \ $in$U : \ mu _ { \ $neg$ {$A$ } （ x ) = $1-$\ $mu$_ { $A$} ($$x )$$${\displaystyle \mathrm{\}}}$

• t-norm으로 하고 대응하는 s-norm(일명 t-conorm)을 s로 한다.퍼지 $세트{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ $(\displaystyle$ A$,B$ 쌍이 있는 경우, 이들의 $교점{\displaystyle }$ A${\displaystyle b}$B(\$displaystyle$ A$\cap {B})$는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle x}$ x${\displaystyle u_{}}$U :${\displaystyle \mathrm{}}$μ A${\displaystyle {}_{}}$∩${\displaystyle {}_{}B}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle \mu {}_{}}$A${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ) , $μ$B${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x$$) \ display $style$ \ $forall$x \ $in U$ : \$mu$_ { $A$\ $cap$ { $B } =$t ( \$mu$_ { $A }$ ( x ) , \$mu$_ { $B }$ （ x$$) ,

A ${\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$\ $display$A \$cup$ { $B$는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle x}$ x${\displaystyle u_{}}$U :${\displaystyle \mathrm{}}$μ A${\displaystyle {}_{}}$∪${\displaystyle {}_{}B}$(${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle s}$ ( ${\displaystyle \mu {}_{}}$A${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ) , ${\displaystyle \mu {}_{}}$B${\displaystyle }$($x$) \ display $style$ \ $forall$x \ $in U$ : \$mu$_ { $A$\ $cup$ { $B } =$s ( \$mu$_ { $A }$ ( x ) , \$mu$ _ { $B$} $（$ x$$)

t-norm의 정의에 의해, 우리는 결합과 교차가 교환적이고, 단조롭고, 연관성이 있으며, null과 identity 요소를 모두 가지고 있음을 알 수 있다.교차로에서는 각각 θ와 U이고, 합집합에서는 반전이다.그러나 퍼지 집합과 그 보의 결합은 전우주 U가 되지 않을 수 있으며, 이들의 교집합은 빈 집합 θ를 주지 않을 수 있다.교집합과 합집합은 연관성이 있기 때문에 유한한 퍼지 집합군의 교집합과 합집합을 재귀적으로 정의하는 것이 자연스럽다.

• 표준 $부정자{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha )}$ ${\displaystyle =1}$ -${\displaystyle \alpha }$, α${\displaystyle }$[ [${\displaystyle 0}$ , $]$ {$displaystyle$ n (\$alpha$ ) =$1$- \$alpha$, \$alpha \in [ 0$ , $1$]} 이$$ 다른 강력한 부정자로 대체된다면 퍼지 집합의 차이는 다음과 같이 일반화 될 수 있다.

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• 흐릿한 교차로, 합집합과 보체의 3배는 드 모건 삼중항을 이룬다.즉, 드 모건의 법칙은 이 세 배로 확장됩니다.

표준 부정자를 사용하는 퍼지 교차로/연합 쌍의 예는 t-노름에 대한 기사에 제공된 샘플에서 도출할 수 있다.

퍼지 교차는 표준 t-norm min만이 이 특성을 가지고 있기 때문에 일반적으로 무의미하다.실제로 산술 곱셈을 t-노름으로 사용하면 결과 퍼지 교차 연산은 무의미하지 않다.즉, 퍼지 집합의 교집합을 반복하는 것은 사소한 일이 아니다.대신 퍼지 집합의 m번째 거듭제곱을 정의하며, 이는 다음과 같은 방법으로 비정수 지수에 대해 규범적으로 일반화될 수 있다.

• 퍼지 $집합{\displaystyle }$A {\$displaystyle$ A$}$ 및$$ ${\displaystyle {}^{}}$R$$+ \$displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}$의 A$${\$displaystyle$ A$}$의 제곱은 멤버쉽 함수에 의해 정의됩니다.

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

지수 2의 경우는 이름이 붙을 정도로 특수합니다.

• 퍼지 $A$에 대해$$ $농도{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{CON}(A)}$$$$=$ ${\displaystyle {}^{}}$ $({$ CON$(A$)=$A^{2}}$이(가) 정의되어 있습니다.

