구성주의 (수학의 철학)

수학 철학에서 구성주의는 예가 존재한다는 것을 증명하기 위해서는 수학적 사물의 구체적인 예를 찾는 것(또는 "구축"하는 것)이 필요하다고 주장한다. 대조적으로 고전 수학에서는 그 물체가 존재하지 않는다고 가정하고 그 가정으로부터 모순을 도출해냄으로써 그 물체를 명시적으로 '찾아내기'하지 않고도 수학적 물체의 존재를 증명할 수 있다. 모순에 의한 그러한 증거를 비건설적이라고 할 수도 있고, 구성주의자는 그것을 거부할 수도 있다. 건설적인 관점에는 고전적 해석과 대립되는 실존적 계량기에 대한 검증적 해석이 수반된다.

많은 형태의 구성주의가 있다.^[1] 브루워가 창시한 직관주의 프로그램, 힐베르트·버네이즈의 친유대주의 프로그램, 샤닌·마코프의 건설적 재귀 수학, 비숍의 건설적 분석 프로그램 등이 그것이다. 구성주의에는 CZF와 같은 건설적인 집합 이론의 연구와 토포스 이론의 연구도 포함된다.

비록 직관주의는 단지 하나의 구성주의 프로그램일 뿐이지만, 구성주의는 종종 직관주의와 동일시된다. 직관주의는 수학의 기초가 개별 수학자의 직관에 있다고 주장하여, 수학을 본질적으로 주관적인 활동으로 만든다.^[2] 다른 형태의 구성주의는 이러한 직관적 관점에 기초하지 않으며 수학에 대한 객관적인 관점과 양립할 수 있다.

건설수학

많은 건설적인 수학은 직감적 논리를 사용하는데, 이것은 본질적으로 배제된 중간의 법칙이 없는 고전적 논리인 것이다. 이 법은 어떤 명제에 대해서도 그 명제가 참이거나 부정이라고 명시하고 있다. 이것은 배제된 중간의 법이 완전히 거부된다는 말은 아니다; 법의 특별한 경우들이 증명될 것이다. 다만 일반법이 공리로 상정되지 않을 뿐이다. 모순된 진술이 동시에 진실일 수 없다는 논조의 법칙은 여전히 유효하다.

예를 들어, Heyting 산술에서, 정량자를 포함하지 않는 모든 ${\displaystyle 명제\mathbb{}}$ p에 대해, $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle z}$, …${\displaystyle }$:${\displaystyle }$N : ${\displaystyle p\mathrm{}p}$ p ${\displaystyle \forall$x,$y,z,\ldots \in \mathb {N}$ :$p\vee \ne$ p$}$은 하나의 정리(여기서 x, y, y, y, y, y, p)라는 것을 증명할 수 있다. 이런 의미에서 유한자에게 한정된 명제는 고전 수학에서 그렇듯이 여전히 참이거나 거짓으로 간주되지만, 이러한 이변성은 무한 수집을 가리키는 명제로 확대되지 않는다.

실제로 직관학파의 창시자인 L.E.J. 브루워는 배제된 중간의 법칙을 유한한 경험에서 추상화된 것으로 보고 나서 명분 없이 무한에 적용했다. 예를 들어, 골드바흐의 추측은 모든 짝수(2보다 큰)가 두 개의 소수 합이라는 주장이다. 두 개의 소수(예를 들어 철저한 검색에 의한)의 합인지 아닌지를 특정 짝수(짝수)에 대해 테스트할 수 있으므로, 그 중 어느 하나라도 두 개의 소수 합인지 아니면 그렇지 않은지 테스트할 수 있다. 지금까지, 이렇게 테스트된 모든 것은 사실 두 개의 프리임의 합이었습니다.

그러나 그들 모두가 그렇다는 알려진 증거도 없고, 그들 모두가 그렇지는 않다는 알려진 증거도 없다. 따라서 브루워에게 우리는 "골드바흐의 추측이 사실이거나 그렇지 않다"고 주장하는 것은 정당하지 않다. 그리고 그 추측이 언젠가는 풀릴지 모르지만, 그 주장은 비슷한 미해결 문제에도 적용된다; 브루워에게 있어서 배제된 중간의 법칙은 모든 수학 문제에는 해결책이 있다고 가정하는 것과 같았다.

제외된 중간의 법칙이 공리로 생략되면서 나머지 논리 체계는 고전적 논리가 갖지 못한 존재 속성을 가지고 있다$:{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ x${\displaystyle x_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle x}$ )$${\$displaysty \exists$_{$x\in$X}$P(x)}}}}$이(가) 건설적으로$$ 증명될 때마다 사실 P${\displaystyle (에}$) ${\displaystysty P(a)$가 하나 이상 건설적으로 증명된다$$. $특히{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in$ X$\},$ 종종 증인으로 불린다. 따라서 수학적 물체의 존재에 대한 증거는 그 물체의 구성 가능성과 결부되어 있다.

