시공성의 공리

구성성의 공리는 모든 집합이 구성 가능하다고 주장하는 수학에서 집합 이론에 대한 가능한 공리다. 공리는 보통 V = L로 쓰여지는데, 여기서 V와 L은 각각 폰 노이만 우주와 구성 가능한 우주를 나타낸다. 커트 괴델이 처음 조사한 이 공리는 예리함 없이 존재하며 더 강한 큰 추기경 공리(큰 추기경 재산 목록 참조)라는 명제와 모순된다. 이 공리의 일반화는 내부 모델 이론에서 탐구된다.

시사점

구성성의 공리는 선택의 공리(ZF)가 없는 제로멜로-프라엔켈 집합 이론으로 볼 때 선택의 공리(AC)를 내포한다. 또한 그것은 ZFC(선택의 공리)와 함께 Zermelo-Fraenkel 집합 이론에 독립적인 많은 자연 수학 문제를 정립한다. 예를 들어, 구성성의 공리는 일반화된 연속체 가설, Suslin 가설의 부정, 분석의 존재를 암시한다( $\Delta _{2}^{1}$ , $\Delta _{2}^{1}$ $\Delta _{2}^{1}$ 1 {\ $displaysty \Delta$ _). ${2}^{1}}$ ) 측정 불가능한 실수 집합으로, 모두 ZFC와는 독립적이다.

시공성의 공리는 일관성이 있는 힘이 0보다^# 크거나 같은 대형 추기경들이 존재하지 않는다는 것을 의미하며, 여기에는 일부 "상대적으로 작은" 대형 추기경들이 포함된다. 따라서 어떤 추기경도 L에서는 Ω-Erdős가₁ 될 수 없다. L은 그러한 큰 추기경들의 초기 서수(L의 슈퍼모델에 존재하는 경우)를 포함하고 있으며, 여전히 L의 초기 서수인 반면, 그것은 그 추기경들에게 큰 추기경 속성을 부여하는 보조 구조물(예: 조치)은 제외한다.

구성성의 공리가 많은 세트이론적 문제를 해결하기는 하지만, 일반적으로 ZFC 공리와 같은 방식으로 세트이론에 대한 공리로 받아들여지지 않는다. 구성성의 공리가 참이거나 거짓이라고 믿는 현실주의자의 집합 이론가들 가운데 대부분은 거짓이라고 믿는다. 이것은 부분적으로 그것이 모두라고 믿을 만한 명확한 근거 없이 주어진 집합의 특정 부분 집합만 허용하기 때문에 불필요하게 "제한적"으로 보이기 때문이다. 부분적으로 그것은 공리가 충분히 강한 추기경 공리와 모순되기 때문이다. 이러한 관점은 특히 사하라 셀라가 가질 수 있는 카발 또는 "캘리포니아 학교"와 관련이 있다.

의의

구성성 공리의 주요 의미는 선택성의 공리와 Von Neumann-Bernays–에 대한 일반화된 연속성 가설의 상대적 일관성에 대한 커트 괴델의 입증에 있다.괴델 집합론. (증거는 최근 몇 년 사이에 더욱 널리 퍼진 제르멜로-프렌켈 집합론까지 이어간다.)

Namely Gödel proved that $V=L$ is relatively consistent (i.e. if $ZFC+(V=L)$ can prove a contradiction, then so can $ZF$ ), and that in $ZF$

[\displaystyle V=L\implies AC\land GCH,}

따라서 AC와 GCH도 비교적 일관성이 있다는 것을 확립한다.

궤델의 증거는 후년에 AC와 GCH 모두 독립적이라는 폴 코헨의 결과에 의해 보완되었다. 즉, 이러한 공리( ( $\lnot AC$ $\lnot AC$ ${\displaystyle \lnot$ AC} $및$ $\lnot GCH$ G $\lnot GCH$ H ${\displaystyle \lnot GCH$ 의 $\lnot AC$ 부정도 ZF 세트 이론과 비교적 일치한다는 것이다.