사람이 사는 집합

수학에서, $A$는 $원소{\displaystyle }$가 존재하는$$$경우$에 거주합니다$.$

고전 수학에서, 사람이 사는 속성은 비어 있지 않은 것과 같습니다.그러나 이 동등성은 구성 논리나 직관 논리에서는 유효하지 않기 때문에 이 별도의 용어는 구성 수학의 집합 이론에서 주로 사용됩니다.

정의.

1차 논리의 공식 언어에서 $집합{\displaystyle }$ A$({displaystyle$A})는$$ 다음과 같은 경우 사람이 거주하는 특성을 갖습니다.

${\displaystyle \exists z.(z\in A)}$

관련 정의

$집합{\displaystyle }$ A$({$$displaystyle$ A$})$는 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle z(z}$ ${\displaystyle \notin }$${\displaystyle A}$ )$${\$displaystyle \forall$ z$.(z\notin$ A$)\}$ 또는 동등한 ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle z.(z}$ ${\displaystyle \in }$${\displaystyle A}$) {\$displaystyle \exists$z.($z\$$in$ A$)\}.$ $여기$서 Z ${\displaystyle \notin }$ $($$)$ \$notin$ A$($$Z$) \notyle) \notyle(Z$)$ \notyle(Z) \notyle) \notyle) \n(Z(Z$)$ \notyle) \not

$집합{\displaystyle }$ A$({displaystyle$A$$})가 비어 있지 않으면 비어 있지 않습니다. 즉,${\displaystyle \mathrm{}}$$\neg {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle \forall z}$ . ${\displaystyle (z}$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle A}$) \$displaystyle \forall$z . ($z\notin$ A$)\}$ 또는 동등한 ${\displaystyle \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle z}$ .${\displaystyle }$(${\displaystyle z}$ ∈${\displaystyle A}$) {\$displaystyle \neg \exists$ z.$(z\in$ A$)\}$입니다.

정리

모드 포넨스는 P ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle P}$ →${\displaystyle Q}$ )$$→${\displaystyle Q}$ ) {\$displaystyle$ P$\to ((P\to$ Q$)\to$ Q$)\}$를 암시하며$,$ Q {\$displaystyle$ Q$}$에 대한 잘못된 명제를 취하면 P$$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ P \$displaystyle$ P$\to \neg$P}가$$ 항상 유효하다는 $것$을 확립합니다.따라서 사람이 거주하는 모든 집합도 비어 있지 않음을 증명할 수 있습니다.

논의

구성 수학에서 이중 부정 제거 원리는 자동으로 유효하지 않습니다.특히, 존재 진술은 일반적으로 이중 부정형보다 더 강합니다.후자는 단지 존재를 배제할 수 없다는 강한 의미에서, 그것이 지속적으로 부정될 수 없다는 것을 표현합니다.구성적 판독에서는 $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle z.\varphi }$ (${\displaystyle z}$) {{ $displaystyle \exists$z}의 순서로 표시됩니다.\$phi (z)}$이(가) 어떤 공식$$$\varphi {\displaystyle }$ {{$displaystyle$ \$phi$에 대해 유지되어야 하며,$ϕ$ {{$displaystyle$ \phi$$$}$를 만족하는$$ 특정 $값{\displaystyle }$z {{$displaystyle$$$z}가 구성되거나 알려져 있어야 합니다$.$마찬가지로, 보편적 정량화된 진술의 부정은 일반적으로 부정된 진술의 실존적 정량화보다 약합니다.결과적으로, 집합이 사람이 살고 있다는 것을 증명할 수 없는 경우 집합이 비어 있지 않은 것으로 증명될 수 있습니다.

예

{2, ${\displaystyle 3}$${\displaystyle ,}$${\displaystyle 4,}$ $}({2, 3, 4,$7}) $또는{\displaystyle \mathbb{}}$ Q$({$$2,$ 3, 4, 7$}($$예$: 2$,$$3, 4, 7$와${\displaystyle }$같은 집합이 $거주합니다.$집합${}{displaystyle \{\}$이(가) 비어 있으므로 사람이 거주할 수 없습니다.따라서 당연히 예제 섹션은 사람이 거주할 수 없는 비어 있지 않은 집합에 초점을 맞춥니다.

