교차로(집합 이론)

교차로
	A A와 B B의 교집합은 원으로 표시됩니다.는으로 표시되어
유형	조작 설정
들판	집합론
진술	교차는 A(\ A와 B(\ B에 모두 존재하는 요소의 집합입니다.
기호문

수학에서, 두 집합의 교차로 한{A\displaystyle}과 B,{\displaystyle B,}한 ∩ B에 의해 표시된,{\displaystyle A\cap B,}[1]집합 A{A\displaystyle}또한 B{B\displaystyle}또는 동등하게에 속하는 모든 요소, B{B\displaystyle}의 또한 모든 요소가 있다.오랜g $to$ A $.$ {{ $displaystyle$ A $}.$ $}$ ^[2]

표기법 및 용어

교차로는 용어 사이에 기호 $"\displaystyle\cap$ 을 사용하여 표기됩니다.즉, infix 표기입니다.예를 들어 다음과 같습니다.

\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\

\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }

\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} = \mathbb {N}

\displaystyle \{x\in \mathbb {R}:x^{2}=1\}\cap \mathbb {N}=\{1\}

세 개 이상의 집합(일반화된 교차로)의 교차로는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}

대문자와 소문자 표기법과 비슷합니다.

이 문서에서 사용되는 기호에 대한 설명은 수학적 기호 표를 참조하십시오.

정의.

세 세트의 교차:

~A\cap B\cap C

현대 그리스어·라틴어·키릴어 문자의 모양만 따지고 발음을 무시한 문자의 교차점

집합이 있는 교차로 예제

A $(\$ $B,$ A $)$ 와 B $(\$ $displaystyle$ B $)$ 의 $B,$ 두 $A$ 은 $A\cap B$ (\ $displaystyle$ A $\cap$ B $A\cap B$ ^[3]와 B(\displaystyle B $)$ 의 $B.$ 두 집합으로, 기호에서 A $(\displaystyle$ A $)$ 와 $A$ B $displaystyle$ B):

A {\text { 및 }}x\in B\}에서 {displaystyle A\cap B=\{x:x\in A\}}

즉 $,$ x(\ $displaystyle$ x $)$ 가 $x$ A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $A$ 요소이자 $A\cap B$ B $(\displaystyle$ B $)$ 의 요소인 $x$ 에만 x $(\$ $displaystyle$ x $)$ 는 $x$ $A\cap B$ displaystyle A $)의 요소입니다.$ $}$ ^[3]

예를 들어 다음과 같습니다.

집합 {1, 2, 3}과(와) {2, 3, 4}의 교차는 {2, 3}입니다.
숫자 9는 소수가 아니기 때문에 소수 집합 {2, 3, 5, 7, 11, ...}과 홀수 집합 {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}의 교차점에 없습니다.

교차 및 분리 집합

우리는:{A\displaystyle}과 교차하(를 만나)B{B\displaystyle}target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}다면 그 경우 우리는 또한 A{\displa 말한다 둘 다 A{A\displaystyle}와 B,{\displaystyle B,}의 성분을){\displaystyle)}존재하지.mw-parser-output .vanchor> 말한다.Ystyle}x에서{(를 만나)B{B\displaystyle}과 교차하 \displ. $aystyle$ x $x$ 마찬가지로 A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A\cap B$ A $(\displaystyle$ B $)$ 가 $A\cap B$ 상주하는 집합인 경우 $B$ (\ $displaystyle$ B)와 $A$ $B$ 교차합니다. 즉, $x$ $x\in A\cap B.$ displaystyle x $)$ 가 $x$ $x\in A\cap B.$ 하므로 $x\in A\cap B.$ (\ $displaystyle$ A\ $cap B)$ 가 존재함을 의미합니다. $}$

A $($ $style$ A $)$ 가 B(style $B)$ 와 $A$ $B.$ 교차하지 않으면 A $($ $style$ A $)$ 와 $A$ B $(style$ B $)$ 는 $B$ 분리된다고 $합니다$ $.쉽게$ 말하면 공통적인 요소가 없습니다. $(\displaystyle$ A $)$ 와 $A$ B $(\displaystyle$ B $)$ 의 $B$ 교차점이 비어 있는 경우 $displaystyle$ A $\cap$ B $=$ 는 분리됩니다 $.$

예를 들어 세트 $\{1,2\}$ { $\{1,2\}$ , $\{1,2\}$ 2 $}({displaystyle$ \{ $1,$ 2 $\})$ 및 $\{1,2\}$ $\{3,4\}$ { $\{3,4\}$ , $\{3,4\}$ 4 $}({displaystyle$ \{ $3, 4\})$ 은 $\{3,4\}$ 분리되며 짝수 세트는 6의 배수에서 3의 세트와 교차합니다.

대수적 성질

바이너리 교차로는 관련 연산입니다.즉, A $,$ $,$ \ $displaystyle$ A, $B,$ $C$ 의 $A, B,$ 모든 세트에 $대해$ \ $displaystyle$ C $,\$ displaystyle C,\는 $C,$ 다음과 같습니다.

