결정성의 공리

수학에서 결정성의 공리(약칭 AD)는 얀 미실스키와 휴고 스타인하우스가 1962년에 도입한 세트 이론에 대한 가능한 공리다. 길이 Ω의 특정 2인칭 위상 게임을 일컫는다. AD에서는 특정 유형의 모든 게임이 결정된다. 즉, 두 선수 중 한 명이 승리 전략을 가지고 있다.

그들은 AD의 흥미로운 결과에 의해 AD의 동기를 부여했고, AD가 선택 공리(AC)의 약한 형태만 받아들이지만 실제와 모든 순서형 숫자를 포함하는 집합 이론의 최소 자연 모델 L(R)에서 진실일 수 있다고 제안했다. AD의 일부 결과는 앞서 스테판 바나흐와 스타니스와프 마저와 모튼 데이비스에 의해 증명된 이론에서 비롯되었다. 미셀스키와 스타니스와프 ś비에르츠코프스키가 또 다른 하나를 기여했다: AD는 모든 실수의 집합이 르베그로 측정할 수 있다는 것을 암시한다. 나중에 도날드 A. 마틴과 다른 사람들은 특히 서술 집합 이론에서 더 중요한 결과를 증명했다. 1988년에 존 R. 스틸과 W. 휴 우딘은 긴 연구를 끝냈다. $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ ${\$ 과 유사한 헤아릴 수 없는 몇 개의 추기경 숫자가 존재한다고 가정하면, 그들은 미셀스키와 스타인하우스의 원래 추측대로 AD가 L(R)에서 사실이라는 것을 증명했다 $\aleph _{0}$

결정된 게임 유형

결정성의 공리는 다음과 같은 특정한 형태의 게임을 가리킨다: 자연수의 모든 무한 시퀀스 중 바이어 공간의 부분 집합 A Ω을^ω 고려하라. I와 II라는 두 선수가 번갈아 가며 자연수를 선택한다.

n₀, n₁, n₂, n₃, n, ...

무한히 많은 이동 후에 시퀀스 $(n_{i})_{i\in \omega }$ i $(n_{i})_{i\in \omega }$ ) $(n_{i})_{i\in \omega }$ ${\$ }}}이 $($ 가) 생성된다 $(n_{i})_{i\in \omega }$ . 플레이어 I는 시퀀스가 A의 요소일 경우에만 게임에서 승리한다. 결정성의 공리는 그러한 모든 게임이 결정된다는 것이다.

모든 게임이 그들이 결정했다는 것을 증명하기 위해 결정성의 공리를 요구하는 것은 아니다. 세트 A가 클램프라면 게임은 본질적으로 유한한 게임이기 때문에 결정된다. 마찬가지로 A가 닫힌 세트라면 승부가 결정된다. 그것은 1975년에 Donald A에 의해 보여졌다. 마틴은 우승 세트가 보렐 세트인 경기가 결정된다. 충분히 큰 추기경의 존재에 따라 승리가 설정된 모든 게임이 결정된다(프로젝티브 결정권 참조), AD가 L(R)에서 보유된다.

결정성의 공리는 실제 숫자의 모든 하위 공간 X에 대해 Banach-Mazur 게임 BM(X)이 결정된다는 것을 암시한다(따라서 모든 실재 집합은 Baire의 속성을 가지고 있다).

결정 공리와 선택 공리의 비호환성

Ω 게임 G에서 모든 첫 번째 플레이어 전략의 세트 S1은 연속체와 동일한 카디널리티를 가진다. 모든 세컨드 플레이어 전략의 세트 S2도 마찬가지다. 우리는 G에서 가능한 모든 시퀀스에 대해 설정된 SG의 카디널리티 또한 연속체라는 것에 주목한다. A를 첫 번째 선수가 승리하게 만드는 모든 시퀀스의 SG의 하위 집합으로 삼자. 선택의 공리로 우리는 연속체를 주문할 수 있다. 더 나아가, 적절한 초기 부분이 연속체의 카디널리티를 갖지 않도록 그렇게 할 수 있다. 우리는 다음과 같은 순서에 따라 일련의 전략에 대해 최종 유도함으로써 counterexample을 만든다.

우리는 A라는 세트부터 정의되지 않은 상태로. T는 축에 길이 연속체가 있는 "시간"이 되게 하라. 우리는 첫 번째 선수의 모든 전략 {s1(T)}과 두 번째 선수의 모든 전략 {s2(T)}을 고려하여 모든 전략에 대해 다른 선수의 전략이 있는지 확인해야 한다. 고려된 플레이어의 모든 전략에 대해 우리는 다른 플레이어가 승리할 수 있는 시퀀스를 생성할 것이다. 축의 길이가 ℵ이고₀ 각 게임 순서에 사용되는 시간이 되자.

첫 번째 플레이어의 현재 전략 {s1(T)}을(를) 고려하십시오.
전체 게임을 통해 시퀀스 {a(1), b(2), a(3), b(4), ...,a(t), b(t+1)를 생성하십시오.
이 시퀀스가 A에 속하지 않는지 결정하십시오. 즉, s1(T) 손실.
두 번째 플레이어의 {s2(T)} 전략을 고려하십시오.
다음 전체 게임을 진행하여 시퀀스 {c(1), d(2), c(3), d(4), d(4), ...c(t), d(t+1)를 생성하십시오. 이 시퀀스가 {a(1), b(2), a(3), b(4), ...,a(t), b(t+1)와 다른지 확인하십시오.
이 시퀀스가 A에 속하는지 결정하십시오. 즉, s2(T) 손실.
이미 고려된 시퀀스가 다시 생성되지 않는지 확인하면서 추가 전략을 계속 반복하십시오. (우리는 모든 시퀀스의 집합에서 시작하여 시퀀스를 생성할 때마다 생성된 시퀀스를 첫 번째 플레이어 이동과 두 번째 플레이어 이동에 투영하는 전략을 반박하며, 우리의 시퀀스 집합에서 두 개의 결과 시퀀스를 제거한다.)
상기의 검토에서 나오지 않은 모든 시퀀스에 대해 A에 속하는지, A의 보완에 속하는지를 임의로 결정한다.

