무정형 집합

세트 이론에서, 비정형 집합은 두 개의 무한 하위 집합의 분리된 결합이 아닌 무한 집합이다.^[1]

존재

선택의 공리를 가정한다면 무정형 집합은 존재할 수 없다.프라엔켈은 원자 집합이 비정형 집합인 Atoms와 함께 Zermelo-Fraenkel의 순열 모델을 구성했다.^[2]1963년 코헨이 처음 강제연행을 한 후, 제르멜로-프라엔켈과의 비정형 집합의 일관성에 대한 증거를 얻었다.^[3]

추가 속성

모든 무정형 집합은 데데킨드 피니트인데, 이는 그 자체의 적절한 부분 집합에 대한 편견이 없다는 것을 의미한다.이를 확인하려면 $S$ $S$ 이(가) 적절한 하위 집합에 대한 $f$ 바이어스 $f$ $f$ 이(가) 있는 집합이라고 $S$ 가정하십시오.각 자연수 $i\geq 0$ $i\geq 0$ 0 ${\displaystyle i\geq$ 0}에 $S_{i}$ $S_{i}$ i $S_{i}$ {\ $displaystyle$ $S_{i}}$ 을(를) 그 자체로 $f$ 의 $i$ ${\displaystyle$ i $}$ 폴드 $i$ 구성에는 속하지만 $(i+1)$ ( $(i+1)$ + $(i+1)$ ${\displaystystyle (i+1)-$ f $(i+1)$ 구성에는 속하지 않는 요소 집합으로 정의한다 $i\geq 0$ $S_{i}$ .그러면 각 $S_{i}$ ${\$ 는 비어 있지 않기 $S_{i}$ 때문에 짝수 지수를 갖는 $S_{i}$ $S_{i}$ S $S_{i}$ {\ $displaystyle S_{i}$ 의 $S$ 은 S{\ $displaystyle$ S $}$ 의 보완도 무한인 $S$ 집합이 되어 S ${\displaysty S}$ 이 비정형일 수 없음을 보여준다 $S$ .그러나, 그 반대가 반드시 사실인 것은 아니다: 그것은 무정형적이지 않은 무한 디데킨트-피니트 집합이 존재하는 것에 일관적이다.^[4]

어떤 비정형 집합도 선형적으로 정렬할 수 없다.^[5]^[6]무정형 집합의 이미지 자체가 비정형 또는 유한이기 때문에, 무정형 집합에서 선형적으로 정렬된 집합에 이르는 모든 함수는 유한한 영상만을 가지고 있는 것을 따른다.

무정형 세트의 코피나이트 필터는 초필터다.이는 각각의 무한 부분 집합의 보완이 무한해서는 안 되기 때문에 모든 부분 집합은 유한하거나 공동 마무리되기 때문이다.

변형

If $\Pi$ is a partition of an amorphous set into finite subsets, then there must be exactly one integer $n(\Pi )$ such that $\Pi$ has infinitely many subsets of size $n$ ; for, if every size was used finitely many times, or if more than one size w무한히 여러 번 사용되었듯이, 이 정보는 파티션을 강화시키고 $[\displaystyle \Pi }$ 을(를) 두 개의 무한 하위 집합으로 $\Pi$ 분할하는 데 사용될 수 있다.If an amorphous set has the additional property that, for every partition $\Pi$ , $n(\Pi )=1$ , then it is called strictly amorphous or strongly amorphous, and if there is a finite upper bound on $n(\Pi )$ then the set is called bounded amorphous.무정형 집합이 존재하고 모두 경계가 있거나, 존재하며 모두 무한하다는 것은 ZF와 일치한다.^[1]

참조

^ ^a ^b Truss, J. K. (1995), "The structure of amorphous sets", Annals of Pure and Applied Logic, 73 (2): 191–233, doi:10.1016/0168-0072(94)00024-W, MR 1332569.
^ Jech, Thomas J. (2008), The axiom of choice, Mineola, N.Y.: Dover Publications, ISBN 0486318257, OCLC 761390829
^ Plotkin, Jacob Manuel (November 1969), "Generic Embeddings", The Journal of Symbolic Logic, 34 (3): 388–394, doi:10.2307/2270904, ISSN 0022-4812, MR 0252211
^ Lévy, A. (1958), "The independence of various definitions of finiteness" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 46: 1–13, MR 0098671.
^ Truss, John (1974), "Classes of Dedekind finite cardinals" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 84 (3): 187–208, MR 0469760.
^ de la Cruz, Omar; Dzhafarov, Damir D.; Hall, Eric J. (2006), "Definitions of finiteness based on order properties" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 189 (2): 155–172, doi:10.4064/fm189-2-5, MR 2214576. 특히 이것은 ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\$ $Ia}}\오른쪽 화살표 {\text{$ $II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ 이(가 ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ) 각각 레비(1958년)와 트러스(1974년)에게 라 크루즈 외.

[truss-1] Truss, J. K. (1995), "The structure of amorphous sets", Annals of Pure and Applied Logic, 73 (2): 191–233, doi:10.1016/0168-0072(94)00024-W, MR 1332569.

[2] Jech, Thomas J. (2008), The axiom of choice, Mineola, N.Y.: Dover Publications, ISBN 0486318257, OCLC 761390829

[3] Plotkin, Jacob Manuel (November 1969), "Generic Embeddings", The Journal of Symbolic Logic, 34 (3): 388–394, doi:10.2307/2270904, ISSN 0022-4812, MR 0252211

[levy-4] Lévy, A. (1958), "The independence of various definitions of finiteness" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 46: 1–13, MR 0098671.

[5] Truss, John (1974), "Classes of Dedekind finite cardinals" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 84 (3): 187–208, MR 0469760.

[6] Cruz, Omar; Dzhafarov, Damir D.; Hall, Eric J. (2006), "Definitions of finiteness based on order properties" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 189 (2): 155–172, doi:10.4064/fm189-2-5, MR 2214576. 특히 이것은 ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ${\$ $Ia}}\오른쪽 화살표 {\text{$ $II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ 이(가 ${\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}$ ) 각각 레비(1958년)와 트러스(1974년)에게 라 크루즈 외.

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