규칙성 공리

수학에서 규칙성의 공리(기초의 공리라고도 함)는 모든 비빈 집합 A에는 A와 분리된 원소가 들어 있다고 기술한 제르멜로-프렌켈 집합 이론의 공리이다. 1차 논리학에서 공리는 다음과 같이 읽는다.

\displaystyle \forall x\, (x\neq \varnoth \rightarrow \whitearrow \y\in x\\land y\cap x=\varnothy )).}

규칙성의 공리와 짝짓기의 공리는 어떤 집합도 그 자체의 요소가 아니며, a가_i+1 모든 i에 대한 a의_i 요소라는 식의 무한 시퀀스(a_n)는 없다는 것을 내포하고 있다. 의존적 선택의 공리(선택의 공리의 약화된 형태)를 가지고 이 결과를 되돌릴 수 있다: 그러한 무한한 순서가 없다면 규칙성의 공리는 참이다. 따라서 이러한 맥락에서 규칙성의 공리는 하향 무한 회원 체인이 없다는 문장과 동등하다.

이 공리는 폰 노이만(1925년)에 의해 소개되었고, 제르멜로(1930년)가 현대 교과서에서 발견한 것과 더 가까운 공식으로 채택되었다. 집합 이론에 근거한 수학의 거의 모든 결과는 규칙성이 없음에도 불구하고 유지된다; 쿠넨의 3장(1980년)을 참조한다. 그러나 규칙성은 서수의 일부 특성을 증명하기 쉽게 만들며, 잘 정렬된 집합에서 유도를 할 수 있을 뿐만 아니라, $\{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ is an ordinal }}\}\,.$ { $\{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ is an ordinal }}\}\,.$ ( $\{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ is an ordinal }}\}\,.$ $\{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ is an ordinal }}\}\,.$ ) $\{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ is an ordinal }}\}\,.$ n $\{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ is an ordinal }}\}\,.$ 는 $서수형$ . $nd \cHB {\text{는 서수 }\}\,.}$

제르멜로-프라엔켈 집합론의 다른 공리를 고려할 때, 규칙성의 공리는 유도의 공리와 동일하다. 유도의 공리는 두 공리가 동등하지 않은 직관론(배제된 중간의 법칙을 받아들이지 않는 공리)에서 규칙성의 공리 대신에 사용되는 경향이 있다.

규칙성의 공리를 생략하는 것 외에도, 비표준 집합 이론은 실제로 그들 자신의 요소인 집합의 존재를 가정해 왔다.

규칙성의 기본적인 의미

어떤 집합도 그 자체의 요소다.

A를 집합으로 하고, 규칙성의 공리를 {A}에 적용하며, 이는 페어링의 공리로 설정된 것이다. {A}과(와) 분리된 {A}의 요소가 있어야 함을 알 수 있다. {A}의 유일한 요소는 A이므로 A가 {A}과(와) 분리되어 있어야 한다. 따라서 $A\cap \{A\}=\varnothing$ $A\cap \{A\}=\varnothing$ { $A\cap \{A\}=\varnothing$ $A\cap \{A\}=\varnothing$ = $A\cap \{A\}=\varnothing$ ${\displaystyle A\cap \{A\}=\varnothing },$ 우리는 A ∈ A를 가질 수 없다 $A\cap \{A\}=\varnothing$ 해체 정의상).

세트의 무한 내림차순은 존재하지 않는다.

반대로, 자연수에는 f(n+1)와 각 n에 대해 f(n)의 요소가 있는 함수 f가 있다고 가정한다. S = {f(n): n 자연수}, f의 범위, 즉 대체의 공리 스키마로부터 집합된 것으로 볼 수 있다. 규칙성의 공리를 S에 적용하면, B를 S와 분리된 S의 요소가 되게 한다. S의 정의에 따르면 B는 일부 자연수 k에 대해 f(k)여야 한다. 그러나, 우리는 f(k)가 또한 S의 요소인 f(k+1)를 포함하고 있다는 것을 알게 되었다. 그래서 f(k+1)는 f(k)와 S의 교차점에 있다. 이것은 그들이 해체된 집단이라는 사실과 모순된다. 우리의 가정은 모순으로 이어졌으므로, 그런 기능이 있어서는 안 된다, f.

