스콜렘 산술

수학 논리학에서 스콜렘 산술은 자연수를 곱셈으로 하는 1차 이론으로, 소랄프 스콜렘을 기리기 위해 명명되었다.스콜렘 산술의 시그니처에는 곱셈 연산, 평등 연산만 들어 있어 덧셈 연산을 완전히 생략하고 있다.

스콜렘 산술은 덧셈과 곱셈 연산을 모두 포함하는 페아노 산술보다 훨씬 약하다.페아노 산술과는 달리 스콜렘 산술은 해독 가능한 이론이다.이것은 스콜렘 산술 언어의 어떤 문장에 대해서도, 그 문장이 스콜렘 산술의 공리로부터 증명될 수 있는지 여부를 효과적으로 판단할 수 있다는 것을 의미한다.이 의사결정 문제의 점증적 런타임 계산 복잡성은 삼차적으로 기하급수적이다.^[1]

표현력

양성 정수의 평등과 곱셈을 가진 1차적 논리는 $c=a\cdot b$ = $c=a\cdot b$ b $[\displaystyle c=a\cdot b}$ 관계를 표현할 수 있다 $c=a\cdot b$ 이러한 관계와 평등을 이용하여 양성 정수에 대해 다음과 같은 관계를 정의할 수 있다.

구분 불가능: $b|c\ \Leftrightarrow \ \exists a.c=a\cdot b$ $b|c\ \Leftrightarrow \ \exists a.c=a\cdot b$ $b|c\ \Leftrightarrow \ \exists a.c=a\cdot b$ $b|c\ \Leftrightarrow \ \exists a.c=a\cdot b$ . c $b|c\ \Leftrightarrow \ \exists a.c=a\cdot b$ = $b|c\ \Leftrightarrow \ \exists a.c=a\cdot b$ $b|c\ \Leftrightarrow \ \exists a.c=a\cdot b$ ${\displaystyle b\\$ 좌우 $이동 \exists a.c=a\cdot b}$
Greatest common divisor: ${\displaystyle d=gcd(a,b)\ \Leftrightarrow \ ((d a)\land (d b)\land \forall d'.(((d a)\land (d b))$ $\Rightarrow (d' d)}$
Least common multiple: ${\displaystyle m=lcm(a,b)\ \Leftrightarrow \ ((a m)\land (b m)\land \forall m'.(((a m')\land (b m'))$ $\Rightarrow (m m')}$
상수 $1$ ${\displaystyle 1$ $\forall a.(1|a)$ $\forall a.(1|a)$ . ( $\forall a.(1|a)$ $\forall a.(1|a)$ ) ${\displaystyle$ \ $for all$ a $.($ 1 $a)}$
소수: $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ ( $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ ) $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ ( $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ ) $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ . ( $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ p $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ ) $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ ( $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ ) ∨ ( $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ = $prime(p)\ \Leftrightarrow \ (p\neq 1)\land \forall a.(a|p)\Rightarrow (a=1\lor a=p)$ a = p ) $prime(p)\\leftrightarrow \(p\neq 1)\land \all a. (a=1\lor=p)$
숫자 $b$ $b$ 은 $b$ ( $고정$ k {\ $displaystyle k}$ 의 경우) $k$ $k$ ${\displaystyle$ k $}$ primes의 $k$ 산물이다 $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ . $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ . . . $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ . . $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ . $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ ( $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ ) $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ = $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ … $⋅$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ ${\$ $a_{k}.\ prime(a_{1})\land \ldots \land prime(a_{k})\land b=a_{1}\cdotts \cdots \cdots \cdot a_{k}}}}}$
Number $b$ is a power of some prime: ${\displaystyle ppower(b)\ \Leftrightarrow \ \exists p.prime(p)\land (\forall a.((a\neq 1\land (a b))$ $\Rightarrow (p a)}$
숫자 $b$ ${\$ $displaystyle$ $b$ $}$ 은 $b$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ 는 $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ k {\ $displaystyle k}$ prime $k$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ ( $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ ) $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ … … $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ = $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ = 1 $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ … … a a $\exists a_{1},...a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}$ a { { { { { { ${$ ${$ {? $a_{k}.\ ppower(a_{1})\land \ldots \land ppower(a_{k})\land b=a_{1}\cdots \cdots \cdots a_{k}}}}}$