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.$

${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ 0 $=$ {\$displaystyle$ 0$^{0$}=$1$을 ${\displaystyle {취하면\mathrm{}}^{}}$ A $=$ U {\$displaystyle$ A$^{$$0$}=$U$$}$ $및$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}^{}}$ $=$ A$$.$${\$displaystyle$ A$^{$1}=A가 $됩니다{\displaystyle {}^{}}$.$}$

• 퍼지 $집합{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ $({displaystyle$ A$,B$ 퍼지 집합 $차이{\displaystyle }$ A${\displaystyle b}$B$({displaystyle A$$\setminus$B$\})$가 주어진 경우 멤버쉽 함수를 $통해{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{쉽게}}$ 정의할 수 있습니다.

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x)),},$

$즉{\displaystyle }$, A ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm{\cap }}$ ${\displaystyle B}${ $displaystyle$A \ $setminus$B$= A$ \$cap$ \$neg$ { $B$}$$。예:

$(\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}(x)=\min(\mu _{A}(x), 1-\mu _{B}(x)).}$^[7]

설정 차이에 대한 또 다른 제안은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^[7]

• 대칭 퍼지 집합 차이에 대한 제안은 Dubois와 Prade(1980)에 의해 절대값을 취하여 다음과 같이 제시되었다.

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)= \mu _{A}(x)-\mu _{B}(x) ,$

또는 max, min, standard negative를 조합하여 사용하여,

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\mu _{A}(x), 1-mu _{B}(x))}$^[7]

t-노름, t-코노름 및 부정자에 대한 것과 유사한 일반화 대칭 차이의 정의에 대한 공리는 Vemur 등(2014년)에 의해 제안되었으며, 이전 것은 Alsina 등에 의해 제안되었다.(2005) 및 베드레갈 등.(2009년).^[7]

• 선명한 세트와 달리 퍼지 세트에 대한 평균 연산을 정의할 수도 있습니다.

분리 퍼지 집합

교차점과 결합 연산의 일반적인 모호성과는 대조적으로, 분리된 퍼지 집합은 명확하다.2개의 퍼지 $세트{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ $({style$ A$, B$})가 분리된 경우 iff

$\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

와 동등하다.

$(\displaystyle\displaystyle\inter$ $\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

와 동등합니다.

$\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)=0}$

min/max는 t/s-norm 쌍이며, 다른 모든 것도 여기서 작동합니다.

퍼지 세트는 선명한 세트에 대한 표준 정의에 따라 지지대가 분리된 경우에만 분리됩니다.

분리된 퍼지 $집합{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ $(\displaystyle$ A$,B)$의 경우 모든 교차점이 θ를 나타내며, 모든 결합이 동일한 결과를 나타내며, 이는 다음과 같습니다.

${\cup }}, B}{\displaystyle A,{\dot {\cup}},B=A\cup B}$

.

$x} _ _displaystyle x\ U:\mu _{\dot {cup }B}(x)_{\mu}_{\mu}(x}_{\mu}$

양쪽 서맨드의 1개만이0보다 큰 것에 주의해 주세요.

분리 퍼지 $집합{\displaystyle }$ A$B$의 경우(\$displaystyle A,$B$$)는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Sup}(A, {\dot {cup}},B)=\operatorname {Sup}(A)\cup \operatorname {Sup}(B)}$

이것은 다음과 같이 유한한 퍼지 집합 패밀리로 일반화할 수 있다. A ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle A_{}{}_{}}$i ) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ { $displaystyle$ A = ($A_{i}_{i\in$I}}$개$의 인덱스 집합(예: I = {1, 2, 3, ...n})이 주어지면.이 패밀리는 (쌍으로) disconnect ifff입니다.

$\displaystyle {\text}x\text{\text}에는 최대 1개의 i가 존재하며, 그 결과 0이}\mu _{A_{i}}(x)>0이 됩니다.}$

퍼지 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle A_{}{}_{}}$i ) $i$I { $displaystyle$ A$=$ ( A _ { i )$_$ {$i$ \ $in$I} } is$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle =}$ ( $Supp$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ I \ $displaystyle$ \$opername${ Supp } \ = A a \ $opername$ \ $in$ I$}$ ( , , , 。_${i\in$I}}는 표준적인 의미에서 바삭바삭한 세트 패밀리의 경우 분리됩니다.

t/s-노름 쌍과 무관하게, 퍼지 집합의 분리된 패밀리의 교차점은 다시 θ를 제공하지만, 결합에는 모호성이 없다.