그 자체를 담은 세트의 무연장성은 시퀀스가 무한하고 일정한 특수한 경우로 볼 수 있다.

이 주장은 정의 불가능한 클래스와 반대로 집합으로 나타낼 수 있는 함수 f에만 적용된다는 점에 유의하십시오. 유전적으로 유한한 집합인 V는_ω 규칙성의 공리(그리고 무한의 공리를 제외한 ZFC의 모든 다른 공리)를 만족시킨다. 그래서 만약 어떤 사람이 V의_ω 비종교적 초계탑을 형성한다면, 그것은 또한 규칙성의 공리를 충족시킬 것이다. 결과 모형은 비표준 자연수라고 불리는 원소를 포함할 것이며, 이 원소는 해당 모델에서 자연수의 정의를 충족하지만 실제로는 자연수가 아니다. 그들은 실제 자연수보다 "더 많은" 가짜 자연수들이다. 이 모델은 요소의 무한 내림차순을 포함할 것이다. 예를 들어 $(n-1)\in n$ 이 $(n-1)\in n$ 자연수라고 가정하면 $(n-1)\in n$ ( $(n-1)\in n$ - 1 $(n-1)\in n$ ) $(n-1)\in n$ n $(n-1)\in n$ 및 $(n-1)\in n$ $(n-2)\in (n-1)$ ( $(n-2)\in (n-1)$ - $(n-2)\in (n-1)$ ) $(n-2)\in (n-1)$ ( $(n-2)\in (n-1)$ - $(n-2)\in (n-1)$ ) $(n-2)\in (n-1)$ { ( $n-2)\in (n-1$ ) $(n-2)\in (n-1)$ 등. 실제 자연수 k에 대해 ( $(n-k-1)\in (n-k)$ n $(n-k-1)\in (n-k)$ - $(n-k-1)\in (n-k)$ - 1 $(n-k-1)\in (n-k)$ ) $(n-k-1)\in (n-k)$ ( $(n-k-1)\in (n-k)$ - $(n-k-1)\in (n-k)$ ) ${\displaystyle (n-k-1)\in (n-k$ 이것은 끝없이 내려오는 원소의 연속이다. 그러나 이 시퀀스는 모델에서 정의할 수 없으므로 집합이 아니다. 그래서 규칙성에 대한 어떤 모순도 증명될 수 없다.

순서 쌍의 단순한 이론적 정의

정규성의 공리는 순서 쌍(a,b)을 {a,{a,b}로 정의할 수 있다. 자세한 내용은 순서 쌍을 참조하십시오. 이 정의는 정식 Kuratowski 정의(a,b) = {{a},{a,b}}}에서 교정기 한 쌍을 제거한다.

모든 세트에는 서수 등급이 있다.

이것이 실제로 폰 노이만의 공리화에서 공리의 원형이 되었다.

x가 어떤 세트라고 가정하자. {x}의 전이적 폐쇄가 되도록 두십시오. u를 랭킹이 없는 집합으로 구성된 t의 하위 집합이 되게 하라. 만약 당신이 비어있다면, x는 순위가 매겨지고 우리는 끝이다. 그렇지 않으면 u와 분리된 u의 요소 w를 얻기 위해 u에 규칙성의 공리를 적용한다. w가 u에 있으므로 w는 un랭킹이다. w는 transitive closure의 정의에 의한 t의 하위 집합이다. w는 u와 분리되기 때문에 w의 모든 요소가 순위가 매겨진다. 대체와 결합의 공리를 적용하여 w의 요소 순위를 조합하면 w의 순서 순위를 위트 $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ w ) $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ { $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ $z$ ) + $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ w $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ {\ $displaystyle \text \operatorname {rank}(w)=\cup$ \{\ $operatorname}+1\mid$ z $\in$ w $\textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}$ 에 대해 서열차를 얻는다. 이는 w가 랭킹이 없다는 결론과 배치된다. 따라서 u가 비어 있지 않다는 가정은 거짓임에 틀림없고 x는 계급이 있어야 한다.

두 세트마다 한 세트만 다른 세트의 요소가 될 수 있다.