실제 분석의 예

고전적인 실제 분석에서, 실제 숫자를 정의하는 한 가지 방법은 합리적인 숫자의 카우치 시퀀스의 동등성 등급이다.

건설 수학에서 실수를 구성하는 한 가지 방법은 양의 정수 $[\displaystyle n}$을 취하고 합리적인 takes$$(n)을 출력하는 함수 ƒ으로서, 양의 정수 n을 취하여 양의 정수 g(n)를 출력하는 함수 g와 함께 다음과 같은 양의 정수 g(n)를 출력하는 것이다.

${\displaystyle \forall n\ \all i,j\geq g(n)\f(j) \leq {1\overn n}$

n이 증가하면 as(n)의 값이 점점 가까워진다. ƒ과 g를 함께 사용하여 그들이 나타내는 실제 숫자에 대해 우리가 원하는 대로 합리적인 근사치를 계산할 수 있다.

이 정의에서 실수 e의 간단한 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=0}^{n}{1 \over i!},\display g(n)=n.}$

이 정의는 건설적인 트위스트를 제외하고 Cauchy 시퀀스를 사용하는 고전적 정의에 해당한다. 고전적 Cauchy 시퀀스에 대해서는 모든 구성원이 그 거리보다 더 가까운 거리에 있는 시퀀스에 (고전적 의미에서는) 구성원이 있어야 한다. 건설 버전에서는 주어진 거리에 대해 실제로 이러한 현상이 일어나는 순서에 점을 지정할 수 있어야 한다(이 필수 규격을 흔히 수렴 계량이라고 한다). 사실, 수학적 진술에 대한 표준적인 건설적 해석

${\displaystyle \forall n:\forall m:\all i,j\geq m:f(i)-f(j) \leq {1\overn n}}$

정밀하게 수렴 계수를 계산하는 기능의 존재다. 따라서 실수의 두 가지 정의의 차이는 "모두에게 ..."라는 문장의 해석의 차이라고 생각할 수 있다. 거기엔..."

그러면 위의 f와 g와 같이 계산 가능한 집합에서 계산 가능한 집합에 이르기까지 어떤 종류의 기능을 실제로 구성할 수 있는지에 대한 문제가 열린다. 다른 버전의 구성주의들이 이 점에 대해 갈라진다. 구조는 직감적 관점인 자유 선택 시퀀스로서 광범위하게 정의될 수 있으며, 또는 알고리즘(또는 더 기술적으로 계산 가능한 함수)만큼 좁게 정의될 수도 있고 심지어 불특정하게 내버려둘 수도 있다. 예를 들어, 알고리즘 뷰를 사용할 경우 여기서 구성된 실제는 기본적으로 계산 가능한 숫자라고 하는 것이 된다.

카디널리티

위의 알고리즘적 해석을 취하는 것은 카디널리티의 고전적 개념과 상충하는 것처럼 보일 것이다. 알고리즘을 열거함으로써 계산 가능한 숫자가 셀 수 있다는 것을 고전적으로 보여줄 수 있다. 그러나 칸토어의 대각선 주장은 실제 수치가 더 높은 카디널리티를 가지고 있다는 것을 보여준다. 게다가, 대각선 논쟁은 완벽하게 건설적인 것처럼 보인다. 계산 가능한 숫자로 실제 숫자를 식별하는 것은 모순이 될 것이다.

그리고 사실 칸토어의 대각선 주장은, 실제 숫자와 자연수 사이의 편견을 주어진다면, 맞지 않는 실제 숫자를 구성하게 되고, 따라서 모순을 증명한다는 점에서 건설적이다. 우리는 실제로 기능 T를 구성하기 위한 알고리즘을 열거할 수 있는데, 이 알고리즘은 처음에 자연수에서 실수에 이르는 함수라고 가정한다. 그러나 각 알고리즘에는 알고리즘이 제약을 충족하지 못하거나 심지어 비단말(T는 부분함수)이 될 수 있기 때문에 필요한 편차를 생성하지 못하기 때문에 실제 숫자와 일치하거나 일치하지 않을 수 있다. 요컨대, 실수는 (개별적으로) 효과적으로 계산할 수 있다고 보는 사람은 칸토어의 결과를 (집합적으로) 실수는 재귀적으로 열거되지 않는다는 것을 보여주는 것으로 해석한다.