논리적 진술은 항상 분리의 공리를 사용하여 집합 이론적 진술로 표현될 수 있기 때문에 간단한 집합 이론적 성질에 대한 예를 제시하는 것은 쉽습니다.예를 들어, 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle \subset }$ {$}$ {{$displaystyle$ S$\subset$\{$0$${\displaystyle \backslash \}}$를 S$=$ {${\displaystyle n}$ {${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle \mid }$ $}({n\in$\{$0\}\mid$ P$\backslash \})$로 정의한 경우, $명제{\displaystyle }$P({$displaystyle$ P$$$}$는 ${\displaystyle \mathrm{항상}}$ 0 S$({displaystyle 0\in$ S$\})$로 동등하게 명시될 수 있습니다.특정 속성을 가진 기업의 이중 부정 존재 주장은 해당 속성을 가진 기업 집합이 비어 있지 않다는 것을 명시함으로써 표현될 수 있습니다.

제외된 중간과 관련된 예

부분 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \subset }$ { ${\displaystyle 0,}$ $}{displaystyle$ A$\subset$\{$0,1\}$을 정의합니다.

$\"표시 스타일 A:=\{n\in \{0,1\}\mid (P\land n=0)\lor (\neg P\land n=1)\}$

$명확$하게 P$$${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$\ \ \ \ \ $leftright arrow$ 0 \ $in$$$A \ （ \ ${\displaystyle P}$）${\displaystyle }$↔ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$\ $displaystyle$(\$neg$ P )\ $leftright arrow$1 \ $in$$$$A$$$contrad A $\wedge {\displaystyle \mathrm{}}$ A$$ A )의 원칙으로부터 ${\displaystyle \in }$ ($0$∈ $A$¬ $1$▁${\displaystyle \mathrm{further}}$ A )의$결론$을 내립니다$.$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \vee }$ ¬${\displaystyle P}$ ) ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ( ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle 1}$ ∈${\displaystyle A}$) {\$displaystyle (P\lor$ \$neg$ P$)\leftright$화살표 $($0$\in$A\$lor$1\$in$ A$)}$를 차례로 표시한 다음

${\displaystyle (P\lor \neg P)\to \exists!(n\in \{0,1\}).n\in A}$

이미 최소 논리는 제외된 중간 문에 대한 이중 음수인 ¬ (P ¬ ∧ P ) \displaystyle \neg \neg (P \lor \neg P )을 증명하며, 여기서 ¬ (0 ∉ A ∉ 1 ∈ A ) \displaystyle \neg (0 \notin A\notin A)와 같다. 따라서 이전 암시에 대해 두 개의 대립을 수행함으로써, 하나는 ¬ ( ) {}을 확립한다.${\displaystyle }$n ${\displaystyle ◦}$ $({displaystyle \neg \neg \exists!(n\in$\{$0,1\}), n\in$ A$($으$)$로 ${\displaystyle \mathrm{표시}}$됩니다.$숫자{\displaystyle \mathrm{}}$0({$displaystyle$ 0$}$ $및$ 1$({displaystyle$ 1$)$ 중$$ 정확히 하나가 A$({$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ A$\})$에 있다는 것을 일관되게 배제할 수 없습니다. ${\displaystyle \mathrm{특히}}$,$$$displaystyle$$$$\neg$\neg \$exists n.n\in$A$\})$는 비어 있지 않은 것으로 $증명$되므로${\displaystyle \mathrm{}}$A${\displaystyle \mathrm{(\{}}$$displaystyle$ A})로$$ 약화될 수 있습니다.