(\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C).}

따라서 괄호는 모호하지 않게 생략할 수 있습니다.상기의

A\cap B\cap C

이든 A

A\cap B\cap C

B

{\

C （ \

display style

A \

cap

B \

cap

C

A\cap B\cap C

。교차도 가환입니다.

즉

, A

(

style A

)

및

A

(style

B

)

에

B,

대해

(\displaystyle A\cap B=B\cap A)

빈 집합과 빈 집합이 교차하면 빈 집합이 됩니다. 즉, 임의의

집합

A(\

displaystyle

A

A

에 대해

A\cap \varnothing =\varnothing

또한 교집합 연산은 등가적입니다. 즉,

A

는

A

A

A\cap A=A

A\cap A=A

= A {\

displaystyle

A

= A

를

A\cap A=A

합니다.이러한 속성은 모두 논리 결합에 관한 유사한 사실에 근거합니다.

교차로는 결합 분포와 결합 분포가 교차로에 걸쳐 분포됩니다.즉, A $,$ $,$ {\ $displaystyle A$ , B $,$ $C$ } $A,B,$ 에 $A, B,$ $C,$ 대해{\ $displaystyle$ C $,}는$

디스플레이 스타일A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end {aligned}}

U,

U

내

에서는

A

의

A^{c}

c

A^{c}

c c c

A^{c}

c

style

A

}

A^{c}

comple

A^{c}

A

U

A 가 아닌 U 의

모든

요소의 집합이라고 정의할 수 있습니다

.또한

A

와

B

style Wri

의

A

은 A

가

아닌

U

의 모든 요소의 집합이라고 정의할 수 있습니다.드 모르간의 법칙에서 쉽게 도출된 보완의 결합을 보완하는 것이다.

A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\오른쪽)^{c}

임의 교차로

가장 일반적인 개념은 비어 있지 않은 임의의 집합 집합 집합의 교집합입니다.M $({displaystyle$ M $})$ 이 $M$ 비어 있지 않은 집합이며 요소 자체가 세트인 $경우$ $,$ $x$ 의 $모든$ $요소$ A({ $displaystyle$ $A$ $})$ 에 $A$ $대해$ x $({displaystyle$ x $})$ 가 $x$ $A$ 의 $A.$ 인 경우에만 x({ $displaystyle$ x})는 $x$ $M$ $M,$ $M$ 의 $교차점$ 요소입니다 $.$ $.}$ 기호 $A.$ :

\displaystyle \left(x\in\bigcapa_{A\inM}A\right)\왼쪽 화살표 \left(\forall A\in M,\x\in A\right).}

이 마지막 개념의 표기법은 상당히 다를 수 있습니다.세트 이론가들은 때때로 " $\displaystyle\cap$ M $"$ 이라고 쓰기도 하고, 다른 $\cap _{A\in M}A$ 사람들은 $\cap _{A\in M}A$ " $\cap _{A\in M}A$ \ $Displaystyle\cap_{A\in$ M $}$ A" $\cap _{A\in M}A$ 라고 쓰기도 한다.후자의 표기법은 " $\left\{A_{i}:i\in I\right\}.$ $\cap _{i\in I}A_{i}$ $\cap _{i\in I}A_{i}$ I \ $displaystyle$ \ $cap$ _ { $i$ \ $in$ I } $A$ $\left\{A_{i}:i\in I\right\}.$ { $\cap _{i\in I}A_{i}$ i $\left\{A_{i}:i\in I\right\}.$ " $\left\{A_{i}:i\in I\right\}.$ 。{ $displaystyle \$ \ }"로 일반화할 수 있습니다 $.$ $A_{i:I\right.$ } $I$ 서 $\left\{A_{i}:i\in I\right\}.$ $I는$ 빈 세트가 $, Ai$ 는 모든 $A_{i}$ $i\in I.$ 에 $대한 세트$ 입니다 $.$

$지수$ $집합$ I $(\style$ I $)$ 가 $I$ 자연수 집합인 경우 무한곱과 유사한 표기법을 볼 수 있다.

\bigcap _{i=1}^{\infty}A_{i}.

포맷이 어려운 경우는, 「 $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ 1 $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ 2 $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ A $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ 라고 하는 것도 있습니다 $.{$ $displaystyle$ A_ ${1}\cap$ A_ ${2}\cap$ A_ ${3}\cap \cdots$ }. $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ 이 마지막 예시는 셀 수 없을 정도로 많은 집합의 교집합입니다.예를 들어, 「-algebras」에 관한 기사를 참조해 주세요.

무효교차

괄호 안의 인수 결합

no arguments의 접속사는 tautology(비교: 빈 산물)이며, 따라서 no arguments의 교차점은 우주이다.

이전 섹션에서는 M $(\displaystyle$ M $)$ 이 $M$ 빈 세트 $(\displaystyle \varnothing)$ 인 $M$ 는 제외했습니다.이유는 다음과 같습니다. $M$ 의 교차점(\ $displaystyle$ M $)$ 은 $M$ 세트로 정의됩니다(세트빌더 표기 참조).

\bigcape _{A\in M}A=\{x:{\text{}A\in M,x\in A\}.