X와 Y를 설정해 두어라. 그런 다음 규칙성의 공리를 {X,Y} 집합에 적용하십시오(페어링 공리에 의해 존재함). {X,Y}의 요소도 그것과 분리되어 있어야 한다는 것을 알 수 있다. X 또는 Y여야 한다. 그 때 해체라는 정의에 의해 우리는 Y가 X의 요소가 아니거나 그 반대로 되어야 한다.

종속적 선택과 무한 내림차순 집합이 없다는 공리는 규칙성을 내포한다.

비어 있지 않은 집합 S를 규칙성의 공리에 대한 반례로 하자. 즉, S의 모든 요소는 S와 비어 있지 않은 교차점이 있다. $aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a$ 는 R $aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a$ $aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a$ $aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a$ $aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a$ $∩$ $aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a$ {\ $displaystyle aRb:$ 에 의해 S에 대한 이항 관계 R을 정의한다. $\Leftrightarrow$ b\ $in S\cap$ a $aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a$ 가정으로 전체다. 그러므로 종속선택의 공리에 의해 S에는 모든 N에 대해 aRa를_n_n+1 만족시키는 어떤 시퀀스 ⑴이_n 있다. 이것이 무한내림축 체인이기 때문에 우리는 모순에 도달하고 따라서 그러한 S는 존재하지 않는다.

정규성 및 나머지 ZF(C) 공리

규칙성은 스콜렘(1923년)과 폰 노이만(1929년)의 나머지 ZF와 비교적 일치한다는 것을 보여주었는데, 규칙성이 없는 ZF가 일관되면 (정규성이 있는) ZF도 일치한다는 뜻이다. 현대 표기법에서의 그의 증거는 예를 들어 Vaught(2001, §10.1)를 참조한다.

규칙성의 공리는 또한 ZF(C)의 다른 공리와는 무관한 것으로 나타났으며, 그것들이 일관된다고 가정하였다. 1954년까지 증거를 발표하지 않았지만, 그 결과는 1941년 폴 버네이즈에 의해 발표되었다. 증명에는 근거가 없는 시스템의 다른 독립성 증명에 사용된 리거-베르네 순열 모델(또는 방법)이 포함된다(Rathjen 2004, 페이지 193 및 Forster 2003, 페이지 210–212).

규칙성과 러셀의 역설

순진한 집합론(무제한 이해의 공리 스키마와 확장성의 공리)은 러셀의 역설로 일관성이 없다. 집합의 초기 공식화에서 수학자와 논리학자는 이해의 공리 스키마를 훨씬 약한 분리 공리 스키마로 대체함으로써 그러한 모순을 피했다. 그러나, 이 단계만 해도 너무 약하다고 여겨지는 집합 이론에 한 발짝 더 다가간다. 그래서 이해력의 일부는 이해의 특별한 경우로 간주될 수 있는 ZF 세트 이론(페어링, 유니언, 파워셋, 대체, 무한대)의 다른 존재 공리를 통해 다시 추가되었다. 지금까지 이런 공리들은 어떤 모순으로 이어지지 않는 것 같다. 이후 일부 바람직하지 않은 특성을 가진 모델을 배제하기 위해 선택 공리와 규칙 공리가 추가되었다. 이 두 공리는 비교적 일관성이 있는 것으로 알려져 있다.

분리라는 공리 스키마가 존재하는 상황에서 러셀의 역설은 모든 집합이 없다는 증거가 된다. 규칙성과 페어링의 공리 또한 그러한 보편적인 집합을 금지한다. 그러나 러셀의 역설은 별도의 공리 없이 분리라는 공리 스키마만을 이용한 '모든 세트의 집합'이 없다는 증거를 제시한다. 특히 규칙성의 공리가 없는 ZF는 이미 그러한 보편적인 세트를 금지하고 있다.

만약 어떤 이론이 공리 또는 공리를 추가하여 확장된다면, 원래의 이론의 어떤 (아마도 바람직하지 않은) 결과들은 확장된 이론의 결과로 남게 된다. 특히 ZF를 얻기 위해 규칙성을 더하여 규칙성 없는 ZF를 연장한다면, 원래의 이론에서 따온 어떤 모순(러셀의 역설 등)도 여전히 확장 이론에 따를 것이다.