P${displaystyle$ P$\}$에 $대한{\displaystyle }$ 예제 진술로서, 연속체 가설과 같은 악명 높은 이론 독립적 진술, 또는 비공식적으로 과거 또는 미래에 대한 알 수 없는 주장인 이론의 일관성을 고려합니다.설계상 이들은 입증할 수 없는 것으로 선택됩니다.이것의 변형은 단지 아직 확립되지 않은 수학적 명제를 고려하는 것입니다 - 브루워어의 반례를 참조하십시오.0 ${\displaystyle \in }$ ${displaystyle$ 0$\in$A} $또는$ 1 ∈ ${displaystyle$ 1$\in$ A$}$의 유효성에 대한 지식은 위와 같이 P${displaystyle$ P$}$에 $대한{\displaystyle }$ 지식과 동일하며 얻을 수 없습니다.P${displaystyle$P}와$$ $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${displaystyle \neg$ P$}$ 둘$$ $다{\displaystyle }$ 이론에서 증명될 수 없기 때문에$,$ 또한 A({$displaystyle$A})가$$ 특정 숫자에 의해 거주한다는 것을 $증명$하지 못할 것입니다.또한, 분리 속성을 가진 구성 프레임워크는 P ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${displaystyle$P\$lor \neg$ P$}$도 $증명$할 수 없습니다.0 ${\displaystyle \in }$ $({displaystyle$ 0$\in$ A$\}$ 또는 1 ∈ $({displaystyle$ 1$\in$A$\})$에 $대한{\displaystyle \mathrm{}}$ 증거는 없으며, 이들의 분리에 대한 구성적 증명 불가능성은 이를 반영합니다.그럼에도 불구하고 제외된 중간을 제외하는 것은 항상 일관성이 없기 때문에 A$({displaystyle$ A$})$가 비어 있지 않다는 $것$도 확인됩니다.고전 논리학은 P${\displaystyle \mathrm{\vee }}$ ¬ ${displaystyle$ P$\lor \neg$ P$}$를 공리적으로 $채택$하여 건설적인 읽기를 망칩니다.

선택과 관련된 예

선택의 완전한 ${\displaystyle \mathsf{공리}}$는$$ZF {$displaystyle {mathsf {ZF}}$와 독립적이며 다른 공통 집합 이론 공리와 구조적으로 호환되지 않는 것으로 입증되었습니다.따라서 배제된 중간을 허용하지 않는 이러한 공리들을 포함하는 이론은 또한 그 함수 존재 원리를 검증하지 않습니다.

${\displaystyle \mathsf{ZF}}${$displaystyle {mathsf {ZF$에서 선택 공리는 모든 벡터 공간에 대해 기저가 존재한다는 진술과 같습니다.그래서 좀 더 구체적으로, 합리적인 숫자보다 실수의 하멜 기저의 존재에 대한 질문을 생각해 보세요.이러한 객체는 존재를 부정하고 검증하는 $다른{\displaystyle \mathsf{}}$ $($디스플레이 $스타일 {mathsf {ZF}})$ 모델이라는 점에서 이해하기 어렵습니다.따라서 존재를 부정할 수 없다는 점에서 여기서 존재를 배제할 수 없다고 가정하는 것도 일관성이 있습니다.다시, 그 가정은 그러한 하멜 기저의 집합이 비어 있지 않다고 말하는 것으로 표현될 수 있습니다.

모델 이론

거주 집합은 고전 논리에서 비어 있지 않은 집합과 동일하기 때문에, 비어 있지 않은 $집합{\displaystyle }$X{$displaystyle$ X$}$를 포함하지만$$ "X${displaystyle$ X$}$가 거주됨$$"을 만족하지 않는 ${\displaystyle }$ 의미의 모형을 생성할 수 없습니다.

그러나 두 개념을 구별하는 Kripke $모델{\displaystyle }$ M${displaystyle$ M$}$을 구성할 수 있습니다.모든 Kripke 모델에서 직관적 논리로 증명 가능한 경우에만 의미가 있으므로, 이것은 실제로$$"${\displaystyle }${$displaystyle$ X$$$}$가 비어 있지 않음"을 직관적으로 증명할 수 없다는 것을 확립합니다$.$

참고 항목

• 교차로(집합 이론) – 일부 집합에 공통적인 요소 집합
• 아무것도 없음 – 모든 것의 반대인 완전한 부재
• 형식 이론의 형식 거주입니다.

레퍼런스

• D. 브리지 및 F.리치맨, 1987년다양한 구성 수학.옥스퍼드 대학 출판부 ISBN978-0-521-31802-0

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