결정성에 대한 아이디어

스콜렘 산술 공식의 진실 값은 주요 인자 분해를 구성하는 비 음의 정수의 시퀀스 진실로 감소할 수 있으며, 곱셈은 점 단위로 시퀀스를 추가할 수 있다.그 다음, 결정성은 Quantifier 제거를 사용하여 보여줄 수 있는 Feferman-Vaught 정리로부터 따른다.이것을 진술하는 또 다른 방법은 양의 정수의 1차 이론은 다중 집합 합 연산을 가진 비 음의 정수의 유한 다중 집합의 1차 이론과 이형이며, 결정성은 원소 이론의 결정성으로 감소한다.

좀 더 자세히 말하자면, 산술의 기본 정리에 따르면, $a>1$ a > $a>1$ $a>1$ 을(를) 원수의 산물로 나타낼 수 있다 $a>1$ .

a=p_{1}^{a_{1}p_{2}^{a_{2}}\cdots }

소수 $p_{k}$ $p_{k}$ {\ $displaystyle p_{k}$ 가 인자로 나타나지 않는 $p_{k}$ 경우, 그 $a_{k}$ 인 $a_{k}$ ${\$ 를 $a_{k}$ 0으로 정의한다.따라서 무한 시퀀스 $a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{1},a_{2},\ldots$ , $a_{1},a_{2},\ldots$ a $a_{1},a_{2},\ldots$ … $a_{1},a_{2},\ldots$ 에서 미세하게 많은 지수만 0이 아니다 $a_{1},a_{2},\ldots$ $N^{*}$ $N^{*}$ ${\$ 을(를) 사용하여 음이 아닌 정수의 시퀀스를 나타낸다 $N^{*}$

이제 다른 양의 숫자의 분해를 생각해봐

b=p_{1}^{b_{1}p_{2}^{b_{2}}\cdots }

$b$ $ab$ 의 곱셈은 다음과 같은 지수들의 점별 추가에 해당한다 $ab$ .

ab=p_{1}^{a_{1}+b_{1}}}}p_{2}^{a_{2}+b_{2}}}}\cdots

시퀀스에 해당하는 점별 추가 정의 방법:

{\displaystyle(a_{1},a_{2},\ldots ){\bar {+}(b_{1},b_{2},a_{2}+b_{2},\ldots )}}

따라서 우리는 $(N,\cdot )$ 이 있는 양의 정수 $(N,\cdot )$ N $,$ $){\displaystyle (N$ $cdot$ $)}$ 의 $(N,\cdot )$ 구조와 미세하게 많은 원소만 0이 아닌 $음$ 의 정수의 시퀀스를 점으로 첨가하는 것 $사이$ 에 이형성을 가진다 $(N^{*},{\bar {+}})$

1차 논리학을 위한 Feferman-Vaught 정리로부터, 시퀀스보다 1차 논리 공식의 진리 값과 그 위에 점적 덧셈이 더해진 순서의 요소 이론에서 수식의 진리 값으로 알고리즘적인 방법으로 감소시킨다. 이 경우, 그것은 프레스버거 산술이다.프레스버거 산술은 해독이 가능하기 때문에 스콜렘 산술도 해독이 가능하다.

복잡성

5장의 Ferrante와 Rackhoff는^[1] 이론의 취약한 직접적 힘의 의사결정 문제 복잡성에 대한 상한을 증명하는 방법인 Ehrenfeucht-Fraïssé 게임을 사용하여 확립한다.그들은 $(N^{*},{\bar {+}})$ ( $(N^{*},{\bar {+}})$ $(N^{*},{\bar {+}})$ , $(N^{*},{\bar {+}})$ + $(N^{*},{\bar {+}})$ $){\displaystyle (N^{*},{\bar{+}})$ 에 대해 삼각 지수적인 공간 복잡성을 얻기 위해 이 방법을 적용한다.