그럼에도 불구하고, 사람들은 T가 자연수에서 실제 숫자에 이르는 부분적인 함수이기 때문에, 따라서 실수는 셀 수 있는 수보다 크지 않다고 예상할 수 있다. 그리고, 모든 자연수는 사소한 것으로도 실제 숫자로 표현될 수 있기 때문에, 따라서 실제 숫자들은 셀 수 있는 수보다 더 작지 않다. 그러므로 그들은 정확하게 셀 수 있다. 그러나 이 추론은 여전히 요구되는 편향성을 구성하지 않기 때문에 건설적이지 않다. 그러한 상황에서 편향의 존재를 증명하는 고전적인 정리, 즉 칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리는 비구축적이다. 칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리가 배제된 중간의 법칙을 내포하고 있어, 정리에 대한 건설적인 증거가 있을 수 없다는 것이 최근 밝혀졌다.^[3]

선택공리

건설 수학에서 선택 공리의 상태는 다른 구성주의 프로그램의 다른 접근방법에 의해 복잡하다. 수학자들이 비공식적으로 사용하는 "건설적"의 한 가지 사소한 의미는 "선택의 공리 없이 ZF 세트 이론에서 제공할 수 있다"는 것이다. 그러나, 보다 제한된 형태의 건설 수학의 지지자들은 ZF 자체가 건설적인 시스템이 아니라고 주장할 것이다.

유형 이론의 직감론적 이론(특히 고형 산술)에서는 선택의 공리의 많은 형태가 허용된다. 예를 들어, 공리 AC는₁₁ 실제 숫자 집합의 R 관계에 대해, 각 실수 x에 대해 R(x,y)이 보유하는 실제 숫자 y가 있음을 증명했다면, R(x,F(x)가 모든 실수에 대해 보유하는 기능 F가 실제로 존재한다는 것을 설명하기 위해 패러프레이징될 수 있다. 유사한 선택 원칙은 모든 유한 형식에 대해 허용된다. 겉으로 보기에 비건설적인 원리를 받아들이는 동기는 "R(x,y)이 가지고 있는 각각의 실제 숫자 x에 대해 실제 숫자 y가 있다"는 증거에 대한 직관적인 이해 때문이다. BHK 해석에 따르면, 이 증명 자체는 본질적으로 원하는 기능 F이다. 직감주의자들이 받아들이는 선택 원칙이 배제된 중간 법칙을 내포하는 것은 아니다.

그러나 건설적 집합이론에 대한 특정 공리 체계에서 선택 공리는 디아코네스쿠-굿맨-마이힐 정리에서 보여지듯이 (다른 공리가 있는 곳에서) 배제된 중간의 법칙을 암시한다. 일부 건설적인 집합론에는 마이힐의 집합론에서 의존적 선택의 공리처럼 선택의 공리의 약한 형태가 포함된다.

측량 이론

고전적 측도 이론은 근본적으로 비구축적인데, 이는 르베그 측도의 고전적 정의가 집합의 측도나 함수의 적분도 계산하는 방법을 기술하지 않기 때문이다. 사실, 만약 어떤 함수를 "실수를 입력하여 실수를 출력한다"는 규칙으로 생각한다면, 어떤 알고리즘은 한 번에 기능의 많은 값을 정밀하게 호출할 수 있을 뿐이고, 또 어떤 값도 비-비-비-비-비-비-에 대한 적분을 계산하기에 충분하지 않기 때문에, 함수의 적분을 계산하는 알고리즘은 있을 수 없다.사소한 정확성 비숍의 1967년 저서에서 가장 먼저 수행된 이 난제에 대한 해결책은 정합화 속도에 관한 정보와 함께 연속성 함수의 점별 한계로 쓰여진 기능만을 고려하는 것이다. 측량 이론의 구성화 이점은 한 세트가 완전한 척도로 구성된다는 것을 증명할 수 있다면, 그 집합에서 한 점을 찾아내는 알고리즘이 있다는 것이다(Again's Bishop's book 참조). 예를 들어, 이 접근방식은 모든 베이스에 대해 정규적인 실제 숫자를 구성하는데 사용될 수 있다.^{[citation needed]}

수학의 구성주의 장소

전통적으로, 일부 수학자들은 수학적 구성주의에 대해 적대적이지는 않더라도 의심해 왔는데, 이는 주로 건설적 분석을 위한 것으로 여겨지는 한계 때문이다. 이러한 견해는 데이비드 힐베르트가 1928년 "수학자에게서 중간을 배제하는 원리를 취하는 것은 천문학자나 권투선수에게 망원경을 사용하게 하는 것과 같다"고 쓴 글에서 강하게 표현되었다.^[4]

에렛 비숍은 1967년 저서 '건설적 분석의 기초'에서 건설적 틀에서 전통적 분석을 많이 개발함으로써 이러한 두려움을 없애기 위해 노력했다.

