전이 세트

수학의 한 분야인 집합 이론에서, 집합 A는 다음과 같은 등가 조건들 중 하나가 유지되는 경우 transitive라고 불린다.

x ∈ A, y ∈ x, 그 다음 y a A.
x ∈ A 및 x가 요소 요소가 아닐 때마다 x는 A의 부분 집합이다.

마찬가지로, M의 모든 요소가 M의 부분집합인 경우, 클래스 M은 전이적이다.

예

존 폰 노이만이 제시한 서수 번호의 정의를 이용하여 서수 번호는 유전적으로 전이적 집합으로 정의된다. 서수 번호는 구성원이 또한 전이적(따라서 서수)인 전이적 집합이다. 모든 서수들의 계급은 전이 계급이다.

폰 노이만 우주 V와 괴델의 구성 가능한 우주 L의 건설로 이어지는 V와_α L_α 단계는 모두 전이 집합이다. L과 V 우주 자체가 전이 계급이다.

이것은 최대 20개의 괄호를 가진 모든 유한 전이적 집합의 전체 목록이다.^[1]

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특성.

A set X is transitive if and only if ${\textstyle \bigcup X\subseteq X}$ , where ${\textstyle \bigcup X}$ is the union of all elements of X that are sets, ${\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}$ .

X가 transitive이면 ${\textstyle \bigcup X}$ ${\textstyle \bigcup X}$ ${\textstyle \bigcup X}$ 은 ${\textstyle \bigcup X}$ transitive이다. X와 Y가 전이성인 경우 XyY{{X,Y}는 전이성인 것이다. 일반적으로 X가 모든 요소가 타전적 집합인 클래스인 경우, ${\textstyle X\cup \bigcup X}$ ${\textstyle X\cup \bigcup X}$ ${\textstyle X\cup \bigcup X}$ X {\ $textstyle$ X\ $cup \bigcup$ X $}$ 은 타전적이다 ${\textstyle X\cup \bigcup X}$ .

요소요소를 포함하지 않는 세트 X는 자체 전원세트인 ${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$ , ${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$ ( ${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$ ) ${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$ . ${\textstyle X\subseteq {\mathcal{P}(X$ )의 부분 집합인 경우에만 전이적이다 $.$ $}$ 요소 없는 transitive set의 power ${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$ set는 transitive이다.

전이성폐쇄

세트 X의 전이성 폐쇄는 X를 포함하는 최소의 (포함성과 관련하여) 전이성 집합이다. 하나의 X가 주어진다고 가정하면 X의 전이적 폐쇄는

\displaystyle \operatorname {TC}(X)=\bigcup \왼쪽\{X,\;\bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\bigcuppup \bigcupts \rigots \ript.}

증명. ${\textstyle X_{0}=X}$ 0 ${\textstyle X_{0}=X}$ = ${\textstyle X_{0}=X}$ ${\textstyle X_{0}=X},$ X ${\textstyle X_{0}=X}$ ${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}$ + ${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}$ = ${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}$ n ${\$ 그러면 세트라고 주장한다.

T=\operatorname {TC}(X)=\빅컵 _{n=0}^{\inful }X_{n}}}

T ${\textstyle T_{1}}$ {\ $textstyle T_{1$ }가 ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$ 을(를) 포함하는 전이성 집합일 ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$ 마다 ${\textstyle X}$ T ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$ 1 ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$

${\textstyle y\in x\in T}$ ${\textstyle y\in x\in T}$ ${\textstyle y\in x\in T}$ $∈$ T {\ $textstyle$ y $\in x\in T}$ 을 ${\textstyle y\in x\in T}$ 를) 가정하고, 그 다음 ${\textstyle n}$ ${\textstyle n}$ 에 ${\textstyle n}$ ${\textstyle x\in X_{n}}$ x ${\textstyle x\in X_{n}}$ ${\textstyle x\in X_{n}}$ ${\textstyle x\in X_{n}}$ ${\$ ${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$ ${n}}}$ 을(를) 적용하여 ${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$ ${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$ ${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$ = ${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$ + 1 ${\$ X_ ${n}=X_{n+$ 1}{n+1}:{n+1 $}:{$ n+ $1$ ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$ ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$ + ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$ ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$ T ${\textstyle X_{n+1}\subseteq$ T ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$ ${\textstyle y\in T}$ ${\textstyle y\in T}$ ${\textstyle y\in T}$ ${\textstyle$ y $\in T$ 따라서 ${\textstyle T}$ ${\textstyle T}$ 은(는) 전이적이다 ${\textstyle T}$ .