$displaystyle\\bigcup_{i})A_{i}=\bigcup_{i}A_{i})$

.

$\\in U:\ I_{ I _displaystyle \forall x\ U:\mu_{\bigcup}{i}}{i}{\in I}}{\}}{i}}{\mu}}{i}}}}}}{\mu}}}{i}}}}{\mu}}}}}{\$

1을 더하다, 1을 더하다, 0을 더하다

퍼지 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle {Ai}_{}{}_{}{}_{}}$) i ${\displaystyle {\in }_{}}$ { $displaystyle$ A = ($A_{i}_{i\in$I}}의$$ 경우, 다음이 성립한다.

$\displaystyle \operatorname {Sup} \left dot {bigcup \in I} = \bigcup \right } = \bigcup \sup {i\in I} \operatorname {Sup} (A_{i})$

스칼라 카디널리티

유한 ${\displaystyle \mathrm{서포트}}$를 가지는 퍼지 $세트{\displaystyle }$ A${\displaystyle (\{}$$displaystyle$$})({displaystyle\operatorname{$Supp$}($$A$)(즉, 「무한 퍼지 세트」)의$$ 경우, 그 카디널리티(스칼라 카디널리티 또는 시그마 카운트)는 다음과 같이 주어진다.

$카드$ ( A ) = sc ${\displaystyle }$ (${\displaystyle A}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A\underset{}{}=}$ ${\displaystyle \underset{}{sc}}$ x${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mu A}_{}}$(${\displaystyle x}$) { $displaystyle \operatorname { Card$} ( A ) = \ $sum$_ {$x$ \ $in$ U } \ $mu$_ { $A$ ($x$ )

U 자체가 유한 집합인 경우, 상대 카디널리티는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathrm{RelCard}}$ ${\displaystyle }$ （${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ）}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A}$ ⁡ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{sc}（}$ ${\displaystyle A}$） / ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle =A}$ /${\displaystyle }$U \ $displaystyle \operatorname${$RelCard$} (A) = \$A$ \ = \$operatorname {sc}$ ($A)$ / U $= A$ / U = A / U $\}$

이는 제수가 공백이 아닌 퍼지 집합일 경우 일반화할 수 있습니다.퍼지 $세트{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ $(\style$ A, G)와 G(\style A,$G)$의 경우 다음과 같이 상대 카디널리티를 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathrm{RelCard}}$ "${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$ ,${\displaystyle G}$) $=$ ${\displaystyle \mathrm{sc}}$" (${\displaystyle A}$ ) $=$ ${\displaystyle \mathrm{sc}}$"${\displaystyle }$"${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$) / sc "${\displaystyle }$( G ) / ${\displaystyle \mathrm{sc}}$ ${\displaystyle "}$ ($$G ) \ $displaystyle \operatorname${$RelCard$} ($A$ , G ) =\$operatorname {sc}$ ( A , G ) =\$operatorname$ {$SCA }$ ( $CAP$ )

조건부 확률의 표현과 매우 유사합니다.주의:

• ( 0\ $style \operatorname {sc}$ ($G$$)$ > $0$。
• 결과는 선택한 특정 교차로(t-norm)에 따라 달라질 수 있습니다.
• G $U$의 경우(\$displaystyle G=$) 결과는 명확하며 이전 정의와 유사합니다.

거리와 유사성

퍼지 $A$의 경우$$ 멤버십 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu A}_{}}$$:$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \to }$ [ ${\displaystyle 0}$, 1$]({displaystyle \mu$ _${A}):$$U\to [0,1]$은 ${\displaystyle {\mu A}_{}}$ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle {\mu A}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x{}_{}}$) ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1{}^{}}$]$$ { $displaystyle \mu$_ {$A}$= ( \ $mu$_ { A } ($x$ )$_$ { x \ in U$$} \ $in$ [ 0 , 1$$]^ 으로 간주할 수 있습니다.{$U$ 후자는 몇 가지 $메트릭{\displaystyle }$ d$\displaystyle$d가$$ 알려진 메트릭 공간입니다$.$메트릭은 표준(벡터 표준)$$‖(\$displaystyle \\,\)$에서 다음 방법으로 도출할 수 있습니다.

