싱글톤(수학)

수학에서, 단위 집합이라고도 알려진 싱글톤은 정확히 하나의 원소를 가진 집합이다.^[1] 예를 들어 {null } 집합은 null 요소를 포함하는 단일 톤입니다.

이 용어는 1투플(한 멤버가 있는 시퀀스)에도 사용된다.

특성.

제르멜로-프라엔켈 세트 이론의 틀 안에서 규칙성의 공리는 어떤 세트도 그 자체의 요소가 되지 않는다는 것을 보장한다. 이는 싱글톤이 반드시 포함된 원소와 구별되므로 ^[1]1과 {1}은(는) 동일한 것이 아니며, 빈 집합은 빈 집합만 포함하는 집합과 구별된다는 것을 의미한다. {{1, 2, 3}과 같은 세트는 단일 원소(단, 단, 단일톤이 아닌 세트)를 함유하고 있어 싱글톤이다.

한 세트는 카디널리티가 1인 경우에만 싱글톤이다. 폰 노이만의 자연수 설정 이론적 구성에서 숫자 1은 싱글톤 {0}로 정의된다.

자명 세트 이론에서 단골격의 존재는 쌍골격의 공리의 결과로서, 어떤 세트 A에 대해서도, A에 적용되는 공리와 A가 싱글톤 {A}과 같은 {A, A}의 존재를 주장(A가 들어 있고, 다른 세트가 없기 때문에 원소로서)한다.

만약 A가 어떤 세트이고 S가 어떤 싱글톤이라면, A에서 S까지 정확히 하나의 함수가 존재하는데, 이 함수는 A의 모든 요소를 S의 단일 요소로 보낸다. 따라서 모든 싱글톤은 집합의 범주에서 단자 객체다.

싱글톤은 그것에서 임의의 세트에 이르는 모든 기능이 주입되는 속성을 가지고 있다. 이 속성을 가진 유일한 싱글톤이 아닌 세트는 빈 세트뿐이다.

벨 번호 정수 시퀀스는 집합의 파티션 수(OEIS: A000110)를 카운트하며, 단골격을 제외할 경우 숫자가 더 작다(OEIS: A000296).

범주론에서

단골격으로 지어진 구조물은 종종 다양한 범주의 단자 객체 또는 0 객체의 역할을 한다.

• 위의 문장은 싱글톤 세트가 세트 세트의 범주에서 정확히 단자 객체임을 보여준다. 다른 세트는 터미널이 아니다.
• 어떤 싱글톤이든 독특한 위상학적 공간 구조를 인정한다(두 서브셋 모두 개방). 이러한 단일톤 위상학적 공간은 위상학적 공간과 연속적인 기능의 범주에 있는 단자 객체다. 그 범주에는 다른 공백이 없다.
• 어떤 싱글톤이든 독특한 그룹 구조(아이덴티티 요소 역할을 하는 독특한 요소)를 인정한다. 이러한 싱글톤 그룹은 그룹과 그룹 동형성의 범주에서 0개의 객체가 있다. 그 범주에서 다른 그룹은 터미널이 아니다.

지시자 함수에 의한 정의

S를 표시기 함수에 의해 정의된 클래스로 설정

${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$

그 다음에 S를 싱글톤이라고 한다. 만약 어떤 y ∈ X가 있다면 모든 x ∈ X에 대해,

$[\displaystyle b(x)=(x=y)]}$

프린키니아 수학자의 정의

다음 정의는 화이트헤드와^[2] 러셀에 의해 도입되었다.

$\displaystyle \iota }$‘${\displaystyle x={\hat {y}(y=x)}$ Df.

The symbol ${\displaystyle \iota }$‘${\displaystyle x}$ denotes the singleton ${\displaystyle \{x\}}$ and ${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$ denotes the class of objects identical with ${\displaystyle x}$ aka ${\displaystyle \{y:y=x\}}$. 이는 도입부의 정의로서 발생하며, 장소에서는 본문에서의 주장을 단순화하여 제안 51.01(p.357 ibid. 그 제안은 이후 1번 추기경을 다음과 같이 정의하는데 사용된다.

${\displaystyle 1={\hat {\chat }}}((\chat x)\iota }$‘$(\displaystyle x)}$ Df.

즉, 1은 단골격의 등급이다. 정의 52.01 (p.363 ibid.)

참고 항목

• 계급(세트 이론)
• 고유도 수량화

참조