유니버설 집합

집합론에서, 보편 집합은 ^[1]자신을 포함한 모든 물체를 포함하는 집합이다.일반적으로 공식화된 집합론에서, 보편적인 집합이 존재하지 않는다는 것은 여러 가지 방법으로 증명될 수 있다.그러나 집합론의 일부 비표준 변형은 보편적인 집합을 포함한다.

존재하지 않는 이유

많은 집합론은 보편 집합의 존재를 허용하지 않는다.집합론에 대한 서로 다른 공리의 선택에 기초하여, 그것의 부존재에 대한 몇 가지 다른 주장들이 있다.

규칙성

체르멜로-프랭켈 집합론에서, 규칙성과 쌍의 공리는 어떤 집합도 자신을 포함하지 못하게 한다.모든 $세트{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$에 대해 세트${\displaystyle }${$}(\displaystyle$\{$A$$\})($페어링을 사용하여 구성됨)에는 ${\displaystyle \mathrm{규칙적}}$으로 {A$$}(\$displaystyle \{$A$\backslash \})$과 분리된 요소가 반드시 포함되어 있습니다.유일한 요소는$$A$(\displaystyle$ A$)$이므로 A$(\displaystyle$ A$)$와 {$}(\displaystyle \{A$가 분리되어 A$(\displaystyle$ A$)$에 그 자체가 포함되어 있지 않은 $경우$여야 합니다.보편 집합은 필연적으로 자신을 포함하기 때문에 이러한 공리 ^[2]아래에서는 존재할 수 없습니다.

러셀의 역설

러셀의 역설은 체르멜로의 이해 공리를 포함하는 집합론에서의 보편적인 집합의 존재를 막는다.이 공리는 모든 $공식{\displaystyle }$( (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$$$\ $varphi ( x$$$)및$$ 임의의 $A에$대해 집합이 존재함을 나타냅니다.

$A{\displaystyle }$$(\displaystyle$ A$)$의 $요소$$$x(\$displaystyle \varphi$)를 충족하는 $요소$를 정확히 포함합니다$.$

이 공리의 결과로서 각 $세트{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$)$에는 자신을 포함하지 않는 A$(\displaystyle$ A$)$의 요소로 구성된 다른 $세트{\displaystyle }$ B ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle xa}$ x$$x x } {$displaystyle$ B $=$ \ {$x\ in A\mid$x\$not$ \$in$ x$\}$ { displaystyle B }가$$ 대응합니다.$(\displaystyle$ B$)$는 자신을 포함하지 않는 세트로만 구성되므로 자신을 포함할 수 없습니다.그것은$A$의 $멤버$가 될 수 없다. 왜냐하면 만약 그것이$$그 정의상 그것은 그 자신의 멤버로 포함될 것이기 때문에 그것은 스스로를 억제할 수 없다는 사실과 모순되기 때문이다.따라서 모든 $A는$$$유니버설하지 않습니다.이 세트에는 포함되지 않은 $세트 B$가 존재합니다$.$이것은 서술적 이해와 직관적 논리에도 부합한다.

칸토르의 정리

범용 집합의 개념에 대한 또 다른 어려움은 모든 집합의 전력 집합과 관련이 있습니다.이 전력 집합은 집합 집합이기 때문에 둘 다 존재할 경우 반드시 모든 집합 집합 집합의 하위 집합이 됩니다.그러나 이것은 (무한이든 아니든) 모든 집합의 거듭제곱 집합은 항상 집합 자체보다 엄격히 높은 카디널리티를 가지고 있다는 칸토어의 정리와 상충된다.

보편성 이론

보편적 집합과 관련된 어려움은 이해의 공리가 어떤 식으로든 제한되는 집합론의 변형을 사용하거나 집합으로 간주되지 않는 보편적 객체를 사용함으로써 피할 수 있다.