${\displaystyle d}$(${\displaystyle \alpha ,}$β) $displaystyle$ d(\$alpha,\displaystyle$ d$) = \alpha -\display$ \ }$$。

예를 들어 U$\displaystyle$U가$$ 유한한 $경우{\displaystyle }$.$=$$x_{n$ 이러한 메트릭은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle }$$d{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle }$β ) : ${\displaystyle =max}$ {${\displaystyle \alpha }$( ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$) -${\displaystyle \beta }$ ( ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$) : ${\displaystyle i}$ $=$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, $n }$ { $displaystyle$ d ( \$alpha$ , \ $ex$ _ { i$}$ ) :\$max \ {$ \ alpha ( x _ { i } ) - \$$$expla$ ( x$_$ { i } ) - \ $display$ ( x _ { i $}$ : i ) : $i$$$ ) : $i$ ${\$ β$$ $\beta {\displaystyle }$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ 、 、 、$$、 ${\$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\

$무한{\displaystyle }$ U$(\displaystyle$ U$)$의 경우 최대값은 최고값으로 대체할 수 있습니다.퍼지 집합은 멤버쉽 함수에 의해 명확하게 정의되기 때문에 이 메트릭을 사용하여 동일한 우주상의 퍼지 집합 간의 거리를 측정할 수 있습니다.

${\displaystyle d}$( ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$) : ${\displaystyle =d}$ ( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$A , ${\displaystyle {\mu }_{}}$B$$) \ $displaystyle$d ($A$ , B ) : =$d$( \ $mu$_ { $A$, \ $mu$_ { $B$}$$) ,

예시와 됩니다.

$d _})\ dA,B)=\max\{A}(x_{i})-\mu _{Bx_i}):{i}$

다시 $무한{\displaystyle }$ U$\displaystyle$U의$$ 경우 최대값은 최고치로 대체되어야 합니다.무한 퍼지 집합이 너무 다르면 (표준 2-노름과 같은) 다른 거리$($예$:{\displaystyle }$ \$displaystyle$ \$varnothing)$와$$U\$displaystyle$ U$)$가 분산될 수 있습니다.

유사성 측정치(여기서$$S(\$displaystyle$ S$)$로 $표시{\displaystyle }$)는 거리로부터 도출할 수 있다. 예를 들어 Koczy의 제안 후:

${\displaystyle }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle =1}$ /${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$+${\displaystyle d}$ (${\displaystyle \mathrm{A}}$ ,${\displaystyle B}$)$$, { $displaystyle$ S =$1$/ ( $1 + d$ ($A$ , $B$${\displaystyle }$)$$} ,$displaystyle$d ($A$, B )$${ displaystyle d ( A , ${\displaystyle B}$ )}가$$$$ 유한한$$ 경우, $그{\displaystyle \mathrm{}}$ 외는$$0 { $displaystyle$0},

윌리엄스와 스틸 다음으로요

${\displaystyle }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle (}$( - ${\displaystyle \alpha }$d (${\displaystyle A}$${\displaystyle }$,${\displaystyle B}$)$${ $displaystyle$ S = \ $exp$( - \$alpha${ $d$( A , B )$$} ${\displaystyle (}$ A ,$B$) { $displaystyle$d ($A$ , B$$) }가$$$$$$ 유한한 $경우{\displaystyle }$$,$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ { $display style$ 0$$} (기타일 경우)

서α >(\$displaystyle$\alpha >$0)$은 경사 파라미터이며 ${\displaystyle \exp =}$ ${\displaystyle e^{}}$x \$exp(x$ $= e^{x$^[6] 입니다.

Beg와 Ashraf는 간격 값('흐릿한$')$의 유사성 측정값$display$(\displaystyle \$zeta)$^[6]에 대한 또 다른 정의도 제공하고 있습니다.

L 퍼지 세트

때로는 퍼지 집합 개념의 보다 일반적인 변형이 사용되며, 멤버쉽 함수는 특정 $종류$의$$(고정 또는 가변) 대수 $또는$ 구조 L(\$displaystyle$ L$)$의 값을 취한다. 보통 L$(\displaystyle$ L$)$은 적어도 포셋 또는 격자여야 $한다{\displaystyle }$.이들은 보통 L-퍼지 집합이라고 불리며, 단위 간격 동안 값이 매겨진 집합과 구별됩니다.[0, 1]의 값을 가진 일반적인 멤버십 함수를 [0, 1] 값의 멤버십 함수라고 합니다.이러한 종류의 일반화는 1967년 ^[8]자데의 학생이었던 조셉 고갱에 의해 처음 고려되었다.기존 결과에서는 true 및 membership 값을 {0, 1) 대신 {f, t}(으)로 나타낼 수 있습니다.