Quine 원자의 존재(공식 방정식 x = {x}, 즉 그들 자신을 유일한 원소로 갖는 집합)는 ZFC에서 정규성의 공리를 제거하여 얻은 이론과 일치한다. 다양한 근거 없는 집합 이론들은 러셀의 역설로 일관성이 없어지지 않고 Quine 원자 같은 "안전한" 원형 세트를 허용한다.^[1]

정규성, 누적 계층 및 유형

ZF에서는 폰 노이만 우주로 불리는 $\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }$ α $\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }$ $\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }$ ${\$ } $V_{\alpha }}}$ 등급이 모든 세트의 등급과 같다는 것을 증명할 수 있다. 이 진술은 정규성의 공리와도 동등하다(이 공리가 생략된 상태에서 ZF에서 작업하는 경우). 정규성의 공리를 만족시키지 못하는 어떤 모델에서든 $\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }$ V ${\$ 의 세트만을 취함으로써 이를 만족시키는 모델을 구성할 수 있다 $\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }$

허버트 엔더튼(1977, 페이지 206)은 "직급 사상은 러셀의 유형 개념의 후예"라고 썼다. 알래스카어 우르쿠하트는 ZF를 타입 이론과 비교하면서 "제르멜로의 시스템은 적어도 규칙성의 공리가 포함되어 있다면 사실 암묵적 타입 구조가 내장되어 있다고 볼 수 있지만 명시적으로 타이핑된 변수를 포함하지 않는다는 공칭적 이점을 가지고 있다"고 썼다. 이 암묵적인 타이핑의 자세한 내용은 [제르멜로 1930]에, 그리고 다시 한 번 조지 볼로스의 유명한 글[볼로스 1971년]에 기술되어 있다."^[2]

다나 스콧(1974)은 더 나아가 다음과 같이 주장했다.

사실은 그 역설들을 피하는 한가지 만족스러운 방법, 즉 유형론의 어떤 형태의 사용법만이 있다는 것이다. 그것은 러셀과 제르멜로의 직관 둘 다에 근거한 것이었다. 실제로 제르멜로의 이론을 고찰하는 가장 좋은 방법은 러셀의 이론을 단순화하고 확장시키는 것이다. (물론 러셀의 단순한 유형 이론을 말하는 것이다.) 단순화는 유형을 누적시키는 것이었다. 따라서 유형의 혼합이 더 쉽고 귀찮은 반복은 피한다. 일단 후대의 유형들이 이전의 유형들을 축적할 수 있게 되면, 우리는 그 유형들을 트랜스피니트로 확장하는 것을 쉽게 상상할 수 있다. 우리가 얼마나 멀리 가고자 하는지는 반드시 열어두어야 한다. 이제 러셀은 그의 표기법에 그의 활자들을 명시적으로 만들었고, 제르멜로는 그것들을 암묵적으로 남겼다. [원래로 표시]

같은 논문에서 스콧은 누적된 계층의 본질적 성질에 기초한 자명체계가 규칙성을 포함한 ZF와 동등한 것으로 밝혀졌다는 것을 보여준다.^[3]

역사

한 세트의 근거와 순위 개념은 모두 드미트리 미리마노프(1917) cf가 도입했다. 레비(2002, 페이지 68)와 할렛(1996, §4.4, esp. 페이지 186, 188). 미리마노프는 모든 하강 체인₁₂ x x x x x x x x ∋ ...가 유한하면 세트 x x "정규"(프랑스어: "정규어")를 불렀다. 그러나 Mirimanoff는 자신의 규칙성(그리고 근거가 충분한)에 대한 개념을 모든 세트가 관찰해야 하는 공리로 간주하지 않았다.^[4] 후기 논문에서 Mirimanoff는 현재 근거가 없는 세트("Mirimanoff의 용어로는 Extraordinaire")^[5]라고 불리는 것을 탐구하기도 했다.