비록 대부분의 수학자들이 건설적인 방법에 기초하여 행해진 수학만이 건전하다는 구성주의자의 논제를 받아들이지 않지만, 건설적인 방법들은 비이데올로기적인 토대 위에서 점점 더 관심을 끌고 있다. 예를 들어, 분석에서 건설적인 증거는 건설적인 방법의 제약조건 내에서 일하는 것이 고전적인 방법을 사용하는 것보다 이론에 대한 증인을 찾는 것을 더 쉽게 만들 수 있는 방법으로 증인 추출을 보장할 수 있다. 기초수학과 컴퓨터 과학에서 주목할 만한 과목인 활자형 람다 칼쿨리, 토포스 이론, 범주형 논리학에서도 건설 수학의 출원이 발견됐다. 대수학에서, 토포이, 홉프 알제브라와 같은 실체들에 대해, 구조는 건설적인 이론인 내부 언어를 지지한다; 그 언어의 제약조건 내에서 일하는 것은 종종 가능한 콘크리트 알제브라와 그들의 동형성에 대한 추론과 같은 수단으로 외부적으로 일하는 것보다 더 직관적이고 유연하다.

물리학자인 리 스몰린은 '양자중력으로의 세 가지 길'에서 토포스 이론은 '우주론의 올바른 논리'(30쪽)이며 '첫 번째 형태에서는 '직관적 논리'(31쪽)라고 불렀다'고 쓰고 있다. "이런 종류의 논리에서는 관찰자가 우주에 대해 할 수 있는 진술은 적어도 세 개의 그룹으로 나뉜다. 즉, 우리가 진실이라고 판단할 수 있는 진술, 거짓이라고 판단할 수 있는 진술, 그리고 현재 우리가 진리를 결정할 수 없는 진술이다."(28페이지)

구성주의에 주요한 공헌을 한 수학자들

• 레오폴트 크로네커(구적 구성주의, 반직관주의)
• L. E. J. 브루어(직관주의의 창시자)
• A. A. 마르코프 (러시아의 구성주의 학파의 아버지)
• 아렌드 헤이팅(형식화된 직관논리와 이론)
• 페르 마틴 뢰프(건설형 이론의 창시자)
• 에렛 비숍(고전수학과 일치한다고 주장하는 구성주의 버전)
• 폴 로렌젠(건설적 분석 개발)

나뭇가지

• 건설논리학
• 건설형 이론
• 건설적 분석
• 건설비표준분석

참고 항목

• 계산가능성 이론 – 수학적 논리학, 컴퓨터 과학, 계산 가능한 기능과 튜링 학위를 연구하는 계산 이론의 분과
• 건설적 증명 – 수학에서의 증명 방법
• 순수주의 – 유한한 수학적 사물의 존재만을 받아들이는 수학철학
• 게임 의미론
• 거주자 집합 – 건설 수학에 사용되는 집합체
• 직관주의 – 수학과 논리학의 접근법
• 직관적 유형 이론 – 수학의 대안적 기초
• 피니티스트 집합론

메모들

참조

• Solomon Feferman (1998년), 건설적, 사전 및 고전적 분석 시스템 간의 관계, http://math.stanford.edu/~feferman/reason/reason.pdf.
• A. S. 트로엘스트라(1977a), "건설적 수학의 전망", 수학적 논리학 핸드북, 페이지 973–1052.
• A. S. Troelstra(1977b), Choice 시퀀스, Oxford Logic Guides. ISBN 0-19-853163-X
• A. S. Troelstra(1991), "20세기 건설주의의 역사", 암스테르담 대학교, ITLI Prepublishation Series ML-91-05, staff.science.uva.nl/:///staff.science.uva.nl/~staff.science.uva.nl//hhahist.pdf,pdf,
• H. M. Edwards(2005), Springer-Verlag, 2005, ISBN 0-387-21978-1
• 더글러스 브리지스, 프레드 리치먼, 1987년 "건설 수학의 변리"
• Michael J. Beason, "건설적 수학의 창시: 변태적 연구" , 1985.
• Anne Sjerp Troelstra, Dirk van Dalen, "수학의 구조주의: 제1권" 소개, 1권
• Anne Sjerp Troelstra, Dirk van Dalen, "수학의 구조주의: 1988년 제2권 서론

외부 링크

• "Constructive Mathematics". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• 스탠포드 철학 백과사전 항목