퍼지 집합의 확장은 아타나소프에 의해 제공되었다.직관적 퍼지 세트(IFS) $(\displaystyle$ A$)$는 두 가지 기능으로 특징지어집니다.

$1{\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle {\mu A}_{}}$(${\displaystyle x}$ $){displaystyle \mu$ _${A}(x)}$ – x의 멤버십 정도

2. ${\displaystyle {①}_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$) { $style \nu$_ {$A$} $$($$x )– 비멤버십 정도

$함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu A}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle 0}$, $]{$ $displaystyle \mu$ _${A},\nu$_{$A}:$${\displaystyle {}_{}}$ x [ U :$μ$ A$$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+${\displaystyle {}_{}a}$ A${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle 1}$ 1$$\ $displaystyle \forall x$ \ $in U$ : \ $mu _$ { $A }$ + \ $nu _$ { $A （$ x ) \ $leq$ 1 }의 U\ mapsto [ 0 , 1$$]

이는 x$(표시방식 x)$ $투표$로 대표되는 사람과 유사한 상황입니다.

• $제안{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$ : (${\displaystyle {\mu }_{}}$ A${\displaystyle {}_{}x)}$ ${\displaystyle =1}$, ${\displaystyle {\mu }_{}}$ A${\displaystyle {}_{}x)}$ $=$ $(\displaystyle \mu$ _${A}(x$)=1$,\nu$ _${A}(x$)=$0}),$
• 반대: (${\displaystyle {\mu }_{}}$A (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle a_{}}$A (${\displaystyle x}$ ) $=$ { $displaystyle \mu$ _${A}(x$)= $0$, \$nu$ _${A}(x$)=1}$$ $,$
• 기권 또는 ${\displaystyle {기권}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}\mu }$A ( ${\displaystyle {}_{}}$ ) ${\displaystyle ={}_{}x}$A ( ${\displaystyle \mathrm{x}}$ )$$ 0 ( \ $displaystyle$\$mu$_ { $A$} ( x ) = \ $nu _$ { $A$} ( x $)=$0 $$）

결국 우리는 찬성 비율, 부인 비율, 기권 비율을 가지고 있다.

이러한 상황에서는 특별한 "직관적 퍼지" 부정자, t- 및 s-규범을 정의할 수 있다.$D{\displaystyle {}^{}}$display${\displaystyle }$= { (${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ ) ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0{}^{}}$, ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ]${\displaystyle {}^{}2}$ :${\displaystyle \alpha }$ + ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ $=$ 1 $}$ \ { \ { \ $in$ [ 0 , 1 ]^{ $2$} :\ $alpha$+ \ delays${\displaystyle {}_{}}$$= 1$\$$} \ $in$$$[ ${\displaystyle {}_{}}$$$, 1 ] : ${\displaystyle U}$ \ $display$ $style$ ${\displaystyle {\to }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ （ ${\displaystyle {\mu A}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$）$$） 。$U\to$ D$^{*}:$ 이$$ 상황은 특별한 종류의 L 퍼지 세트와 유사합니다.

PFS(Picture Fuzzzy Set)를 다음과 같이 정의하여 이 기능을 확장했습니다.PFS A는 U를 [0, ${\displaystyle 1_{}}$${\displaystyle ]}$에 매핑하는 세 가지 기능을 특징으로 $한다{\displaystyle {}_{}}$: $δA, δA,$ \$nu _{A$ "긍정적 멤버쉽 정도", "중립적 멤버십 정도", "부정적 멤버십 정도" 및 ${\displaystyle \mathrm{추가}}$ 조건${\displaystyle }$δ.$\displaystyle \forall$ x$\in$ U$:\mu$_{$A}(x)+\eta _{A$}+\nu _{$A}(x)\leq$ 1$}$ 이렇게$$ 하면 위의 투표 샘플이 "투표 거부"의 추가 가능성으로 확장됩니다.