제한된 이해

유니버설 집합 V가 존재하는 경우(일반 집합 이론이 일치하는 경우) 일관성이 있는 것으로 알려진 집합 이론이 있습니다($V{\displaystyle v}$V \ $displaystyle$V \ $in$ V$$$$） 。이들 이론에서 체르멜로의 이해 공리는 일반적으로 성립하지 않으며, 순진한 집합론의 이해 공리는 다른 방식으로 제한된다.보편 집합을 포함하는 집합론은 반드시 충분한 근거가 없는 집합론이다.보편적 집합을 가진 가장 널리 연구된 집합론은 윌러드 반 오르만 콰인의 새로운 기초이다.Alonzo Church와 Arnold Overschelp 또한 그러한 집합론에 대한 연구를 발표했다.처치는 그의 이론이 Quine의 ^[3]이론과 일치하는 방식으로 확장될 수 있다고 추측했지만, Oberschelp의 이론에는 가능하지 않다. 왜냐하면 이 이론에서 싱글톤 함수는 ^[4]증명 가능한 집합이기 때문이다. 이는 곧 New ^[5]Foundations의 역설로 이어진다.

또 다른 예는 양의 집합론인데, 여기서 이해 공리는 양의 공식(부정을 포함하지 않는 공식)에 대해서만 유지되도록 제한된다.이러한 집합론은 위상에서의 폐쇄 개념에 의해 동기 부여된다.

집합이 아닌 범용 객체

보편 집합의 개념은 직감적으로 체르멜로-프랭켈 집합 이론에서 바람직한 것으로 보인다. 특히 이 이론의 대부분의 버전이 모든 집합에서 양자화 사용을 허용하기 때문이다.모순을 만들지 않고 범용 집합과 유사하게 동작하는 개체를 허용하는 한 가지 방법은 V 및 유사한 대규모 컬렉션을 집합이 아닌 적절한 클래스로 설명하는 것입니다.유니버설 집합과 유니버설 클래스의 한 가지 차이점은 적절한 클래스는 다른 ^{[citation needed]}클래스의 요소가 될 수 없기 때문에 유니버설 클래스는 자신을 포함하지 않는다는 것입니다.러셀의 역설은 이해의 공리는 수업이 아닌 집합에서 작동하기 때문에 이러한 이론에는 적용되지 않는다.

집합의 범주는 집합 자체가 아닌 범용 개체로 간주할 수도 있습니다.모든 세트가 요소로 포함되며 한 세트에서 다른 세트로 이동하는 모든 기능에 대한 화살표가 포함됩니다.다시 말하지만, 그것은 그 자체가 집합이 아니기 때문에 그 자체를 포함하지 않는다.

「 」를 참조해 주세요.

• 우주(수학)
• 그로텐디크 우주
• 담론의 영역
• 폰 노이만-베네이스-Gödel 집합론 - 모든 집합의 클래스를 수용하는 ZFC의 확장

메모들

레퍼런스

• Cenzer, Douglas; Larson, Jean; Porter, Christopher; Zapletal, Jindrich (2020). Set Theory and Foundations of Mathematics: An Introduction to Mathematical Logic. World Scientific. p. 2. doi:10.1142/11324. ISBN 978-981-12-0192-9. S2CID 208131473.
• Church, Alonzo (1974). "Set theory with a universal set". Proceedings of the Tarski Symposium: An international symposium held at the University of California, Berkeley, June 23–30, 1971, to honor Alfred Tarski on the occasion of his seventieth birthday. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 25. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 297–308. MR 0369069.
• Forster, T. E. (1995). Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe. Oxford Logic Guides. Vol. 31. Oxford University Press. ISBN 0-19-851477-8.
• Forster, Thomas (2001). "Church's set theory with a universal set". In Anderson, C. Anthony; Zelëny, Michael (eds.). Logic, Meaning and Computation: Essays in Memory of Alonzo Church. Synthese Library. Vol. 305. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 109–138. MR 2067968.
• Oberschelp, Arnold (1973). Set theory over classes. Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne). Vol. 106. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. MR 0319758.
• Willard Van Orman Quine(1937년) "수학적 논리의 새로운 기초", 미국 수학 월간지 44, 70-80페이지.
• Sheridan, Flash (2016). "A variant of Church's set theory with a universal set in which the singleton function is a set" (PDF). Logique et Analyse. 59 (233): 81–131. JSTOR 26767819. MR 3524800.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Universal Set". MathWorld.
• 참고 문헌: T. E. 포스터에 의해 창시되고 랜달 홈즈에 의해 유지된 보편적인 집합으로 구성된 집합 이론.