일단 이것이 끝나면 우리는 G게임을 한다. 전략 s1을 준다면 우리는 어느 때 T = T(s1)의 전략을 고려했다. 시간 T에서 s1의 손실이 될 s1의 결과를 결정했다. 따라서 이 전략은 실패한다. 그러나 이것은 임의의 전략에 적용된다. 따라서 결정성의 공리와 선택의 공리는 양립할 수 없다.

비위생적 논리와 결정성의 공리

20세기 후반에는 많은 다른 버전의 비위생적 논리가 제안되었다. 결정성의 공리를 믿었기 때문에 주어진 한 가지 이유로는 다음과 같이 쓸 수 있기 때문이다(무한논리의 버전에서).

$[\displaystyle \ forall G\displaystyle \ forall G\subseteq Seq:}$

${\displaystyle \forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...$ $:(a,a,b,b,c,c$ ...)\ $g}$ OR $\forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G$

$\displaystyle \exists a\in S:\in S:\exists b\in S:\exists c\in S:\exists c:\in S...:(a,a,b,b,c,c...)\notin G}$

참고: Seq(S)는 S의 모든 $\omega$ $\omega$ -시퀀스 $\omega$ 집합이다. 여기서의 문장은 무한히 길며 타원이 나타나는 정량자의 무한 리스트가 있다.

큰 추기경들과 결정론의 공리

결정성의 공리의 일관성은 큰 추기경 공리의 일관성에 대한 문제와 밀접하게 관련되어 있다. 우딘의 정리로는 선택의 여지가 없는 제르멜로-프라엔켈 세트 이론의 일관성(ZF)과 결정성의 공리(ZFC)는 무한히 많은 우딘 추기경의 존재와 함께 제르멜로-프라엔켈 세트 이론의 일관성(ZF)과 동등하다. 우딘 추기경들은 접근하기 매우 어렵기 때문에 AD가 일관된다면, 접근하기 어려운 추기경들의 무한성도 마찬가지일 것이다.

더욱이 우딘 추기경들의 무한한 집합에 대한 가설에 그들 모두보다 더 큰 측정 가능한 추기경의 존재가 더해진다면, L(R)에서 결정성의 공리가 사실이고, 따라서 L(R)에서 모든 실수의 집합이 결정된다는 것을 증명할 수 있기 때문에, 르베그 측정 가능한 실수의 집합에 대한 매우 강력한 이론이 출현한다.

참고 항목

참조

Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo (1962). "A mathematical axiom contradicting the axiom of choice". Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 10: 1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
Mycielski, Jan; Świerczkowski, Stanisław (1964). "On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness". Fund. Math. 54: 67–71. doi:10.4064/fm-54-1-67-71.
Woodin, W. Hugh (1988). "Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 85 (18): 6587–6591. doi:10.1073/pnas.85.18.6587. PMC 282022. PMID 16593979.
Martin, Donald A.; Steel, John R. (Jan 1989). "A Proof of Projective Determinacy". Journal of the American Mathematical Society. 2 (1): 71–125. doi:10.2307/1990913. JSTOR 1990913.
Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
Kanamori, Akihiro (2008). The Higher Infinite (2nd ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-88866-6.
Moschovakis, Yiannis N. (2009). Descriptive set theory (PDF) (2nd ed.). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4813-5. Archived from the original on 2014-11-12.CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없음(링크)

추가 읽기

필립 로데, 2001년 독일 본대학교 수학학부 결정력 연장 연구
텔가르스키, R.J. 토폴로지 게임: 바나흐-마주르 게임 50주년 기념일에 록키 마운틴 J. 수학. 17(1987), 페이지 227–276. (3.19MB)
스탠포드 철학 백과사전의 "대 추기경들과 결정력"

show v t 세트 이론
개요	설정(수학)
공리	부속품 선택 셀 수 있는 종속적인 전지구적 시공성(V=L) 결정성 확장성 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니온 마틴의 공리 공리 스키마 대체의 사양
운영	데카르트 제품 보완 드 모건의 법칙 해체조합 교차로 전원 세트 설정차이 대칭차이 유니온
개념 방법들	카디널리티 기수(대수) 클래스 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각선 인수 요소 주문된 한 쌍 터플 가족 강제 일대일 대응 순서수 트랜스핀라이트 유도 벤 다이어그램
유형 설정	무형의 셀 수 있는 비어 있음 유한(계속) 퍼지 무한(Dedekind-무한) 재귀적 싱글턴 부분 집합 · 상위 집합 타동사 마운트할 수 없음 유니버설
이론들	대안 자칭 순진한 칸토르의 정리 제르멜로 일반 프린세스 매머티카 뉴 파운데이션스 체르멜로-프렌켈 폰 노이만-베르나이-괴델 모르스켈리 크립케-플레이트크 타르스키-그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 수슬린의 문제 부랄리-포르티 역설
세트 이론가	아브라함 프라운켈 베르트랑 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 존 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코언 리처드 디데킨드 토머스 제흐 토랄프 스콜렘 윌러드 킨

Search