그래델^[2](5절)은 스콜렘 산술의 계량자 없는 파편에 대한 만족도 문제가 NP 복잡도 등급에 속함을 증명한다.

디커블 확장

Feferman-Vaught 정리를 이용한 위의 감소 덕분에 우리는 주요 인자의 다중 집합 이론을 강화하면 개방 공식이 더 큰 관계 집합을 정의하는 1차 이론을 얻을 수 있다. $a\sim b$ 를 들어 $a\sim b$ ${\displaystyle$ a $}$ 과(와) $b$ $b$ 이(가) 구별되는 주요 요인의 수가 동일한 $b$ 경우에만 참인 $a\sim b$ $a\sim b$ ~ b {\ $displaystyle$ a $}$

\displaystyle \{p\mid prime(p)\land(p a)\}\ =\{p\mid prime(p)\land(p b)\}}

예를 들어, 양측 모두 뚜렷한 두 가지 주요 요인이 있는 숫자를 나타내기 때문에 $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ 2 $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ ~ $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ $2^{10}\cdot 3^{100}\sim 5^{8}\cdot 19^{9}$ ⋅ 19 ⋅ 19 { $19 {$ 19 ${{$ 3 $^{100}\cdot$ 3 \}\ $sim 5^{$ 8}\ $cdot 19$ ^{9 $}}}}}}}}.$

스콜렘 산술에 관계 $\sim$ $\sim$ ${\displaystyle \sim$ }을(를) 추가해도 해독 가능한 상태로 남아 있다.이는 지수의 집합 이론이 Feferman-Vaught 정리에서 보여지듯이 집합의 등분 연산자 앞에서 결정 가능한 상태로 남아 있기 때문이다.

알 수 없는 확장

$succ(n)=n+1$ $succ(n)=n+1$ 로 $succ(n)=n+1$ c $succ(n)=n+1$ ( $succ(n)=n+1$ ) = n $succ(n)=n+1$ + $succ(n)=n+1$ {\ $displaystyle sur(n$ )= $n+$ 1}을 $($ 를) 사용하여 스콜렘 산술의 확장은 Tarski의 ID를 사용하여 추가 관계를 정의할 $succ(n)=n+1$ 수 있다.

#\displaystyle(c=0\lor c=a+b)\왼쪽 오른쪽 화살표(ac+1)(bc+1)=c^{2}(ab+1)+1}

$c=a+b$ c $c=a+b$ = $c=a+b$ + b $c=a+b$ 을 $c=a+b$ (를) 정의한 다음

succ(ac)succ=c^{2}2(ab)}

곱셈과 덧셈을 모두 표현할 수 있기 때문에 결과론도 불분명하다.

자연수 $<$ 보다 작음, < $<$ )에 대한 주문 술어가 있는 경우, $<$ 다음에 $succ$ $의해$ s $u$ c{\ $displaystyle succ}$ 를 표현할 수 있다.

\displaystyle surc(a)=b\\ \좌우타로우 \ a<b\land \forall c.(a<c\Rightarrow (b=c\lor b<c))}

그래서 $<$ < ${\displaystyle <}>$ 이 있는 확장 또한 불분명하다 $<$ .

참고 항목

참조

^ ^a ^b Ferrante, Jeanne; Rackoff, Charles W. (1979). The Computational Complexity of Logical Theories. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. p. 135. ISBN 3-540-09501-2.
^ Grädel, Erich (June 1989). "Dominoes and the complexity of subclasses of logical theories". Annals of Pure and Applied Logic. 43 (1): 1–30. doi:10.1016/0168-0072(89)90023-7.

Bès, Alexis (2002). "A survey of arithmetical definability" (PDF). Soc.Math. Belgique, A Tribute to Maurice Boffa: 1–54.

[FerranteRackoff-1] Ferrante, Jeanne; Rackoff, Charles W. (1979). The Computational Complexity of Logical Theories. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. p. 135. ISBN 3-540-09501-2.

[2] Grädel, Erich (June 1989). "Dominoes and the complexity of subclasses of logical theories". Annals of Pure and Applied Logic. 43 (1): 1–30. doi:10.1016/0168-0072(89)90023-7.

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