$D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= { (${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle }$β ,${\displaystyle \gamma }$ )${\displaystyle 0}$[ ${\displaystyle 0{}^{}}$, ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ]${\displaystyle {}^{}\alpha }$[ 3 : ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ +${\displaystyle }$β + + ${\displaystyle =}$ 1$$} { \ { \ $displaystyle$ D^ { * } = \ $in$[ 0 , 1 ]^{ $3$: \ alpha $+$\ displaystyle$= 1$$$\ displaystylanguffect } \ negators }\ $in$[ 0 , \ negators }\ }\ $in$ : \ : \ alpha + \ $vala$ + \ ratusea + \ ${\displaystyle {}^{}}$ \

중성소성 퍼지 집합

IFS의 개념은 크게 두 가지 모델로 확장되었습니다.IFS의 두 가지 확장은 중성소성 퍼지 집합과 피타고라스 퍼지 ^[11]집합이다.

중성성 퍼지 세트는 1998년 ^[12]Smarandache에 의해 도입되었다.IFS와 마찬가지로 중성 퍼지 세트에는 앞의 두 가지 기능이 있습니다.하나는 ${\displaystyle \mathrm{멤버십\mu A}{}_{}}$($$x ) \$displaystyle$ \$mu _{A}(x$$)$ \displaystyle$$$\nu$ _${A}(x)$ \$displaystyle$ \nu _{A} (${\displaystyle x)}$ $。$주요 차이점은 중성소성 퍼지 집합에는 하나 더 기능이 있다는 것입니다. ${\displaystyle {즉}_{}}$, i A${\displaystyle {}_{}x}$ $)(\display$ style $i_{A}(x$의 경우입니다.이 값은 엔티티 x가 집합에 속한다는 미정의 정도를 나타냅니다.i ${\displaystyle A_{}}$(${\displaystyle x}$) \$displaystyle i_{A}(x)$ 값을$$ $부정$하는 개념은 ^[13]아이템x의 멤버쉽 또는 비멤버쉽 값을 확신할 수 없는 경우에 특히 유용합니다.요약하면, 중성 소수 퍼지 세트는 다음 기능과 관련되어 있습니다.

$1{\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \mathrm{\mu A}{}_{}}$(${\displaystyle }$x$$) { $displaystyle \mu$_ {$A}$ ($x)$ }$$ - x의 멤버십 정도

2. ${\displaystyle {①}_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$) { $style \nu$_ {$A$} $$($$x )– 비멤버십 정도

3. $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$(${\displaystyle x}$) { $style i$_ { $A$（ $x$） }–$$ x의 불확정값 정도

피타고라스 퍼지 집합

IFS의 또 다른 확장은 피타고라스 퍼지 집합으로 알려진 것입니다.피타고라스 퍼지 집합은 IFS보다 유연합니다.IFS는 ${\displaystyle {\mu }_{}}$A (${\displaystyle x}$) + ${\displaystyle \mathrm{a}}$ A${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$1 1$$\ $display$style \ $mu$_ { $A$（ x ) + \ $nu$_ { $A$} ($x$ ) \ $leq$ 1$$, theraint on on on on 。이는 경우에 따라서는 너무 제한적이라고 생각될 수 있습니다.이것이 Yager가 피타고라스 퍼지 집합의 개념을 제안한 이유입니다.이러한 집합은 피타고라스 정리를 ^[14][15][16]연상시키는 ${\displaystyle {\mu }_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}^{}x}$ )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle A_{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$x ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}1}$1 { $displaystyle \mu$ _${A}$ ($x)^{2$} +\$nu$ _${A}$ ($x)^2}\leq$1을 만족한다$.$피타고라스 퍼지 집합은 ${\displaystyle {\mu }_{}}$A (${\displaystyle x}$) + ${\displaystyle a_{}}$A (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$1 ${\displaystyle 1}$\ $displaystyle$\ $mu$_ { $A$（ x ) + \ $nu$_ { $A$（ $x$) \$leq$ 1$$}의$$ $이전{\displaystyle {}_{}}$ 조건이 유효하지 않은 실제 응용 프로그램에 적용할 수 있습니다.단, ${\displaystyle {\mu }_{}}$A (${\displaystyle {}^{}}$x )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle a_{}}$A (${\displaystyle {}^{}x}$ ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}1}$1 { $displaystyle \mu$ _${A}$ ($x)^{2}$ +\$nu$ _${A}$ ($x)^2}$ $\leq$1)의 덜 제한적인 조건이 더 많은 ^[11][13]도메인에서 적합할 수 있습니다.