이제 ${\textstyle T_{1}}$ ${\$ }를 위와 ${\textstyle T_{1}}$ 같이 두십시오. We prove by induction that ${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$ for all $n$ , thus proving that ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$ : The base case holds since ${\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}$ . Now assume ${\textstyle X_{n}\subseteq T$ $_{1}}$ . Then ${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}$ . But ${\textstyle T_{1}}$ is transitive so ${\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}$ whence ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}$ . 이것으로 증거가 완성되었다.

집합의 결합은 그 자신과의 회원관계의 상대적 산출물의 관점에서 표현될 수 있기 때문에, 이것은 회원관계의 전이적 폐쇄에 의해 X와 관련된 모든 객체의 집합이라는 점에 유의한다.

집합 이론의 전이적 모델

전이계급은 대개 내적인 모델이라고 불리는 그 자체로 정해진 이론의 해석의 구축에 종종 사용된다. 그 이유는 경계가 있는 공식에 의해 정의된 속성이 전이성 클래스에 절대적이기 때문이다.

집합 이론의 형식적 시스템의 모델인 전이적 집합(또는 클래스)을 시스템의 전이적 모델이라고 한다(모형의 원소 관계가 모델의 우주에 대한 참된 요소 관계의 제한이라고 가정할 경우). Transitability는 공식의 절대성을 결정하는 중요한 요소다.

비표준 분석에 대한 상부구조 접근방식에서 비표준 우주들은 강한 전이성을 만족시킨다.^{[clarification needed]}^[2]

참고 항목

참조

^ "Number of rooted identity trees with n nodes (rooted trees whose automorphism group is the identity group)". OEIS.
^ 골드블랫(1998) 페이지 161

Ciesielski, Krzysztof (1997), Set theory for the working mathematician, London Mathematical Society Student Texts, 39, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-59441-3, Zbl 0938.03067
Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis, Graduate Texts in Mathematics, 188, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98464-X, Zbl 0911.03032
Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973], The Axiom of Choice, Dover Publications, ISBN 0-486-46624-8, Zbl 0259.02051

외부 링크

[1] "Number of rooted identity trees with n nodes (rooted trees whose automorphism group is the identity group)". OEIS.

[2] 골드블랫(1998) 페이지 161

[1]

[2]

show v t 세트 이론
개요	설정(수학)
공리	부속품 선택 셀 수 있는 종속적인 전지구적 시공성(V=L) 결정성 확장성 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니온 마틴의 공리 공리 스키마 대체의 사양
운영	데카르트 제품 보완 드 모건의 법칙 해체조합 교차로 전원 세트 설정차이 대칭차이 유니온
개념 방법들	카디널리티 기수(대수) 클래스 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각선 인수 요소 주문된 한 쌍 터플 가족 강제 일대일 대응 순서수 트랜스핀라이트 유도 벤 다이어그램
유형 설정	무형의 셀 수 있는 비어 있음 유한(계속) 퍼지 무한(Dedekind-무한) 재귀적 싱글턴 부분 집합 · 상위 집합 타동사 마운트할 수 없음 유니버설
이론들	대안 자칭 순진한 칸토르의 정리 제르멜로 일반 프린세스 매머티카 뉴 파운데이션스 체르멜로-프렌켈 폰 노이만-베르나이-괴델 모르스켈리 크립케-플레이트크 타르스키-그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 수슬린의 문제 부랄리-포르티 역설
세트 이론가	아브라함 프라운켈 베르트랑 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 존 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코언 리처드 디데킨드 토머스 제흐 토랄프 스콜렘 윌러드 킨

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