스콜렘(1923년)과 폰 노이만(1925년)은 근거 없는 세트가 불필요하다고 지적했고(반 헤이제노르트 번역 404쪽) 같은 간행물에서 폰 노이만은 근거 없는 세트가 일부 제외되는 공리(번역 412쪽)를 준다.^[6] 후속 간행물에서 폰 노이만(1928년)은 다음과 같은 공리(A에 의해 현대식 표기법으로 갱신)를 주었다. 리거:

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

(

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

→

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

y

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

x

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

=

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

)

displaystyle \forall

x

\,

(

x\neq \empt

\

rightarrow \in x\,

(

y\cap

x

=\empt

\forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))

요소 존재 시 규칙성

요소란 세트가 아니라 세트의 요소가 될 수 있는 물체를 말한다. ZF set 이론에는 요소들이 없지만, ZFA와 같은 몇몇 다른 set 이론들에는 있다. 이러한 이론에서 규칙성의 공리는 수정되어야 한다. " $x\neq \emptyset$ $x\neq \emptyset$ $x\neq \emptyset$ ${\displaystyle x\neq \emptyset$ $x\neq \emptyset$ 문구를 $x$ $x$ 이 $x$ (가) 비어 있지 않고 요소도 아니라는 문장으로 바꿀 필요가 있다. $(\exists y)[y\in x]$ 대체품 중 하나는 $(\exists y)[y\in x]$ ( inhabited y $(\exists y)[y\in x]$ ) $(\exists y)[y\in x]$ [ $(\exists y)[y\in x]$ $(\exists y)[y\in x]$ x $(\exists y)[y\in x]$ ${\displaystyle (\exists$ y $)[y\in$ x $]}$ 인데 $(\exists y)[y\in x]$ x가 거주하고 있다고 명시되어 있다.

참고 항목

참조

^ 리거 2011, 175, 178쪽
^ Urquhart 2003, 페이지 305.
^ 레비 2002 페이지 73.
^ Halbeisen 2012, 페이지 62–63.
^ 산기르기 2011년, 페이지 17~19, 26.
^ 리거 2011, 페이지 179.

원천

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Bernays, Paul Isaac (1954), "A system of axiomatic set theory. Part VII" (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 19 (2): 81–96, doi:10.2307/2268864, JSTOR 2268864
Boolos, George (1971), "The iterative conception of set", Journal of Philosophy, 68 (8): 215–231, doi:10.2307/2025204, JSTOR 2025204 로 다시 인쇄된.
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외부 링크

PlanetMath의 기초 공리.
거주 세트 및 nLab 기반 공리

[FOOTNOTERieger2011175,_178-1] 리거 2011, 175, 178쪽

[FOOTNOTEUrquhart2003305-2] Urquhart 2003, 페이지 305.

[FOOTNOTELévy200273-3] 레비 2002 페이지 73.

[FOOTNOTEHalbeisen201262–63-4] Halbeisen 2012, 페이지 62–63.

[FOOTNOTESangiorgi201117–19,_26-5] 산기르기 2011년, 페이지 17~19, 26.

[FOOTNOTERieger2011179-6] 리거 2011, 페이지 179.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

show v t 세트 이론
개요	설정(수학)
공리	부속품 선택 셀 수 있는 종속적인 전지구적 시공성(V=L) 결정성 확장성 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니온 마틴의 공리 공리 스키마 대체의 사양
운영	데카르트 제품 보완 드 모건의 법칙 해체조합 교차로 전원 세트 설정차이 대칭차이 유니온
개념 방법들	카디널리티 기수(대수) 클래스 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각선 인수 요소 주문된 한 쌍 터플 가족 강제 일대일 대응 순서수 트랜스핀라이트 유도 벤 다이어그램
유형 설정	무형의 셀 수 있는 비어 있음 유한(계속) 퍼지 무한(Dedekind-무한) 재귀적 싱글턴 부분 집합 · 상위 집합 타동사 마운트할 수 없음 유니버설
이론들	대안 자칭 순진한 칸토르의 정리 제르멜로 일반 프린세스 매머티카 뉴 파운데이션스 체르멜로-프렌켈 폰 노이만-베르나이-괴델 모르스켈리 크립케-플레이트크 타르스키-그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 수슬린의 문제 부랄리-포르티 역설
세트 이론가	아브라함 프라운켈 베르트랑 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 존 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코언 리처드 디데킨드 토머스 제흐 토랄프 스콜렘 윌러드 킨

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