퍼지 논리

다치 로직의 경우 확장으로서 명제변수($V$o style {$V$$})$의 평가(${\displaystyle }$:$$ o ${\displaystyle {}_{}}$ {\$mathit${$V$$} }$ ~ {$mathit${$W})$를 멤버십 $($ {\display style {V}$$$)$으로 한다.티온 매핑은 술어를 퍼지 집합(또는 더 공식적으로 퍼지 관계라고 불리는 순서 있는 퍼지 쌍의 집합)으로 표현합니다.이러한 평가를 통해 다치 논리를 확장하여 단계적 결론을 ^[17]도출할 수 있는 애매한 전제를 허용할 수 있다.

이 확장은 "넓은 의미의 퍼지 논리"와 반대로 "좁은 의미의 퍼지 논리"라고 불리기도 한다.이는 자동화된 제어와 지식 공학 공학이라는 공학 분야에서 비롯되었으며 퍼지 집합과 "근사 추리"^[18]를 포함한 많은 주제를 포함한다.

"넓은 의미의 퍼지 논리"의 맥락에서 퍼지 집합의 산업적 적용은 퍼지 논리에서 찾을 수 있다.

애매한 숫자와 유일한 숫자

퍼지^[19] 수는 다음 조건을 모두 충족하는 퍼지 집합입니다.

• A는 정규화되어 있다.
• A는 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle !}$ x${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle A}$,${\displaystyle }$μ A ( ${\displaystyle {}^{}{}_{}{x}_{}}$ )$1$ \ displaystyle \ $displaystyle$ !$x^{*}$ \ $in$A , \$mu$_ { A$$（ x$^{*} =$ 1 ;
• 멤버십 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu A}_{}}$(${\displaystyle x}$)({$displaystyle \mu$ _${A}(x$)})는$$ 적어도 세그먼트적으로 연속적입니다.

이러한 조건이 충족되지 않으면 A는 퍼지수가 아닙니다.이 애매한 숫자의 핵심은 싱글톤입니다.그 위치는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \,C(A)=x^{*}:\mu _{A}(x^{*})=1}$

x ${\$ { $displaystyle${ x$^$ { * } } $の$ queness の queness of about about 조건이 충족되지 않은 경우 퍼지 세트는 퍼지 ^[19]간격으로 특징지어집니다.이 퍼지 간격의 핵심은 다음과 같은 선명한 간격입니다.

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle }$min { ${\displaystyle xr\mathbb{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$A (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\}}$ ;${\displaystyle max}${ ${\displaystyle xr\mathbb{}}$ R$$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$A (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ $}$ { $displaystyle$\ , $C$( A ) = \ $left$[ \ $min$\ {$x\ in$\ $mathbbb${ R } \ $mid$ \ $mu$ _ { A $} =$1 ）

퍼지 수치는 재미있는 게임인 "체중을 추측한다"에 비유할 수 있다.누군가 참가자의 체중을 추측하고, 보다 가까운 추측을 하고, 참가자의 체중에 충분히 가까운 것을 추측하면, 추측자가 「체중을 추측한다」(멤버십 기능에 의해 1로 매핑한다).

퍼지 $A$의 $커널{\displaystyle }$K (${\displaystyle A}$ )$$ Kern ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle A}$) \ $displaystyle$ K ( A ) = \$operatorname {Kern}(A$$)$$$}은 멤버쉽 값이 일정하지 않은 'sublic' 부분을 제외하고 'sublic' 부분으로 정의됩니다.${\displaystyle {즉}_{}}$, μ A ( x$$) \ $displaystyle$\ $mu$_ { $A$（ $x$） }이 외부에서 일정하게 $존재$하는 R $\$ displaystyle \ $mathbb${ $R }$의 최소 서브셋을 커널로 정의합니다.

그러나 일부 저자들이 볼록성을 주장하지 않기 때문에 퍼지 수와 간격에 대한 다른 개념이 있다.

애매한 카테고리

범주 이론의 핵심 요소로서 집합 멤버쉽의 사용은 퍼지 집합으로 일반화될 수 있다.퍼지 집합론의 ^[20]도입 직후인 1968년에 시작된 이 접근방식은 21세기에 ^[21][22]고갱 카테고리의 발전을 이끌었다.이러한 범주에서는 두 개의 값 집합 멤버쉽을 사용하는 대신 보다 일반적인 간격이 사용되며 L 퍼지 ^[22][23]집합에서와 같이 격자가 될 수 있다.

