우레멘트

Urelement

집합론에서, 수학의 한 부문, 요소 또는 요소(독일어 접두어 ur-, 'primordial'에서)는 집합은 아니지만 집합의 요소일 수 있는 객체이다.그것은 원자 또는 개인이라고도 불린다.

이론.

1차 이론에서 요소를 처리하는 데는 몇 가지 다른 방법들이 있지만 본질적으로 동등한 방법들이 있다.

1차 이론에서는 2종류, 집합 및 요소가 있으며, b가 집합일 때만 µ b가 정의되어 있는 것은, 1차 이론입니다.이 경우 가 요소일 경우는완전히 이지만X 라고 것은 의미가 없습니다

또 다른 방법은 집합과 요소를 구별하는 데 사용되는 단항 관계를 가진 원 정렬 이론으로 작업하는 것입니다.비어 있지 않은 집합에는 멤버가 포함되어 있지만 요소에는 포함되어 있지 않기 때문에 단항 관계는 빈 집합과 요소를 구별하는 데만 필요합니다.이 경우 확장성의 공리는 요소가 아닌 객체에만 적용되도록 공식화해야 합니다.

이 상황은 집합과 계급의 이론의 처리와 유사하다.실제로, 요소는 어떤 의미에서 적절한 클래스와 이중적입니다. 요소는 구성원을 가질 수 없는 반면 적절한 클래스는 구성원을 가질 수 없습니다.다른 말로 하자면, 요소는 최소한의 객체이고, 적절한 클래스는 멤버쉽 관계에 의한 최대 객체이다(물론 순서 관계가 아니기 때문에 이 비유는 문자 그대로 받아들여서는 안 된다).

집합론의 요소

1908년의 Zermelo 집합론은 요소를 포함하였고, 따라서 우리가 현재 ZFA 또는 ZFCA라고 부르는 버전이다(즉,[1] 선택 공리를 가진 ZFA).이것과 밀접하게 관련된 공리 집합론의 맥락에서,[2] 요소들이 없이 집합 이론으로 쉽게 모델링될 수 있기 때문에 요소는 필요하지 않다는 것을 곧 깨달았다.따라서 표준 공리 집합론 ZF 및 ZFC의 표준 설명에서는 요소를 언급하지 않습니다(예외에 대해서는 Suppes 참조).[3]요소를 호출하는 집합론의 공리화에는 요소를 가진 크립케-플라텍 집합론과 폰 노이만-베르네이스의 변형이 포함된다.멘델슨이 [4]기술한 괴델 집합론.유형 이론에서, 타입 0의 물체는 요소라고 불릴 수 있다. 그래서 "원자"라는 이름이 붙었다.

NFU를 생산하기 위해 시스템 New Foundations(NF)에 요소를 추가하면 놀라운 결과가 초래됩니다.특히 Jensen은[5] Peano 산술에 대한 NF의 일관성을 증명했다. 반면, 어떤 것에 대한 NF의 일관성은 ZF에 대한 Holmes의 일관성의 증명에 대해 검증될 때까지 해결되지 않은 문제로 남아 있다.더욱이, NFU는 무한대 공리와 선택 공리로 증강될 때 상대적으로 일관성을 유지한다.한편, 선택 공리의 부정은, 이상하게도 NF 정리입니다.Holmes(1998)는 이러한 사실을 NFU가 NF보다 수학에서 더 성공적인 기반이라는 증거로 받아들인다.홈즈는 또한 집합론은 요소가 없는 것보다 있는 것이 더 자연스럽다고 주장하는데, 왜냐하면 우리는 이론이나 물리적 [6]우주의 대상을 요소로 삼을 수 있기 때문이다.피니티스트 집합론에서, 요소들은 물리적인 물체의 원자 성분이나 조직의 구성원과 같은 목표 현상의 가장 낮은 수준의 요소들에 매핑된다.

퀴네 원자

요소에 대한 대안적 접근법은 요소를 집합이 아닌 객체의 유형으로 간주하는 것이다.Quine 원자(Willard Van Orman Quine의 이름)는 그들 자신을 포함하는 집합, 즉 x = {x}[7] 공식을 만족시키는 집합입니다.

Quine 원자는 규칙성의 공리를 포함하는 집합론 체계에는 존재할 수 없지만, 그들은 잘 근거가 없는 집합론에는 존재할 수 있다.규칙성 공리가 제거된 ZF 집합론은 잘 근거 없는 집합이 존재한다는 것을 증명할 수 없지만, Quine 원자의 존재와 양립할 수 있다.Aczel의 반기초 공리는 독특한 Quine 원자가 있음을 암시합니다.근거가 없는 다른 이론들은 많은 다른 Quine 원자들을 받아들일 수 있다; 스펙트럼의 반대편 끝에는 Boffa의 초보편성 공리가 있는데, 이것은 다른 Quine 원자들이 적절한 클래스를 [8]형성한다는 것을 암시한다.

Quine 원자는 또한 Quine의 New Foundations에도 나타나며, 이것은 하나 이상의 그러한 [9]집합이 존재할 수 있도록 합니다.

Quine 원자는 Peter Aczel에 [8]의해 반사 집합이라고 불리는 유일한 집합이지만, 존 바와이즈와 로렌스 모스 같은 다른 저자들은 x [10]µ x 성질을 가진 집합의 더 큰 클래스를 나타내기 위해 후자의 용어를 사용한다.

레퍼런스

  1. ^ 덱스터 추아 외: ZFA: 원자를 가진 Zermelo-Fraenkel 집합론, ncatlab.org: nLab, 2016년 7월 16일 개정
  2. ^ Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice. Mineola, New York: Dover Publ. p. 45. ISBN 0486466248.
  3. ^ Suppes, Patrick (1972). Axiomatic Set Theory ([Éd. corr. et augm. du texte paru en 1960]. ed.). New York: Dover Publ. ISBN 0486616304. Retrieved 17 September 2012.
  4. ^ Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th ed.). London: Chapman & Hall. pp. 297–304. ISBN 978-0412808302. Retrieved 17 September 2012.
  5. ^ Jensen, Ronald Björn (December 1968). "On the Consistency of a Slight (?) Modification of Quine's 'New Foundations'". Synthese. Springer. 19 (1/2): 250–264. doi:10.1007/bf00568059. ISSN 0039-7857. JSTOR 20114640. S2CID 46960777.
  6. ^ 홈즈, 랜달, 1998년기본 집합 이론과 유니버설 집합입니다.학계-브뤼란트
  7. ^ Thomas Forster (2003). Logic, Induction and Sets. Cambridge University Press. p. 199. ISBN 978-0-521-53361-4.
  8. ^ a b Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets, CSLI Lecture Notes, vol. 14, Stanford University, Center for the Study of Language and Information, p. 57, ISBN 0-937073-22-9, MR 0940014, retrieved 2016-10-17
  9. ^ Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Vicious circles. On the mathematics of non-wellfounded phenomena, CSLI Lecture Notes, vol. 60, CSLI Publications, p. 306, ISBN 1575860090
  10. ^ Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Vicious circles. On the mathematics of non-wellfounded phenomena, CSLI Lecture Notes, vol. 60, CSLI Publications, p. 57, ISBN 1575860090

외부 링크