({displaystyle

M})이

M

비어 있으면 M

({displaystyle

M

})

에

M,

A

({displaystyle

A

x

가

A

없기

때문에 "어떤

(displaystyle

x

)

가 기재된 조건을 충족합니까?"라는 질문이 됩니다.답은 가능한 $모든$ x $(\displaystyle$ x $x$ 인 것 같습니다.M

\displaystyle

M이

M

비어 있는

경우

위의 조건은 공허한 진실의 예입니다.따라서 빈 패밀리의 교차는 범용 집합(교차 ^[4]연산을 위한 동일 요소)이어야 하지만 표준 집합론(ZF)에서는 범용 집합이 존재하지 않습니다.

단, 유형 이론상 x $(\displaystyle$ x $)$ 는 $x$ 소정의 $유형$ $,,$ \ $displaystyle \tau$ 이므로 $\tau,$ 교차점은 $\mathrm {set} \ \tau$ e $\mathrm {set} \ \tau$ ${\$ \ $displaystyle \mathrm {set} \tau$ $\bigcap _{A\in \emptyset }A$ （\ $displaystyle \tau$ $\bigcap _{A\in \emptyset }A$ 로 $\bigcap _{A\in \emptyset }A$ 됩니다 $.$ $p$ _ ${A\in \emptyset }A}$ 는 $\bigcap _{A\in \emptyset }A$ s e $\mathrm {set} \ \tau$ ${\$ \ display \ $mathrm { set }$ \ $tau$ 의 유니버설세트입니다(요소가 정확히 모든 $\tau$ $of$ \ displaystyle \ $tau$ ） $\tau$ 。

「」를 참조해 주세요.

집합 대수 – 집합과 관련된 동일성과 관계
카디널리티 – 세트 내 요소 수 정의
보완 – 지정된 서브셋에 없는 요소 세트
교차로(유클리드 기하학) – 다른 도형에 공통되는 점으로 형성된 도형
교차로 그래프 – 주어진 집합 간의 교차로를 나타내는 그래프
교차 이론 – 대수기하학 분야
세트 아이덴티티 및 관계 목록– 세트 조합에 대한 동등성
논리 접속 – 논리 접속 AND
MinHash – 데이터 마이닝 기술
순진한 집합론 – 비공식 집합론
대칭적 차이– 2개의 세트 중 정확히 1개의 요소로 구성
유니언 – 일부 세트의 요소 세트

레퍼런스

^ "Intersection of Sets". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.
^ "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Retrieved 2012-05-08.
^ ^a ^b "Set Operations Union Intersection Complement Difference Mutually Exclusive Partitions De Morgan's Law Distributive Law Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-04.
^ Megginson, Robert E. (1998). "Chapter 1". An introduction to Banach space theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183. New York: Springer-Verlag. pp. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.

추가 정보

Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.

[1] "Intersection of Sets". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.

[2] "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Retrieved 2012-05-08.

[:1-3] "Set Operations Union Intersection Complement Difference Mutually Exclusive Partitions De Morgan's Law Distributive Law Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-04.

[4] Megginson, Robert E. (1998). "Chapter 1". An introduction to Banach space theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183. New York: Springer-Verlag. pp. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.

[2]

[3]

[4]

v t 집합론
개요	집합(수학)
악리	부가 선택. 셀 수 있다 의존하는 세계적인 시공성(V=L) 결정성 확장 기능 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니언 마틴의 공리 Axiom 스키마 치환 사양
운용	데카르트 곱 보완(차이 설정) 드 모르간의 법칙 분리 결합 아이덴티티 교차로 전원 세트 대칭차 유니언
개념 방법들	카디널리티 기수(대) 학급 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각 인수 요소 순서쌍 태플 가족 강제 일대일 대응 서수 Set-Builder 표기법 초한 유도 벤도
유형 설정	비정질 카운트 가능 빈 유한(전통적으로) 필터 기초 서브베이스 울트라필터 흐릿하다 무한(데데킨드 무한) 재귀적 싱글턴 서브셋 · 슈퍼셋 추이적 셀 수 없다 유니버설
이론들	대안 자명한 천진난만 칸토르의 정리 체르멜로 일반 프린키피아 매스매티카 새로운 기초 체르멜로프랭켈 폰 노이만-베네이스괴델 모스켈리 크립케-플라텍 타르스키 그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 서슬린 문제 부랄리-포르티 역설
집합 이론가	아브라함 프렝켈 버트런드 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 요한 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코헨 리하르트 데데킨트 토머스 젝 토랄프 스콜렘 윌러드 콰인

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교차 및 분리 집합

대수적 성질

임의 교차로

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A $(style$ A $)$ 와 $A$ B $(style$ B $)$ 의 교집합은 원으로 표시됩니다 $B,$ . $A$ 는 $A\cap B$ $빨간색$ 으로 표시되어 $있습니다.$
유형	조작 설정
들판	집합론
진술	교차는 $세트$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 와 $A$ $세트$ B(\ $displaystyle$ B $B$ 에 모두 존재하는 요소의 집합입니다.
기호문	$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ 및 }}x\in B\}}$

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