퍼지 관계 방정식

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퍼지 관계식은 A · R = B 형식의 방정식이며, 여기서 A와 B는 퍼지 집합이고, R은 퍼지 관계이며, A · R은 A와^{[citation needed]} R의 구성을 나타낸다.

엔트로피

$우주$의 퍼지 세트 U$${\$displaystyle$ U$}$의 퍼지성 측정값 d는 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$U {\$displaystyle$ x$\in$U$\}$에 대해 다음 조건을 충족해야 합니다.

1. ${\displaystyle }$$d{\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$( \ $displaystyle$ d$$$$( A ) =$0$)$$${\displaystyle {\mu }_{}}$ A (${\displaystyle x}$ ) a {$$0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ( \ $displaystyle$ \ $mu$_ { $A$（ $x$) \ $in$\ 0 , $1$\ }
2. ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle A}$)$${ $displaystyle$d ( $A$)${\displaystyle \mathrm{has<img\; alt="d(A)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/bcf5ba9327d7acc0f2862d037cf724578d06d68f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:4.768ex;\; height:2.843ex;">}}$ U :${\displaystyle {}_{}\mu }$ A (${\displaystyle \mathrm{}}$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle =0.5}${ $displaystyle \forall$x \ $in$ U : \ $mu$_ { $A$（ x ) $=$0.$5$} 。
3. $\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\iff}$

$\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\leq 0.5}$

$\displaystyle \mu _{A}\geq \mu _{B}\geq 0.5}$

즉, B가 A보다 '크리스퍼'라는 뜻입니다.

1. $\displaystyle d(\neg {A})=d(A)}$

이 $경우{\displaystyle }$ d$)$ {$displaystyle$ d$(A)}$는 퍼지 집합 A의 엔트로피라고 불립니다.

$유한{\displaystyle }$ U $=$ { ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$.x${\displaystyle n_{}}$ $}$ {$displaystyle$ U=\{$x_{$1},$x_{2}$의 경우...$x_{n}\}:$ 퍼지$$ $집합$의 엔트로피$$A(\$displaystyle$ A$)$는 다음과 같습니다.

$displaystyle$$$$H(\neg {A$

$\displaystyle H(A)=-k\sum _{i=1}^{n}\mu _{A}(x_{i})\ln \mu _{A}(x_{i})$

아니면 그냥

$(\displaystyle d(A)=-k\sum _{i=1}^{n}S(\mu _{A}(x_{i})) )$

$여기$서 S${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle H_{}}$ e${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$ S$(x$) $=$$H_{e}(x)}$는 샤논의 함수(자연 엔트로피 함수)이다.

$\displaystyle S(\alpha)=-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha),\alpha \in [0,1]}$

$(\displaystyle$ k$)$는 사용된 측정 단위와 로그 기수에 따라 상수입니다(여기에서는 자연 기수 e를 사용했습니다).k의 물리적 해석은 볼츠만 상수^B k이다.

A$(\displaystyle$ A$)$를 연속 멤버쉽 함수(퍼지 변수)가 있는 퍼지 세트라고 $합니다{\displaystyle }$.그리고나서

$\displaystyle H(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty}\operatorname {Cr}\lbrace A\geq t\rbrace \ln \operatorname {Cr}\lbrace A\geq t\rbrace 、 dt}$

그리고 그것의 엔트로피는

${\displaystyle d(A)=-k\int_{-\infty}^{\infty}S(\operatorname {Cr}\lbrace A\geq t\rbrace ),dt}$^[24][25]

내선번호

에는 퍼지 집합보다 많은 수학적 구조 일반적인 이상으로 비슷하다.이후 퍼지 집합 1965년에 도입되었을 때, 많은 새로운 수학적 구성과 이론들 부정확한 것, 부정확., 모호함이 있고, 불확실성 치료 개발되었다.퍼지 집합 이론의 이러한 구성과 이론의 확장, 할 수 있는 반면 다른 사람들은 수학적으로 모범적인 부정확한 것과 다른 방법을( 버긴.&Chunihin 1997년harvnb 오류:노 타깃:CITEREFBurginChunihin1997( 도와 주)에 불확실성 노력해;Kerre 2001년;Deschrijver과 Kerre, 2003년).

「 」를 참조해 주세요.

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